插值的原理
常见的插值方法及其原理
常见的插值方法及其原理 这一节无可避免要接触一些数学知识，为了让本文通俗易懂，我们尽量绕开讨厌的公式等。为了进一步的简化难度，我们把讨论从二维图像降到一维上。 首先来看看最简单的‘最临近像素插值’。 A,B是原图上已经有的点，现在我们要知道其中间X位置处的像素值。我们找出X位置和A,B位置之间的距离d1,d2，如图，d2要小于d1,所以我们就认为X处像素值的大小就等于B处像素值的大小。 显然，这种方法是非常苯的，同时会带来明显的失真。在A,B中点处的像素值会突然出现一个跳跃，这就是为什么会出现马赛克和锯齿等明显走样的原因。最临近插值法唯一的优点就是速度快。 图10，最临近法插值原理 接下来是稍微复杂点的‘线性插值’（Linear） 线性插值也很好理解，AB两点的像素值之间，我们认为是直线变化的，要求X点处的值，只需要找到对应位置直线上的一点即可。换句话说，A,B间任意一点的值只跟A,B有关。由于插值的结果是连续的，所以视觉上会比最小临近法要好一些。线性插值速度稍微要慢一点，但是效果要好不少。如果讲究速度，这是个不错的折衷。 图11，线性插值原理
其他插值方法 立方插值，样条插值等等，他们的目的是试图让插值的曲线显得更平滑，为了达到这个目的，他们不得不利用到周围若干范围内的点，这里的数学原理就不再详述了。 图12，高级的插值原理 如图，要求B,C之间X的值，需要利用B,C周围A,B,C,D四个点的像素值，通过某种计算，得到光滑的曲线，从而算出X的值来。计算量显然要比前两种大许多。 好了，以上就是基本知识。所谓两次线性和两次立方实际上就是把刚才的分析拓展到二维空间上，在宽和高方向上作两次插值的意思。在以上的基础上，有的软件还发展了更复杂的改进的插值方式譬如S-SPline, Turbo Photo等。他们的目的是使边缘的表现更完美。
牛顿插值法的C语言编程
Newton 插值 Newton 插值函数 Newton 插值函数是用差商作为系数，对于01,,,n x x x …这1n +个点，其一般形式为： 00100120101011()[][,]()[,,]()()[,,,]()()() n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x ?=+?+??++???…………对于011,,,n x x x ?…这n 个点， 100100120101012()[][,]()[,,]()()[,,,]()()() n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x ??=+?+??++???…………差商的定义 若已知函数()f x 在点(0,1,2,,)i x i n =???处的函数值()i f x 。则称： 00[]()f x f x =为函数()f x 在点0x 的0阶差商； 100110 [][] [,]f x f x f x x x x ?= ?为函数()f x 关于01,x x 的1阶差商； 120101220 [,][,] [,,]f x x f x x f x x x x x ?= ?为函数()f x 过点012,,x x x 的2阶差商； 依此类推，一般地称 121012101210 [,,,,][,,,,] [,,,,,]k k k k k k k f x x x x f x x x x f x x x x x x x ??????????????= ?为函数()f x 关于01,,,k x x x ???的 k 阶差商。 表1 差商表 i x ()i f x 1阶差商 2阶差商 3阶差商 4阶差商 0x 1x 2x 3x 4x …… 0()f x 1()f x 2()f x 3()f x 4() f x …… 01[,]f x x 12[,]f x x 23[,]f x x 34[,]f x x …… 012[,,]f x x x 123[,,]f x x x 234[,,] f x x x …… 0123[,,,]f x x x x 1234[,,,] f x x x x …… 01234[,,,,]f x x x x x …… 根据Newton 插值函数编写的C 语言编程 根据Newton 插值函数并对照上面的差商表，可编写出Newton 插值法的C 语言程序如下： #include
二次插值算法
二次插值法亦是用于一元函数在确定的初始区间内搜索极小点的一种方法。它属于曲线拟合方法的范畴。 一、基本原理 在求解一元函数的极小点时，常常利用一个低次插值多项式来逼近原目标函数，然后求该多项式的极小点(低次多项式的极小点比较容易计算)，并以此作为目标函数的近似极小点。如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时，可以反复使用此法，逐次拟合，直到满足给定的精度时为止。 常用的插值多项式为二次或三次多项式，分别称为二次插值法和三次插值法。这里我们主要介绍二次插值法的计算公式。 假定目标函数在初始搜索区间中有三点、和 ，其函数值分别为、和(图1}，且满足，，即满足函数值为两头大中间小的性质。利用这三点及相应的函数值作一条二次曲线，其函数为一个二次多项式 （1） 式中、、为待定系数。
