代数,环及其表示
代数,环及其表示
A．法齐尼，K．富勒等编
Alberto Facchini,Universita di padova,Italy
Kent Fuller,University of Iowa,USA
Claus M Ringel,Universit?t Bielefeld,Germany
Catarina Santa?Clara,Universidade de
Lisboa,Portugal(Eds.)
Algebras, Rings and Their
Representations
Proceedings of The International
Conference on Algebras,Modules and
Rings
2006,371pp.
Hardback USD:98.00
ISBN 9789812565983
本书是为纪念葡萄牙著名数学家A.A.Costa(1903~1978)诞辰100周年而举办的国际会议论文集。本次会议于2003年7月14~18日在葡萄牙里斯本举行。主题关于代数、模及环。与会者共151人，来自33个国家和地区(多数来自欧洲
及北美)。会议期间有9个邀请报告，9个大会报告及85个一般性报告，它们涉及环论、模论、代数表示论及其它有关论题，特别是非交换代数几何。
本书卷首是一篇关于A.A.Costa教授生平和成就的专文。正文共收由大会报告中选取的22篇论文，其中一些出自当代权威学者之手。部分论文作者和题目如下：①https://www.360docs.net/doc/bf15109224.html,m:隅角环论：Peirer分解的一般化(I)；②B.L.Osofsky:拟行列式及可除环上多项式的右根；③L.S.Levy等：交换Noether环的表示型；④A.Facchini等：无穷投射生成元和；⑤P.F.Smith:与挠率理论有关的内射维数；⑥Alina Alb:拓扑模的余反射范畴；⑦I.Mori:非交换射影概型及点概型；⑧A.Rotakh:共形代数的结构和表示；⑨M.Ursul:可数紧环上的结构定理。
本书中一些论文较全面综述了有关研究的最新进展，包括若干新的研究问题，对于有关专业科研人员、研究生是一本有价值的参考文献。
朱尧辰，研究员
(中国科学院应用数学研究所)
Zhu Yaochen, Professor
(Institute of Applied Mathematics,the Chinese Academy of Sciences)
近世代数第四章 环与域题解讲解
第四章环与域 §1 环的定义 一、主要内容 1．环与子环的定义和例子。在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环． 2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件： 二、释疑解难 1．设R是一个关于 代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即 就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序． 2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．
1． 2．
3． 4． 5．
6． 7． 8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环． §4．2 环的零因子和特征 一、主要内容 １．环的左、右零因子和特征的定义与例子． 2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数． 这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶． 3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难 １．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然． 但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素??? ? ??0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵 ),(00Q y x y x ∈???? ? ??
数与代数-比和比例
《比和比例》教学反思 固安县第五中学小学部刘海娟 这节课我设计的内容还是比较多的，知识链接、自主学习、合作探究、巩固练习、拓展延伸等，而且由于比和比例是这学期的重点内容，所以本节课我出的练习题在程度上有易到难。 首先以提问的方式，引导学生复习比和比例的基础知识，比较他们的联系与区别。引导学生重温，比和比例的意义、各部分名称、比和比例的基本性质体现让学生自主归纳的思想。第二仍然借助表格的的方式梳理比和除法、分数的联系和区别把学生分散的知识点进行整合，学会整体地、一般性地把握知识，是知识融会贯通，体会变中有不变的思想。第三让学生回顾比值的意义，怎样求比值，怎样化简比。第四是让学生复习正比例和反比例的概念。通过举生活中反比例和正比例的例子，培养学生的函数思想 合作探究环节，把学生分成四大组，让学生给自己组取名，把比和比例分成“比和比例的意义”、“比和比例的性质”、“求比值和化简比”、“比例尺”“正比例和反比例”五大块，让每一组确定本组的一个研究主题，然后分组研究本部分的知识包含哪些我们需要掌握的内容，有哪些重点和难点，最后拟定五个问题。要求这五个问题反映本组全体同学的水平，它们要能基本概括你们所研究主题的全部内容以及重点难点，而且为了本组能取得好成绩，提出的问题要有价值，要有一定的思考性。然后依次向其
