高等数学不定积分综合测试题
第四章测试题A 卷
一、填空题(每小题4分,共20分) 1、函数2x 为 的一个原函数.
2、已知一阶导数 (())f x dx '=?
,则(1)f '=
3、若()arctan xf x dx x C =+?,则
1
()
dx f x ?
= 4、已知()f x 二阶导数()f x ''连续,则不定积分()xf x dx ''?
= 5、不定积分cos cos ()x xd e ?
=
二、选择题(每小题4分,共20分)
1、已知函数2
(1)x +为()f x 的一个原函数,则下列函数中是()f x 的原函数的是 [ ] (A) 21x - (B) 21x + (C) 22x x - (D) 22x x + 2、已知
()sin x x e f x dx e x C =+?
,则()f x dx ?= [ ] (A) sin x C + (B) cos x C + (C) cos sin x x C -++ (D) cos sin x x C ++ 3、若函数
ln x
x 为()f x 的一个原函数,则不定积分()xf x dx '?= [ ] (A) 1ln x C x -+ (B) 1ln x C x ++
(C) 12ln x C x -+ (D) 12ln x C x
++
4、已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导,且恒有()f x '=0,又有(1)1f -=,则函数
()f x = [ ]
(A) -1 (B) -1 (C) 0 (D) x
5、若函数()f x 的一个原函数为ln x ,则一阶导数()f x '= [ ]
(A)
1x (B) 21
x
- (C) ln x (D) ln x x 三、解答题 1、(7分)计算
22(1)dx
x x +?. 2、(7分)计算
1x dx e +?.
3、(7分)计算 321
x dx x +?.
4、(7分)计算 254dx
x x ++?.
5、(8分)计算
.
6、(7分)计算
2
3x x e
dx ?.
7、(8分)已知2
2
2
(sin )cos tan 01f x x x x '=+<< ,求()f x .
8、(9分)计算 cos ax I e bxdx =?
.
第四章测试题B 卷
一、填空题(20分)
1、不定积分d =?
.
2、已知()(),f x dx F x C =+?则()()F x f x dx =? .
3、若
2
1(ln ),2
f x dx x C =
+?
则()f x dx =? .
4、1)dx +=?
. 5、2ln x dx =?
.
二、选择题(25分) 1、若
2
(),f x dx x
C =+?则2(1)xf x dx -=? [ ]
(A) 22
2(1)x C --+ (B) 22
2(1)x C -+ (C) 221(1)2x C --+ (D) 221
(1)2
x C -+ 2、设
()2
,x
f x dx x C =++?则()f x '= [ ]
(A) 2l n 22
x x C ++ (B) 2l n 21x + (C) 22l n 2x (D) 2
2l n 21x + 3、
1
1dx x =-? [ ]
(A )ln 1x C -+ (B ) l n (1)x C -+ (C )ln (1)x C -++ (D )ln 1x C --+
4、存在常数A 、B 、C ,使得
21
(1)(2)dx x x =++? [ ]
(A )2(
)12A B dx x x +++?
(B ) 2()12
Ax Bx dx x x +++?
(C )2(
)12A Bx C dx x x ++++?
(D )2()12
Ax B dx x x +++? 5、若x
e 在(,)-∞+∞上的不定积分是()F x C +,则 [ ]
(A) ,0(),0x x e C x F x e C x -?+≥=?-+ (B) ,0
()2,0
x x e C x F x e C x -?+≥=?-++
(C) ,0()2,0x x e x F x e x -?≥=?-+ (D) ,0
(),0
x x e x F x e x -?≥=?-
三、计算题(48分) 1、(7
分)求积分
2arccos x . 2、
(7
分)求?.
3、(7分)
2(1)dx x x +?. 4、(01,数二,8
分)求.
5、(8分)求积分1sin cos dx
x x
++?. 6、(06,数二,11分)求arcsin x x e dx e ?. 四、(7分)计算
2lnsin sin x
dx x ?