图1 根据插值条件，插值函数与原函数在插值结点、、处函数值相等，得 （2） 为求插值多项式的极小点，可令其一阶导数为零，即 （3） 解式(3)即求得插值函数的极小点（4） 式(4)中要确定的系数可在方程组(2)中利用相邻两个方程消去而得: （5）
（6）将式(5)、(6)代入式(4)便得插值函数极小值点的计算公式： （7）把取作区间内的另一个计算点，比较与两点函数值的大小，在保持两头大中间小的前提下缩短搜索区间，从而构成新的三点搜索区间，再继续按上述 方法进行三点二次插值运算，直到满足规定的精度要求为止，把得到的最后的作为 的近似极小值点。上述求极值点的方法称为三点二次插值法。 为便于计算，可将式(7)改写为 （8） 式中： （9） （10） 二、迭代过程及算法框图 (1)确定初始插值结点 通常取初始搜索区间的两端点及中点为，， 。计算函数值，，，构成三个初始插值结点、、。
克里金插值法
克里金插值法及其适用范围 20 巴任若测绘学院 克里金插值法又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一，由南非矿产工程师D. Matheron于1951年在寻找金矿时首次提出，法国著名统计学家G. Matheron随后将该方法理论化、系统化，并命名为Kriging，即克里金插值法。 1 克里金插值法原理 克里金插值法的适用范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利用克里金插值法进行内插或外推。其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计，无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小[1]。因此，克里金插值法是根据未知样点有限领域内的若干已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方位，与未知样点的相互空间关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进行的一种线性无偏最优估计。 假设研究区域a上研究变量Z（x），在点xi∈A（i=1，2，……，n）处属性值为Z（xi），则待插点x0∈A处的属性值Z（x0）的克里金插值结果Z*（x0）是已知采样点属性值Z（xi）（i=1，2，……，n）的加权和，即：
)()(10* i n i i x Z x Z ∑==λ （1） 式中i λ是待定权重系数。 其中Z(xi)之间存在一定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对方向变化有关，克里金插值方法将研究的对象称“区域化变量” 针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i λ (i=1，2，……，n)满足关系式： 11=∑=n i i λ （2） 以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i λ的方程组： ???????=??==+∑∑==1)n ,2,1)(,(),(101n i i j j i n i i j x x C x x C λμλ， （3） 式中，C （xi ，xj ）是Z(xi)和Z(xj)的协方差函数。 2 国内外研究进展 从克里金方法被提出到现在已有完善的理论，并在很多领域得到
牛顿插值法原理及应用
牛顿插值法 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。 插值函数 插值函数的概念及相关性质[1] 定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点 x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。 定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序 程序框图#include 克里金插值法 克里金插值法又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一，由南非矿产工程师D. Matheron 于1951年在寻找金矿时首次提出，法国著名统计学家G. Matheron 随后将该方法理论化、系统化，并命名为Kriging ，即克里金插值法。 1 克里金插值法原理 克里金插值法的适用范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利用克里金插值法进行内插或外推。其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计，无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小[1]。