全国高中数学随机变量分布列知识点
第二章随机变量及其分布
内容提要：
一、随机变量的定义
设是一个随机试验，其样本空间为，若对每一个样本点，都有唯一确定的实数
与之对应，则称上的实值函数是一个随机变量（简记为）。矚慫润厲钐瘗睞枥
庑赖。
二、分布函数的概念和性质 1．分布函数的定义
设是随机变量，称定义在上的实值函数
为随机变量的分布函数。
2．分布函数的性质
（1），
（2）单调不减性：，
（3）
（4）右连续性：。
注：上述 4 个性质是函数是某一随机变量的分布函数的充要条件。在不同的教科书
上，分布函数的定义可能有所不同，例如，其性质也会有所不同。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
（5）
注：该性质是分布函数对随机变量的统计规律的描述。
三、离散型随机变量
1．离散型随机变量的定义
若随机变量的全部可能的取值至多有可列个，则称随机变量是离散型随机变量。2．离散型随机变量的分布律
（1）定义：离散型随机变量的全部可能的取值以及取每个值时的概率值，称
为离散型随机变量的分布律，表示为
或用表格表示：
x1 x2 ?x n ?
p k P1 p2 ?p n ?
或记为
2）性质：
注：该性质是是某一离散型随机变量的分布律的充要条件。
其中
注：常用分布律描述离散型随机变量的统计规律。
3．离散型随机变量的分布函数
，它是右连续的阶梯状函数。4．常见的离散型分布
1）两点分布（ 0—1 分布）：其分布律为
0 1
p 1–
p
p
（2）二项分布
（ⅰ）二项分布的来源—重伯努利试验：设是一个随机试验，只有两个可能的结果及，，将独立重复地进行次，则称这一串重复的独立试验为重伯努利试验。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。
（ⅱ）二项分布的定义
设表示在重伯努利试验中事件发生的次数，则随机变量的分布律为
，，
称随机变量服从参数为的二项分布，记作。
注：即为两点分布。
3）泊松分布：若随机变量的分布律为
则称随机变量服从参数为的泊松分布，记作（或。
A. 一枚是 3 点 ，一枚是 1 点
B. 两枚都是 2 点
C. 两枚都是 4 点
D. 一枚是 3 点，一枚是 1 点或两枚都是 2 点 8、设随机变量 X 的分布列为 P X k 2 k
k 1,2,3, ,n, ，则 的值为(
高中数学系列 2—3 练习题( 2.1 )
一、选择题：
1、如果 X 是一个离散型随机变量，则假命题是 ( ) A. X 取每一个可能值的概率都是非负数； B. X 取所有可能值的概率之和为 1；
C. X 取某几个值 的概率等于分别取其中每个值的概率之和；
D. X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
2①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数 X ；②在 (0,1) 区间内随机的取一个数 X ；③某超市
天中的顾客量 X 其中的 X 是离散型随机变量的是( A ．①；
B ．②；
C ．③；
D ．①③
3、设离散型随机变量 的概率分布如下 ，则 a 的值为( )
