线性代数公式定理
线代公式定理
章一、行列式
1、n 阶行列式
（1）（定义)由自然数1，2，···，n 组成的一个有序数组称为一个n 阶排列，记为j 1j 2…j n .
（2）（定义)在一个排列中，若一个较大的数排在一个较小的数的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数.用 (j 1j 2…j n )表示排列j 1,j 2,…,j n 的逆序数.逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数是奇数的排列称为奇排列。
(3)（定义）把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到一个新的排列，这种变换称为排列的一个对换。
（4）（定理）一次对换改变排列奇偶性。
（5）（推论）任何一个n 阶排列都可以通过对换化成标准排列,并且所作对换的次数的奇偶性与该排列的奇偶性相同。
（6）三阶行列式的计算：
I 沙路法 II 对角线法则
（7）三角行列式的计算：下（上）三角形行列式的值等于主对角线
nn n n a a a a a a
212221
11
000
上元素的乘积，即
2、行列式的性质
（1）(性质)行列式与它的转置行列式相等,即。
（2）(性质)如果行列式某一行(列)元素有公因数 k , 则 k 可以提到行列式符号外边。
（3）（推论）如果行列式中某一行(列)元素全为零, 那么行列式等于零。
（4）(性质)如果行列式中两行（列）互换，那么行列式只改变一个符号。
（5）(推论)若行列式中有两行(列)相同, 则行列式的值为零。
（6）(推论)如果行列式中两行（列）的对应元素成比例，那么行列式值为 0。
（7）(性质)如果行列式某行(列)的各元素都可以写成两数之和, 则此行列式等于两个行列式的和。
（8）(性质)如果将行列式中某行（列）的各元素同乘一数k 后，加到另一行（列）的各对应元素上，则行列式的值不变。
（9）（性质）若a ij =a ji (i ,j =1,2,…,n) ,则称行列式 D 为对称的； 若 a ij =-a ji (i,j =1,2,…,n) ,则称行列式D 为反对称. 由定义易知,在反对称行
nn
a a a 2211
列式中, a ii =0(i =1,2,…,n)。
3、行列式的展开与计算
（1）（定义）在n 阶行列式 D =|a ij |n 中，划掉元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列后,留下的元素按照原来的顺序组成的 n-1阶行列式称为
元素 a ij 的余子式,记为M ij 。
ij j i ij M A +-=)1(称为元素a ij 的代数余子式。
·（2）（定理）n 阶行列式 D=|a ij |n 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
（3）定理1.3.2 n 阶行列式D=|a ij |n 中某一行(列)的各个元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于0.即
（
（4）两个重要公式：
（5）（定义）在n 阶行列式D 中,任取k 行、k 列(1≤k ≤n -1)，由这些行和列交叉处的元素按照原来的相对位置所构成的k 阶行列式N ，称为D 的一个k 阶子式. 在行列式D 中去掉k 阶子式N 所在的
in in i i i i A a A a A a D +++= 2211)
,,2,1(n i
=
行和列以后，剩下的元素按原来的顺序构成的n-k阶行列式M, 称为N的余子式若N所在的行序数为i1,i2,…,i k,所在的列序数为j1,j2,…,j k,则称
为N的代数余子式。
（6）(拉普拉斯(Laplace)定理) 在n阶行列式D 中任意选取k 行（列）(1≤k≤n-1), 则由这k个行（列）中的一切k 阶子式N1,N2,…,N t与它们所对应的代数余子式A1,A2,…,A t乘积之和等于D，即其中。
4、克莱姆法则
（1）(克莱姆(Cramer)法则) 如果线性方程组（1.4.1）的系数行列式D≠0,则方程组有唯一解，并且解可以用行列式表示为
