现代控制理论1状态空间表达
现代控制理论
教材及参考书
时域部分：刘豹主编，现代控制理论，
机械工业出版社复频域部分：郑大钟主编，线性系统理论，
清华出版社
其它参考：线性系统理论；线性系统理论前修课程：线性代数；自动控制原理。
学时数：32
考核形式与要求：
1）听课率80%以上
2）独立完成作业
3）完成自学内容。
4）课堂提问达到要求
5）期末考试
主讲：刘贺平
1 状态空间表达式
1．1状态变量及状态方程
（1）状态变量：完全表达系统运动状态的最小个数的一组变量.
例如，n 阶微分方程描述的系统有n 个变量
)
(,,n y y
。
变量的选取不唯一，但要相互独立. （2）状态向量：若
n i t x i ~1),( ，为状态向量，则
)()(1t x t x x n 称为状态向量， )()()(1t x t x t x n T
。
（3）状态空间:以x(t)各分量为坐标轴
所构成的n 维空间。
x(t) 在状态空间中是一条轨迹，称为状态轨迹。
（4）状态方程： 形式为
Bu Ax x ，其中，
n
R x ，r
R u ，A ，B 为矩阵，当u 为标量时B →
b 为n 1矩阵. （5）输出方程： y=Cx+Du, y ∈m
R y ，
n
m R
C ,
r
m R
D ,
（6）状态空间表达式：将状态方程和
输出方程合并一起表示一个系统.
r nr
n n r
r n nn n nn n n n u u u b b b b b b b b b x x x a a a a a a a a a x x x
21212222111211212222211121121
r mr m m r r n mn m m n n m u u u d d d d d d d d d x x x c c c c c c c c c y y y 212122221112112121222211121121
（7）方块图：
1.2模拟结构图。见P13 图1-3，1-4，1-5，1-6.
1.3 状态方程的建立
(1)由框图→状态方程 例P15, 图1-7，（a ）,
y
变换方法：例如第一个环节， r S T K C 11
1 →
C T r T K SC 1
111 →r T K C T C 1111 → r c r
c c
- 由此可得P15的图1-7 - b)。
状态方程为:
11
4122233101000T T K K T K T T K x
321x x x u T K
1100
00
1
1 x y
321x x x
(2)机理分析
根据研究对象的物理规律，用数理分析方法写出描述运动规律的数学表述.
例：直流他励电动机工作原理如图:
选i x 1，2x = ,则有
dt
di
x 1 ， dt d x 2 . 电枢回路；u e dt
di
L iR ， b K e 动力学方程为：i K B dt d J a
a
K ——转矩系数，b
K ——反电势系数，B ——摩擦系数.
整理后得：u L L K i L R dt di b 1
J
B
i J K dt d a 即
u L x x J B J K L K L R x x a b
012121
1.4由传函写状态方程
(1)传函中无零点的情况
)()
()(01110S U S Y a s a s a s b S W n n n
对应的微分方程为：
u b y a y a y n n n 00)
1(1)
(
设0
)
1(0201,,,b y
x b y
x b y x n n
则
，u
x a x a x a x x x x x n n n 121103
221
即
11021010000
10n n a a a x
x x
n x x x 21+
100 u
n x x x b x b y 210
10000
11
0010000
10
n a a a A
100 b
000 b c
例：u y y y y 5846
设
...32151y y y x x x ，则，cx
y bu Ax x
648100010
A ,
100b ,
005 c .
