2019-2020学年北京四中高一(上)期中数学试卷-含详细解析

2019-2020学年北京四中高一年级第一学期期中考试

数学试题 2019.11

一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）

1.已知全集U={1,2，3，4，5}，集合A={1,3}，B={3,4，5}，则集合A∩B=()

A. {2,3，4，5}

B. {3}

C. {1,4，5}

D. {1,3，4，5}

2.函数f(x)=√x?1

x?2

的定义域是()

A. R

B. {x|x>2}

C. {x|x≥1}

D. {x|x≥1且x≠2}

3.若a>b，则下列各式中正确的是()

A. ac>bc

B. ac2>bc2

C. a+c2>b+c2

D. 1

a <1

b

4.下列函数中，在区间(0,+∞)上为减函数的是()

A. y=x2?2x

B. y=|x|

C. y=2x+1

D. y=?√x

5.命题“?x∈R，x3?x2+1≤0”的否定是()

A. ?x∈R，x3?x2+1≥0

B. ?x∈R，x3?x2+1>0

C. ?x∈R，x3?x2+1≤O

D. ?x∈R，x3?x2+1>0

6.下列函数中：①y=2

x ②y=1

(x+1)2

③y=x2+1④f(x)={

x+1,x<0

1?x,x>0偶函数的个

数是()

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

7.“x>1”是“x2?x>0”的()

A. 充分而不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

8.函数f(x)=x3?2x?3一定存在零点的区间是()

A. (2,+∞)

B. (1,2)

C. (0,1)

D. (?1,0)

9.下列函数中，满足f(2x)=2f(x)的是()

A. f(x)=(x+2)2

B. f(x)=x+1

C. f(x)=4

x

D. f(x)=x?|x|

10.函数f(x)=ax+b

(x+c)2

的图象如图所示，则下列结论成立的是()

A. a >0，b >0，c <0

B. a <0，b >0，c >0

C. a <0，b >0，c <0

D. a <0，b <0，c <0

二、填空题（本大题共11小题，共50.0分）

11. 设全集U =R ，集合A ={x|0

B =______．

12. 已知f(x)={2x ?1,x ≥0

3x 2,x <0，则f(f(?1))的值为______．

13. 函数y =x 2+3x ?1，x ∈[?2,3]的值域是______． 14. 若x >0，则f(x)=4x +1

9x 的最小值为______．

15. 若二次函数f(x)的图象关于x =2对称，且f(a)≤f(0)

围是______．

16. 某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：

(i)男学生人数多于女学生人数； (ii)女学生人数多于教师人数； (iii)教师人数的两倍多于男学生人数．

①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为______． ②该小组人数的最小值为______．

17. 已知集合M ={0,1，2，3}，N ={x|x =2a,a ∈M}，则集合M ∩N =______． 18. 不等式|x ?1|+|x +2|≤5的解集是______．

19. 已知x >y >z ，x +y +z =0，则 ①xz yz③xy >xz④x|y|>z|y|四

个式子中正确的是______.(只填写序号)

20.设f(x)={(x?a)2,x≤0 x+1

x

,x>0．

(1)当a=1

2

时，f(x)的最小值是______；

(2)若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围是______．

21.已知集合M={x∈N|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足

①每个集合都恰有5个元素；②A1∪A2∪A3=M.集合A i中元素的最大值与最小

值之和称为集合A i的特征数，记为X i(i=1,2，3)，则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为______．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

22.设集合A={x|x2?2x?3>0}，B={x|x2+4x+3<0}，C={x|2k?1

2k+3}．

(1)求A∪B；

(2)若C?A∪B，求实数k的取值范围．

23.已知a，b>0，证明：a3+b3≥a2b+ab2．

24.已知函数f(x)=2

x ?1

a

,g(x)=2x?1

a

(a∈R,a≠0)．

(1)当a=1时，解关于x的不等式f(x)>0；

(2)若f(x)+g(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围．

25.已知函数f(x)=x2+a|x?1|．

(1)当a=2时，解方程f(x)=2；

(2)若f(x)在[0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围．

26.设a，b，c，d不全为0，给定函数f(x)=bx2+cx+d，g(x)=ax3+bx2+cx+d.