，其中D j (j=1,2,…,n)是把系数行列式D中第j列的元素用方程组（1.4.1）右端的常数项b1,b2,…,b n代替后所得到的n阶行列式，即
（2）（定义）当线性方程组(1.4.1)右端的常数项b1,b2,…,b n不全为零时，称为非齐次线性方程组；当b1,b2,…,b n全为零时，称为齐次线性方程组。
（3）（推论）若齐次线性方程组
的系数行列式D≠0 ,则它只有唯一的零解。
（4）（定理）若齐次线性方程组有非零解，则系数行列式D=0. 5、数域
(1)(定义)设P是由一些数组成的集合,包含0和1.如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不等于零）仍在P中,那么我们称P是一个数域。
(2)（定理）设P为任何一个数域，则Q ?P。
章二、矩阵
一、概念
（1）（定义）数域P 上m×n个数a ij(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)排成的m行n列数表
称为P上的一个m行n列矩阵，或称为m?n矩阵,简记为(a ij) m×n 或(a ij). 其中a ij称为这个矩阵中第i行第j列的元素.当P是实数域时,称数表为实矩阵,当P是复数域时,称数表为复矩阵。（2）行矩阵、列矩阵：在m?n矩阵A=(a ij)中, 如果m=1,这
时A=(a11,a12,…,a1n),称其为行矩阵,也称为n维行向量；如果
n=1,这时称其为列矩阵,也称为m维列向量。零矩阵：
所有元素都为零的m?n矩阵称为零矩阵,记为O m×n或O。
（3）在m?n矩阵A=(a ij)中, 当m=n时,称为n阶方阵,简记为(a ij)n.
（4）对于n阶方阵A,可定义行列式，称其为矩阵A的行列式,记为|A|。
（5）形如的矩称为单位阵。
（6）非主对角线上元素全为零的n阶方阵称为对角形矩阵,记为
简写为。
（7）当n阶对角形矩阵主对角线上的元素时,称为数量矩阵。
（8）上(下)三角形矩阵：在n阶方阵(a ij)n中,如果主对角线下（上）方的元素全为零,即当i>j时,a ij=0 (i,j=1,2,… ,n) ,则称之为上（下）三角形矩阵。
二、运算
（1）（定义）两个矩阵A =(a ij)m×n ,B=(b ij)s×t ,如果m=s,n=t,称A 与B是同型矩阵;若数域P上的同型矩阵A=(a ij)m×n 与B=(b ij)m×n 的对应元素相等,即a ij =b ij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),称A与B相等,记作A=B。
（2）（定义）设A=(a ij)m×n,B=(b ij)m×n为数域P上的两个同型矩阵，称矩阵(a ij+b ij) m×n为矩阵A与B的和,记作。（3）定义2.2.3 设A=(a ij)m×n为数域P上的矩阵,k∈P.数k与矩阵A的每个元素相乘后得到的矩阵(ka ij)m×n称为数k与矩阵A的数量乘积,简称为数乘,记作。
（4）矩阵的加法与数乘称为矩阵的线性运算若矩阵A=(a ij)m×n,则称矩阵(-a ij)m×n为矩阵A的负矩阵,记为-A。
（5）运算律：
①加法交换律A+B=B+A；
②加法结合律(A+B)+C=A+(B+C);
③A+O=O+A=A,这里O是与A同型的零矩阵;
④A+(-A)=(-A)+A=O；
⑤)k(A+B)=kA+kB；
⑥(k+l)A=kA+lA；
⑦(kl)A=k(lA)=l(kA)；
⑧1A=A,0A=O；
（6）（定义）设A=(a ij)m×k,B=(b ij)k×n, C=(C ij)m×n均为数域P上的矩阵,
其中
称矩阵C是A与B的乘积,记作C=AB。
***只有当左乘矩阵A的列数等于右乘矩阵B的行数时,乘积AB才有意义.乘积矩阵AB的行数等于左乘矩阵A的行数，AB的列数等于右乘矩阵B的列数
（7）矩阵乘法与数的乘法区别：
①矩阵乘法不满足交换律；
②矩阵乘法不满足消去律；
③两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵；
（8）设A,B,C为数域P上的矩阵，k∈P，它们的乘法满足如下运算规律:①结合律(AB)C=A(BC)；
②分配律A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA；