因此，克里金插值法是根据未知样点有限领域内的若干已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方位，与未知样点的相互空间关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进行的一种线性无偏最优估计。 假设研究区域a 上研究变量Z （x ），在点x i ∈A （i=1，2，……，n ）处属性值为Z （x i ），则待插点x 0∈A 处的属性值Z （x 0）的克里金插值结果Z*（x 0）是已知采样点属性值Z （x i ）（i=1，2，……，n ）的加权和，即： )()(10* i n i i x Z x Z ∑==λ （1） 式中i λ是待定权重系数。 其中Z(x i )之间存在一定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对方向变化有关，克里金插值方法将研究的对象称“区域化变量” 针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数 i λ (i=1，2，……， n)满足关系式： 11=∑=n i i λ （2） 以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i λ的方程组： 插值方法在图像处理中的应用 作者： 专业姓名学号 控制工程陈龙斌 控制工程陈少峰 控制工程殷文龙 摘要 本文介绍了插值方法在图像处理中的应用。介绍了典型的最近邻插值、双线性插值、双三次插值、双信道插值、分形插值的原理。以分形插值为重点，在图像放大领域用MATLAB进行仿真，并与其它方法的结果做了比对。指出了各种方法的利弊，期待更进一步的研究拓展新的算法以及改进现有算法。 一、引言 人类通过感觉器官从客观世界获取信息，而其中一半以上的信息都是通过视觉获得的。图像作为人类视觉信息传递的主要媒介，具有声音、语言、文字等形式无法比拟的优势，给人以具体、直观的物体形象。在数字化信息时代，图像处理已经成为重要的数据处理类型。数字图像比之传统的模拟图像处理有着不可比拟的优势。一般采用计算机处理或者硬件处理，处理的内容丰富，精度高，变通能力强，可进行非线性处理。但是处理速度就会有所不足。图像处理的主要内容有：几何处理、算术处理、图像增强、图像复原、图像重建、图像编码、图像识别、图像理解等。以上这些图像处理大体上可分为图像的像质改善、图像分析和图像重建三大部分。 日常生活中，越来越多的领域需要高分辨率图像，采用图像插值技术来提高数字图像的分辨率和清晰度，从软件方面进行改进就具有十分重要的实用价值。多媒体通信在现代网络传输中扮演重要角色，因此插值放大提高图像分辨率是一个非常重要的问题。此外，图像变换被广泛用于遥感图像的几何校正、医学成像以及电影、电视和媒体广告等影像特技处理中。在进行图像的一些几何变换时，通常都会出现输出像素坐标和输入栅格不重合的现象，也必须要用到图像插值。图像插值是图像处理中图像重采样过程中的重要组成部分，而重采样过程广泛应用于改善图像质量、进行有损压缩等，因而研究图像插值具有十分重要的理论意义和实用价值。 图像插值是一个数据再生过程。由原始图像数据再生出具有更高分辨率的图像数据。分为图像内插值和图像间插值。前者指将一幅较低分辨率的图像再生出一幅较高分辨率的图像。后者指在若干幅图像之间再生出几幅新的图像。插值过程就是确定某个函数在两个采样点之间的数值时采用的运算过程．通常是利用曲线拟合的方法进行插值算法，通过离散的输入采样点建立一个连续函数，用这个重建的函数求出任意位置处的函数值，这个过程可看作是采样的逆过程。 20世纪40年代末，香农提出了信息论，根据采样定理，若对采样值用sinc函数进行插值，则可准确地恢复原函数，于是sinc函数被接受为插值函数，也称为理想插值函数。理想插值函数有两个缺点： （1）它虽然对带限信号可以进行无错插值，但实际中带限信号只是一小部分信号。 （2）sinc函数的支撑是无限的，而没有函数既是带限的，又是紧支撑的。 为了解决这个问题，经典的办法是刚窗函数截断sinc函数，这个窗函数必须在0剑l 之间为正数，在l到2之间为负数。sinc函数对应的是无限冲激响应，不适于有限冲激相应来进行局部插值。对数字图像来说，对图像进行插值也称为图像的重采样。它分为两个步骤：将离散图像插值为连续图像以及对插值结果图像进行采样。 经典的图像插值算法是利用邻近像素点灰度值的加权平均值来计算未知像素点处的灰度值，而这种加权平均一般表现表现为信号的离散采样值与插值基函数之间的二维卷积。这种基于模型的加权平均的图像插值方法统称为线性方法。经典的插值方法有：最近邻域法，双线性插值，双三次B样条插值，双三次样条插值，sinc函数等。线性方法，它们一个共同点就是，所有这些基函数均是低通滤波器，对数据中的高频信息都具有滤除和抑制效应，因 牛顿插值法的分析与应用 学生： 班级： 学号： ： 指导教师： 成绩： 一．