最优控制课程设计报告

液体搬送过程中的液面振动控制问题

第一章前言

在铸造行业的浇铸过程中，溶液的浇铸是一项非常危险的作业。由于溶液温度的降低会影响铸件的品质，所以要求浇铸过程要在最短时间内完成。因此，要求浇铸行业向自动化、高速化方向发展。

当前，铸造行业中大多采用铸件在生产线上移动的浇铸系统。由于铸件经常处于频繁地加速起动和减速制动过程中，导致溶液激烈振动、甚至从铸件中溢出的现象发生。这不仅给生产带来危险，而且也会导致铸件的质量下降。同时，剧烈的运动还会造成铸模破损，从而使铸件报废。

针对以上问题，我们希望开发一种高速浇铸系统，在铸件快速移动的过程中，通过对生产线拖动电机的电压控制，达到对溶液液面的振动进行控制的目的，从而使液面不仅在运动停止时不产生振动，而且在整个运动过程中也保持平稳。

关于液面振动的控制问题，文献[1]建立了液体的一次振子模型，并对该侍服系统利用二次评价函数及加权的方法求出了最优控制信号。文献[2]针对长方体的容器，建

鲁棒控制器，实现了对液面振动的控制。

立了液体的振子模型，设计了一种H

本论文以振动液体为控制对象，首先利用拉格朗日法推导出描述液体振动的数学模型，并利用不同波形的输入电压信号进行了仿真计算，从而了解了铸件在运动过程中液体的振动特性及规律。在此基础上，通过给出系统评价函数，利用FR（Fletcher-Reeves）法计算该非线性系统的最优输入。仿真结果表明，控制结果是令人满意的。

但是，本论文只对开环系统进行了分析。若考虑抗干扰等问题，则应设计闭环反馈控制器，采用PID控制器或其他方法（例如极点配置法）进行控制。这些工作将在今后着手进行。

第二章概述

2.1 自动控制理论的发展

自动控制是指应用自动化仪器仪表或自动控制装置代替人自动地对仪器设备或

工业生产过程进行控制，使之达到预期的状态或性能指标[1]。对传统的工业生产过程采用自动控制技术，可以有效提高产品的质量和企业的经济效益。对一些恶劣环境下的控制操作，自动控制显得尤其重要。自动控制理论是与人类社会发展密切联系的一门学科，是自动控制科学的核心。自从19世纪Maxwell对具有调速器的蒸汽发动机系统进行线性常微分方程描述及稳定性分析以来，经过20世纪初Nyquist，Bode，Harris，Evans，Wienner，Nichols等人的杰出贡献，终于形成了经典反馈控制理论基础，并于50年代趋于成熟。经典控制理论的特点是以传递函数为数学工具[2]，采用频域方法，主要研究“单输入—单输出”线性定常控制系统的分析与设计，但它存在着一定的局限性，即对“多输入—多输出”系统 不宜用经典控制理论解决，特别是对非线性、时变系统更是无能为力。随着20世纪40年代中期计算机的出现及其应用领域的不断扩展，促进了自动控制理论朝着更为复杂也更为严密的方向发展，特别是在Kalman提出的可控性和可观测性概念以及Понтрягин提出的极大值理论的基础上，在20世纪50、60年代开始出现了以状态空间分析(应用线性代数)为基础的现代控制理论。现代控制理论本质上是一种“时域法”，其研究内容非常广泛，主要包括三个基本内容：多变量线性系统理论、最优控制理论以及最优估计与系统辨识理论。现代控制理论从理论上解决了系统的可控性、可观测性、稳定性以及许多复杂系统的控制问题。但是，随着现代科学技术的迅速发展，生产系统的规模越来越大，形成了复杂的大系统，导致了控制对象、控制器以及控制任务和目的的日益复杂化，从而导致现代控制理论的成果很少在实际中得到应用。经典控制理论、现代控制理论在应用中遇到了不少难题，影响了它们的实际应用，其主要原因有三：①这些控制系统的设计和分析都是建立在精确的数学模型的基础上的，而实际系统由于存在不确定性、不完全性、模糊性、时变性、非线性等因素，一般很难获得精确的数学模型；②研究这些系统时，人们必须提出一些比较苛刻的假设，而这些假设在应用中往往与实际不符；③为了提高控制性能，整个控制系统变得极为复杂，这不仅增加了设备投资，也降低了系统的可靠性。于是，自动控制工作者一直在寻