③k(AB)=(kA)B=A(kB),k为任意常数；
（9）定义2.2.5 设A是n阶矩阵,k为正整数,定义k个A的连乘积为A的k次幂,记作A k,即这里规定
A0=E。
（10）定理2.1.1 设A、B均为n阶方阵,k为常数,则|kA|=k n|A|，|AB|=|A||B|。（要求A,Ｂ为同型矩阵）
（11）（定义）设m×n矩阵，将矩阵A的
行列互换,而不改变其先后次序得到的n×m矩阵
称为矩阵Ａ的转置矩阵，记为A T(或A′)。
（１２）设A,B为数域P上的矩阵,k∈P,矩阵的转置满足如下运算规律:①(A T)T=A；
②(A+B)T=A T+B T；
③(kA)T=kA T (k为任意常数)；
④|A T|=|A|（A为方阵）；
⑤(AB)T=B T A T；
（１３）（定义）设A=(a ij)是n阶方阵,如果A T=A,即a ij=a ji(i,j=1,2,…,n)，则称A为对称矩阵;如果A T=-A,即a ij=-a ji(i,j=1,2,…,n)，则称A为反对称矩阵．显然在反对称矩阵中,主对角线上的元素均为零．
三、逆矩阵
(1)(定义)设A是n阶方阵,若有一个n阶方阵B,使得AB=BA=E,则B 称为A的逆矩阵,A称为可逆矩阵,或非奇异矩阵;定义中A与B的地位是等同的,所以B也是可逆矩阵, 并且A是B的逆矩阵。
(2)定理2.3.1 若A是一个n阶可逆矩阵, 则它的逆矩阵是唯一的
(3)（定义）设A=(a ij)n×n,A ij为的行列式|A|中元素a ij的代数
余子式,称为矩阵A的伴随矩阵。(4)（定理）n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A| 0,且A可逆时,
有。
(5)（推论）设A与B都是n阶方阵,若AB=E, 则A, B都可逆,并且A-1=B,B-1=A。
（6）（性质）若A可逆,则A-1可逆,且(A-1)-1=A
（7）（性质）若A可逆, 则|A-1|=|A|-1.
（8）（性质）若A可逆, 则(A T)-1=(A-1)T
（9）（性质）若n阶矩阵A,B都可逆, 则AB可逆,且(AB)-1=B-1A-1。（10）（性质）若A可逆,数k≠0,则(kA)-1 = k-1A-1。
（11）（性质）若A可逆,且AB=O,则B=O（12）性质7 若A可逆,且AB=AC,则B=C（13）矩阵方程AX=C,XA=C,AXB=C 其中A、B 均为可逆矩阵.则上述矩阵方程分别有唯一解X=A-1C，X=CA-1，X=A-1CB-1
（14）（定义）设A为实数域R上的方阵,如果它满足AAT=ATA=E,则称A为正交矩阵。
（15）（定理）实数域R上的方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A-1=A T。(16)正交矩阵的性质：
①若A为正交矩阵,则|A|=1或|A|=-1；
②正交矩阵的逆矩阵及转置矩阵仍为正交矩阵；
③若A、B是同阶正交矩阵,则AB也是正交矩阵;
④) 正交矩阵的每行(列)元素的平方和等于1, 不同两行(列)的对应元素乘积之和等于0。
四、分块矩阵
（1）定义2.4.1 设A是一个矩阵,用贯穿于的纵线和横线按某种需要将其划分成若干个阶数较低的矩阵,这种矩阵称为A的子块或子矩阵,以这些子块为元素构成的矩阵称为A的分块矩阵。（2）分块矩阵的运算：
设A,B为m×n矩阵,将A,B采用同样的方法进行分块,得到
则有
（k为常数）
若分块矩阵，则有
（3）分块矩阵的乘法：
设矩阵A=(a ij)m×s,B=(b ij)s×n,用分块矩阵计算A,B的乘积AB时, 一定要使A的列的分法与B的行的分法一致,这样不仅可以保证A,B作为分块矩阵可乘,而且它们相应的各子块间的乘法也有意义,即
其中矩阵A的子块A ik为m i×s k(i=1,2,…,r, k = 1,2,…,p ) 矩阵,矩阵B 的子块B kj 为s k×n j (k=1,2,…,p; j=1,2,…,q ) 矩阵,且
则
其中为m i×n j矩阵(i=1,2,…,r，j=1,2,…,q)。（4）定义2.5.2 设A为n阶方阵,如果它的分块矩阵具有如下
形式
其中A i (i =1,2,…,s)为n i阶方阵则称A为准对角形矩阵。
（5）设A,B同型方阵，且子块同型，则有
1.