它小组提问．请他们作答。 本单元的知识综合性比较强，比例的概念与比、除法、分数等相关，解比例及用比例方法解决问题，要用到方程的相关知识。归一、归总应用题和比例应用题有关。因此，我在教学中注意注意新旧知识间的联系，在教学《比例的意义》时，我是先让学生运用已有知识求比值，然后引导学生比较比值相同的比，让学生发现比值相同的比可以用等号连接，这样就组成了比例，充分利用原有知识过度到新知识。在此基础上又引导学生计算比例中两内项的积与两外项的积，进行比较，让学生发现并总结《比例的基本性质》。然后运用比例的基本性质解决问题，即解比例。在学《解比例》时，应用比的基本性质，将含有未知数的比例，转化为已有知识——解方程，在学《比例》的应用时，我由原来的归一、归总应用题引入。理解它们的内在联系，使知识系统化。重视基本概念的教学。 比例、正比例、反比例是本单元学习的几个基本概念，学习比例的相关知识以及比例的应用都有赖于对这些概念的理解和掌握。如解答含正反比例关系的实际问题，首先要对两个量成何比例做出判断，然后依据正比例或反比例数量关系的特点解答。我在教学中注意引导学生通过观察、比较等方法帮助学生建立清晰的概念，理解和把握概念的内涵。在判断两个量是否成比例，成什么比例时一定让学生说出理由。明显的如差一定，被减数和减数不成比例，学生很清楚。但是x/3=y，x和y成什么比例时判断比较吃力。个别学生不知道如何判断。针对这种情况，我结合路程、速
数和代数数的认识
数与代数数的认识（3） 教学目标： 通过复习练习，进一步掌握分数、百分数、小数的互化的方法。进一步掌握分数、小数等有关性质。 教学重点、难点：分数、百分数、小数的互化的方法。分数、小数等有关性质。 教学设计： 一、复习小数、分数、百分数、成数、折扣等互化 表格出示：给出其中一种，要求转化成另外几种数。学生独立完成后，指名交流，说明转化方法。 0.351/4140%六成五八折 二、分数、小数有关性质及其关系 出示：12÷（）=3/4=（）：36=（）/12=()%
学生独立填写。交流：你是怎样填写的？填写时从哪开始思考？运用了哪些知识？ 三、巩固练习 1、第86页第12题 独立完成，说明填写方法。 引导学生发现：第1小题：后面的数总比前面大，越来越接近1. 第2小题：后面的数总比前面小，越来越接近0 2、第86页第1 3、14题 读题理解要求。再按要求完成。
四、补充练习 填空题 1. 有一个小数，由8个自然数单位，5个十分之一和22个千分之一组成，这个数写作（），读作（），它的计数单位是（）。 2. 六亿零六十万零六十写作（），改写成用“万”作单位是（），省略万后面的尾数是（），精确到亿位是（）。 3. 两个相邻的自然数，它们的差是（）。一个自然数既不是质数又不是合数，与它相邻的两个自然数是（）和（）。 4.如果a+1=b，那么它们的最小公倍数是（），最大公因数是（）。 5. 把0.625的小数点向左移动两位是（），
它缩小了（）倍。 6、如果一个小数的小数点向右移动一位后比原来大了32.4，那么原来这个小数是（） 7. 五个连续自然数的和是200，这五个自然数分别是（）、（）、（）、（）、（）。 8.最大的一位纯小数比最大的两位纯小数小（）；最小的两位纯小数比最小的三位纯小数大（）。 9.两个数的积是70，一个因数扩大100倍，另一个因数缩小10倍，积是（）。 10.按从小到大的顺序排列下列各数： 0.329 1.024 1.60.70510.333……Π0 选择题。 1. 最大的小数单位与最小的质数相差（）。 A. 1.1 B. 1.9 C. 0.9 D. 0.1 2. 一个自然数的最小倍数是18，这个数的约数有（）个。 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
数与代数公式概念
数与代数公式概念 1.自然数和整数 2.正数和负数 3.因数与倍数 4.奇数与偶数 5.2、3、5的倍数 6.质数与合数 7.公因数与公倍数 8.小数 9.分数和百分数10.比和比例 11.正比例和反比例12.等式与方程 一、整数和小数 1.自然数用来表示物体个数的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10……叫做自然数。 2.整数自然数都是整数，整数不都是自然数。 3.小数把整体“1”平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份分别是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数来表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…… 3．小数点左边是整数部分，依次是个位、十位、百位、千位……；小数点右边是小数部分，依次是十分位、百分位、千分位…… 4.混小数（带小数）小数的整数部分不为零的小数叫混小数，也叫带小数。 5.纯小数小数的整数部分为零的小数，叫做纯小数。 6.循环小数小数部分一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。例如：0.333……，1.2470470470……都是循环小数。 7.纯循环小数循环节从十分位就开始的循环小数，叫做纯循环小数。 8.混循环小数与纯循环小数有唯一的区别：不是从十分位开始循环的循环小数，叫混循环小数 9.有限小数小数的小数部分只有有限个数字的小数（不全为零）叫做有限小数。 10.无限小数小数的小数部分有无数个数字（不包含全为零）的小数，叫做无限小数。循环小数都是无限小数，无限小数不一定都是循环小数。例如，圆周率π也是无限小数。 5．整数和小数都是按照十进制计数法写出的数。 6．小数的性质：小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变。 7．小数点向右移动一位、二位、三位……原来的数就扩大10倍、100倍、1000倍…… 小数点向左移动一位、二位、三位……原来的数就缩小10倍、100倍、1000倍…… 二、数的整除 1．整除：整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而且没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。 2．约数、倍数：如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 3．一个数倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