若f(x)，g(x)满足①f(x)有零点；②f(x)的零点均为g(f(x))的零点；③g(f(x))的零点均为f(x)的零点．则称f(x)，g(x)为一对“K函数”．

(1)当a=c=d=1，b=0时，验证f(x)，g(x)是否为一对“K函数”，并说明理

由；

(2)若f(x)，g(x)为任意一对“K函数”，求d的值；

(3)若a=1，f(1)=0，且f(x)，g(x)为一对“K函数”，求c的取值范围．

2019-2020学年北京四中高一年级第一学期期中考试

数学试题参考答案

1.【答案】B

【解析】解：∵A ={1,3}，B ={3,4，5}， ∴A ∩B ={3}． 故选：B ．

进行交集的运算即可．

本题考查了列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．

2.【答案】D

【解析】解：函数f(x)=√x?1x?2

中，

令{x ?1≥0x ?2≠0， 解得x ≥1且x ≠2，

所以函数f(x)的定义域是{x|x ≥1且x ≠2}． 故选：D ．

根据函数f(x)的解析式列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．

3.【答案】C

【解析】解：由a >b ，可得ac 与bc 大小关系不确定，ac 2≥bc 2，a +c 2>b +c 2，1

a 与1

b 的大小关系不确定． 因此只有C 确定． 故选：C ．

由a >b ，根据不等式的基本性质即可得出结论．

本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4.【答案】D

【解析】解：由二次函数的性质可知，y =x 2?2x 在(0,+∞)上先减后增，故A 错误； y =|x|在(?∞,0)上为减函数，(0,+∞)上为增函数，故B 错误；

由一次函数的性质可知，y =2x +1在(0,+∞)上为增函数，故C 错误；

由幂函数的性质可知，y =√x 在(0,+∞)上为增函数，从而有y =?√x(0,+∞)上为减函数，故D 正确； 故选：D ．

由二次函数的性质可知，y =x 2?2x 在(0,+∞)上的单调性；由一次函数及函数图象变换可知y =|x|在(0,+∞)上为增函数；

由一次函数的性质可知，y =2x +1在(0,+∞)上为增函数；由幂函数的性质可知，y =√x 在(0,+∞)上为增函数，从而可判断y =?√x(0,+∞)上为减函数 本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．

5.【答案】B

【解析】解：将量词否定，结论否定，可得?x ∈R ，x 3?x 2+1>0 故选：B ．

将量词否定，结论否定，可得结论．

本题考查命题的否定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

6.【答案】C

【解析】解：①由y =2

x =f(x)，可得f(?x)=?2

x =?f(x)，即不为偶函数； ②f(x)=y =1

(x+1)2的定义域为{x|x ≠?1}，关于原点不对称，不是偶函数； ③由二次函数的性质可知，y =x 2+1的图象关于y 轴对称，为偶函数； ④由f(x)={

x +1,x <01?x,x >0可得f(?x)={1+x,x <0

?x +1,x >0=f(x)是偶函数． 故选：C ．

对各函数分别检验是否满足f(?x)=f(x)即可判断．

本题主要考查了偶函数的定义在偶函数判断中的应用，属于基础试题．

7.【答案】A

【解析】解：∵x 2?x >0?x >1或x <0， ∴当x >1时，x 2?x >0成立， 当x 2?x >0时，x >1不一定成立，

∴“x >1”是“x 2?x >0”的充分不必要条件． 故选A ．

先化简x2?x>0得x>1或x<0，然后根据充分必要条件的定义加以判断即可．

本题主要考查充分必要条件的判断，注意运用定义，也可以运用集合的包含关系判断，是一道基础题．

8.【答案】B

【解析】解：∵f(x)=x3?2x?3，

∴f(1)=?4<0，f(2)=1>0，

由函数零点判定定理可知，函数在(1,2)上一定存在零点．

故选：B．

由已知可检验f(1)=?4<0，f(2)=1>0，结合零点判定定理即可求解．

本题主要考查了函数零点判定定理的简单应用，属于基础试题．

9.【答案】D

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，f(x)=(x+2)2，f(2x)=(2x+2)2=4(x+1)2，2f(x)=2(x+2)2，f(2x)≠2f(x)；