1
1
1
A ． 1；
B ． ；
C ． ；
D ．
2
3
4
1
5、已知随机变量 X 的分布列为： p X k k ，k 1,2,3, ，则 p 2 X 4 =( 3 1 1 5
A. B. C. D.
16 4
16 16
6 、设随机变量 X 等可能取 1、2、 3.. . n 值，如果
p(X 4) 0.4 ,则n 值为(
)
D. 无法确定 彈贸摄尔霁毙
X ，那么 X 4 表示的随机实验结果是( )
1
6 C
．
1
3
D
．
1
4
A. 4
B. 6
C. 10
攬砖卤庑。
)酽锕极額閉镇桧猪訣锥。 A ． 1
24、设随机变量 的分布列为
P X k k 1,2,3, ,n, ，则 的 值为(
7、投掷两枚骰子，所得点数之和记为 A ．1；
1
C ． 1
3；
D
． 1
21
④ P X k n ,k 1,2,3, ,n ⑤ P X k , k 2,3,4,5,
2 1 k
10、已知Y 2X为离散型随机变量，Y的取值为1,2,3, ,10，则X的取值为
11、一袋中装有 5 只同样大小的白球，编号为 1，2，3，4，5现从该袋内随机取出
3 只球，被取出的球的最大号码数X 可能取值为厦礴恳蹒骈時盡继價骚。
三、解答题：
12、某城市出租汽车的起步价为 10 元，行驶路程不超出 4km，则按 10 元的标准收租车费若行驶路程超出 4km，则按每超出 lkm 加收 2 元计费 ( 超出不足 1km
的部分按 lkm 计) ．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常
驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，
由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程 ( 这个城市规定，每停车 5 分钟按 lkm 路程计费 ) ，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随
机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量茕桢广鳓鯡选块网羈泪。
(1) 求租车费η 关于行车路程ξ 的关系式；
(2) 已知某旅客实付租车费 38 元，而出租汽车实际行驶了 15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟 ?鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。
13、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1 分，取出黄球得 0 分，取出绿球得－ 1 分，试写出从该盒中取出一球所得分数
X 的分布列．籟丛妈羥为贍
偾蛏练淨。
分析：欲写出ξ 的分布列，要先求出ξ 的所有取值，以及ξ 取每一值时的概率．
14、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，
而随机终止．设分裂n 次终止的概率是1n( n
? ) ．记X 为原物体在分裂终止后
=1,2,3,
所生成的子块数目，求P(X 10). 預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。
高中数学系列2—3练习题( 2.1 )参考答案
、选择题： 1、D 2、D 3、C 4、B 5、A 6、C 7、 D 8、C
、填空题： 9、③④
1 3 5 7 9
21,1,3
2
,2,5
2
,3,7
2
,4,
2
9,5
11、3,4,5
三、解答题：
12、解： (1) 依题意得η=2( ξ-4)+10 ，即η =2ξ+2 (2) 由
38=2ξ+2，得ξ =18， 5×( 18-15 ) =15．
所以，出租车在途中因故停车累计最多 15 分钟．
13、解：设黄球的个数为n ，由题意知绿球个数为2n ，红球个数为
4n ，盒中的总数为7n．
∴ P(X 1) 4n 4，P(X 0) n 1，P(X 1) 2n 7n 7 7n 7 7n 所以从该盒中随
机取出一球所得分数X 的分布列为
14、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为
2488 10、
高中数学随机变量分布列知识点
第二章随机变量及其分布 内容提要： 一、随机变量的定义 设是一个随机试验，其样本空间为，若对每一个样本点，都有唯一确定的实数 与之对应，则称上的实值函数是一个随机变量（简记为）。 二、分布函数的概念和性质 1．分布函数的定义 设是随机变量，称定义在上的实值函数 为随机变量的分布函数。 2．分布函数的性质 (1) ， （2）单调不减性：， （3） （4）右连续性：。 注：上述4个性质是函数是某一随机变量的分布函数的充要条件。在不同的教科书上，分布函数的定义可能有所不同，例如，其性质也会有所不同。 （5） 注：该性质是分布函数对随机变量的统计规律的描述。 三、离散型随机变量 1．离散型随机变量的定义 若随机变量的全部可能的取值至多有可列个，则称随机变量是离散型随机变量。 2．离散型随机变量的分布律 （1）定义：离散型随机变量的全部可能的取值以及取每个值时的概率值，称为离散型随机变量的分布律，表示为 或用表格表示：
或记为 ~ （2）性质：， 注：该性质是是某一离散型随机变量的分布律的充要条件。 其中。 注：常用分布律描述离散型随机变量的统计规律。 3．离散型随机变量的分布函数 =，它是右连续的阶梯状函数。 4．常见的离散型分布 （1）两点分布（0—1分布）：其分布律为 即 （2）二项分布 （ⅰ）二项分布的来源—重伯努利试验：设是一个随机试验，只有两个可能的结果 及，，将独立重复地进行次，则称这一串重复的独立试验为重伯努利试验。 （ⅱ）二项分布的定义 设表示在重伯努利试验中事件发生的次数，则随机变量的分布律为 ，， 称随机变量服从参数为的二项分布，记作。 注：即为两点分布。
(完整word版)高中数学选修2-3第二章随机变量及其分布教案
第二章 随机变量及其分布 2．1．1离散型随机变量 第一课时 思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？ 掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和 0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1 ) . 在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化． 定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示． 思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？ 随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域． 例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } . 利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品” , {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢？ 定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) . 离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，…. 思考3：电灯的寿命X 是离散型随机变量吗？ 电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以 X 不是离散型随机变量． 在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时，那么就可以定义如下的随机变量： ?? ≥?0，寿命<1000小时； Y=1,寿命1000小时. 与电灯泡的寿命 X 相比较，随机变量Y 的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易． 连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度ξ是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验
