对称与分形

对称与分形

一、对称性无处不在

对称性的概念最初来源于生活，大雪天，仔细观察飘落的雪花，它们都是对称的六角形，水晶、钻石等晶体的对称性比雪花有过之无不及。

在艺术和建筑领域中，所谓“对称”，通常指左右对称，我国古代的宫殿、寺庙和陵墓建筑，都有较高的左右对称性，而园林建筑的布局则错落有致，于不对称中见对称。

在西方，从古希腊、古罗马到文艺复兴时期，建筑师们几乎都倾向于利用均衡对称的构图手法来谋求建筑整体的壮严的美。

有生命的动植物也有对称性，蜈蚣那么多的足完全以身体为轴线左右对称，枫树牙枝左右两排芽叶是对称的。

大自然的骄子――人体本身就有左右对称性，几乎人的一切器官和组织都以脊柱为轴而左右对称，唯有心脏偏左，肝脏偏右。

左右对称只是对称性中的一种，德国大数学家魏尔给出了“对称性”的普遍定义：如果一个操作使体系从一个状态变换到另一个与之等价的状态，或者说，在此操作下，状态不变，就说该系统对这一操作是“对称的”，这个操作叫做“对称操作”，常用的对称操作有时空操作，其中转动、平移、镜象反射、标度变换等属于空间操作，时间平移、时间反演等属于时间操作。此外，物理学中还有许多其他对称操作，如电荷共轭变换(即粒子与反粒子之间的变换)。

二、标度变换不变性与分形

所谓标度变换不变性，通俗地讲，就是放大和缩小，海洋中生长着一种甲壳动物，叫做鹦鹉螺，它们的美丽外壳为标度变换不变性提供了一个很好的范例，鹦鹉螺壳的剖面显示出对数螺线，是瑞士数学家伯努利取的名称，是他首先发现这曲线的标度变换不变性，他感到这曲线具有如此美妙的性质，嘱咐要把它铭刻在自己的墓碑上，并附上一句颂词，意思是“虽然改变了，我还是和原来一样！”

我们仔细观察向日葵的花盘上也排列出很多相互交织的对数螺线。

在物理世界中有一种统计意义下的标度不变性，例如布朗运动曲线，如果我们把这条曲线的某个局部放大，它与原来的曲线类似，这是一种在标度变换下呈现的自相似现象。

更通俗的例子，可以考虑海岸线的长度，严格说来，它与所采用的比例尺有关，在小比例尺的地图上，海岸线上许多小的曲折被拉直了，总长度显得短了。随着比例尺不断放大，一批越来越小的海湾显露出来，海岸线的总长度也就越变越长，这过程实际上是无穷无尽的，即使绘制一平方米，甚至一平方厘米范围内

的地图，由海滩上那些大大小小的砂粒组成的海岸线仍旧是曲曲弯弯的，亦即，海岸线在标度下具有无限嵌套的自相似性，在无限大比例尺的情况下，海岸线的长度将趋于无穷。

通常说，曲面是二维的，曲线是一维的，二维的曲面有一定的面积，一维的曲线面积为零，但有一定的长度，象海岸线那样的形体，面积为零，但长度为无穷大，它的维数介于1和2之间不是整数，这种具有分数维的形体，叫做“分形”。

分形理论诞生于70年代中期，创始人是美国IBM的研究人员芒德勃罗，他于1982年出版了《大自然的分形几何学》，是这一学科的经典著作。

芒德勃罗所受的教育不很规则，他声称背字母表也有困难，但他善于用图形化的方式思维，1944年他在大学入学考试中不能很好地对付代数题，但他却成功地在头脑中通过把代数问题转化为图形问题而取得高分，以总分第一考入法国高等师范学院。

芒德勃罗不但对几何形状感兴趣，而且特别关注“不规则”的形状，从50年代起，他孤身一人，整日思索着一种新的几何学试图通过它统一描述自然、社会中普遍存在的各种不规则现象，如流体湍动，曲折的海岸线、多变的天气、动荡的股市、经济收入分配关系、棉花价格的波动等等。

1975年的一天，他翻着儿子的拉丁语课本，突然受到启发，决定根据fractus创造一个新词“fractal”(英文词)，70年代末传到中国，被译为“分形”。

芒德勃罗用分形来刻画股票价格，显示了大的涨跌期模仿着每月、每天的价格波动，于是整个市场从它的最大尺度到最小尺度是自相似的。

他用分形可不使用天文数据，而通过数学图形显示了天体物理学家刚证实的宇宙星系分布。

80年代前，分形概念的价值并没有惹人重视，一直到80年代中期，各个数理学科几乎同时认识了它的价值，人们惊奇地发现，哪里有混沌、湍动、混乱，分形几何学就在那里登场。

分形是近20年来科学前沿领域提出的一个非常重要的概念，具有极强的概括力和解释力，分形理论是一种非常深刻、有价值、让人着迷的理论，是非线性科学中最重要的概念之一。

著名理论物理学家惠勒说过，在过去一个人如果不懂得“熵”是怎么回事，就不能说是科学上有教养的人；在将来，一个人如果不能熟悉分形，他就不能被认为是科学上的文化人。

分形不但抓住了混沌与噪声的实质，而且抓住了范围更广的一系列自然形式的本质，这些形式的几何在过去相当长的时间里是没办法描述的，如海岸线、树枝、山脉、星系分布、云朵、聚合物、天气模式、大脑皮层褶皱、肺部支气管分支及血液微循环管道等等，用分形去描述大自然丰富多彩的面貌应当是最方便、最适宜的。