定义 )(x f 关于i x 的零阶差商 )(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商 i j i j j i x x x f x f x x f --= ][][],[ 依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商 i k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --= +-+++++] ,,[],,[],,,[111 二. 牛顿插值多项式 设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0 =，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件 )()(k k n x f x N =，n k ,,1,0 = 的n 次多项式 )()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N 为Newton 插值多项式，称 ],[,)(],,,[)()()(0 10b a x x x x x x f x N x f x E n j j n n ∈-=-=∏= 为插值余项。 三.算法 步骤1：输入节点（xj ，yj ），精度ξ，计值点xx ，f0→p ，1→T ，1→i ； 步骤2：对k=1，2，……，i 依次计算k 阶均差 f[xi-k,xi-k+1,…,xi] = (f[xi-k+1,…,xi]- f[xi-k,…,xi])/( xi -xi-k ) 步骤3：（1）、若| f[x1,…,xi]- f[x0,…,xi-1]|< ξ，则p 为最终结果Ni-1(x)，余项Ri-1= f[x0,…,xi](xx-xi-1)T 。 （2）、否则(xx-xi-1)*T →T ，p+ f[x0,…,xi]*T →p ，转步骤4。 步骤4：若i 实验二插值法 1、实验目的： 1、掌握直接利用拉格郎日插值多项式计算函数在已知点的函数值；观察拉格郎日插值的龙格现象。 2、了解Hermite插值法、三次样条插值法原理，结合计算公式，确定函数值。 2、实验要求: 1)认真分析题目的条件和要求，复习相关的理论知识，选择适当的解决方案和算法； 2)编写上机实验程序，作好上机前的准备工作； 3)上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果（包括必要的中间结果）； 4)分析和解释计算结果； 5)按照要求书写实验报告； 3、实验内容： 1) 用拉格郎日插值公式确定函数值；对函数f(x)进行拉格郎日插值，并对f(x)与插值多项式的曲线作比较。 已知函数表：（0.56160,0.82741）、（0.56280,0.82659）、（0.56401,0.82577）、（0.56521,0.82495）用三次拉格朗日插值多项式求x=0.5635时函数近似值。 2) 求满足插值条件的插值多项式及余项 1) 4、题目：插值法 5、原理： 拉格郎日插值原理： n次拉格朗日插值多项式为：L n (x)=y l (x)+y 1 l 1 (x)+y 2 l 2 (x)+…+y n l n (x) n=1时，称为线性插值， L 1(x)=y (x-x 1 )/(x -x 1 )+y 1 (x-x )/(x 1 -x )=y +(y 1 -x )(x-x )/(x 1 -x ) n=2时，称为二次插值或抛物线插值， L 2(x)=y (x-x 1 )(x-x 2 )/(x -x 1 )/(x -x 2 )+y 1 (x-x )(x-x 2 )/(x 1 -x )/(x 1 -x 2 )+y 2 (x -x 0)(x-x 1 )/(x 2 -x )/(x 2 -x 1 ) n=i时， Li= （X-X0）……(X-X i-1)(x-x i+1) ……(x-x n) （X-X0）……(X-X i-1)(x-x i+1) ……(x-x n) 6、设计思想： 拉格朗日插值法是根据n + 1个点x0, x1, ... x n(x0 < x1 < ... x n)的函数值f (x0), f (x1) , ... , f (x n)推出n次多項式p(x)，然后n次多項式p (x)求出任意的点x对应的函数值f (x)的算法。 7、对应程序： 1 ) 三次拉格朗日插值多项式求x=0.5635时函数近似值 #include"stdio.h" #define n 5 void main() { int i,j; float x[n],y[n]; float x1; float a=1; float b=1; float lx=0; printf("\n请输入想要求解的X：\n x="); scanf("%f",&x1); printf("请输入所有点的横纵坐标：\n"); for(i=1;i 克里金插值法及其适用范围 29 巴任若测绘学院 克里金插值法又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一，由南非矿产工程师D. Matheron于1951年在寻找金矿时首次提出，法国著名统计学家G. Matheron随后将该方法理论化、系统化，并命名为Kriging，即克里金插值法。 