对于B，f(x)=x+1，f(2x)=2x+1，2f(x)=2(x+1)=2x+2，f(2x)≠2f(x)；

对于C，f(x)=4

x ，f(2x)=4

2x

=2

x

，2f(x)=8

x

，f(2x)≠2f(x)；

对于D，f(x)=x?|x|，f(2x)=2x?|2x|=2x?2|x|，2f(x)=2x?2|x|，f(2x)= 2f(x)，符合题意；

故选：D．

根据题意，依次分析验证选项中函数是否符合f(2x)=2f(x)，综合即可得答案．

本题考查函数的解析式，涉及函数值的计算，属于基础题．

10.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及f(0)的符号是解决本题的关键．

分别根据函数的定义域，函数零点以及f(0)的取值范围进行判断即可．

【解答】

解：函数在x=x0处无意义，由图象x0>0，所以?c>0，得c<0，

f(0)=

b c 2

>0，∴b >0，

由f(x)=0得ax +b =0，即x =?b

a ， 即函数的零点x =?b

a >0， ∴a <0，

综上a <0，b >0，c <0， 故选：C ．

11.【答案】{?3,?1,3}

【解析】解：全集U =R ，集合A ={x|0

根据补集与交集的定义，计算即可．

本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．

12.【答案】5

【解析】解：根据题意，f(x)={2x ?1,x ≥0

3x 2,x <0，

则f(?1)=3×(?1)2=3，

则f(f(?1))=f(3)=2×3?1=5； 故答案为：5．

根据题意，由函数的解析式求出f(?1)的值，进而分析可得答案． 本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．

13.【答案】[?

134

,17]

【解析】解：因为y =x 2+3x ?1，所以函数对称轴为x =?3

2，

因为x ∈[?2,3]，所以当x =?3

2时，y 的值最小为(?3

2)2+3×(?3

2)?1=?13

4， 当x =3时，y 的值最大为32+9?1=17， 所以函数的值域为[?134

,17]．

故答案为：[?

134

,17]．

由题意可求函数对称轴，再结合函数图象就可以求出函数的最大值和最小值． 本题主要考查求二次函数在给定区间上的值域问题，主要看对称轴相对区间的位置，画出图象即可求出答案．

14.【答案】4

3

【解析】解：∵x >0，

∴4x +19x ≥2√4x ?19x =4

3(当且仅当4x =1

9x 即x =1

6时，取“=”号)，

∴当x =16时，f(x)最小值为4

3． 故答案为：4

3．

直接利用基本不等式求解函数的最小值即可．

本题考查基本不等式的应用，最小值的求法，注意等号成立的条件．

15.【答案】a ≤0或a ≥4

【解析】解：由题意可知二次函数f(x)的对称轴为x =2， 因为f(0)

所以二次函数f(x)开口向下，在(?∞,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减． ①当a ∈(?∞,2)时：{

a <2

a ≤0，解得a ≤0． ②当a ∈(2,+∞)时：因为f(4)=f(0)， 所以{a >2a ≥4，解得a ≥4．

综上所求：a ≤0或a ≥4． 故答案为：a ≤0或a ≥4

由已知条件可分析出二次函数f(x)的对称轴和开口方向，画出图象，有图象可得出a 的取值范围．

考察了二次函数的图象和性质，培养学生的数形结合的数学思想．

16.【答案】6 12

【解析】解：①设男学生女学生分别为x ，y 人， 若教师人数为4，

则{x >y y >42×4>x

，即4

即x 的最大值为7，y 的最大值为6， 即女学生人数的最大值为6．

②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ， 则{x >y

y >z 2z >x ，即z

①设男学生女学生分别为x ，y 人，若教师人数为4，则{x >y

y >4

2×4>x ，进而可得答案； ②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ，则{x >y

y >z 2z >x ，进而可得答案；

本题考查的知识点是推理和证明，简易逻辑，线性规划，难度中档．

17.【答案】{0,2}

【解析】解：∵M ={0,1，2，3}，N ={0,2，4，6}， ∴M ∩N ={0,2}． 故答案为：{0,2}．

可以求出集合N ，然后进行交集的运算即可．

本题考查了列举法、描述法的定义，元素与集合的关系，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．

18.【答案】[?3,2]