求新的出路，他们在考虑：能否不要完全以控制对象为研究主体，而以控制器为研究主体呢？能否用20世纪50年代中期出现并得到快速发展的人工智能的逻辑推理、启发式知识、专家系统等来解决难以建立精确数学模型的控制问题呢？第三代控制理论即智能控制理论就是在这样的背景下提出来的，它是人工智能和自动控制交叉的产物，是当今自动控制科学的出路之一。在该论文中我们用的便是最优控制理论,在第4章我们将详细介绍最优控制的一般研究方法。

2.2 自动控制技术在浇铸行业的应用

随着中国入世步伐的不断加快，冶金行业只有不断进行技术改造，提高产品档次，降低生产成本，才能在市场中争得一席之地。因此设计一种金属回收率高、能耗低、单流产量高、铸坯质量好、机械化、自动化程度高的高效连铸机成为钢铁企业技术进步一个重要标志。以实际生产线为例，钢水包由转炉车间运至连铸车间后，由车间行车将钢水包置于大包回转台钢包臂上，旋转至浇注位后，钢水由钢包流入中间罐车，达到开浇液面后，浇铸开始。钢水经中间罐车注入结晶器，经过初次冷却控制以及振动控制调节后，进入二冷区。自控系统自动跟踪铸坯的位置及长度，铸坯到达冷却段时，由二次冷却系统对铸坯进行水/气的混合冷却。系统跟踪钢坯头到达矫直区时，拉矫机依次进行换压操作;跟踪到脱引锭位时，自动进行脱引锭操作。钢坯达到定尺长度后，由火焰切割机实施切割，切割后由输出辊道运出，再由横向移钢机运至热送辊道，最后由热送辊道运到中型加热炉进行轧制。在整个过程中都用到了自动控制，因此，该系统控制功能先进、安全稳定可靠，有效地提高了劳动生产率，确保了生产的顺行。现在世界各国都在开发、研制高效连铸机，相对来说，我国起步较晚，设计能力较差。很多机械设备国内完全能做，但由于设计能力跟不上，所以我们在引进设备的同时，一定要注重自动化系统及一些技术诀窍的引进，这样才能提高高效连铸机的操作水平，才能保证生产出高质量的连铸坯来。

第三章 数学模型的建立

3.1 知识准备

为了设计一个控制系统，首先需要建立它的数学模型，也就是建模，即用数学模型来表示系统的输入与输出之间的因果关系。所谓数学模型，就是描述这一系统运动规律的数学表达式。一旦系统的数学模型被推导出来，就可以采用各种分析方法和计算机工具对系统进行分析和综合。数学模型可以有许多不同的形式，较常见的有三种：一种是把系统的输入量与输出量之间的关系表达出来，称之为输入-输出描述或外部描述，例如微分方程式﹑传递函数和差分方程。第二种不仅可以描述系统的输入与输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态变量描述或内部描述，它特别适用于多输入﹑多输出系统，也适用于时变系统﹑非线性系统和随机控制系统。第三种方式是用比较直观的方块图模型来进行描述。同一控制系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同的情况对各种模型进行取舍，以利于对控制系统进行有效分析。

液体搬运过程中,液体会因为振动而溢出容器。为了工作安全和运输效率，容器内液体的振动幅度在整个工作过程中要控制在一定范围内，并且到达目的地时液体应该尽快停止振动。为此，我们首先分析液体搬运过程中液体的动态特征，找出其规律。即建立其动态数学模型，在控制系统的分析和设计中，首先要建立其数学模型。控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。

要对液体搬运分析首先需要建立其数学模型。本文采用广义坐标下的拉格朗日方程来描述，比较清楚简明，也便于分析和设计。

对受完整、理想约束的系统，其动力学方程为：

()1,2,...,j j j d T T Q j k dt q q ????-== ? ?????

此式即为拉格朗日方程。

一．关于此方程的几点说明：

① 适用于完整、理想约束系统，用广义坐标描述系统运动；

② 方程中不出现约束反力，直接建立主动力与运动之间的关系；

③ 得到的是常微分方程组，每个方程都是二阶的，方程数与自由度数相同，

④ 是建立非自由质系动力学数学模型的规范方法；

⑤ 当主动力有势时，势能

，根据式 j j V Q q ?=-?