1 克里金插值法原理 克里金插值法的适用范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利用克里金插值法进行内插或外推。其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计，无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小[1]。因此，克里金插值法是根据未知样点有限领域内的若干已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方位，与未知样点的相互空间关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进行的一种线性无偏最优估计。 假设研究区域a上研究变量Z（x），在点xi∈A（i=1，2，……，n）处属性值为Z（xi），则待插点x0∈A处的属性值Z（x0）的克里金插值结果Z*（x0）是已知采样点属性值Z（xi）（i=1，2，……，n）的加权和，即： )()(10* i n i i x Z x Z ∑==λ （1） 式中i λ是待定权重系数。 其中Z(xi)之间存在一定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对方向变化有关，克里金插值方法将研究的对象称“区域化变量” 针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i λ (i=1，2，……，n)满足关系式： 11=∑=n i i λ （2） 以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i λ的方程组： ???????=??==+∑∑==1)n ,2,1)(,(),(101n i i j j i n i i j x x C x x C λμλ， （3） 式中，C （xi ，xj ）是Z(xi)和Z(xj)的协方差函数。 2 国内外研究进展 从克里金方法被提出到现在已有完善的理论，并在很多领域得到了实际的应用，在某些领域的应用又推动了克里金理论的发展[3]。它的发展可归纳为四个时期，每个时期都是以每一届地质统计学大会的召开为标志。第一时期，初次提出了地质统计学理论，将地质统计学与传统的统计学分开，且提出了区域化变量、简单克里金、普通克 《财务管理》教学中插值法的快速理解和掌握 摘要在时间价值及内部报酬率计算时常用到插入法，但初学者对该方法并不是很容易理解和掌握。本文根据不同情况分门别类。利用相似三角形原理推导出插入法计算用公式。并将其归纳为两类：加法公式和减法公式，简单易懂、理解准确、便于记忆、推导快捷。 关键词插入法；近似直边三角形；相似三角形 时间价值原理正确地揭示了不同时点上资金之间的换算。是财务决策的基本依据。为此，财务人员必须了解时间价值的概念和计算方法。但在教学过程中。笔者发现大多数教材插值法(也叫插入法)是用下述方法来进行的。如高等教育出版社2000年出版的《财务管理学》P62对贴现期的。 事实上，这样计算的结果是错误的。最直观的判断是：系数与期数成正向关系。而4.000更接近于3.791。那么最后的期数n应该更接近于5，而不是6。正确结果是：n=6-0.6=5.4(年)。由此可见，这种插入法比较麻烦，不小心时还容易出现上述错误。 笔者在教学实践中用公式法来进行插值法演算，效果很好，现分以下几种情况介绍其原理。 一、已知系数F和计息期n。求利息率i 这里的系数F不外乎是现值系数(如：复利现值系数PVIF年金现值系数PVIFA)和终值系数(如：复利终值系数FVIF、年金终值系数FVIFA)。 (一)已知的是现值系数 那么系数与利息率(也即贴现率)之间是反向关系：贴现率越大系数反而越小，可用图1表示。 图1中。F表示根据题意计算出来的年金现值系数(复利现值系数的图示略有不同，在于i可以等于0，此时纵轴上的系数F等于1)，F为在相应系数表中查到的略大于F的那个系数，F对应的利息率即为i。查表所得的另一个比F略小的系数记作F，其对应的利息率为i。 牛顿插值法在处理磁化曲线和铁损曲线 中的应用 指导老师：李国霞 院系：物理工程学院 专业：物理电子学 姓名：夏委委 学号：201112131526 一、牛顿插值法简介 在科学研究与其他领域中所遇到的许多实际问题中，经常会出现函数不便于处理或计算的情形。有时候函数关系没有明显的解析表达式，需要根据实验数据或其他方法来确定与自变量的某些值相对应的函数值；有时候函数虽有明显的解析表达式，但是使用很不方便。因此，在实际应用中，往往需要对实际使用的函数建立一个简单的便于处理和计算的近似表达式，即用一个简单的函数表达式来近似替代原来复杂的函数。与用近似数代替准确值一样，这也是计算法中最基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近。用多项式逼近列表函数的问题即为多项式插值问题。根据函数)(x f 已有的数据表格来计算函数)(x f 在一些新的点x 处的函数值，这就是插值法所要解决的问题。因此，所谓的插值法就是在所给定的函数表格中间在插入一些所需要的新的点上的函数值。 