新概念物理教程力学答案详解

新力学习题答案（五）

5—1．如本题图所示为圆筒状锅炉的横截面，设气体压强为p ，求壁内的正应力。已知锅炉直径为D ，壁厚为d （D>>d ），应力在壁内均匀分布。

5—2．（1）矩形横截面杆在轴向拉力的作用下产生拉伸应变为，此材料的泊松比为，求证体积的相对改变为：

（2）式中是否适用于压缩

（3）低碳钢的杨氏模量为Y=*1010Pa,泊松比为,受到的拉应力为=,求杆体积的相对改变。

5—3．在剪切钢板时，由于刀口不快，没有切断，该材料发生了剪切形变。钢板的横截面积

p ds

df ==

⊥

⊥ι解：`()的体积。

分别代表原来和形变后和式中V V V V V 00

21εσ-=-()()()()()()()()()()()()()()()()12

10

000

00

2

0020

00

00

2

02

02

002

0000

00

108.2106.1937.13.0212121321211111)2(212111)

(1-?=??-=-=-=-=

∴=?=--=-∴+-=+-==+=?+=-=?-=-=-∴

-+=-+=?-?+===?∴?=

=

=???=

Y V V V Y

Y l l

Y

V V V V d l ld V d d d d l l l l V V V V d l d d l l V d l V d d d d a l l l l

ισεσι

εειε

σεσεεσεεσεεσεσεεσεεσεε

εσειε）

（比值变为负值所以上式仍适用，不过压缩时：又）证明：

解：（横横

&&Θ

为S=90cm 2，二刀口间的距离为d=，当剪切力为F=7*105N 时，已知钢板的剪变模量为G=8*1010Pa ，求：

（1）钢板中的剪切应力； （2）钢板的剪切应变；

（3）与刀口齐的两个截面所发生的相对滑移。

5—4．矩形横截面边长2:3的梁在力偶矩作用下发生纯弯曲。对于截面的两个不同取向，同

样的力偶矩产生的曲率半径之比为多少

5—5．试推导钢管扭转常量D 的表达式。

cm

d d d d G G Pa S F 222

108

////84

5////10144

75.010727)3(10

72

71081097

)2(1097

10

901071----?=??==???=?=??==?=?=??==εειεειι）解：（()()4

92454)

2(1224122323)

1(12521232323212214

3

243

13

==∴

=

====

====

R R M Ya M a a Y R a

h a

b M Ya M a a Y R a

h a

b a a M Ybh R 外

外外外外

则：另一种取向：则：一种取向：与设边长分别为半径公式，有：

解：依据梁弯曲的曲率()()l

dr

r G ds df dr rdr ds dr r r l

Gr r G l

r r r r R r R R R l 2////212122,?πιπ?ει?

ε?

?=

=∴=+→=

==

∴<<内剪切力为的面积在剪切应力剪变角为偎依为处任一点产生的在半径角的扭转角时，对于当钢管有一个。

与，管内外半径分别为设钢管长度为解：钢管中间是空的。

5—6．一铝管直径为4cm,壁厚1mm,长10m,一端固定，另一端作用一力矩，求铝管的扭转角。对同样尺寸的钢管再计算一遍。已知铝的剪变模量G=*1010Pa ，钢的剪变模量为*1010Pa.。

5—7．用流体静力学基本原理，论证液面上有大气、物体全部浸在液体中的情况下的阿基米德原理。

5—8．灭火筒每分钟喷出60m 3的水，假定喷口处水柱的截面积为，问水柱喷到2m 高时其截面积有多大

解：设喷口处为1处，水柱喷到2m 处为2处 依伯努力方程有：

5—9．一截面为的均匀虹吸管从容积很大的容器中把水吸出。虹吸管最高点高于水面，出口

()

()

4

14

2414

23

3222221

R R l

G D D R R l

G l dr r G dM M l

dr

r G rdf dM R R -=∴=-===∴=

=??π?

?π?π?π此力对主轴的力矩为()

代入数据即可（略）

题有：—解：依4

14

2255R R

l

G M

-=?