拉格朗日方程有形式

()j j j d T T V dt q q q ???-=-??? (1,2,...,j k =

或

0j j d L L dt q q ????-= ? ?????

(1,2,...,j k = 其中 L T V =-

称为质系的拉格朗日函数。

二．运用拉格朗日方程的注意事项：

① 选好广义坐标。广义坐标的个数与质点系自由度相同，彼此间独立，能完全确定质点系的位置。在满足上述要求的前提下，广义坐标的选择具有很大的灵活性和一定的技巧性。可以选择相对于定参考系的位移或转角为广义坐标，也允许选择相对于某个动参考系的位移或转角为广义坐标，总的目标是使计算简单一些。

② 正确地计算质点系的动能、势能或广义力。要把动能T 或拉格朗日函数L

表示成广义坐标、广义速度、时间t 的一般函数。不管广义坐标如何选择，为了计算动能，必须先计算质点的绝对速度。

3.2 数学模型的建立

波动现象是自然界最普遍的现象之一，在空间的一点上某一物理量再平衡状态受到扰动后，该扰动向四周传播的现象称为波，其中最直观的便是液体波动，即液体的振动。由于液体受到外界干扰就会产生振动这一性质的存在，给液体在运输时形成了诸多不便，下面就将解决这一问题。

为了研究液体搬运过程中液体的动态特征，将液体等效成单振子单摆[3]，

示意图3-1如下：

图3-1 液体搬运系统示意图

其中m 为液体的质量；c 为液体的粘性系数；l 为等效单摆的臂长；L 为液体容器的直径；h 为容器底面到静止液面的高度；θ为液面振动为一次关系时液面的倾角；hs 为容器端部液面变动。

根据能量守恒关系可得如下方程

动能

()21cos 2T m x l θθ=- (3-1)

势能 )cos (θl l mg U -=

(3-2)

消散能 ()2

1cos 2F c l θθ= (3-3)

将以上三个式子代入 (3.4) 拉格朗日方程

0d T U F dt θθθ

???-+=??? (3-4) 计算过程如下所示:

()cos cos T ml x l θθθθ?=--? (3-5)

222sin cos 2sin cos cos d T ml x ml dt ml mlx θθθθθθ

θθθ???=+ ????-- (3-6)

s i n U m g l θθ?=-? (3-7)

22cos F cl θθθ

?=? (3-8) 综上可得 22222sin cos 2sin cos cos sin cos 0ml x ml ml mlx

mgl cl θθθθθθθθθθθ+---= 由于振子角度θ 0,若将二阶导数项忽略则有:

20m l m l x m g l c l θθθ-++= (3-9)

带动液体容器运动的驱动电机的数学模型为 mx mx T x x

K u += (3-10) 由(3-9) (3-10)可得出液体搬运过程中电机的驱动电压与反映液面平衡情况的各参量的状态方程[4]:

0x x = 1x x

= 2x θ= ?=θ3x ()T x x x

θθ=

001001

00000

1001

0mx mx mx mx mx mx K T T x x g c K T l m T l ???? ? ? ? ?- ? ?=+ ? ? ?

? ?

?

--- ?

?????

第四章系统仿真

4.1仿真技术概论

控制系统数字仿真是分析﹑研究﹑设计自动控制系统的一种快速和经济的辅助手段。

仿真（Simulation），就是用模型（物理模型或数学模型）代替实际系统进行实验和研究。仿真所遵循的原则是相似原理，即几何相似及数学相似。依据这个原理，仿真可以分为物理仿真和数学仿真（数学仿真又可分为模拟计算机和数字计算机仿真）。

在该论文中我们将用到的是自动控制系统中的计算机仿真。在进行自动控制系统分析﹑综合与设计过程中，除了进行理论分析与设计外，还要对系统的特性进行实验研究。比如我们用控制理论（包括经典控制理论和现代控制理论）设计好一个系统，这样设计出来的系统是否是正确可行的呢？设计的控制器参数符合实际情况吗？系统性能对参数变化敏感吗？实际存在的非线性因素影响严重吗？等等。我们现场实施以前往往要进行一下实验，进行系统性能的考核，没有进行实验研究是不能直接将设计好的系统放到生产实际中去的，特别是对于一些危险的场合，或价值昂贵的实验（如导弹发射实验）。当然，我们可以在实验室里建一套物理模拟装置来进行实验。但是，这种方法十分费事有费钱，甚至有的时候物理模拟几乎是不可能的，因此用计算机进行数字仿真的方法已日益被人们所采纳。