插值法的基本思想：首先设法根据表格中已有的函数值来构造一个简单的函数)(x y 作为)(x f 的近似表达式，然后再用)(x y 来计算新的点上的函数值作为 )(x f 的近似值。通常可以选用多项式函数作为近似函数)(x y ，因为多项式具有 各阶的导数，求值比较方便。用代数多项式作为工具研究插值问题，通常称为代数插值。 代数插值法问题的完整提法如下：设函数)(x f y =在区间[]b a ,上是连续的，且已知)(x f 在区间[]b a ,上1+n 个互异点处的函数值，即n i x f y i i ,......1,0),(== 其中，)(j i x x j i ≠≠。寻找一个次数不高于 n 的多项式 0111)(a x a x a x a x P n n n n n +++=-- 使满足条件n i x f x P i i n ,,1,0),()( ==称)(x P n 为)(x f 的插值多项式，),,1,0(n i x i =称为插值结点，[]b a ,称为插值区间。 牛顿(Newton)插值是数值逼近中的一个重要部分,它向前继承了拉格朗日(Lagrange)插值,向后引出了埃尔米特(Hermite)插值,可以看作对多项式插值作了一个简单的统一。牛顿插值公式具有形式简单,便于计算等优点。因此,在插值中得到广泛的应用。牛顿插值公式为)()()(x R x P x f n n +=，其中)(x P n 是牛顿插值多项式，)(x R n 为牛顿插值余项，)(x P n 和)(x R n 的表达式如下式所示： 摘要在时间价值及内部报酬率计算时常用到插入法，但初学者对该方法并 不是很容易理解和掌握。本文根据不同情况分门别类。利用相似三角形原理推 导出插入法计算用公式。并将其归纳为两类：加法公式和减法公式，简单易懂、理解准确、便于记忆、推导快捷。 关键词插入法；近似直边三角形；相似三角形 时间价值原理正确地揭示了不同时点上资金之间的换算。是财务决策的基 本依据。为此，财务人员必须了解时间价值的概念和计算方法。但在教学过程中。笔者发现大多数教材插值法(也叫插入法)是用下述方法来进行的。如高等 教育出版社2000年出版的《财务管理学》P62对贴现期的。 事实上，这样计算的结果是错误的。最直观的判断是：系数与期数成正向 关系。而4.000更接近于3.791。那么最后的期数n应该更接近于5，而不是6。正确结果是：n=6-0.6=5.4(年)。由此可见，这种插入法比较麻烦，不小心时还容易出现上述错误。 笔者在教学实践中用公式法来进行插值法演算，效果很好，现分以下几种 情况介绍其原理。 一、已知系数F和计息期n。求利息率i 这里的系数F不外乎是现值系数(如：复利现值系数PVIF年金现值系数PVIFA)和终值系数(如：复利终值系数FVIF、年金终值系数FVIFA)。 (一)已知的是现值系数 那么系数与利息率(也即贴现率)之间是反向关系：贴现率越大系数反而越小，可用图1表示。 图1中。F表示根据题意计算出来的年金现值系数(复利现值系数的图示略 有不同，在于i可以等于0，此时纵轴上的系数F等于1)，F为在相应系数表 中查到的略大于F的那个系数，F对应的利息率即为i。查表所得的另一个比F 略小的系数记作F，其对应的利息率为i。 克里金(Kriging)插值 克里金(Kriging)插值法又称空间自协方差最佳插值法，它是以南非矿业工程师D．G．Krige的名字命名的一种最 优内插法。克里金法广泛地应用于地下水模拟、土壤制图等领域，是一种很有用的地质统计格网化方法它 首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布．确定对一个待插点值有影响的距离范围，然后用此范围 内的采样点来估计待插点的属性值。该方法在数学上可对所研究的对象提供一种最佳线性无偏估计(某点 处的确定值)的方法。它是考虑了信息样品的形状、大小及与待估计块段相互间的空间位置等几何特征以 及品位的空间结构之后，为达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每一个样品赋与一定的系数，最后 进行加权平均来估计块段品位的方法。但它仍是一种光滑的内插方法在数据点多时，其内插的结果可信 度较高。 克里金法类型分常规克里金插值(常规克里金模型／克里金点模型)和块克里金插值。常规克里金插值 其内插值与原始样本的容量有关，当样本数量较少的情况下，采用简单的常规克里金模型内插的结果图会 出现明显的凹凸现象；块克里金插值是通过修改克里金方程以估计子块B内的平均值来克服克里金点模 型的缺点，对估算给定面积实验小区的平均值或对给定格网大小的规则格网进行插值比较适用。块克里金 插值估算的方差结果常小于常规克里金插值，所以，生成的平滑插值表面不会发生常规克里金模型的凹凸 现象。按照空间场是否存在漂移(drift)可将克里金插值分为普通克里金和泛克里金，其中普通克里金 (Ordinary Kriging简称OK法)常称作局部最优线性无偏估计．所谓线性是指估计值是样本值的线性组 合，即加权线性平均，无偏是指理论上估计值的平均值等于实际样本值的平均值，即估计的平均误差为0， 最优是指估计的误差方差最小。 