高二数学《随机变量的方差(第2课时)》教案
§2.3.2离散型随机变量的方差（第2课时） 一、教材分析： 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差. 回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…， n x 中，各数据与它 们的平均值x 得差的平方分别是21)(x x -，2 2)(x x -，…，2)(x x n -，那么 [1 2n S = 21)(x x -＋2 2)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差 。 二、学情分析： 学生学习本节应该比较轻松，定义比较简单，初中已经接触过方差，高中阶段是将原先学得知识进一步提升。主要学生能将离散型随机变量的分布列列出来，进行套公式运算就可以，应注意的是要求学生在计算过程中细心。有过探究、交流的课堂教学的尝试。 三、教学目标： 1、知识与技能 了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。 2、过程和方法： 通过教师指导下的探究活动，经历数学思维过程，熟悉理解“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法，养成合作的意识，获得学习和成功的体验．了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2 D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。 3、情感和价值： 承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
高中理科数学离散型随机变量及分布列
理科数学复习专题 统计与概率 离散型随机变量及其分布列 知识点一 1、离散型随机变量：随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，X,Y ,表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。 2、离散型随机变量的分布列及其性质： （1）定义：一般的，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,,,,i n x x x x X 取每一个值(1,2,,)i x i n 的概率为()i i P X x p ，则表 （2）分布列的性质：①0,1,2,,i p i n ；②11n i i p （3）常见离散型随机变量的分布列： ①两点分布：若随机变量X 的分布列为, 则称X 服从两点分布，并称(1)p P x 为成功概率 ②超几何分布：一般的，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则()(0,1,2,,k n k M N M n N C C P X k k m C 其中min{,}m M n ，且*,,,,)n N M N n M N N ,称分布列为超几何分布列。如果随机变量X 的分布列题型一 由统计数据求离散型随机变量的分布列 【例1】已知一随机变量的分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 值为( ) A. 5
【变式1】某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 则该公司一年后估计可获收益的期望是________． 题型二由古典概型求离散型随机变量的分布列（超几何分布） 【例2】在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列． 【变式2】某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力． (1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望． 知识点二 1．条件概率及其性质 对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率叫做条件概率，用 符号P(A|B)来表示，其公式为P(A|B)＝P(AB) P(B) (P(B)>0)． 在古典概型中，若用n(B)表示事件B中基本事件的个数，则P(A|B)＝n(AB) n(B) . 2．相互独立事件 (1)对于事件A、B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，称A、B是相互独立事件． (2)若A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)． (3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立． (4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立． 3．二项分布
随机变量及其分布知识点整理
随机变量及其分布知识点整理 一、离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =???的概率()i i P X x p ==，则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1 ,2,,i P i n =???≥ （2）121n p p p ++???+= 1．两点分布 如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为： (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注：超几何分布的模型是不放回抽样 二、条件概率 一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称()(|)() P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 和C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+ 三、相互独立事件 设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概
高中数学《随机变量及其分布》单元测试
数学选修2-3第二章《随机变量及其分布》单元测试 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷(选择题共60分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.设X~B(n，p)，E(X)=12，D(X)=4，则n，p的值分别为() A.18， B.36， C.36， D.18， 2.10张奖劵中只有3张有奖，若5个人购买，每人1张，则至少有1个人中奖的概率为() A. B. C. D. 3.设随机变量X等可能地取值1，2，3，…，10.又设随机变量Y=2X-1，则P(Y<6)的值为() A.0.3 B.0.5 C.0.1 D.0.2 4.在区间(0，1)内随机取一个数x，若A=，B=，则P(B|A)等于() A. B. C.D. 5.若离散型随机变量X的分布列为 X123 P
