圆知识点归纳(北师大版本)

《圆》知识要点归纳总结

一．圆及有关概念：

圆——到定点的距离等于定长的点的集合

圆的内部——可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

圆的外部——可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

等圆——圆心不相同，半径相等的圆；同心圆——圆心相同，半径不等的圆。

弧——圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。按与半圆的大小关系可分为：优弧和劣弧

等弧——在同圆或等圆中，能够重合的两条弧

弦——连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。

弦心距——圆心到直线的距离

弓形——弧与所对的弦所组成得图形。

圆的内部——到圆心的距离小于半径的点的集合叫做圆的内部

圆的外部——到圆心的距离大于半径的点的集合叫做圆的外部

二．与圆有关的角：

圆心角：顶点在圆心的角

圆周角：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

[补充]弦切角、圆内角、圆外角及性质：

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半.

顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半.

三．圆的轴对称性：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；是中心对称图形，对称中心是圆心；其特有旋转不变性。

垂径定理——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧

垂径定理的推论

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

④在同圆或等圆中,两条平行弦所夹的弧相等

依据垂径定理及其推论①②③可概括为5.2.3定理：对于一条直线和一个圆来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么也具备其他三个：①垂直弦②过圆心③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧

圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理——在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

推论（4.1.3定理）——在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等

四．圆周角与圆心角的关系：

定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

五．确定圆的条件：

定理——不在同一直线上的三点确定一个圆。

相关概念及性质——

三角形的外接圆圆的内接三角形三角形的外心

三角形的外心的性质：三角形的外心到各个顶点的距离相等。

[补充]定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

六．直线和圆的位置关系：

①直线和圆相交②直线和圆相切③直线和圆相离

直线和圆位置关系的判定：

①依据定义②依据圆心到直线距离d与圆的半径r的数量关系

圆的切线的判定：

①定义②依据d=r

③定理：经过直径的一端（或半径的外端）并且垂直于这条直径（或半径）的直线是圆的切线

圆的切线证明的两种情况：①连半径，证垂直；②作垂直，证半径。

切线的性质定理及推论——

定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径

推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 . 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 依据性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，总结出如下结论（3.2.1定理）： 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个．

(1)垂直于切线； (2)过切点； (3)过圆心．

相关概念及性质：三角形的内切圆 圆的外切三角形 三角形的内心

三角形的内心的性质：三角形的内心到三角形各边距离相等

[补充]（只做了解）

1.圆的外切四边形两组对边和相等

2.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

3.弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

4.相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

5.切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条 割线与圆的交点的两条线段长的积相等

七．圆和圆的位置关系：

①两圆外离 d ＞R+r ②两圆外切 d=R+r ③两圆相交 R-r ＜d ＜R+r(R ＞r) ④两圆内切 d=R-r(R ＞r) ⑤两圆内含 0≤＜d ＜R-r(R ＞r)

两圆相交的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

两圆相切的性质：两圆相切，那么切点一定在连心线上

八．弧长与扇形的面积： 弧长180n r l S 扇形= 2360n r =2lr

S 弓形=S 扇形±S △

九．圆锥的侧面积：

圆锥的基本特征：①圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面

②圆锥的所有母线长相等

③平行于圆锥的底面的平面截圆锥，截的的平面是圆面

④经过圆锥的轴的平面截圆锥截的得图形是等腰三角形，这一截面称轴截面。

设圆锥底面半径r ，母线长l

因为圆锥侧面展开图为扇形， 弧长L 为底面周长

所以圆锥侧面积公式S 圆锥侧面积=2

360n R =rl

十：圆有关问题辅助线的常见作法

半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内切圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。