插值法的应用与比较 信科1302 万贤浩 13271038 1格朗日插值法 在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式.数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起. 1.1拉格朗日插值多项式 图1 已知平面上四个点：(?9, 5), (?4, 2), (?1, ?2), (7, 9)，拉格朗日多项式：)(x L （黑色）穿过所有点.而每个基本多项式：)(00x l y ,)(11x l y , )(22x l y 以及)(x l y ??各穿过对应的一点，并在其它的三个点的x 值上取零. 对于给定的若1+n 个点),(00y x ,),(11y x ,………),(n n y x ，对应于它们的次数不超过n 的拉格朗日多项式L 只有一个.如果计入次数更高的多项式，则有无穷个，因为所有与L 相差 ))((10x x x x --λ……)(n x x -的多项式都满足条件. 对某个多项式函数，已知有给定的1+k 个取值点： ),(00y x ,……,),(k k y x , kriging 插值作为地统计学中的一种插值方法由南非采矿工程师D.G.Krige于1951年首次提出，是一种求最优、线形、无偏的空间内插方法。在充分考虑观测资料之间的相互关系后，对每一个观测资料赋 予一定的权重系数，加权平均得到估计值。 这里介绍普通Kriging插值方法的基本步骤：1.该方法中衡量各点之间空间相关程度的测度是半方 差，其计算公式为： h为各点之间距离，n 是由h 分开的成对样本点的数量，z 是点的属性值。 2.在不同距离的半方差值都计算出来后，绘制半方差图，横轴代表距离，纵轴代表半方差。半方差图中有三个参数nugget（表示距离为零时的半方差）,sill（表示基本达到恒定的半方差值）,range(表示一个值域范围，在该范围内半方差随距离增加，超过该范围，半方差值趋于恒定)。利用做出的半方差图找出与之拟合的最好的理论变异函数模型（这是关键所在），可用于拟合的模型包括高斯模型、线性模型、球状 模型、指数模型、圆形模型。 ----球状模型，球面模型空间相关随距离的增长逐渐衰减，当距离大于球面半径后，空间相关消失。 3.用拟合的模型计算出三个参数。例如球状模型中nugget为c0，range为a，sill为c。 4．利用拟合的模型估算未知点的属性值，方程为： ，z0为估计值，zx是已知点的值，wx为权重，s是用来估算未知点的 已知点的数目。 假如用三个点来估算，则有 这样权重就可以求出，然后估算未知点。 （上述内容根据《地理信息系统导论》（Kang-tsung Chang著；陈健飞等译，科学出版社，2003）第十三章内容进行总结，除球状模型公式外其余公式皆来自此书） 下面是本人自己编写的利用海洋中断面上观测站点的实测温度值来估算未观测处的温度的Fortran程序，利用距离未知点最近的五个观测点来估算未知点的温度，选用模型为球状模型。 do ii=1,nx if(tgrid(ii,1)==0.)then do i=1,dsite(ii) !首先寻找距离最近的五个已知点位置 do j=1,nh if(d(mm(ii),j).ne.0.or.j==1)then hmie(j)=d(mm(ii),j)-dgrid(i) else hmie(j)=9999 end if hmid(j)=abs(hmie(j)) end do do j=1,nh do k=j,nh if(hmid(j) 实验报告内容： 一：不动点迭代法解方程 二：牛顿插值法的MATLAB实现 完成日期：2012年6月21日星期四 数学实验报告一 日期：2012-6-21 所以，确定初值为x0=1 二：不断迭代 算法： 第一步：将f(x0)赋值给x1 第二步：确定x1-x0的绝对值大小，若小于给定的误差值，则将x1当做方程的解，否则回到第一步 编写计算机程序： clear f=inline('0.5*sin(x)+0.4'); x0=1; x1=f(x0); k=1; while abs(x1-x0)>=1.0e-6 x0=x1; x1=f(x0); k=k+1; fprintf('k=%.0f,x0=%.9f,x1=%.9f\n',k,x0,x1) end 显示结果如下： k=2,x0=0.820735492,x1=0.765823700 k=3,x0=0.765823700,x1=0.746565483 k=4,x0=0.746565483,x1=0.739560873 k=6,x0=0.736981783,x1=0.736027993 k=7,x0=0.736027993,x1=0.735674699 k=8,x0=0.735674699,x1=0.735543758 k=9,x0=0.735543758,x1=0.735495216 k=10,x0=0.735495216,x1=0.735477220 k=11,x0=0.735477220,x1=0.735470548 k=12,x0=0.735470548,x1=0.735468074 k=13,x0=0.735468074,x1=0.735467157 >>。。。 