2.
3. |A|=|A1||A2|…|A s|；
4.若|A i|≠0(i =1,2,…,s),则
五、初等变换与初等矩阵
（1）（定义）矩阵A的下列变换称为它的初等行（或列）变换：（三种初等变换分别简称为互换、倍乘、倍加。矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换）
1.互换矩阵A的第i行与第j行（或第i列与第j列）的位置，记为r i?r j(或c i?c j );
2.用常数k≠0去乘矩阵A的第i行(或第j列)，记为kr i(或kc j );
3.将矩阵A的第j行（或第j列）各元素的k倍加到第i行(或第i列)的对应元素上去，记为r i+kr j(或c i+kc j );
（2）定义2.5.2 如果矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵B, 则称A与B等价，记为A≌B，或A→B。
（3）等价是矩阵间的基本性质:
1.自反性：A≌A：
2.对称性：若A≌B, 则B≌A;
3.传递性：若A≌B, B≌C, 则A≌C；
（4）（定义）如果矩阵A满足下列条件：
①若有零行，则零行全在矩阵A的下方；
②A的各非零行的第一个非零元素的列序数小于下一行中第一个非零元素的列序数；
则称A为行阶梯形矩阵，或阶梯形矩阵。{如果矩阵A除满足上述条件①、②外，还满足条件：③各非零行的第一个非零元素均为1，且所在列的其它元素都为零，则称A为简化的阶梯形矩阵。}
（5）阶梯形矩阵的一般形式为
（6）上述矩阵中,b k(1≤k≤r)为非零常数，*号表示某一常数。（7）定理2.5.1 任何非零矩阵都可以通过初等行变换化为阶梯形。
（8）定理2.5.2 任意非零矩阵A=(a ij)m×n都与它的标准形等价,
即存在矩阵使得，其中E r
为r阶单位矩阵,1≤r≤min {m,n}。
（9）（定义）由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（三种变换方式对应三种类型的初等矩阵：分别称为互换、倍乘、倍加初等矩阵）。
（10）初等矩阵的性质：
①初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等矩阵；
②初等矩阵都是可逆矩阵；
③初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，且
（11）（定理）设A是一个m×n矩阵, 对A作一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A作一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n初等矩阵。（由这个定理，矩阵的初等变换和矩阵乘法建立了联系）
（12）（定理）m?n矩阵A与B等价?有m阶初等矩阵P1,P2,…,P s
与n阶初等矩Q1,Q2,…,Q t ,使得。若记P= P1,P2,…,P s，Q=Q1,Q2,…,Q t，则P为m阶可逆矩阵，
Q为n阶可逆矩阵，于是得到以下推论：
①推论：m?n矩阵A与B等价?存在m阶可逆矩阵P与n阶
可逆矩阵Q ,使得ＰＡＢ＝Ｂ。
②推论：对于任意非零m?n矩阵A?存在m阶可逆矩阵P与n
阶可逆矩阵Q,使得。
③推论：若A为n阶可逆矩阵，则A≌ E。
④推论：推论4 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是它可表示成
有限个初等矩阵的乘积。
（１３）可利用下面的方式求Ａ的逆矩阵。
六、矩阵的秩
（１）（定义）在矩阵A中,任取k行,k列(1≤k≤min(m,n)),由这些行列交叉处的k2个元素按原来的顺序构成的k阶行列式,称为矩阵A的一个k阶子式。
（２）（定义）若在m×n矩阵A中,有一个r阶子式不为零,而所有的r+1阶子式(若存在的话)都为零,则称r为矩阵A的秩,记为R(A)=r。特别的，零矩阵的秩规定为零。（***：如果矩阵A的所有的r +1阶子式都为零,那么A的所有高于r +1阶的子式(若存在的话)也必然为零.因此R(A)是A中不为零的子式的最高阶数）（３）由定义以上可以看出,在矩阵A中,若存在一个r阶子式不为零,则R(A)≥r,若所有的r+1阶子式都为零,则R(A)≤r。
（４）对于矩阵A=(a ij)m×n,显然有。由矩阵秩的定义，显然阶梯形矩阵的秩等于矩阵中非零行的行数。
（５）（定理）n阶方阵A的秩为n的充分必要条件是A为可逆矩阵。
即R (A )=n ? A 可逆。
（6）对于n 阶方阵A,若R(A)=n,则称A 为满秩矩阵,若R(A) （7）（定理）初等变换不改变矩阵的秩。 （8）任意非零矩阵A 都可以经过有限次初等变换化为标准形 它的标准形是唯一的,并且R (A )=r 。 （9）)（推论）两个同型矩阵A 与B 等价的充分必要条件是 R (A )=R (B )。 （10）推论2 设A 为m ×n 矩阵,P 和Q 分别为m 阶与n 阶可逆矩阵,则有： （11）R (A +B )≤R (A )+R (B )，R （AB ）≤ｍｉｎ{Ｒ（Ａ），Ｒ（Ｂ）}。 章三、向量组的线性相关性 一、向量的概念与运算 （１）（定义）由数域P 上的n 个数组成的有序数组 (a 1,a 2,…,a n )，称为P 上的一个n 维向量，记为α，即α= (a 1,a 2,…,a n )。 （２）α=(a 1,a 2,…,a n )称为n 维行向量，?????? ? ??=n a a a 21β称为n 维列向量。 （３）在线性方程组 中，令 ， ，，x =(x1,x2,…,x n)T 则方程组可写作Ax=b，并记 ， 称为增广矩阵。 （4）线性变换的系数矩阵 线性变换的定义：设变量12,,,m y y y 能用变量12,,,n x x x 线性表示，即 11111221221122221122n n n n m m m mn n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x =+++??=+++????=+++? 这里i j a (1,2,,;1,2,,)i m j n ==为常数．