【解析】解：根据绝对值的意义可得，|x ?1|+|x +2|表示数轴上的x 对应点到1和?2对应点的距离之和，

而?3、2对应点到1和?2对应点的距离之和正好等于5， 故不等式|x ?1|+|x +2|≤5的解集是[?3,2]， 故答案为：[?3,2]．

由于|x ?1|+|x +2|表示数轴上的x 对应点到1和?2对应点的距离之和，而?3、2对应点到1和?2对应点的距离之和正好等于5，由此求得不等式|x ?1|+|x +2|≤5的解集．

本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．

19.【答案】①③

【解析】解：已知x>y>z，x+y+z=0，则①x>0，y>0，z<0，②x>0，y<0，z<0，③x+z=0，y=0．

所以①xzyz，不正确．③xy>xz，正确．④x|y|>z|y|，不正确．故答案为：①③．

直接利用不等式的性质的应用求出结果．

本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

20.【答案】1

4

[0,√2]

【解析】解：(1)当a=1

2时，当x≤0时，f(x)=(x?1

2

)2≥(?1

2

)2=1

4

，

当x>0时，f(x)=x+1

x ≥2√x?1

x

=2，当且仅当x=1时取等号，

则函数的最小值为1

4

，

(2)由(1)知，当x>0时，函数f(x)≥2，此时的最小值为2，

若a<0，则当x=a时，函数f(x)的最小值为f(a)=0，此时f(0)不是最小值，不满足条件．

若a≥0，则当x≤0时，函数f(x)=(x?a)2为减函数，

则当x≤0时，函数f(x)的最小值为f(0)=a2，

要使f(0)是f(x)的最小值，则f(0)=a2≤2，即0≤a≤√2，

即实数a的取值范围是[0,√2]，

故答案为：1

4

，[0,√2].

(1)当a=1

2

时，分别求出当x≤0和x>0时函数的最小值，进行比较即可．

(2)先判断当x>0时，函数的最小值为2，然后讨论a的取值范围，结合一元二次函数的最值性质进行比较即可．

本题主要考查函数最值的应用，解一元二次函数以及基本不等式分别求出当x>0和当x≤0时的最值，进行比较是解决本题的关键．注意合理分类讨论．

21.【答案】96

【解析】

【分析】

求出集合M={x∈N?|1≤x≤15}={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，由题意列举出集合A1，A2，A3，由此能求出X1+X2+X3的最大值与最小值的和．

本题考查满足条件的集合的判断，考查子集，并集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

【解答】

解：由题意集合M={x∈N?|1≤x≤15}={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，

当A1={1,4，5，6，7}，A2={3,12，13，14，15}，A3={2,8，9，10，11}时，

X1+X2+X3取最小值：X1+X2+X3=8+18+13=39，

当A1={1,4，5，6，15}，A2={2,7，8，9，14}，A3={3,10，11，12，13}时，

X1+X2+X3=16+16+16=48，

当A1={1,2，3，4，15}，A2={5,6，7，8，14}，A3={9,10，11，12，13}时，

X1+X2+X3取最大值：X1+X2+X3=16+19+22=57，

∴X1+X2+X3的最大值与最小值的和为：39+57=96．

故答案为：96．

22.【答案】解：(1)集合A={x|x2?2x?3>0}={x|x3}，

B={x|x2+4x+3<0}={x|?3

则A∪B={x|x3}；

(2)由C={x|2k?1

令2k?1≥3或2k+3≤?1，解得k≥2或k≤?2，

所以实数k的取值范围是k≤?2或k≥2．

【解析】(1)化简集合A、B，根据并集的定义写出A∪B；

(2)由C?A∪B，写出关于k的不等式，求出解集即可．

本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．

23.【答案】证明：(a3+b3)?(a2b+ab2)=a2(a?b)+b2(b?a)

=(a?b)(a2?b2)=(a?b)2(a+b)

∵a>0，b>0，

∴a+b>0，(a?b)2≥0，

∴(a?b)2(a+b)≥0，

则有a3+b3≥a2b+b2a.