(2)传函中有零点的情况
)
()
()(011
1011S U S Y a s a s a s b s b s b S W n n n m m m m
① m y b s b s b y u a s a s a s y m m n n n ~)(1 ~0 1 11 1 作拉普拉斯反变换， 由第一式得：u y a y a y n n n ~~~0) 1(1) ( 由第二式得：y b y b y b y m m m m ~~~0) 1(1) ( 设状态变量为： )1(21~~~n n y y y x x x ，可得 u x x x a a a x x x n n n 10 00010000102111021 n m x x x b b b y 2110 00 例： u u u y y y y 51025853 358100010 A ， 100b ， 25105 c . ②m=n 时，用长除法可得： )()(s U s Y =d+)()(s A s B ,)() () ()()(s U s A s B s dU s Y 状态变量选取如前，只是输出方程有变化. du cx y (3)多输入多输出系统的实现 以一双入双出系统为例 2 41423223121122111u b y a y a y u b u b u b y a y a y (1-35) 按高阶导数项求解则: 242211223122211111)()(u b y a y a y u b u b y a u b y a y 进一步： dt u b y a y a y dt u b u b y a dt u b y a y )()()(24221422 23122211111 结构图如图1-17(P28) 取每个积分器的输出为一个状态变量，则: 24331432312322112111u b x a x a x u b u b x a x u b x x a x , 321 1x y x y 用状态方程表示则： cx y Bu Ax x 其中： 34 31 0001a a a a A ， 432100b b b b B ， 100001c 1.5状态向量的线性变换 (1)状态方程的非唯一性 设给定系统：Du Cx y x x Bu Ax x 0)0(, 设T 为n n 维非奇异矩阵，作变换：x T z Tz x 1 , 则变换后 Du CTz y x T x T z Bu T ATz T z 01 111)0()0(, u D z C y u B z A z , 变换矩阵T 可取任意非奇异矩阵，因此，状态空间表达式是不唯一的。 (2)特征值的不变性 证明：变换后的特征方程： A SI T A SI T AT T ST T AT T SI 1111 (3)变换A 为约旦标准型 原系统为： Cx y Bu Ax x , 作 x T z Tz x 1 , 变换后： CTZ y Bu T Jz z ,1 其中J 为约当标准形矩阵 1)一般情况： ① A 有n 个互异根n i i 1, ，设 i P 为i 的特征向量，则变换矩阵 为： n P P P T 2 1 由特征向量的定义 n i P AP i i i ,,1, ，则有 n n n n T P P P P P P AT 00001 1 21 21 两边用1 T 左乘得 n AT T 001 1 例： x y u x 00110051166116110 令: 5 11 6 611 6110 A I 解得特征方程为： )3)(2)(1(61162 3 可以解得特征根为 321321 由 312111111P P P P AP ，即 51166116110 312111312111P P P P P P 进一步写成: 000611 6610 611 1312111*P P P (注:1*原为-1) 6116010111 0312111 P P P 0050040101131211 P P P 000010101131211 P P P 得: 1011P ,(令P 13=1,为计算方便需取基础解系的最简形式). 由222P AP ，得 0711******* 322212 P P P 行变换 0711******* 322212 P P P 行变换 0336120112 322212 P P P 行变换 000 120112 322212 P P P 行变换 00 120012 322212 P P P ，取简单形式， 得: 421 2P 类似地，由333P AP ，可得： 96 13P 于是： 32 1 P P P T = 94 1 620111， 12 31343225 31 T ) 1(*1 T T T 变换后: 32100 000 321 1 AT T 11194 1 620 111 001 CT C 13210012 31343 22531 B T B ， 于是得到变换后的状态空间描述为: 321321111132321z z z y u z z z z 2) A 为标准型 11 01010000 10 n a a a A A 的特征根无重根 1 1211 21 111 n n n n n T A 的特征根有重根，以1 为三重根为例, T= 1142 1 1 121 111122412141)(21)(1 20111001n n n n n n n n d d d d 1.6由状态方程求传递函数矩阵 设系统的状态方程为： （1）一般情况 Du Cx y Bu Ax x , 在零初始条件下，将上式进行拉氏变换可得: ) (}{) ()()() ()(1 1 1 S U D B A SI C S DU S BU A SI C S Y S BU A SI S X 因此传递函数矩阵为： D B A SI C S W 1 )( 如果线性变换为: x T z Tz x 1 , 变换后 Du CTz y x T x T z Bu T ATz T z 0 1 111)0()0(, 传递函数矩阵为: D B A SI C D B T AT T SI T C D B T AT T SI CT S W 1 1 1 1 1 1 1 ][])()( * 线性变换不会改变传递函数矩阵、不会改变特征值、不会改变原系统的运动规律。 (2) 子系统的反馈连接 系统2在系统1的反馈通道， 12y u ，21y u u 其中 )dim()dim() dim()dim(1221y u y u ①状态方程: 1 1111222222222 21111211111111)(x C y y x C B x A u B x A x x C B u B x A y u B x A u B x A x 即: 2111212122112100x x C y u B x x A C B C B A x x 习题解答 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8 2-9 2-10 2-11 2-12 2-13 2-14 2-15 2-16 2-17 2-18 2-1 如题图2-1所示为RLC 电路网络,其中()i U t 为输入电压,安培表的指示电流)(t i o 为输出 量。试列写状态空间模型。 题图2-1 解: (1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式. ()()() 1 ()()()()() i L C L C R C C d U t L i t U t dt d i t i t i t C U t U t dt R =+=+=+ (2) 在这个电路中,只要给定了储能R 元件电感L 和电容C 上的i L 和U C 的初始值,以及t ≥t 0 时刻后的输入量U i (t ),则电路中各部分的电压、电流在t ≥t 0时刻以后的值就完全确定了。也就是说,i L 和U C 可构成完整的描述系统行为的一组最少个数的变量组,因此可选i L 和为U C 状态变量,即 x 1(t )=i L , x 2(t )=u C (3) 将状态变量代入电压电流的关系式,有 1221211 11 i dx x U dt L L dx x x dt C RC =-+=- 经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组--状态方程 11i 22110110x x L U L x x C RC ??-??????????=+???? ???? -???????????? (4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程, 1221110C x y U x x R R R ????===?? ?????? (5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达 式 11i 221211011010 x x L U L x x C RC x y x R ??-?????????? =+????????-? ??????????? ??? ?=????? ??? 绪论 为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。 根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。 本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！ 这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。 本书耗时两周，在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶，望大家能够合理使用，如发现错误请及时通知，欢迎大家的批评指正！ 2014年6月2日 北京航空航天大学 2019－2020 学年 第二学期期末 《现代控制理论》 A卷 班 级______________学 号 _________ 姓 名______________成 绩 _________ 2020年6月22日 班号 学号 姓名 成绩 《现代控制理论》期末考试卷 一、（本题10分）某RLC 电路如题一图所示，其中u 为输入信号、y 为输出信号、i 为流过网络的电流。若令状态x 1=i ，x 2=y ，建立系统的动态方程，并判断系统的可控性和可观测性（所有参数非零）。 题一图 二、（本题10分）系统的动态方程为 010*********???? ????=+????-???????? x x u ， []001=y x 若[](0)001=-T x ，()()δ=u t t （单位脉冲信号），求()x t 和()y t 。 三、（本题15分）已知系统具有如下形式： []111122********* a b x Ax bu a x b u b y cx c c c x l l l éù éùêúêúêúêú=+=+êúêú êúêú???? == (1). 若12=l l ，给出系统可控并且可观测的充分必要条件；若12≠l l ，20=b ， 给出系统可控的充分必要条件（即参数12123123,,,,,,,a a b b b c c c 需满足的条件）； (2). 若11=-l ，11=a ，[][]12123301,1000b b c c c b éùéù êúêú êúêú==êúêúêúêú??? ?