这种从变量12,,,n x x x 到变量 12,,,m y y y 的变换称为线性变换， 线性变换由m 个n 元函数组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称之为线性变换。 11121212221 2n n m m mn a a a a a a a a a ?? ? ?= ? ? ???A 称之为线性变换的系数矩阵。线性变换和系数矩阵是一一对应的。 二、 向量组的线性相关性 （1）（定义）设α1 , α2 , … , αm , β都是数域P 上的n 维向量，如果存在数域P 上的数k 1,k 2, …,k m ，使得 ，则称β是向量α1,α2, …,αm 的线性组合，或称β可由向量组α1，α2, …,αm 线性表出(示)。 （2）判断一个向量组是否线性相关，往往把其转化为对线性齐次方程组是否有非零解的讨论。系数行列式为零，该方程组有非零解，故向量组α1,α2,α3,α4线性相关；系数行列式不为零，该方程组无非零解，故向量组α1,α2,α3,α4线性不相关。 （3）（定理）向量组α1,α2, …,αm (m ≥2)线性相关，其中至少有一个向量可由其m -1余个向量线性表出。 （4）推论 向量组α1,α2, …,αm (m ≥2)线性无关的充分必要条件是：其中每一个向量都不能由其余向量线性表出。 （5）定理3.2.2若向量组α1,α2, …,αm线性无关，而α1,α2, …,αm, β线性相关，则β可由α1,α2, …,αm线性表出，而且表法唯一。 （6）定理3.2.3 向量组α1,α2, …,αm线性相关的充要条件是R(A) （7）定理3.2.3′向量组β1,β2,…,βn线性相关的充要条件是R(A) （8）推论1m×n矩阵A的m个行向量线性无关的充要条件是R(A)=m；m×n矩阵A的n个列向量线性无关的充要条件是R(A) =n. （9）推论2如果一个向量组中向量的个数m大于向量的维数n, 则该向量组线性相关；特别地,任意n+1个n维向量必定是线性相关的. （10）推论3 设αi=(αi1,αi2, …,αin)，i= 1, 2, …, n，则 (1)n个维向量线性无关的充分必要条件是: （2）n个维向量线性相关的充分必要条件是: 线性代数公式大全——最新修订 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； 概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ????? ?? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○ 注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○ 注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+ 12121211 12121222()121 2()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ 1 √ 行列式的计算： ①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 == ()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *= =* * =-1（拉普拉斯展开式） ③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==- 1 （即：所有取自不同行不 同列的n 个元素的乘积的代数和） ⑤范德蒙德行列式：()1 2 2 22 1211 1112n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏ 111 由m n ?个数排成的m 行n 列的表11 12121 2221 2 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ? ?? 称为m n ?矩阵.记作：()ij m n A a ?=或m n A ? () 1121112222* 12n T n ij n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ? == ? ? ?? ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法: ① 1 A A A *-= ○注： 1 a b d b c d c a ad bc --????= ? ? --???? 1 主换位副变号 线性代数基本定理一、矩阵的运算 1.不可逆矩阵的运算不满足消去律AB=O,A 也可以不等于 O 11-1-1?è???÷1-1-11?è???÷=0000?è?? ? ÷ 2.矩阵不可交换 (A+B)2=A 2+AB+BA+B 2 (AB)k =ABABABAB ...A B 3.常被忽略的矩阵运算规则 (A+B)T =A T +B T (l A)T =l A T 4.反称矩阵对角线元素全为0 4.矩阵逆运算的简便运算 (diag(a 1,a 2 ,...,a n ))-1=diag( 1 a 1 , 1 a 2 ,..., 1 a n ) (kA)-1=1 k A-1 方法 1.特殊矩阵的乘法 A．对角矩阵乘以对角矩阵，结果仍为对角矩阵。且： B．上三角矩阵乘以上三角矩阵，结果为上三角矩阵2.矩阵等价的判断 A@B?R(A)=R(B) 任何矩阵等价于其标准型 3.左乘初等矩阵为行变换，右乘初等矩阵为列变换如：m*n 的矩阵，左乘 m 阶为行变换，右乘 n 阶为列变换 4. 给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆如：A 2 -A-2I =O ，证明(A+2I)可逆。把2I 项挪到等式右边，左边凑出含有 A+2I 的一个多项式， 在确保A 平方项与 A 项的系数分别为原式的系数情况下，看I 项多加或少加了几个。5.矩阵的分块进行计算加法：分块方法完全相同 矩阵乘法（以A*B 为例）：A 的列的分法要与B 行的分法一 致，如： 如红线所示：左边矩阵列分块在第 2列与第3列之间，那么，右边矩阵分 块在第二行与第三行之间 1-1003-1000100002-1 é? êêêêù?