六下数与代数测试题及答案精选
六下数与代数测试题及答案精选 测试时间60分钟 一、数的知识，我会填. 1、由５个百，４个十，６个一，８个０.０１组成的数是（）， 读作（）. 2、把2007465000 四舍五入到万位记作（）万，省略亿后面 的尾数是（）亿. 3、0.834，，83.3%，0.83…这四个数中最小的数是（），最大的数是 （），（）和（）是相等的. 6 5 4、０.４５＝（）÷４＝（-- ）＝（）:（）＝（） 成（）. 5、找规律填空. 1 ，4 ，9 ，16 ，25 ，（），（），64 ，81 6、学校买来１２跟跳绳，每根ａ元，一共用去（）元. 7、甲数是８，乙数是11，乙数与甲数的比是（），甲数与甲乙两 数的和的比是（）. 8、每块砖的面积一定，用砖的块数和铺地面积成（）比例. 二、数的知识，我会判断.（对的打“√”号，错的打“×”号.） 1、所有的自然数不是质数就是合数. （）2、2.4 和 2.40 相等，因此它们的计数单位也相等. （）3、真分数都小于1，假分数等于或大于 1. （）4、比的前项和后项都乘或除以相同的数，比值不变. （）5、y＋715 是方程. （） 三、数的知识，我会选.（按要求把答案的序号填入括号里） 1、下列说法正确的是（）. A、0 是最小的数 B、0 既是正数又是负数 C、负数比正数小 D、数轴上－4 在－7 的左边 2、一本书降价25%的售价是36 元，原价是（）元. A、9 B、27 C、45 D、48 3、一个两位数，十位上的数字是5，个位上的数字是a，表示这个两位数 的式子是（）. A．50+a B.5+a C.5+10a D.5a 4、两辆车在途中分别统计了两组数据：甲车在小时内行90 千米；乙车 4 3 在小时内行120 千米；则甲车与乙车速度的比是( ). 3 2 A、9：8 B、8：9 C、2：3 D、3：4 5、冬冬乘汽车到外婆家，下午4 时出发，10 小时后到达.到达时他看到的景 象可能是（） A、旭日东升 B、残阳如血 C、星光灿烂 D、骄阳似火 评价等级优良达标待达标 在相应等级上划 “√” 1 / 5
第三章 环与域
第三章 环与域 与群一样，环与域也是两个重要的代数系统。但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了，在哪里，我们有数环和数域的概念，它们实际上就是特殊的环与域。在本章里，我们只是介绍环与域的最基本的性质及几类最重要的环与域，通过本章的学习，将使得我们一方面对数环和数域有更清楚的了解，另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备的基础。 §1 加群、环的定义 一、加群 在环的概念里要用到加群的概念，因此要先介绍一下什么是加群，实际上加群也不是什么新的群，在习惯上，抽象群的代数运算，都是用乘法的符号来表示的，但我们知道，一个代数运算用什么符号表示是没有什么关系的，对于一个交换群来说，它的代数运算在某种场合下，用加法的符号来表示更加方便。 因此，我们通常所说的加群，是指用加法符号表示代数运算的交换群。 由于加法符号与乘法符号有所不同，所以加群的许多运算规则与表示形式就要与乘法表示的群有所不同。如： （1）加群G 的单位元用0表示，叫做零元。即a G ?∈，有 00a a a +=+=。 （2）加群G 的元素a 的逆元用a -表示，叫做a 的负元。即有()0a a a a -+=+-=。
利用负元可定义加群的减法运算：() a b a b -+- 。（3）()a a --=。 （4）a c b c b a +=?=-。 （5）(),() a b a b a b a b -+=----=-+ （6） ( 00 ()() a a a n a n na n n a n +++ ? ? == ? ?-- ? 个相加）为正整数 为负整数 ，且有 (),()(),() ma na m n a m na mn a n a b na nb +=+=+=+ 请同学们在乘法群中写出以上各结论的相应结论。 加群G的一个非空子集S作成一个子群,a b S ??∈，有, a b a S +-∈,a b S ??∈，有a b S -∈。 加群G的子群H的陪集表示为：a H H a +=+。 二、环的定义 设R是一个非空集合，“+”与“。”是两个代数运算，分别叫做加法与乘法，若 1. R对于“+”作成一个加群。 2. R对于“。”是封闭的。 3. ,, a b c R ?∈，有()() a bc a b c =，即乘法适合结合律。 4. ,, a b c R ?∈，有(),() a b c a b a c b c a b a c a +=++=+，即乘法对加法适合左（右）分配律。 则称R关于“+”与“。”作成一个环。 由定义可知，环是一个具有两个代数运算的代数系统，两个代数运算通过分配律联系起来。
数与代数知识要点归纳
数与代数知识要点归纳 与数有关的等式：1、加数＋加数=和 2、被减数-减数=差 3、乘数×乘数=积 4、被除数÷除数=商 知识点一：整数 1、整数的范围 整数包括自然数和负整数，或者说整数由正整数、零、负整数组成。 (1)自然数 自然数的定律：我们在数物体的时候，用来表示物体的个数0,1,2,3,4,5,…..叫做自然数。自然数的个数是无限的，没有最大的自然数。 “0”的含义：“0”表示一个物体也没有，在计数中起占位作用，表示该数位上没有计数单位。“0”还可以表示起点、分界点等。“0”是最小的自然数。 （2）正数 正数的定律以前学过的8、16、200……..这样的数叫做正数。 正数的写法和读法正数前面也可以加“＋”号，例如：＋8读作：正八。“＋”号一般可以省略不写。 （3）负数 负数的定律像－1、－5、－132……这样的数叫做负数。“一”叫负号。 负数的写法和读法负数前面加“一”号，例如：－15读作：负十五。数字越大的负数反而越小。 “0”既不是正数，也不是负数。 （4）整数与自然数的联系及区别 自然数全是整数，整数不全是自然数，还包括负整数。