πθ()()()物

浮浮上底下底浮是小柱体的体积）

的浮力为：

则：这部分小柱体受到与下地面距离水面分别为的小柱体，小柱体的上为设其在水平方向的投影解：取物体内面积为gV gdV df f dV gdV

ds h h g ds gh P ds gh P ds P ds P df h h ds ds ρρρρρρ===∴=-=+-+=-=??(**

****)(121020212242

2382

1244

11322110212222117410741

101122102109

4

2103

2

105111316060

212121cm .m .v s s /m .gh v v s /m .s v :)(s /m s v s v Q )(P P P )

(v gh P v P V =?==

?=??-?=

-=?=?====

====++=+

--有以上三式得ρρρ

在水下处，求水在虹吸管内作定常流动时管内最高点的压强和虹吸管的体积流量。

5—10．油箱内盛有水和石油，石油的密度为cm 2，水的厚度为1m ，油的厚度为4m 。求水自箱底小孔流出的速度。

5—11．一截面为A 的柱形桶内盛水的高1度为H ，底部有一小孔，水从这里流出。设水柱的最小截面积为S ，求容器内只剩下一半水和水全部流完所需的时间t 1和t 2。

()()s

m s v Q s

m gh v v gh P v P Pa

h h g P P v gh P v gh P v gh P v gh P m

h m

h v

v v v P P P v gh P v gh P v P V /1073.1100.532/326.01022212

1105.80.16.010101001.1212

1

212

16.00.1021212

11,321334333323

332

1143523022

3022223

332

222323210

31233322

222

11?=??==∴=??=-=++=+

?=--?+?=-+=∴++=++++=+

+-======++=++=+

-得：由最高点的压强为：

可变为：所以，由上式定常流动：，忽略不计可看作其中：依伯努力方程有：

处为基准以处处，出口处为处，最高点为解：设水面为ρρρρρρρρρρρρρρρρρ()

()

s

m gh gh gh P gh P gh P P v v P gh P v v v gh P P P P P /6.9921*10*21000

4

*10*900*22222222100321003232

332321120

31==+=

+=

+-+=+-=

∴+=+≈=+===水水

油

油水

水

油油水水水水水油油依伯努力方程有：

点以小孔处为高度为要求的速度

则：处处，小孔为处，油与水的接触面为面为解：设油与大气的接触ρρρρρρρρ

5—12．在一20cm*30cm 的矩形截面容器内盛有深度为50cm 的水。如果从容器底部面积为的小孔流出，求水流出一半时所需的时间。

5—13．如图5—35a 所示，在一高度为H 的量筒侧壁上开一系列高度h 不同的小孔。试证明：当h=H/2时水的射程最大。

()

()

H

g

s A s t sdt

s A gh

dh H h H

H g s A s t sdt

s A gh dh

H

H h sdt s A gh dh

sdt gh s

A A vsdt Adh gh

s A A v v A vs gh A

vs

V vs

VA v P V gh P dh dt h t Adh AVdt vsdt dQ dt h t H

t H H

V 2

220

2

22210

2

/2

22

22

22

2

22

2

2

20202121,0)

2

(2121,2

)1(22:22

1

212

1

212

1

-=

∴-=-→--=∴-=-→=--=

=-=

?=??? ??+∴=

?=+=+

+===?

?

??

）式两边积分：

（从若全部流完，则）式两边积分：

（从若只剩一半水，上式变形得：

又依连续性方程有上式变为：又：依伯努力方程有：时间内水面下降，度为时刻，水面距桶底的高设在求解。也不同，故用积分形式时间内流出的水水的速度不同，所以在的变化，从桶底流出的解：由于随着水的高度ρρρρρρ()()(

)

s

H H g s A s t m A 19.025

.05.010

100.206

.0100.21)2(2106.03.02.0115822

4

222

=-?-?=

--==?=--的答案得：—解：由

解：设A 为量筒截面面积，s 为小孔面积

5—14．推导文丘里流量计的流量公式。

5—15．在盛水圆筒侧壁上有高低两个小孔，它们分别在水面之下25cm 和50cm 处。自它们设出的两股水流在哪里相交

()()最大射程时当射程则：时间为设水到达地面时所需的又依连续性原理有：依伯努力方程有：

度处从小孔流出的水的速为高度为液面水的速度，x H

h H H h s A gA h H h s A gA

gh s A A h H g vt x gh

t gt h y t s A A h H g v vs

VA v gh P V gH P h v V ,2

421

2)

(1222:22

1,22

1

21222

2

22

2

222

2

2

2020=

∴+

??? ?