úúúú1000-1000013-1021 4 é? ê êêêù? úúúú 线性代数 第一章行列式 一、相关概念 1.行列式——n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 的代数和，这里是1，2，···n的一个排列。当是偶排列时，该项的前面带正号；当是奇排列时，该项的前面带负号，即 (1.1) 这里表示对所有n阶排列求和。式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。 2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用表示排列的逆序数。 3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。 4.2阶与3阶行列式的展开——， 5.余子式与代数余子式——在n阶行列式中划去所在的第i行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式 称为的余子式，记为；称为的代数余子式，记为，即。 6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如，称为A的伴随矩阵，记作。 二、行列式的性质 1.经过转置行列式的值不变，即→行列式行的性质与列的性质是对等的。 2.两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0. 3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。 4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和： 5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变： 6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0 三、行列式展开公式 n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即 |A|按i行展开的展开式 |A|按j列展开的展开式 四、行列式的公式 1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积； 2.关于副对角线的n阶行列式的值 3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则 4.范德蒙行列式 5.抽象n阶方阵行列式公式(矩阵) 若A、B都是n阶矩阵，是A的伴随矩阵，若A可逆，是A的特征值： XX年考研线性代数重点内容和典型题型总结线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，专家们提醒广大的xx年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对xx年考研的同学 们学习有帮助。 行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题 为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必 然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算 行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进 行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数 的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《xx年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。 矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴 随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。 向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。xx年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。 往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论).主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。 特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化.重点题型有：数 线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D ' 3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩 1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1) (1) i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1) 2 1 (1) n n D D -=-；(1) 2 2 (1) n n D D -=- 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4 D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1) m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1) n n k n k k k E A S λλλ -=-=+ -∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明 A =的方法： ①、 A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ? 