知识点二：百分数 1、百分数的意义 （1）分母是100的分数叫做百分数。 （2）表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数又叫百分比或百分率。 百分数应用题知识点归纳： 1、求常见的百分率如：达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等。 求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几 2、求一个数比另一个数多（或少）百分之几实际生活中，人们常用增加了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加、或减少的幅度。 求甲比乙多百分之几（甲-乙）÷乙 求乙比甲少百分之几（甲-乙）÷甲 3、求一个数的百分之几是多少一个数（单位“1”）×百分率 4、已知一个数的百分之几是多少，求这个数部分量÷百分率=一个数（单位“1”） 5、折扣几折就是十分之几也就是百分之几十。 6、利率存入银行的钱叫做本金。 取款时银行多支付的钱叫做利息。 利息与本金的比值叫做利率。
数与代数
—、认真读题，谨慎填空 1、（1）计算机技术发展迅速，某计算机在1秒钟能进行7050064000次运算，把这个数改写成用万作单位的数是（ ），省略亿后面的尾数约是（ ）。 （2)—个数，它的亿位上是9,百万位上是7，十万位上和千位上都是5，其余各位都是0，这个数写作（ ），改写成以万作单位的数是（ ），省略万后面的尾数是（ ）万。 （3)一个整数四舍五入省略万后面的尾数后是57万，这个整数最大可能是（ ），最小可能是（ ）。 2、（1）54 里面有（ ）个51。 （2）9.6连续减去（ ）个0.8，结果是0。 （3)43 连续减去（ ）个0.1，结果是0.05。
3、（1)在1、2、6、19、2 4、57中，( )是偶数又是质数，( )是奇数但不是质数。 （2）最小奇数是( )，最小质数是( )，最小合数是( )，既是质数又是偶数的是( )，20以内最大的质数是( )。 （3）1000以内最大的质数是( )。 4、 (1)在72.5%、97 、0.7255、0.7225中,最大的数是( )，最小的数是( )。 （2)商店有三种彩纸，甲种纸4张卖11元，乙种纸5张卖13元，丙种纸6 张卖16元，（ ）种纸最贵。 （3)甲、乙两车运货，每次运的吨数甲车的41与乙车的61 相等，( )车每次运的货物多。 5、(1）把125×88进行简算是125×88=( )×( )×( )。 （2）把125×32×25进行简算是125×32×25=( )。 （3）把3.75×88进行简算是3.75×88=( )。
6、(1）12和12的所有因数之和的比是( )，比值是( )(填分数)。 （2）甲数= 2×3×5，乙数= 2×5×7，甲、乙两数的最大公因数与最小公倍数的最简比是( )。 （3）—个圆周长与它直径之比是( )，比值是( )。 7、(1）三个连续的偶数，最大的一个是x，另外两个分别是( )和( )。（2）三个连续的自然数，中间一个是x，另外两个分别是( )和( )。（3）三个连续奇数的和是x，中间的奇数是( )。 8、(1)小明买了x个海宝，每个海宝40元，他付给售货员100元，那么40x表示( )，100-40x表示( )。 (2)如果每天生产零件m个，生产20天后还剩下n个，这批零件有( )个。 (3)一桶油连桶称7.5千克，用去一半油后，连桶称还重x千克，油重( )千克。
高等代数环的定义与性质
一、 环的定义与基本性质 （一） 环的定义: 1、 定义1:交换群称为加群(Aβελ群),其运算叫 做加法,记为“+”。 2、 定义2:代数系统),;A (?+称为环,若 1)(A,+)就是加群; 2)代数系统);A (?适合结合律; 3)乘法);A (?对加法+的分配律成立。 3、 例子 (1)),;Z (?+、),;Q (?+、),;R (?+、),;C (?+都就是环,均称为数环。 (2)Z[ι] ={α+βι | α、β∈Z,ι2=－1 },则),];i [Z (?+也就是数环,称之为高斯整环。 (3)设Φ就是任一数环,则Φ[ξ]关于多项式加法与乘法作成一个多项式环。 (4)Z ν={所有模ν剩余类},则),;Z (n ?+就是模ν剩余类环,这里[α]＋[β] = [α+β],]b []a [? = [αβ]. (5)设(A,＋)就是加群,规定乘法如下:,A b ,a ∈?αβ=0,则),;A (?+作成一个环,称之为零环。 (二)环的基本性质:
(1)0x a a x =?=+。 (2)a x x a -=?=+0。 (3)c b c a b a =?+=+。 (4)nb na )b a (n +=+。(ν为整数) (5)na ma a )n m (+=+。(μ、ν为整数) (6))na (m a )mn (=。(μ、ν为整数) (7),A a ∈? 000=?=?a a 。 (8)ab )b (a b )a (-=-=-。 (9)ab )b )(a (=--。 (10)ac bc c )a b (,ac ab )c b (a -=--=-。 (11)j m i n j i n j j m i i b a b a ∑∑∑∑=====???? ?????? ??11 11 。 (12))ab (n )nb (a b )na (==。 (ν为整数)。 (13)若环中元a 、b 满足ba ab =,则 ()k n k n k k n n b a C b a -=∑=+0 (14)mn n m n m n m a )a (,a a a ==?+。(μ、ν为整数) (三)交换律与单位元: 1、定义3:环R 叫做交换环,若,R b ,a ∈?有 ba ab = 定义4:环R 的元e 称为单位元,若,R a ∈?有