?

---=--=--====

=--=∴=++=+

+ρρρρ()

()

()()

2

2

212

1112

12

22

1

2212221222

21211222212122112222112

2

212

111212

2221121

21

2212121212)(2

121s s P

s s s v Q s s P

s s P P s s s s P P v P P s s v s v s v v P v P s s P

s s s v Q h h v P v P V V -?==?-?=--=--=

∴-=???? ??-???

???=+=+-?===+=+ρρρρ

ρρρρρρ证明：的前提下，有

即在水平流管满足：

解：文丘里流量公式是

5—16．如本题图，A 是一个很宽阔的容器，B 是一根较细的管子，C 是压力计。 （1）若拔去B 管下的木塞，压力计的水位将处在什么地方 （2）若B 管是向下渐细的，答案有何改变

5—17．一桶的低部有一洞，水面距桶底30cm ，当桶以120m/s 2的加速度上升时，水自洞漏出的速度为多少

m

x x m

y m

y h h y y y y y h y h x x m h m h hy vt x g

y t gt y y x t gh

v v P gh P v h 71.05.025.0225.05.0)2)(1()2(25

.0)

1(2:

5.025.0222

1,,22

1212112212

12

2112

1212

2

00=?==∴==-=-=-==∴=====∴=

?=

=?+=+得：由又：即相遇时有则：

“射高”为后水的射程为经时间依伯努力方程有：处的速度为设在水面下筒截面远大于小孔截面解：为简单起见，设圆ρρ）

（的水位之下。于所以压力计的水位将处管内等高处有：特点：

交接处，根据水平管的、）分析解：（22

12112

2A P P v v s s v P v P C B C B C B B C C

C B B >?<∴<+=+ρρ

5—18．如本题图，方新形截面容器侧壁有一小孔，其下缘的高度

为h 。将孔封住时，容器内液面高度达到H ，此容器具有怎样的水平加速度a ，即使将孔打开，液体也不会从孔中流出此时液面是怎样的

5—19．使机车能在行进时装水，使用的装置如本题图所示，顺着铁轨装一长水槽，以曲管引至机车上。曲管之另一端浸入水槽中，且其开端朝向运动的前方。试计算，火车的速度多大，才能使水升高

解：由题意知：流入曲管的水的速度（也是相对水槽的速度）就是火车的速度。 依伯努力方程有：

()()()就是所求。

所以又刚开始时程中的所以，这里的伯努力方用。力作用，还受惯性力作小洞流出的水不仅受重解：以桶为参考系，由桶s m v v s m h a g v v P h a g P a

g g /8.8,0/8.8783.012010222

12

00====?+?=+=∴+

=++∴+→ρρ()

()()()()()()()

即液面是斜面的形状。

直线）切线的斜率力平衡，所以有：以及支持力的作用，三该液体受重力、惯性力系：

的液体，以容器为参考在液面上取此时的液面的方向水平向右

一个向左的力要使水不流出，必需有向右）为：

液体的速度依伯努力方程知小孔处力受到容器内液体的作用时小孔处的液体速度解：先求容器无水平加(22tan ::/222(202:

02

x g

h H x y g

h H g gdm

adm

dx dy dm a s m h H g sv

h H g s Q h H g s m F a F

ma h H g s vsv v Q F h H g v v F a m m -+

=∴-===

-=-=-==∴=-==-=∴-=αρρρρρ

?v 2=?