4.2系统仿真

4.2.1 系统仿真概述

任何系统都有三个方面需要研究的内容,即实体﹑属性﹑活动。实体是组成系统的具体对象；属性是指实体的特性（状态和参数）；活动是对象随时间推移而发生的状态变化。系统仿真就是建立系统的数学模型并在模型上进行仿真实验的过程。现在随着计算机的推广及应用，计算机仿真已经日益成为科技工作人员进行科学研究的有效手段，计算机仿真也叫数学仿真，它包括三个基本要素：系统﹑模型和计算机。联系着它们的三个基本的活动：数学模型建立﹑仿真模型建立﹑仿真实验。

系统仿真[5]的目的及其在系统研究中的重要性在于：

（1）优化设计。由于现代大型系统的规模和复杂性，要求在建立系统之前能够预测系统的性能和参数，以便使设计的系统达到最优指标。

（2）经济性。对于一个大型的系统，直接实验成本十分昂贵，而采用仿真实验的方法仅需成本的1/5～1/10，而且设备可以重复使用。

（3）安全性。对于某些系统，直接实验往往是危险的和不允许的。

（4）预测。对于经济﹑社会﹑生物等非工程系统，直接实验几乎是不可能的，仿真则可以用语预测系统的特性和外部作用的影响，从而研究控制的策略。

4.2.2 MATLAB及Simulink简介

MATLAB[6]是MathWorks公司于1982年推出的一套高性能数值计算和可视化软件,它集数值分析﹑矩阵运算﹑信号处理和图形显示于一体,构成了一个方便的﹑界面友好的用户环境。MATLAB的推出得到了各个领域专家学者的广泛关注，其强大的扩展功能为各个领域的应用提供了基础。由各领域专家学者相继推出了MATLAB工具箱，控制系统是其中一个工具箱。

本文主要用到Simulink[7]进行仿真，Simulink是MATLAB中用于数字计算机仿真的软件包，它支持线性和非线性系统，连续的和离散的模型，或者是两者的混合。通过应用Simulink建模和仿真，我们可以超越理想的线性模型去探索更为现实的非线性模型，比如现实世界中摩擦﹑空气阻力﹑齿轮的滑动等现象。Simulink能使我们的计算机变成一个实验室，以用来对各种现实中不可能存在或现实中恰恰相反的系统进行建模和仿真。它已经在学术和工业等领域得到了广泛的应用，用它可以进行动态系统的建模和仿真，也可以随意的建立各种模型。Simulink[8]仿真是交互式的，可以很随地改变模型的参数并且马上就可以看到改变参数后的结果。MATLAB中的分析与可视工具多种多样并且易于操作，所以用户可以对仿真的结果进行分析使之可视化。

4.2.3 同种信号不同时间长度下的仿真结果

图4-1 时间为4S时的三角波的仿真结果

图4-2 时间为6S时的三角波的仿真结果

图4-3 时间为8S时的三角波的仿真结果

以上三组图是不同时间跨度下输入信号为相同波形且罐体运动距离相等时的仿真结果图,通过对以上三组图形的比较我们会发现: 在液体容器运动相同距离的前提下,当输入电压信号的变化越缓和时,液体振动的幅度越小,外在表现就是图中Angle的振幅越来越小。为了进一步证明在输入其他波形的电压也会产生同样的效果,下面将列出其他两种具有代表性的波形信号予以参考。

图4-4 时间为4S时的矩形波的仿真结果

图4-5 时间为6S时的矩形波的仿真结果

图4-6 时间为8S时的矩形波的仿真结果

图4-7 时间为4S时的梯形波的仿真结果

图4-8 时间为6S时的梯形波的仿真结果

图4-9 时间为8S时的梯形波的仿真结果

4.2.4 不同信号相同时间长度下的仿真结果

图4-10 时间为6S时的矩形波的仿真结果