数与代数概念总汇
1、自然数：表示物体的数量的数，最小的自然数是“0” 自然数也是整数。0是正整数与负整数的分界线。 2、质数 一个数除了1和它本身，不再有其它的约数（因数），这个数叫做质数（质数也叫做素数）。 质数：只有“1”和它本身两个约数的数。最小的质数是“2”。 3、合数 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数 注意：1只有一个约数，就是它本身，1既不是质数，也不是合数。 最小的质数是2，也是质数中唯一的一个偶数，其余的质数均为奇数。 合数：除了“1”和它本身以外还有别的约数的数。最小的合数“4”。 4、互质数：只有公约数“1”的两个数。 5、公约数：两个数公有的约数。 6、公倍数：两个数公有的倍数。 7、质因数：把一个合数分解成几个质数相乘的形式，这几个质数叫作这个合数的质因数。 8、分解质因数：把一个合数分解成几个质数相乘的形式，这个过程叫做分解质因数。 能被2整除数的特征：个位上的数字是0，2，4，6，8 能被3整除数的特征：各位上的数字之和是3的倍数 能被5整除数的特征：个位上的数字是0，5 能被9整除数的特征：各位上的数字之和是9的倍数． 能被4或25整除数的特征：末两位上的数是4或25的倍数． 能被8或125整除数的特征：末三位数是8或125的倍数． 9、偶数 偶数就是可以被2整除的自然数（包括0）也叫做双数。偶数通常用“2k”表示。 10、奇数 奇数就是不能被2整除的自然数，也叫做单数。奇数通常用2k+1表示 小数: 1、小数的基本性质：在小数末尾添上”0”或去掉”0”，小数的大小不变． 2、有限小数：小数部分的位数是有限的。 3、无限小数：小数部分的为数是无限的。` 无限循环小数：小数部分的数位有规律的. 4、无限不循环小数:小数部分没规律(又叫无理数) 5、纯循环小数：从小数部分第一位开始循环` 6、混循环小数：不是从小数部分第一位开始循环 7、循环节:从小数部分的某一位起.开是依次不断重复一个或几个数字.这些数字叫做循环节. 分数
数与代数
数与代数的知识点
整理和复习 一、数与代数 （一）数的认识 定义：像8，16，+1，0.6，+ 4 1 这样的数叫做正数 正数 写法和读法：正数前面加“+”号。如+8读作：“正八” “+”号一般可以省略不写 数 定义：像-1，-10.2，-7.9，-4 1 这样的数叫做负数 负数 写法和读法：负数前面加“-”号。如-15读作：“负十五” 数字越大负数反而越小 比0小的数是负数，比0大的数是正数“0”既不是正数，也不是负数。 正整数 自然数 整数 0 负整数 （自然数全是整数，整数不全是自然数，还包括负整数） 小数：整数部分，小数点，小数部分 数 真分数 分数： 整数1 假分数 带分数 （小数是特殊的分数） 百分数：(1)分母是100的分数叫做百分数。 (2)表示一个数是另一个数的百分 之几的数叫做百分数。百分数又叫百分比或百分率。百分数通常不写成分数形式，而采用符号“%”来表示，叫做百分号。 知识点一：整数 1、读数：从最高位起，一级一级的读。读万级或亿级的数时要按照个级的读法来读，并在后面加上级名。每一级末尾的0都不读，其他数位上不论连续有几个0，只读一个0。 写数：先确定最高位是哪一级的哪个数位，然后从高位起，一级一级往下写，哪一位一个单位也没有，就在哪个数位上写0。 整数部分 小数点 小数部分 亿级 万级 个级 数位 千 百 十 亿 亿 亿 亿 位 位 位 位 千 百 十 万 万 万 万 位 位 位 位 千 百 十 个 位 位 位 位 . 十 百 千...... 分 分 分 计数单位 千 百 十 亿 亿 亿 亿 千 百 十 万 万 万 万 千 百 十 一 (个) 十 百 千...... 分 分 分...... 之 之 之...... 一 一 一...... 有限小数 小数
数与代数4比和比例
比和比例 第1课时 教学内容 教材第84-85页内容及相关练习。 教学 目标 知识与技能：进一步理解比和比例的意义与基本性质，掌握比和分数、除法的关系。 过程与方法：能够正确、迅速地求出比值和化简比。 情感、态度与价值观：应用比的意义求出平面图的比例尺，并根据比例尺求图上距离和实际距离。 教学重点 重点是掌握比和比例的意义与基本性质。 教学难点 难点是根据比例尺求图上距离和实际距离。 教学方法 引导学习，小组合作。 教学准备 课件、学生预先知识整理。 教学过程设计 教学过程 一、比和比例的意义与性质。 比 比例 意义 各部分名称 基本性质 二、 比和分数、除法的关系。 比 前项 比号 后项 比值 分数 除法 【举例】 1、做一做： 5：6= )()(= （ ）÷（ ） 2、化简比。 52 : 4= 2468= 0.12:2 = 三、化简比与求比值有什么不同之处? 一般方法 结果 求比值 化简比 四、解比例: 2 :31:5 3=x 【说一说思路和方法】 五、比例尺： 1、什么叫做比例尺? 2、说出下面各比例尺的具体意义. ①比例尺1:3000000表示 ②比例尺20:1表示
③比例尺表示 3、求比例尺: 【 一条绿化带长350米，在平面图上用7厘米的线段表示。这幅图的比例尺是多少？】 4、求实际距离：【在比例尺是80000001 的地图上，量得A 到B 的距离是5厘米。求两地的实际距离？】 5、求图上距离：【甲乙两地相距200千米，在比例尺是80000001 的地图上，甲乙两地用多少厘米表示？】 六、知识应用：1、独立完成P89例题4； 2、完成P90练习十七第1、2题。 七、总结梳理: 回顾本节课的学习，说一说你有哪些收获？ 本课作业 1、填空。 ①把20克盐放入100克水中，盐与盐水的比是（ ）。 ②我校图书室里故事书比科技书多25%，故事书与科技书的比是（ ）。 ③如果A×3×5，那么A ：（ ）：（ ） ④如果a ：4=3：12，那么（ ） ⑤甲数的的与乙数的相等，甲数与乙数的比是（ ）。 ⑥2.1 : 0.6 化成最简整数比是（ ），比值是（ ） ⑦4.5与它的倒数比是（ ）：（ ）。 ⑧（ ）÷24 = =24 : ( )= ( )% ⑼已知小圆半径是2 ,大圆和小圆周长的比是（ ）：（ ），大圆和小圆的面积的比是（ ）：（ ） 2、判断下面每题中的两种量是否成比例，成什么比例，并说明理由。 ⑴圆柱的体积一定，它的底面积和高。（ ） ⑵每天生产的服装件数一定，生产的天数和总件数。（ ） ⑶被减数一定，减数和差。（ ） ⑷每公顷的施肥量一定，公顷数和施肥总量。（ ） ⑸车轮的直径一定，行使的路程和转动的圈数。（ ） ⑹长方形的周长一定，长和宽。( ) ⑺用同样规格的方砖铺地，每块砖的大小和需要的数量。( ) (8)圆的周长、直径( ) 3、化简比。 2 ： 5m 1 ： 0.75 4、解比例。 = : = : x 5、解决问题。（用比例知识解答） （1）修一条水渠每天修3.5千米，20天完成任务，实际每天比计划多修0.5千米，实际用多少天完成任务？ （2）从儿童节那天开始，明明前5天看了90页书，照这样计算，这个月明明一共看了多少也书。 （3）一种苍蝇药，用药液和水按照1：:1500配制而成，要配制这种药水
小学数与代数概念大全
小学数与代数概念大全 一、整数 1、自然数：表示物体的数量的数，最小的自然数是“0” 自然数也是整数。0是正整数与负整数的分界线。 2、质数 一个数除了1和它本身，不再有其它的因数，这个数叫做质数（质数也叫做素数）。 质数：只有“1”和它本身两个因数的数。最小的质数是“2”。 3、合数 一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数 注意：1只有一个因数，就是它本身，1既不是质数，也不是合数。 最小的质数是2，也是质数中唯一的一个偶数，其余的质数均为奇数。 合数：除了“1”和它本身以外还有别的因数的数。最小的合数“4”。 4、互质数：只有公因数“1”的两个数。 5、公因数：两个数公有的因数。 6、公倍数：两个数公有的倍数。 7、质因数：把一个合数分解成几个质数相乘的形式，这几个质数叫作这个合数的质因数。 8、分解质因数：把一个合数分解成几个质数相乘的形式，这个过程叫做分解质因数。 能被2整除数的特征：个位上的数字是0，2，4，6，8 能被3整除数的特征：各位上的数字之和是3的倍数 能被5整除数的特征：个位上的数字是0，5 能被9整除数的特征：各位上的数字之和是9的倍数． 能被4或25整除数的特征：末两位上的数是4或25的倍数． 能被8或125整除数的特征：末三位数是8或125的倍数． 9、偶数 偶数就是可以被2整除的自然数（包括0）也叫做双数。偶数通常用“2k”表示。 10、奇数 奇数就是不能被2整除的自然数，也叫做单数。奇数通常用2k+1表示
二、小数: 1、小数的基本性质：在小数末尾添上”0”或去掉”0”，小数的大小不变． 2、有限小数：小数部分的位数是有限的。 3、无限小数：小数部分的为数是无限的。` 无限循环小数：小数部分的数位有规律的. 4、无限不循环小数:小数部分没规律(又叫无理数) 5、纯循环小数：从小数部分第一位开始循环` 6、混循环小数：不是从小数部分第一位开始循环 7、循环节:从小数部分的某一位起.开是依次不断重复一个或几个数字.这些数字叫做循环节. 三、分数 1、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数,叫做分数。 2、分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 3、分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。 4、分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。 5、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。 6、分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。 7、真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。 8、假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。 9、带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。 10、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分数的大小不变。
小学数学总复习数与代数
数与代数（一） 姓名 1、一个多位数的百万位和百位上都是9，十万们和十位上都是5，其他数位上都是0，这个数写作（ ），四舍五入到万位约是（ ）。京福高速公路三明段已顺利通车，累计投资二十九亿四千二百万元，这个数写作（ ），改写成以“亿元”作单位（保留两位小数）是（ ）亿元。 2、一个九位数，最高位是是奇数中最小的合数，百万位上是最小的质数，万位上是最大的一位数，千位上是同时能被2和3整除的一位数，百位上是最小的合数，其余各位上都是最小的自然数，这个数写作（ ），读作（ ）。 3、三个连续奇数的和是645。这三个奇数中，最小的奇数是（ ）。 4、差是1的两个质数是（ ）和（ ），它们的最小公倍数是（ ）。 5、观察并完成序列：0、1、3、 6、10、（ ）、21、（ ）。 6、在一条长50米的大路两旁，每隔5米栽一棵树（两端都要栽），一共可栽（ ）棵树。 7、被减数减去减数，差是0.4，被减数、减数与差的和是2，减数是（ ）。 8、两个数的积是45.6，一个因数扩大100倍，另一个因数缩小到原来的101,积是（ ）。 9、将一条55米 长的绳子平均截成5段，每段占这条绳子的()()，是（ ）米。 10、7 4 的分数单位是（ ），它含有（ ）个这样的单位，它的倒数是（ ）。 11、7 3 的分子加上12，要使分数的大小不变，分母应加上（ ）。