齐次方程组0 Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； 考研数学线性代数行列式的计算方法考研数学线性代数行列式的计算方法 一、基本内容及历年大纲要求。 本章内容包括行列式的定义、性质及展开定理。从整体上来看，历年大纲要求了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列 式的性质及展开定理计算行列式。不过要想达到大纲中的要求还需 要考生理解排列、逆序、余子式、代数余子式的概念，以及性质中 的相关推论是如何得到的。 二、行列式在线性代数中的地位。 行列式是线性代数中最基本的运算之一,也是考生复习考研线性 代数必须掌握的基本技能之一(另一项基本技能是求解线性方程组)，另外，行列式还是解决后续章节问题的一个重要工具，不论是后续 章节中出现的重要概念还是重要定理、解题方法等都与行列式有着 密切的联系。 三、行列式的计算。 由于行列式的计算贯穿整个学科，这就导致了它不仅计算方法灵活，而且出题方式也比较多变，这也是广大考生在复习线性代数时 面临的第一道关卡。虽然行列式的计算考查形式多变，但是从本质 上来讲可以分为两类：一是数值型行列式的计算;二是抽象型行列式 的计算。 1.数值型行列式的计算 主要方法有： (1)利用行列式的定义来求，这一方法适用任何数值型行列式的 计算，但是它计算量大，而且容易出错; (2)利用公式，主要适用二阶、三阶行列式的计算; (3)利用展开定理，主要适用出现零元较多的行列式计算; (4)利用范德蒙行列式，主要适用于与它具有类似结构或形式的行列式计算; (5)利用三角化的思想，主要适用于高阶行列式的计算，其主要思想是找1，化0，展开。 2.抽象型行列式的计算 主要计算方法有： (1)利用行列式的性质，主要适用于矩阵或者行列式是以列向量的形式给出的; (2)利用矩阵的运算，主要适用于能分解成两个矩阵相乘的'行列式的计算; (3)利用矩阵的特征值，主要适用于已知或可以间接求出矩阵特征值的行列式的计算; (4)利用相关公式，主要适用于两个矩阵相乘或者是可以转化为两个矩阵相乘的行列式计算; (5)利用单位阵进行变形，主要适用于既不能不能利用行列式的性质又不能进行合并两个矩阵加和的行列式计算。 我们究竟该做多少年的真题? 建议大家在刚开始复习的时候，不要去做真题，因为以你刚开始复习的程度还不足以支撑起真题的难度和深度。我们做真题的时间是在我们的强化阶段结束之后，也就是提高阶段和冲刺模考去做真题。 应该怎么样去做真题? 第一：练习重质不重量 考研数学线性代数常用公式 数学考研考前必背常考公式集锦。希望对考生在暑期的复习中有所帮助。本文内容为线性代数的常考公式汇总。 1、行列式的展开定理 行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之 和，即 C 的 3、设A 为n 阶方阵，*A 为它的伴随矩阵则有**==AA A A A E . 设A 为n 阶方阵，那么当AB =E 或BA =E 时，有1-B =A 4、 对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种： 第一种：交换单位矩阵的第i 行和第j 行得到的初等矩阵记作ij E ，该矩阵也 可以看做交换单位矩阵的第i 列和第j 列得到的.如1,3001010100?? ?= ? ?? ?E . 第二种：将一个非零数k 乘到单位矩阵的第i 行得到的初等矩阵记作()i k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵第i 列乘以非零数k 得到的.如 2100(5)050001?? ?-=- ? ?? ?E . 第三种：将单位矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行上得到的初等矩阵记作()ij k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第j 列的k 倍加到第i 列上得到的.如 3,2100(2)012001?? ?-=- ? ??? E . 注： 1）初等矩阵都只能是单位矩阵一次初等变换之后得到的. 2）对每个初等矩阵，都要从行和列的两个角度来理解它，这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵()ij k E 看做列变换是将单位矩阵第j 列的k 倍加到第i 列，这一点考生比较容易犯错. 5、矩阵A 最高阶非零子式的阶数称之为矩阵A 的秩，记为()r A . 1）()()(),0r r r k k ==≠T A A A ； 2）()1r ≠?≥A O A ； 3）()1r =?≠A A O 且A 各行元素成比例； 4）设A 为n 阶矩阵，则()0r n =?≠A A . 6、线性表出 设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，12,,...m k k k 是m 个常数，则称1122...m m k k k ααα+++为向量组12,,...,m ααα的一个线性组合. 设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，β是一个n 维向量，如果β为向量组 线性代数公式大全 1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式：A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 5. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1) n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 6. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵； ?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n 阶矩阵A ：* * AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1* *1 11**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== * * * 1 1 1 ()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆： 若12 s A A A A ?? ? ?= ? ?? ? ，则： Ⅰ、12s A A A A = ； Ⅱ、1 1112 1s A A A A ----?? ? ?= ? ? ?? ? ； ②、1 11A O A O O B O B ---?? ?? = ? ????? ；（主对角分块） ③、1 11O A O B B O A O ---?? ??= ? ? ???? ；（副对角分块） ④、1 1111A C A A CB O B O B -----?? -?? = ? ????? ；（拉普拉斯） ⑤、1 111 1A O A O C B B CA B -----?? ?? = ? ?-???? ；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r m n E O F O O ???= ???； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ； 2. 行最简形矩阵： 线性代数公式必记 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； 考研数学线代定理公式汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 3 概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ????? ?? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○ 注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○ 注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+ 4 ? ? ????? →???? :;具有 向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ???： ①称为n ? 的标准基，n ? 中的自然基，单位坐标向量87p 教材； ②12,,,n e e e ???线性无关； ③12,,,1n e e e ???=； ④tr =E n ； ⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示. 行列式的定义 1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= =-∑ L L L L L M M M L 1 √ 行列式的计算： ①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 从近几年的真题来看，数学线性代数出题没有过多的变化，2014年的考研[微博]学子们，如何做到在千军万马中胜出，需要我们提前准备，更要做到心中有数，下面跨考教育[微博]数学教研室张老师就考研中线性代数部分的复习重点 在考前再给大家梳理一遍。 一、行列式与矩阵 第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练 掌握。 行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计 算，其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于相关性质，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、运算性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初 等矩阵的性质等。 二、向量与线性方程组 向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。 向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。 解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组(一般式) 还具有两种形式：(1)矩阵形式，(2)向量形式。 1)齐次线性方程组与线性相关、无关的联系 齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立；印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。 齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解；②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成 立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立；但向量部分中判断向量组是否线性相关无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关无关的概念就是为了更好地讨论线 性方程组问题而提出的。 《线性代数》知识点归纳整理诚毅 学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 12 -线性代数公式大全最全最完美
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