，计算系统的传 递函数()G s ，并给出该传递函数的可观标准型最小阶实现。 四、（本题20分）已知系统具有如下形式： []1112212200 n n A A x Ax bu x u A A b y cx c x éùéù êúêú=+=+êúêú????== 其中， 11A 为(1)(1)-?-n n 的方阵，22A 为11?的方阵，12A 为(1)-n 维列向量，21A 为(1)-n 维行向量，n b 和n c 分别为非零实数。 (1). 证明系统既可控又可观测的充分必要条件是：1112(,)A A 可控且1121(,)A A 可观测； (2). 若A 的特征多项式为()p s ，而 110100001000011000 A éù êúêúêúêú=êúêúêú êú?? 求系统的传递函数，并证明若系统既可控又可观测，则有(1)0≠p 。 五、（本题15分）已知系统动态方程如下： 210431x x u éùéù êúêú=+êúêúêúêú???? , 11y x éù=êú?? (1). 判断系统的可控性。若系统可控，将系统化为可控标准型； (2). 是否可以用状态反馈将A bk -的特征值配置到{}2,3--？若可以，求出状态反馈增益阵k 。 信息工程学院现代控制理论课程习题清单 3.有电路如图1-28所示。以电压U(t)为输入量，求以电感中的电流和电 容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻 R 2上的电压作为输出 量的输出方程。 4.建立图P12所示系统的状态空间表达式。 M 2 1 f(t) 5.两输入u i ，U 2，两输出y i ，y 的系统，其模拟结构图如图 1-30所示, 练习题 ，输出为，试自选状态变量并列写出其状 2. 有电路如图所示，设输入为 态空间表达式。 C ri _ l- ------- s R 2 U i U ci L u A ------ — 2 R i 试求其状态空间表达式和传递函数阵。 6.系统的结构如图所示。以图中所标记的 x 1、x 2、x 3作为状态变量，推 导其状态空间表达式。 其中，u 、y 分别为系统的输入、 输出，1、 2 试求图中所示的电网络中，以电感 L i 、L 2上的支电流x i 、X 2作为状态 变量的状态空间表达式。这里 u 是恒流源的电流值，输出 y 是R 3上的 支路电压。 8. 已知系统的微分方程 y y 4y 5y 3u ，试列写出状态空间表达式。 9. 已知系统的微分方程 2y 3y u u ， 试列写出状态空间表达式。 10. 已知系统的微分方程 y 2y 3y 5y 5u 7u ，试列写出状态空间 表达式。 7. 3均为标量。 11. 系统的动态特性由下列微分方程描述 y 5 y 7 y 3y u 3u 2u 列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。 12. 已知系统传递函数 W(s) 坐 卫 2 ,试求出系统的约旦标准型 s(s 2)(s 3) 的实现，并画出相应的模拟结构图 13. 给定下列状态空间表达式 X 1 0 1 0 X 1 0 X 2 2 3 0 X 2 1 u X 3 1 1 3 X 3 2 X 1 y 0 0 1 x 2 X 3 (1)画出其模拟结构图；(2)求系统的传递函数 14. 已知下列传递函数，试用直接分解法建立其状态空间表达式，并画出状 态变量图。 15. 列写图所示系统的状态空间表达式。 16. 求下列矩阵的特征矢量 0 1 0 A 3 0 2 12 7 6 17. 将下列状态空间表达式化成约旦标准型(并联分解) (1)g(s ) s 3 s 1 3 2 s 6s 11s 6 ⑵ g(s ) s 2 2s 3 3 c 2 s 2s 3s 1 西北工业大学考试试题（卷）2008 －2009 学年第2 学期 2009年《现代控制理论》试卷A 评分标准及答案 第一题（10分，每个小题答对1分，答错0分） （1）对 （2）错 （3）对 （4）错 （5）对 （6）对 （7）对 （8）对 （9）对 （10）错 第二题（15分） （1）)(t Φ（7分）：公式正确3分，计算过程及结果正确4分 ? ? ? ???+-+---=-=Φ?? ?? ??????+- +-+- +-+- ++-+=??????-+++=-??? ???+-=------------t t t t t t t t e e e e e e e e A sI L t s s s s s s s s s s s s A sI s s A sI 22221 11 2222}){()(22112 21221112112 213)2)(1(1 )(321 （2） 状态方程有两种解法（8分）：公式正确4分，计算过程及结果正确4分 ??????-+-+-=????? ???????+-+++-+++-++??????+--=??????????? ???????++-++++-=-+-=??????---+-=????? ?+--+??? ???+--=??????-Φ+Φ=------------------------------??t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t e e te e e te s s s s s s L e e e e t x t x s s s s s L x A sI L t x s BU A sI x A sI s X e e t e e t d e e e e e e e e e t x t x d t Bu x t t x 222 21 22212 21111122)(02222210 2344}2414)1(42212)1(4 {2)()(} )2()1(4) 2()1()3(2{)}0(){()() ()()0()()(2)34()14(22222)()()()()0()()(或者 ττ τττττττ 第三题（15分，答案不唯一，这里仅给出可控标准型的结果） （1） 系统动态方程（3分） []x y u x x 0010 1003201 00010=???? ??????