12、三个分数的和是10 21，它们的分母相同，分子的比是1∶2∶3，这三个分数分别是（ ）、（ ）、（ ）。 13、小明有一摞书，如果分别平均分给5人、6人、7人后，都会剩下3本，这摞书至少有（ ）本。 二、判断（对的打“√”，错的打“×”） 1、所有的小数都小于整数。（ ） 2、比97小而比95大的分数，只有96 一个数。（ ） 3、1512 不能化成有限小数。（ ） 4、1米的97 与7米的91 同样长。（ ） 5、合格率和出勤率都不会超过 100％。（ ） 6、0表示没有，所以0不是一个数。（ ） 7、0.475保留两位小数约等于0.48。（ ） 8、比3小的整数只有两个。（ ） 9、4和0.25互为倒数。（ ） 10、去掉小数点后面的0，小数的大小不变。（ ） 11、5.095保留一位小数约是5.0。（ ） 12、600006000是由6个亿和6个千组成的． （ ） 13、一个小数的小数点先向右移动两位，再向左移动一位，这个小数就扩大了10倍．（ ） 14、一个数（0除外）除以一个真分数，所得的商大于被除数．（ ） 15、饲养场鸡比鸭多，则鸭比鸡少97 。（ ） 97
数与代数、比与比例
第九讲：数与代数、比与比例 一.情感交流、作业检查并对作业进行指导分析 二.课前小测 1、图上距离3厘米表示实际距离180千米，这幅图的比例尺是（）。一幅地图的比 例尺是图上6厘米表示实际距离( )千米。实际距离150千米在图上要画( )厘米。 2、一个圆柱侧面积是1⒉56平方分米，高是2分米，它的体积是（）。 3、把一个圆锥体浸没在底面积是30平方厘米的圆柱形盛有水的容器里，水面升高4厘米，这个圆锥体的体积是（）立方厘米。 4、一个棱长是4分米的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是12平方分米的圆锥形容器 里正好装满，这个圆锥形容器的高是（）分米。 5、利用正反比例解决问题 修一条公路,原计划每天修0.5km,40天完成,实际每天比原计划多修0.3km,实际几天完成? 三.新课讲授 正整数自然数 整数 0 负整数读、写、改写、近似值、小数有限小数纯循环小数大小比较 无限循环小数混循环小数 无限小数无限不循环小数 大数的认识 1、一个数是由3个亿，20个万，6个千和7个一组成的，这个数省略“万”后面的尾数记作 为 ( )万。 2、据报道，2007年广东省纳税最多的企业广东电网公司全年纳税838326.86万元，把这个 数改写成以亿为单位的数，结果保留两位小数大约是（）亿元；如果保留整数是（）亿元。 3、一个8位数，最高位是8，百万位是最小的数，十万位和千位是最小的质数，其他各位数 都是0，这个数写作（），改写成以“万”作单位的数是（）万。
4、二十八亿九千零六万三千零五十，写作（ ），改写成以“亿”做作单位的数是（ ）， 省略万后面的尾数是（ ）。 5、我国香港特别行政区的总面积是十亿九千二百平方米，这个数写作（ ）平方米，省 略亿后面的尾数，写作（ ）平方米。 “四舍五入法” 1、一个五位小数保留一位小数后是6.89，这个五位小数最大是（ ），最小是（ ）。 2、一个四位小数，保留两位小数后是9.65，这个四位小数最大是（ ），最小是（ ）。 3、一个三位小数，“四舍五入”后约是0.30，这个三位小数最大是（ ），最小是（ ）。 分数百分数的性质与意义 1、羊城小学进行一次体育考试，合格的有108人，不合格的有12人，这次体育考试的合格 率是 ( )。 2、分子分母的和是10的最简真分数 。 3、六年级男、女生人数的比是9：8，则具生人数比女生多( )。如果男生有108人，那 么女生有（ )人。 4、甲数是乙数的8 5，甲数比乙数少（ ）%，乙数比甲数多（ ）%。 5、5 31的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的分数单位，再加（ ）个这样的 分数单位后为2． 6、在4 a 中，当a （ ）时，这个分数是真分数；当a 为（ ）时，这个分数为0；当a （ ）时，这个分数是假分数；当a 为（ ）时，这个分数等于2。 7、一个分数，如果分子加3，分数值就是自然数1，它与2 1相等，求这个分数是（ ） 8、个正方体的骰子六个面分别标有1、2、3、4、5、6。现将这个骰子任意地投掷，掷的奇 数朝上的次数约占（ ），掷得素数朝上的次数约占（ ），掷得既不是奇数又不是 合数的数朝上的次数约占（ ）。 9、105，65，253，183，14 35这几个数中，不能化成有限小数的有（ ）。 10、一个最简分数的分子是质数，分子与分母的积是48，这个最简分数是（ ）。
数与代数知识点总结
数与代数知识点总结：数的认识 1，总览： 2、改写成以万为单位的数：如17075400=1707.54万。 改写成以万为单位的近似数：17075400≈1708万。 3、计数单位：个，十，百，千，万，十万，百万，千万，亿…… 十分之一，百分之一，千分之一，万分之一…… 4、怎么比较两个数的大小：①整数的大小比较。 ②小数的大小比较：先比较整数部分，整数部分相同再比较小数部分。 ③分数的大小比较：同分母的比较分子大小，异分母的先通分再比较，又或者比较。两个数距离到“1”的大小。 5、分数的基本性质(商不变性质)：分子分母同时乘以或除以同一个数，分数大小不变。 6、小数的基本性质：在小数末尾(注意不是小数点后)添加或减去0，小数的大小不变。 7、小数点移动对小数大小的影响：小数点向右移动，小数扩大;小数点向左移动，小数缩小;移动一位扩大(缩小)10倍，两位扩大(缩小)100倍……