则X的数学期望E(X)=() A. B.2 C. D.3 6.已知某离散型随机变量X的分布列如下表，则随机变量X的方差D(X)等于() X01 P m2m A. B. C. D. 7.同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币出现不同面的次数为X，则D(X)=() A. B. C. D.5 的值分别为() 8.已知随机变量ξ服从正态分布N(3，4)，则E(2ξ+1) 与D(2ξ+1) A.13，4 B.13，8 C.7，8 D.7，16 9.盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为() A.恰有1只是坏的 B.4只全是好的 C.恰有2只是好的 D.至多有2只是坏的 10.节日期间，某种鲜花进货价是每束 2.5元，销售价是每束5元，节日后没卖出的鲜花以每束1.6元的价格处理.根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X的分布列为 X200300400500 P0.200.350.300.15 若进这种鲜花500束，则利润Y的均值是() A.706 B.690 C.754 D.720 11.现有甲，乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为;向乙靶射击两次，每次命中的概率为.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击，该射手恰好命中一次的概率为()
高考数学分布列专题及复习资料
分布列 1．(本小题满分14分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表： 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为3 5． （1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)； （2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望. (参考公式： 2 2 () ()()()() n ad bc K a b c d a c b d - = ++++ ，其中n a b c d =+++)
2．（本小题满分14分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产 （Ⅰ）该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程???y bx a =+，根据表中数据已经正确计算出?0.6b =，试求出?a 的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数； （Ⅱ）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
某商场准备在节日期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动。 （1）试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率； （2）商场对选出的商品采用有奖促销，即在该商品现价的基础上价格提高180元，同时允许顾客每购买1件促销商品有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得奖金100元，假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的，试分析此种有奖促销方案对商场是否有利。
高中理科数学-离散型随机变量及分布列汇编
理科数学复习专题 统计与概率 离散型随机变量及其分布列 知识点一 1、离散型随机变量：随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，X,Y ,x h g g g 表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。 2、离散型随机变量的分布列及其性质： （1）定义：一般的，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,,,,i n x x x x g g g g g g X 取每一个值(1,2,,)i x i n =g g g 的概率为()i i P X x p ==，则表 称为离散型随机变量离散型随机变量X ，简称X 的分布列。 （2）分布列的性质：①0,1,2,,i p i n ?g g g ；②11n i i p ==? （3）常见离散型随机变量的分布列： ①两点分布：若随机变量X 的分布列为, 则称X 服从两点分布，并称(1)p P x ==为成功概率 ②超几何分布：一般的，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则()(0,1,2,,k n k M N M n N C C P X k k m C --===g g g g 其中m i n {,m M n =，且* ,,,,)n N M N n M N N ＃?,称分布列为超几何分布列。如果随机变量X 的分布列
题型一 由统计数据求离散型随机变量的分布列 【例1】已知一随机变量的分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 值为( ) A. 5 【变式1】 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 则该公司一年后估计可获收益的期望是________． 题型二 由古典概型求离散型随机变量的分布列（超几何分布） 【例2】在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1) 该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值X 元的概率分布列．
高中数学离散型随机变量综合测试题(附答案)
高中数学离散型随机变量综合测试题（附答案）选修2-3 2.1.1 离散型随机变量 一、选择题 1．①某机场候机室中一天的旅客数量X；②某寻呼台一天内收到的寻呼次数X；③某篮球下降过程中离地面的距离X； ④某立交桥一天经过的车辆数X.其中不是离散型随机变量的是() A．①中的X B．②中的X C．③中的X D．④中的X [答案] C [解析] ①，②，④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量； ③中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故③中的X不是离散型随机变量． 2．一个袋子中有质量相等的红，黄，绿，白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是() A．小球滚出的最大距离 B．倒出小球所需的时间 C．倒出的三个小球的质量之和 D．倒出的三个小球的颜色的种数 [答案] D