【解析】作差，因式分解，即可得到结论．

本题考查不等式的证明，重点考查作差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

24.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=2

x

?1．

∵f(x)>0，∴2

x

?1>0，∴0

∴不等式的解集为{x|0

(2)f(x)+g(x)=2

x ?1

a

+2x?1

a

=2

x

+2x?2

a

，

∵f(x)+g(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，

∴2

a ≤2

x

+2x在(0,+∞)上恒成立，∴只需2

a

≤(2

x

+2x)min．

∵当x>0时，2

x +2x≥2√2

x

?2x=4，当且仅当x=1时取等号，

∴(2

x +2x)min=4，∴2

a

≤4，

∴a<0或a≥1

2

，

∴a的取值范围为(?∞,0)∪[1

2

，+∞)．

【解析】(1)将a=1代入f(x)中，根据f(x)>0，解出a的范围；

(2)f(x)+g(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，只需2

a ≤(2

x

+2x)min，求出2

x

+2x的最小值后，

解关于a的不等式，可得a的范围．

本题考查了分式不等式的解法，不等式恒成立问题和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能了，属中档题．

25.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=x2+2|x?1|=2．

当x<1时，x2+2(1?x)=2，x2?2x=0，得x=0；

当x≥1时，x2+2(x?1)=2，x2+2x?4=0，得x=√5?1．

综上，方程f(x)=2的解为x=0或x=√5?1．

(2)x≥1时，f(x)=x2+a(x?1)=x2+ax?a在[1,+∞)上单调递增，

则x=?a

2

≤1，故a≥?2；

0≤x <1时，f(x)=x 2?ax +a ，x =a

2≤0，故a ≤0． 且1?a +a ≤1+a ?a 恒成立． 综上，实数a 的取值范围是[?2,0]．

【解析】本题第一问，通过分类讨论去绝对值转化为一般一元二次不等式求解即可；第二问是含参函数单调性问题，分类讨论转化为二次函数单调性问题，考虑其对称轴即可，同时要注意在分段点处函数值的大小关系．

本题体现了分类讨论思想，对于含有绝对值的函数问题，通过分类讨论去绝对值，转化为一元二次方程和二次函数问题．

26.【答案】解：(1)若f(x)，g(x)为任意一对“K 函数”，求d 的值；由f(x)=x +1=0，得x =?1，

所以g(f(?1))=g(0)=1，故x =?1不是g(f(x))的零点，故不满足②，所以不是一对“K 函数”，

(2)设r 为方程的一个根，即f(r)=0，则由题设得g(f(r))=0． 于是，g(0)=g(f(r))=0，即g(0)=d =0．

所以d =0，反之g(f(x))=f(x)[f 4(x)+bf(x)+cf(x))=0，则f(x)=0成立，故d =0； (3)因为d =0，由a =1，f(1)=0得b =?c ，

所以f(x)=bx 2+cx =?cx(x ?1)，g(f(x))=f(x)[f 2(x)?cf(x)+c]，

由f(x)=0得x =0，1，可以推得g(f(x))=0，根据题意，g(f(x))的零点均为f(x)的零点，

故f 2(x)?cf(x)+c =0必然无实数根

设t =?cx(x ?1)，则t 2?ct +c =0无实数根， 当c >0时，t =?c(x ?

12

)2

+c 4≤c

4，?(t)=t 2

?ct +c =(t ?

c 2

)2

+c ?c 2

4，

所以?(t)min =?(c

4)>0，即c 2

16

?c

2

4

+c >0，解得c ∈(0,16

3)，

当c <0时，t =?c(x ?12)2+c 4≥c 4，?(t)=t 2?ct +c =(t ?c

2)2+c ?c 2

4

，

所以?(t)min =?(c

2)>0，即c ?c

2

4

>0，解得c ∈(0,4)，因为c <0，显然不成立，

当c =0时，b =0，此时f(x)=0在R 上恒成立，g(f(x))=c =0也恒成立， 综上：c ∈[0,16

3).

【解析】考查函数的新定义，求参数值和范围，用了分类讨论思想，二次函数的解放，难度大，综合性高．

(1)代入检验即可；

(2)利用”k函数“定义求出；

(3)换元法，设t=?cx(x?1)，根据t的范围，对g(f(x))讨论，求出c的范围．