8、因数和倍数：如果一个数能表示成两个数的乘积，那么这两个数是这个数的因数，这个数是这两个数的倍数。例：a×b=c a，b是c的因数，c是a，b的倍数。 注：因数和倍数只针对整数来说，不包括小数，1是任何数的因数。 9、求一个数的因数可以用短除法，求多个数的最大公因数或者最小公倍数都可以用短除法求。 10、质数，合数：只有1和本身两个因数的数叫质数;除了1和本身外还有其他因数的教合数。 注：1既不是合数，也不是质数。 11、质因数：既是因数同时也是质数的。 12、偶数和奇数：能被2整除的数是偶数，不能被2整除的是奇数。所有数不是奇数就是偶数，0是偶数。 13、能被2整除的数的特征：结尾是0、2、4、6、8的数。 14、能被3整除的数的特征：各个数位上的数相加是3的倍数的数。 15、能被5整除的数的特征：结尾是0或者5的数。 数与代数知识点总结：数的运算 1、四则运算顺序：有括号的先算括号内的，没有括号的先乘除，后加减。 2、小数乘、除法：小数乘、除法和整数乘、除法运算方法类似，可以把小数看成整数，运用整数乘除法计算出来。 3、如何快速得出小数乘法得数的位数：小数乘法位数多少取决于两个乘数小数位数的和，但如果小数末尾的数字相乘有0出现的，位数就要减去0的个数。 4、如何快速得出整数除法商的位数：商的位数取决于被除数与除数的位数差，如果被除数左边第一位比除数左边第一位小，那么商的位数=被除数与除数的位数差;如果被除数左边第一位比除数左边第一位大，那么商的位数=被除数与除数的位数差+1. 5、分数除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 6、运算定律：①加法交换律：a+b=b+a ②加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) ③乘法交换律：a×b=b×a
(完整版)数与代数教材分析、重难点突破
《整理与复习──数与代数》教材分析本节内容是小学阶段“数与代数”知识的系统整理与复习。修订后的教材主要分四部分，分别是“数的认识”“数的运算”“式与方程”“比和比例”。与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书数学六年级》，下同）相比，少了“常见的量”“数学思考”这两部分。 “常见的量”作为一种应用性知识，渗透在数学学习的方方面面，和“图形与几何”这个领域也较为贴近，所以修订后的教材没有独立设置专门的复习，而是在具体情境中进行复习。 “数学思考”则是为了突出本套教材对数学思想的重视，在“整理和复习”中特意把“数学思考”从“数与代数”中分离出来，单独设置为一个小节。一方面，通过具体问题的解决，提高学生的问题解决策略；另一方面，重点复习推理的数学思想和方法。 一、与实验教材的主要区别 （一）以点带面，突出核心概念、核心原理 与实验教材相比，修订后的教材在基础知识的整理和复习上不求面面俱到，而是突出重点，抓住主要内容、主要问题进行整理和复习。一方面使“整理和复习”摆脱了罗列知识点、汇编概念与法则的局面，另一方面也给学生提供了自主梳理知识脉络的线索。 例如，“数的认识”的复习，从第30届夏季奥林匹克运动会的真实情境入手，呈现了与运动会相关的各种数据，有整数，有小数，有分数，有百分数，有以“亿”或“万”作单位的数，有“负增长”，体现了数在实际生活中的广泛应用。在此基础上对各种数进行分类，使学生整体把握小学阶段“数系”的发展脉络，了解各种数之间的联系与区别，并对重要的基础性概念及相关重难点（如数的顺序、数的大小、数位、进制、位值等）进行复习。 （二）加强知识的横、纵向联系，帮助学生建立网状知识结构 与实验教材相比，修订后的教材更加关注知识间的相互联系，更加关注不同形式的知识背后的内在一致性，促进学生对数学知识的深层次理解。 例如，对整数、小数、分数的四则运算的意义和算法进行回顾，对它们的相同点和不同点进行分析，可使学生认识到：四则运算的意义并不会因为数的不同而发生变化，变化的只是描述的方式，避免了以往在复习一个数乘以小数、一个数乘以分数时把它们的意义和其他乘法割裂开的情况；而在不同形式的算法背后，也隐藏着许多共同的原理，例如，整数、小数、分数的加法和减法在实质上都是相同计数单位个数的累加和累减的过程。 再如，让学生对除法、分数、比三个概念进行比较，使学生深刻理解三者的联系与区别，并认识到“平均分”是三者之间存在诸多共同点的内在纽带。 二、教材例题分析 （一）数的认识
人教版 小学数学 六年级 数与代数 知识梳理
人教版小学数学六年级数与代数知识梳理一 知识点一：整数 1、整数的范围 整数包括自然数和负整数，或者说整数由正整数、零、负整数组成。 (1)自然数 自然数的意义：我们在数物体的时候，用来表示物体的个数0,1,2,3,4,5,…..叫做自然数。自然数的个数是无限的，没有最大的自然数。 自然数的基本单位：任何非“0”的自然数都是若干个“1”组成，所以“1”是自然数的基本单位。1也是最小的一位数。 “0”的含义：“0”表示一个物体也没有，在计数中起占位作用，表示该数位上没有计数单位。“0”还可以表示起点、分界点等。“0”是最小的自然数。 自然数的两种意义：如果一个自然数用来表示物体的个数就叫基数；如果一个自然数用来表示物体排列的次序就叫序数。 （2）正数 正数的定义以前学过的8、16、200……..这样的数叫做正数。 正数的写法和读法正数前面也可以加“＋”号，例如：＋8读作：正八。“＋”号一般可以省略不写。 （2）负数 负数的定义像－1、－5、－132……这样的数叫做负数。“一”叫负号。 负数的写法和读法负数前面加“一”号，例如：－15读作：负十五。数字越大的负数反而越小。 “0”既不是正数，也不是负数。 （4）整数与自然数的联系及区别 自然数全是整数，整数不全是自然数，还包括负整数。 2、整数的读法和写法 数的分级按照我国的计数习惯，整数从个位起，每四个数位是一级。个位、十位、百位、千位是个级，表示多少个一；万位、十万位、百万位、千万位是万级，表示多少个万位；亿位、十亿位、百亿位、千亿位是亿级，表示多少个亿。 计数单位整数、小数都是按照十进制写出的数，其中一（个）、十、百…….是整数的计数单位。计数单位是按一定顺序排列的。 数位各个计数单位所占的位置叫数位。如9357中的“5”在右起第二位，即“5”所在的数位是十位。 位数指一个数是由几个数字组成，是含有数位个数，如1234占有四个数位，就是四位数。 十进制计数法十进制是指满十进一，十个一进为十，十个十进位百，十个百进为千……每相邻两个计数单位间的进率都是“十”，这样的计数法叫做十进制计数法。 （2）整数的读法和写法