[解析] A小球滚出的最大距离不是一个随机变量，因为不能明确滚动的范围；B倒出小球所需的时间不是一个随机变量，因为不能明确所需时间的范围；C三个小球的质量之和是一个定值，可以预见，但结果只有一种，不是随机变量，就更不是离散型随机变量；D颜色的种数是一个离散型随机变量． 3．抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则“4”表示的试验结果是() A．第一枚6点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点 C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点 [答案] D [解析] 只有D中的点数差为6－1＝54，其余均不是，应选D. 4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量描述1次试验的成功次数，则的值可以是() A．2 B．2或1 C．1或0 D．2或1或0 [答案] C [解析] 这里“成功率是失败率的2倍”是干扰条件，对1次试验的成功次数没有影响，故可能取值有两种0,1，故选
高中数学选修2-3随机变量及其分布综合测试题
高中数学选修2-3随机变量及其分布综合测试题 一、选择题 1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X ；②长江上某水文站观察到一天中的水位X ；③某 超市一天中的顾客量X 其中的X 是连续型随机变量的是 A ．① B ．② C ．③ D ．①②③ 2.袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是 A ．取到的球的个数 B ．取到红球的个数 C ．至少取到一个红球 D ．至少取到一个红球的概率 3．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X ，则 “X >4”表示试验的结果为 A ．第一枚为5点，第二枚为1点 B ．第一枚大于4点，第二枚也大于4点 C ．第一枚为6点，第二枚为1点 D ．第一枚为4点，第二枚为1点 4.随机变量X 的分布列为P （X =k ）=) 1(+k k c ，k =1、2、3、4，其中c 为常数，则P （15 22X <<） 的值为 A ．54 B ．65 C ．32 D ．43 5. 甲射击命中目标的概率是 2 1，乙命中目标的概率是 3 1，丙命中目标的概率是 4 1. 现在三 人同时射击目标，则目标被击中的概率为 10 7 D. 5 4C. 3 2 B. 4 3A. 6．已知随机变量X 的分布列为P (X =k )=3 1,k =1,2,3,则D (3X +5)等于 A ．6 B ．9 C ．3 D ．4 7. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X 表示取出球的最大号码，则EX = A ．4 B ．5 C ．4.5 D ．4.75 8．某人射击一次击中目标的概率为35 ，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为 A ． 81125 B ． 54125 C ． 36125 D ． 27125 9.将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k +1次正面的概率，那么k 的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10．已知X ～B (n ，p )，EX =8，DX =1.6，则n 与p 的值分别是 A ．100、0.08 B ．20、0.4 C ．10、0.2 D ．10、0.8 11．随机变量2(,)X N μσ ，则随着σ的增大，概率(||3)P X μσ-<将会 A ．单调增加 B ．单调减小 C ．保持不变 D ．增减不定 12．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为： A ．0.4 B ．1.2 C ．3 4.0 D ．0.6
高中数学《离散型随机变量的分布列》公开课优秀教学设计一
高中青年数学教师优秀课展示与研讨活动 《离散型随机变量的分布列》教学设计 教材分析 《离散型随机变量的分布列》是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3》第二章随机变量及其分布的第一节离散型随机变量及其分布列的第二课时，主要内容是学习分布列的定义、性质、应用和两点分布模型。离散型随机变量的分布列是高中阶段的重点内容，它作为概率与统计的桥梁与纽带，既是概率的延伸，也是学习统计学的理论基础，起到承上启下的作用，是本章的关键知识之一，也是后续第三节离散型随机变量的均值和方差的基础。从近几年的高考观察，这部分内容有加强命题的趋势。一般以实际情境为主，需要学生具备一定的建模能力，建立合适的分布列，通过均值和方差解释实际问题。 一、学情分析 在必修三的教材中，学生已经学习了有关统计概率的基本知识，在本书的第一章中也全面学习了排列组合的有关内容，有了知识上的准备; 并且通过古典概率的学习，基本掌握了离散型随机变量取某些值时对应的概率, 有了方法上的准备, 但并未系统化。处于这一阶段的学生，思维活跃，已初步具备自主探究的能力，动手能力运算能力尚佳，但基础薄弱，对数学图形、符号、文字三种语言的相互转化，以及处理抽象问题的能力，还有待于提高。 三、教学策略分析 学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会。本课以情境为载体，以学生为主体，以问题为手段，激发学生观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，通过设计抽奖方案，让学生感受“从特殊到一般，再从一般到特殊”的抽象思维过程，应用类比、归纳、转化的思想方法，得到分布列的三种表示方法及分布列的性质，培养学生分析问题、解决问题的能力。 四、目标分析
高中数学离散型随机变量及其分布列全章复习
第十二讲随机变量及其分布列 课程类型：□复习□预习□习题针对学员基础：□基础□中 等□优秀 1.离散型随机变量的定义； 2.期望及方差； 3.二项分布及超几何分布. 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点) 2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点) 3.理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．(难点) 第一节离散型随机变量及其分布列
【知识及方法】 一．离散型随机变量的定义 1定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． ①随机变量是一种对应关系； ②实验结果必须及数字对应； ③数字会随着实验结果的变化而变化. 2.表示：随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． 3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) . 4.连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间或某几个区间内的一切值，这样的变量就叫做连续 型随机变量 5.注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来 表达如投掷一枚硬币，0=ξ， 表示正面向上，1=ξ，表示反面向上 （2）若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量 二．离散型随机变量的分布列 1.一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n, X 取每一个值x i (i =1,2，…，n )的概率P (X =x i )=p i ，则称表： 离散型随机变量及连续型随机变量的区别及联系: 离散型随机变量及连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出