5—20．试作下击式水轮机最大功率和转速的计算。如本题图所示，设水源高h=5m ，水流截面积s=，轮的半径R=；还不假定水连续不断地打在浆叶上，打击后水以浆液的速度流去。

5—21．在一截面积为50cm 2的水管上接有一端弯管，使管轴偏转750。设管中水的流速为s 。计算水流作用在弯管上力的大小和方向。

s

m gh v P P P gh P v P B A B A /0.101.58.9222102=??==??????==+=+

ρρ()

()J gh s v Q t mv P s

r n R gh R v P n I R Q I v Q I vR Q gh s vs Q gh

v m m m m m 42

/332

/322

2

2100.3510206.0102

12212121

:/7.6314

.321042/104025.05

10220'22?=?????===??==??==?=??===∴≈+=+====ρπωωωωωρρ无能量损失秒

弧为最大值。与功率，所以求出的转速由此看来，无能量损失）

（浆质量集中与中心上又：守恒：

水与浆叶相撞，角动量为水从截面出来时的速度解：依伯努力方程有：()()()=

=

?

???==-=-=ααρρtan 0.3005.02102/75sin 22

302121，为力的方向：与水平夹角力的大小：如图：

即：

水流的动量的减少量，的力等于单位时间内解：水流作用在弯管上v vs F v v vs v v Q F m ?????

y +

5—22．在重力作用下，某液体在半径为R 的竖直圆管中向下作定常层流，已知液体的密度为，测得从管中流出的体积流量为Q ，求 （1）液体的粘滞系数； （2）管轴处的流速。

解：该圆管是竖直放置的。可参照泊萧叶公式的推导过程求解。

5—23．粘滞流体在一对无限大平行平面板之间流动。试推导其横截面上的速度分布公式。

解：如图所示，以中心轴为x 轴，建立如图所示的 坐标系，在y+dy 之间取一面积为s,宽为dy 的流体。 设v 沿正x 方向，分析其受力：

()()()()

()()()2

422

24

44

02

2

2240200)2(4)1(48242222222R Q gR Q gR R g r v r R

Q

g R g Q Q gl

gh P P R

l

gl P P rdr r v vds Q r R l gl P P r v dr dr dv r dr d l

f rdr

g l rdr P P rdr dr dr dv r dr d l

f f f l dr r dr dv f rl dr dv f dr r r ab l V b a b a R V b a a b dr r r dr r dr

r r r

ππρρηρρπηηρπρρηρππηρπηππππηπηπη=?=-====

?==∴==-+-===-+-=

???

?

????? ??==

--???

?

????? ??=+=∴???

?

??

?+??? ??=???

??-=+→=??+++处）：管轴处的速度（低速情况下：经两次积分得：的重力平衡：

上的压力差及该小圆管此力应与端面为正向，则有：

的小圆管，以流速方向长的一端，取在圆管内取

5—24．密度为cm 3、 直径为的玻璃在一盛甘油的筒中自静止下落。若测得小球的恒定速度为s ，试计算甘油的粘滞系数。甘油的密度为cm 3。 解：依斯托克斯公式有：

5—25．一半径为的小空气泡在密度为*103kg/m 3、粘滞系数为的液体中上升，求其上升的终极速度。

解：依斯托克斯公式有：

5—26．试分析计算半径为*10-3mm 和*10-2mm 的雨滴的终极速度。已知空气的粘滞系数为*，

密度为*10-3g/cm 3。

()A

y a v y v a

v a A

c v v A A ca a v A v a A

Cy y v C dy dv dy dv f f sdy s dy dv f dy y s

dy dv f y dy

y y dy y y dy

y dy y y

y +-

=∴-=-

===?+=∴==+=∴=???? ??=???? ???=+∴???

???

??-=+?????

??=++++中心中心中心则有：设两平面之间的距离为常量）度相等，无压强差，

体积的两头截面所在高处：在处：在)()0(00

)(,)0(,2(0ηη()

()s

Pa s m kg s cm g v gr rv g

r rv mg .5.6/5.6/651

.39100.6108.956.2292634

62

1223=?=?=??????=

===-求求ρππρπη()s

m gr r g

r r mg v /1058.211

.098.9001.03.129263465223-?=????=

==

=ηρη

ππρη

π空空

()

()

s cm v mm s cm v mm s cm g s Pa gr r g

r r mg v /1075.310

81.19108.9100.5103.12100.5/105.110

81.19108.9100.1103.12100.1./1081.1.1081.192634644

2

2

432274

2

2

53134523------------?=????????=??=????????=??=?==

=

=时：

半径为时：

半径为依斯托克斯公式有：

空空ηη

ρη

ππρη

π