第四章测试题A 卷答案 一、填空题
1、2ln 2x 2 3、2411
24
x x C ++ 4、()()xf x f x C '-+ 5、cos (cos 1)x
e
x C -+
二、选择题
1、D
2、C
3、C
4、A
5、B 三、解答题 1、1arctan x C x -
-+ 2、ln(1)x x e C -++ 3、2211
ln(1)22
x x C -++
4、11ln
34x C x +++ 5、C 6、2221()2
x x x e e C -+ 7、2
1()ln(1)2
f x x x C =---+ 8、2
2(sin cos )ax e b bx a bx C a b +++
第四章测试题B 卷答案 一、填空题
1、sin C
2、
2()2F x C + 3、x
e C + 4、3
35222353x x x x C +--+ 5、2
ln 2x x x C -+
二、选择题
1、C
2、C
3、D
4、C
5、C 三、计算题
1、2arccos 1102ln10
x
C -
+ 2、1)C +
3、22
1ln .21x C x ++ 4
、C =+ 5、ln 1tan 2x C =++ 6、解: arcsin x x e dx e
?arcsin arcsin x x x x x x
e de e e e ---=-=-+??
a r c s i n x x
x
e
e --=-+
a r c s i n x
x x
e e --=-- s e c x t e -=令s e c t a n a r c s i
n t a n x x
t tdt e e t
-=--?a r c s i n s e c
x x
e e tdt -=--? a r c s i n l n s e c t a n x x
e e t t C -=--+
+a r c s i n l n 1x x x e e e C
--=--+ 四、 2ln sin sin x
dx x ?cot lnsin cot x x x x C =-?--+.
高数不定积分例题
不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析:因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案:B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(,则=)(x f ( ) A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析:对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=,所以= )(x f x x cos 答案:C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析:利用基本积分公式积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形 解:1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析:注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法,在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=,设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解:1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析:注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u ,v '的选择可以参照下列步骤①凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为dx v ',即dv dx v =',使积分变为?udv ;②代公式,?udv ?-=vdu uv ,计算出dx u du '=;③计算积分?vdu 解:?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (
完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程
《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1. 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2. 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+,求()01f x x <<。 3. 设 2 ()f x dx x C =+?,则2(1)xf x dx -=? 。 4. 计算 3。 5。 计算。 6. 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8. 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10. 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11. 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12. 设()arcsin xf x dx x C =+? ,则 1 () dx f x =? 。 13. 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-,且(())ln f x x ?=,求()x dx ??。 14. 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15. 计算x 。 16. 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17. 计算ln t tdt α ? 。 18. 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1.设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??,求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2. 设1 ()2()f x x f x dx =+? ,则()f x = 。 3. 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4. 已知()f x 连续,且满足()()1f x f x -=,则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?= 。
高等数学定积分应用
第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题,其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式,而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求: 使学生掌握定积分计算基本技巧;使学生用所学的定积分的微元法(元素法)去解决各种领域中的一些实际问题; 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等) 二、本章各节教学内容及学时分配: 第一节 定积分的元素法 1课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2课时 三、本章教学内容的重点难点: 找出未知量的元素(微元)的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法,定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤: (1)画出图形; (2)将这个图形分割成n 个部分,这n 个部分的近似于矩形或者扇形; (3)计算出面积元素; (4)在面积元素前面添加积分号,确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。 三、作业35 6.2定积分在几何中的应用
一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-,面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步:在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=,)(2x y ?=. 第二步:在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =,b x =;不够时由)(1x ?)(2x ?=解出, b x a ≤≤,)()(21x y x ??≤≤,面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-,面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步:在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=,)(2y x ?=. 第二步:在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =,d y =;不够时由)(1y ?)(2y ?=解出, d y c ≤≤,)()(21y x y ??≤≤,面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ,12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 222x y x y ,1222+=-x x ,1-=x ,3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ,于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =,4+=y x 得,4,2=-=y y ,当42<<-y 时 45.02+ 题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ))(2 122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 (2小题,共5分) 得分 阅卷人 高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?(完整版)定积分测试题
高等数学不定积分例题思路和答案超全
定积分及微积分基本定理练习题及答案