高考数学讲义随机变量及其分布列.知识框架
随机变量及其分布 要求层次重难点 取有限值的离散型 随机变量及其分布 列 C ⑴理解取有限个值的离散型随机变量及 其分布列的概念，了解分布列对于刻画 随机现象的重要性． ⑵理解超几何分布及其导出过程，并能 进行简单的应用． 超几何分布 A 二项分布及其应用 要求层次重难点 条件概率 A 了解条件概率和两个事件相互独立的概 念，理解n次独立重复试验的模型及二 项分布，并能解决一些简单的实际问题．事件的独立性 A n次独立重复试验与 二项分布 B 离散型随机变量的 要求层次重难点 取有限值的离散型随 B 理解取有限个值的离散型随机变量均高考要求 模块框架 随机变量及其分布列
均值与方差 机变量的均值、方差 值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题． 正态分布 要求层次 重难点 正态分布 A 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 1． 离散型随机变量及其分布列 ⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y L 表示． 如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X 所有可能的取值x 与该取值对应的概率p (1,2,,)i n =L 列表表示： X 1x 2x … i x … n x P 1p 2p … i p … n p X 的分布列． 2．几类典型的随机分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X X 的分布列满足二点分布． X 1 P 0.8 0.2 两点分布又称01-布又称为伯努利分布． ⑵超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为 C C ()C m n m M N M n N P X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ， M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． 知识内容
高中理科数学各类型概率统计、分布列解答题
. )(1,122 1 ∑∑==-==n i i i n i i i p E x n s p x E ξξ高中理科数学概率统计、各类分布列解答题类型 以随机事件概率为背景离散型随机变量的分布列、均值 【背一背重点知识】 1．随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，各事件概率之 和为1． 2．求随机事件概率为背景的离散型随机变量的均值与方差公式 3．注意事件中所包含关键词，如至少，至多，恰好，都是，不都是，都不是等的含义． 【讲一讲提高技能】 1、必备技能：分类讨论要保证不重不漏，且相互互斥．灵活运用排列组合相应方法进行计 数．等可能性是正确解题的关键，在计数及求概率过程中严格保证事件的等可能性． 【练一练提升能力】 1．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）． （1）求选出的3名同学来自不同班级的概率；
（2）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望． 2．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分． （1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ； （2）求恰好得到(*) ∈分的概率． n n N 3、某厂有台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现次故障，
且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为． (1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于 (2)已知一名工人每月只有维修台机器的能力，每月需支付给每位工人万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有名工人．求该厂每月获利的均值．
高中数学离散型随机变量及其分布列全章复习题型完美版
第十二讲 随机变量及其分布列 课程类型：□复习 □预习 □习题 针对学员基础：□基础 □中等 □优秀 本章主要内容 ： 1.离散型随机变量的定义； 2.期望与方差； 3.二项分布与超几何分布. 本章教学目标： 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点) 2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点) 3.理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．(难点) 第一节 离散型随机变量及其分布列 【知识与方法】 一．离散型随机变量的定义 1定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． ①随机变量是一种对应关系； ②实验结果必须与数字对应； ③数字会随着实验结果的变化而变化. 2.表示：随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． 授课班级 授课日期 学员 月 日 组 “超几何分布”一词来源于超几何数列，就像“几何分布”来源于几何数列。 几何数列又叫等比数列，“几何分布”、'几何数列"名称的来源前面的文章已经解释过，请看一些带"几何"的数学名词来源解释。几何分布（ ）是离散型机率分布。其中一种定义为：在第n 次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。详细的说，是：n 次伯努利试验，前1次皆失败，第n 次才成功的机率。 课外拓展
3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( ) . 4.连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间或某几个区间内的一切值，这样的变量就叫做连续 型随机变量 5.注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，0=ξ， 表示正面向上，1=ξ，表示反面向上 （2）若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量二．离散型随机变量的分布列 1.一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，，…，, X 取每一个值(1,2，…，n )的概率P ()，则称表： 为离散型随机变量X 用等式可表示为P ()，1,2，…，n, 也可以用图象来表示X 的分布列． 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①≥0，1,2，…，n ；② 11 =∑=n i i p ． 1.两点分布),1(~P B X 若随机变量X (1)为成功概率． 2.超几何分布),,(~n M N H X 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P ()=n N k n M N k M C C C --，0,1,2，…， m ，其中{}n M ,，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.
