人教版七年级上册巧用角平分线的有关计算

专训1 巧用角平分线的有关计算

名师点金：角平分线的定义是进行角度计算常见的重要依据，因此解这类题要从角平分线找角的数量关系，利用图形中相等的角的位置关系，结合角的和、差关系求解．

角平分线间的夹角问题(分类讨论思想)

1．已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．

巧用角平分线解决折叠问题(折叠法) 2．如图，将一张长方形纸斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，然后把BE折过去，使之落在A′B所在直线上，折痕为BD，那么两折痕BC与BD间的夹角是多少度？

(第2题)

巧用角平分线解决角的和、差、倍、分问

题(方程思想)

3．如图，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝19°，求∠AOB的度数．

(第3题)

巧用角平分线解决角的推理说明问题(转化思想)

4．如图，已知OD，OE，OF分别为∠AOB，∠AOC，∠BOC的平分线，∠DOE和∠COF有怎样的关系？说明理由．

(第4题)

角平分线与线段中点的结合5．如图，(1)已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON 的度数；

(2)如果(1)中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；

(3)如果(1)中∠BOC＝β(0°＜β＜90°)，其他条件不变，求∠MON的度数；

(4)从(1)(2)(3)的结果中能得到什么样的规律？

(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)～(4)，设计一道以线段为背景的计算题，给出解答，并写出其中的规律．【导学号：11972076】

(第5题)

答案

1．解：如图①，当OC 落在∠AOB 的内部时， 因为OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，

所以∠BOM ＝12∠AOB ＝12×100°＝50°，∠BON ＝12∠BOC ＝1

2×60°＝30°，

所以∠MON ＝∠BOM －∠BON ＝50°－30°＝20°.

(第1题)

如图②，当OC 落在∠AOB 的外部时， 因为OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，

所以∠BOM ＝12∠AOB ＝12×100°＝50°，∠BON ＝12∠BOC ＝1

2×60°＝30°.

所以∠MON ＝∠BOM ＋∠BON ＝50°＋30°＝80°. 综上可知，∠MON 的度数为20°或80°.

点拨：本题已知没有图，作图时应考虑OC 落在∠AOB 的内部和外部两种情况，体现了分类讨论思想的运用．

2．解：因为∠CBA 与∠CBA ′折叠重合， 所以∠CBA ＝∠CBA ′.

因为∠EBD 与∠A ′BD 折叠重合， 所以∠EBD ＝∠A ′BD.

又因为∠ABC ＋∠CBA ′＋∠A ′BD ＋∠EBD ＝180°， 所以∠CBD ＝∠CBA ′＋∠A ′BD ＝1

2×180°＝90°.

即两折痕BC 与BD 间的夹角为90°.

点拨：本题可运用折叠法动手折叠，便于寻找角与角之间的关系． 3．解：设∠AOC ＝x ，则∠COB ＝2x.

因为OD 平分∠AOB ，所以∠AOD ＝12∠AOB ＝12(∠AOC ＋∠BOC)＝3

2x.

又因为∠DOC ＝∠AOD －∠AOC ，所以19°＝3

2x －x ，

解得x ＝38°.

所以∠AOB ＝3x ＝3×38°＝114°.

点拨：根据图形巧设未知数，用角与角之间的数量关系构建关于未知数的方程，求出角的度数，体现了方程思想的运用．

4．解：∠DOE ＝∠COF.理由如下： 因为OD 平分∠AOB ，所以∠DOB ＝1

2

∠AOB.

因为OF 平分∠BOC ，所以∠BOF ＝12∠BOC ，所以∠DOB ＋∠BOF ＝12∠AOB ＋12∠BOC ＝1

2∠

AOC ，即∠DOF ＝12∠AOC.又因为OE 平分∠AOC ，所以∠EOC ＝1

2∠AOC ，所以∠DOF ＝∠EOC.又

因为∠DOF ＝∠DOE ＋∠EOF ，∠EOC ＝∠EOF ＋∠COF ，所以∠DOE ＝∠COF.

点拨：欲找出∠DOE 与∠COF 的关系，只要找到∠DOF 与∠COE 的关系即可．而OD ，OF 分别是∠AOB ，∠BOC 的平分线，那么由此可得到∠DOF 与∠AOC 的关系，而且又有∠EOC ＝

1

2∠AOC ，即可转化成∠DOF 与∠EOC 的关系，进而可得∠DOE 与∠COF 的关系，体现了转化思想的运用．

5．解：(1)因为OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ， 所以∠MOC ＝12∠AOC ，∠NOC ＝1

2

∠BOC ，

所以∠MON ＝∠MOC －∠NOC ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(∠AOB ＋∠BOC)－12∠BOC ＝1

2∠AOB ＝

45°.

(2)∠MON ＝12∠AOB ＝α

2.

(3)∠MON ＝1

2

∠AOB ＝45°.

(4)从(1)(2)(3)的结果中可看出：∠MON 的大小总等于∠AOB 的一半，而与∠BOC 的大小无关．

(5)可设计的问题为：如图，线段AB ＝a ，延长AB 到C 使BC ＝b ，点M ，N 分别是线段AC ，BC 的中点，求线段MN 的长．

(第5题)

解：因为点M ，N 分别是线段AC ，BC 的中点， 所以MC ＝12AC ，NC ＝1

2

BC.

所以MN ＝MC －NC ＝12(AC －BC)＝12AB ＝1

2

a.

初中数学试卷