以下是程序运行截图： 目录： 一、 引言 二、 插值及多项式插值的介绍 三、 拉格朗日插值的理论及实验 四、 拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式 五、 参考文献 一、引言 插值在数学发展史上是个古老问题。插值是和拉格朗日（Lagrange ）、牛顿（Newton ）、高斯（Gauss ）等著名数学家的名字连在一起的。在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。插值法有很丰富的历史渊源，它最初来源人们对天体研究——有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的位置（插值点和插值）。现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。 二、插值及多项式插值 1、插值问题的描述 设已知某函数关系()y f x =在某些离散点上的函数值： 插值问题：根据这些已知数据来构造函数()y f x =的一种简单的近似表达式，以便于计算点,0,1,,i x x i n ≠=的函数值()f x ，或计算函数的一阶、二阶导数 值。 2、插值的几何意义 x x 0 y y 1 y 1 n y -n y 1 x 1 n x -n x 插值的几何意义如图1所示： 图1 3、多项式插值 基本概念 假设()y f x =是定义在区间,a b ????上的未知或复杂函数，但一直该函数在点01n a x x x b ≤<< <≤处的函数值01,,n y y y 。找一个简单的函数，例如函数 ()P x ，使之满足条件 (),0,1,2, ,,i P x y i n == （） 通常把上述01n x x x << < 称为插值节点，把()P x 称为()f x 的插值多项 式，条件（）称为插值条件，并把求()P x 的过程称为插值法。 插值多项式的存在性和唯一性 如果插值函数是如下m 次的多项式： 1011()m m m m m P x a x a x a x a --=++ + 那么插值函数的构造就是要确定()m P x 表达式中的m+1个系数 011,, ,m m a a a a -。由于插值条件包含n+1独立式，只要m=n 就可证明插值函数多 项式是唯一存在。 实际上，由n+1个插值条件可得 克里金插值法 克里金插值法又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一，由南非矿产工程师D. Matheron 于1951年在寻找金矿时首次提出，法国著名统计学家G. Matheron 随后将该方法理论化、系统化，并命名为Kriging ，即克里金插值法。 1 克里金插值法原理 克里金插值法的适用范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利用克里金插值法进行内插或外推。其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计，无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小[1]。因此，克里金插值法是根据未知样点有限领域内的若干已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方位，与未知样点的相互空间关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进行的一种线性无偏最优估计。 假设研究区域a 上研究变量Z （x ），在点x i ∈A （i=1，2，……，n ）处属性值为Z （x i ），则待插点x 0∈A 处的属性值Z （x 0）的克里金插值结果Z*（x 0）是已知采样点属性值Z （x i ）（i=1，2，……，n ）的加权和，即： )()(10* i n i i x Z x Z ∑==λ （1） 式中i λ是待定权重系数。 其中Z(x i )之间存在一定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对方向变化有关，克里金插值方法将研究的对象称“区域化变量” 针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数 i λ (i=1，2，……， n)满足关系式： 11=∑=n i i λ （2） 以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i λ的方程组：克里金插值法
插值法在图像处理中的运用要点
牛顿插值法的分析与应用
插值法实验报告
克里金插值法
插值法的原理
牛顿插值法的应用
《财务管理》教学中插值法的快速理解和掌握
克里金插值
几种插值法的应用和比较
克里金插值法的详细介绍。kriging。
matlab(迭代法-牛顿插值)Word版
拉格朗日插值法理论及误差分析
克里金插值法(参考内容)