向量共线的坐标表示

《平面向量共线的坐标表示》教案

教学目标

(1)知识目标：理解平面向量共线的坐标表示，会根据向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；

(2)能力目标：通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力；

(3)情感目标：在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.

教学重点和难点

(1)重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解；

(2)难点：定比分点的理解和应用。

教学过程

一、新知导入

（一）、复习回顾

1、向量共线充要条件:

2.平面向量的坐标运算： （1）.已知 a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)则

a +

b =(x 1+x 2,y 1+y 2).

a -

b =(x 1-x 2,y 1-y 2).

λa =(λx 1,λy 1).

（2）.

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.

（二）、问题引入

已知下列几组向量：

(1)a ＝(0,2)，b ＝(0,4)；

(2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)；

(3)a ＝(－1,4)，b ＝(2，－8)；

(4)a ＝????12，1，b ＝???

?－12，－1. 问题1：上面几组向量中，a 与b 有什么关系？

问题2：以上几组向量中a ，b 共线吗？

),,(),,(2211y x B y x A 若),(1212y y x x --=则.

,)(//λλ=?≠使存在唯一实数

二、新知探究

思考: 两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个共线向量？

设a ρ=(x 1， y 1) ，b ρ=(x 2， y 2) 其中b ρ≠a ρ。

由a ρ=λb ρ得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ???==?21

21y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0

探究：（1）消去λ时能不能两式相除？

（不能 ∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ρ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0）

（2）能不能写成2

211x y x y = ？ （不能。 ∵x 1， x 2有可能为0） (3)向量共线有哪两种形式？ a ∥b (b ≠0)???===?.

01221y x y x b a λ

三、新知巩固（实例分析合作探究与指导应用）

1．向量共线问题： 例1. 已知(4,2)a =r ，(6,)b y =r ，且//a b r r ，求y ．

变式练习1：

2．证明三点共线问题：

例2: 例2.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系。

变式训练2：设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，求当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线．

r r r r 已知a //b,且a =(x,2),b =(2,1),求x 的值.

3．共线向量与线段分点坐标问题：

例3:设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).

（1）当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；

（2）当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.

独立探究：(1)中P1P ：PP2＝? (2)中P1P ：PP2＝?

迁移问题：当21PP P P λ=时,点P 的坐标是什么？

四、课堂小结

（1）平面向量共线的坐标表示；

（2）会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线；

（3）平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；

五、课后作业

必做题P101习题A组5、6 、7 ，选做题P101习题B组1、2