高中数学-随机变量及其概率分布练习
高中数学-随机变量及其概率分布练习 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．(·武汉模拟)从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是________． 解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 1 4C 37＝12 35. 答案 1235 2．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为： 则q 等于________． 解析 由分布列的性质得： ??? 0≤1－2q ＜1， 0≤q 2 ＜1， 0.5＋1－2q ＋q 2 ＝1 ?? ?? ?? 0＜q ≤1 2，q ＝1±2 2.∴q ＝1－ 2 2 . 答案 1－ 22 3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于________． 解析 由已知得X 的所有可能取值为0,1， 且P (X ＝1)＝2P (X ＝0)， 由P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1，得P (X ＝0)＝1 3. 答案 13
4．在15个村庄有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则P (x ＝4)的概率为____________(不必化简)． 解析 X 服从超几何分布，故P (X ＝k )＝C k 7C 10－k 8 C 1015，k ＝4. 答案 C 47C 68 C 1015 5．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n n ＋1 (n ＝1,2,3,4)，其中a 是 常数，则P ? ????12 §2．1．2离散型随机变量的分布列 教学目标： 知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。 过程与方法：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。 情感、态度与价值观：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。 教学重点：离散型随机变量的分布列的概念 教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教学过程： 一、复习引入： 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型） 请同学们阅读课本P 5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？ 二、讲解新课： 1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表 为随机变量的概率分布，简称的分布列 2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1) 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即???+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ 3.两点分布列: 例1、在掷一枚图钉的随机试验中，令 12.4 随机变量及概率分布 一、填空题 1.下列变量为离散型随机变量的是_______． ①掷10 ② ④ 高三（9）班某学生的身高 解析 ①、②、④ 中的随机变量结果无法按一定次序一一列出，故X 不是离散型随机变量; ③中的随机变量的可能取的值都可以按一定次序一一列出，故它是离散型随机变量. 答案 ③ 2. 袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为_______． 解析 X 的可能取值为1＋2＝3，1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4，3＋5＝8,4＋5＝9，共7种． 答案 7 3.已知随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝ 2k a (k ＝1,2,3)，则P(X ＝2)等于_______． 解析 ∵12a +22a +32a ＝1，∴a ＝3，P(X ＝2)＝1 3. 答案 1 3 4．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为________． 解析 用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量． 当X ＝4时，说明取出的3个球有2个旧球，1个新球，∴P (X ＝4)＝C 19C 23 C 312＝27220 . 答案 27220 5．设随机变量X 的概念分布P (X ＝k )＝ c k ＋1 ，k ＝0、1、2、3，则c ＝________. 解析 由P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1得：c 1＋c 2＋c 3＋c 4＝1， ∴c ＝1225. 答案 1225 6．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)的值为________． 解析 设X 的概率分布为： 即“X ＝0”表示试验失败，“X p ，成功的概率为2p .由p ＋2p ＝1，则p ＝1 3. 答案 13 7．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于________． 解析 “X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P (X ＝12)＝38C 911? ????389? ????582＝C 911? ????3810? ????582 . 答案 C 911? ????3810? ?? ??582 8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数，则P (X ≤1)等于________． 解析 P (X ≤1)＝1－P (X ＝2)＝1－C 14C 22 C 36＝45 . 答案 45 .)(1,1 221∑∑==-= =n i i i n i i i p E x n s p x E ξξ高中理科数学概率统计、各类分布列解答题类型 以随机事件概率为背景离散型随机变量的分布列、均值 【背一背重点知识】 1．随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，各事件概率之和为1． 2．求随机事件概率为背景的离散型随机变量的均值与方差公式 3．注意事件中所包含关键词，如至少，至多，恰好，都是，不都是，都不是等的含义． 【讲一讲提高技能】 1、必备技能：分类讨论要保证不重不漏，且相互互斥．灵活运用排列组合相应方法进行计 数．等可能性是正确解题的关键，在计数及求概率过程中严格保证事件的等可能性． 【练一练提升能力】 1．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）． （1）求选出的3名同学来自不同班级的概率； （2）设X 为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 2．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分． （1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ； （2）求恰好得到(*)n n N ∈分的概率． 3、某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为13． (1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？ (2)已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值． 以二项分布为背景离散型随机变量的分布列、均值高中数学人教A版选修232.1.2离散型随机变量的分布列教案
高中数学 随机变量及概率分布
高中理科数学各类型概率统计、分布列解答题