+??????????--=& 王金城化工出版社第1章习题参考答案： 1-1（a ）选123123,,,,,y y y v v v 为状态变量，根据牛顿定律， 对1M ，有()1 1112121 dv M g K y K y y M dt ---= 对2M ，有()()2 22123232dv M g K y y K y y M dt +---= 对3M ，有()3 3323433dv M g K y y K y M dt +--= 令312112233415263,,,,,dy dy dy x y x y x y x v x v x v dt dt dt ===== ====，整理得 ()()()122214253641 11 23342332 51262322233 ,,,, ,K K K x x x x x x x x x g M M K K K K K x K K x x x g x x x g M M M M M +====-++++= -++=-+ () ()() 122 11 23222 22 3433 3 000100000010000000100000 01100010000K K K M M x x g K K K K M M M K K K M M ? ????? ??????? ? ??+??-????=+??????+?? ??- ? ? ???? ??? ? +- ?? ??? ? 100000010000001000y x ?? ??=?? ???? （b ）选12,12,,y y v v 为状态变量，根据牛顿定律， 对1M ，有()1 1121111 dv M g B v v K y M dt +--= 对2M ，有()2 2221212dv f M g B v B v v M dt +---= 令1211223142,,,dy dy x y x y x v x v dt dt === ===，整理得 11113243134111 ,,K B B x x x x x x x x g M M M ===--++， 112434222 B B B f x x x g M M M +=-++ 现代控制理论基础考试题 西北工业大学考试题（A卷） （考试时间120分钟） 学院：专业：姓名：学号： 一．填空题（共27分，每空1.5分） 1.现代控制理论基础的系统分析包括___________和___________。 2._______是系统松弛时，输出量、输入量的拉普拉斯变换之比。 3.线性定常系统齐次状态方程是指系统___________时的状态方程。 4.推导离散化系统方程时在被控对象上串接一个开关，该开关以T为周期进 行开和关。这个开关称为_______。 5.离散系统的能______和能______是有条件的等价。 6.在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现，也称为__________。 7.构造一个与系统状态x有关的标量函数V(x, t)来表征系统的广义能量， V(x, t)称为___________。 8.单输入-单输出线性定常系统，其BIBO稳定的充要条件是传递函数的所有 极点具有______。 9.控制系统的综合目的在于通过系统的综合保证系统稳定，有满意的 _________、_________和较强的_________。 10.所谓系统镇定问题就是一个李亚普诺夫意义下非渐近稳定的系统通过引入_______，以实现系统在李亚普诺夫意义下渐近稳定的问题。 11.实际的物理系统中，控制向量总是受到限制的，只能在r维控制空间中某一个控制域内取值，这个控制域称为_______。 12._________和_________是两个相并行的求解最优控制问题的重要方法。二．判断题（共20分，每空2分） 1.一个系统，状态变量的数目和选取都是惟一的。（×） 2.传递函数矩阵的描述与状态变量选择无关。（√） 3.状态方程是矩阵代数方程，输出方程是矩阵微分方程。（×） 4.对于任意的初始状态) ( t x和输入向量)(t u，系统状态方程的解存在并且惟一。（√） 5.传递函数矩阵也能描述系统方程中能控不能观测部分的特性。（×） 6.BIBO 稳定的系统是平衡状态渐近稳定。（×） 7.一个系统能正常工作，稳定性是最基本的要求。（√） 8.如果系统的状态不能测得，只要系统能观测，可以采用状态观测器实现状 由传递函数转换成状态空间模型——方法多!!! SISO 线性定常系统 高阶微分方程化为状态空间表达式 SISO ()()()()()()m n u b u b u b y a y a y a y m m m n n n n ≥+++=++++--- 1102211 )(2 211110n n n n m m m a s a s a s b s b s b s G +++++++=--- 假设1+=m n 外部描述 ←—实现问题：有了内部结构—→模拟系统 内部描述 SISO ???+=+=du cx y bu Ax x 实现问题解决有多种方法，方法不同时结果不同。 一、 直接分解法 因为 1 0111 11()()()() ()()()() 1m m m m n n n n Y s Z s Z s Y s U s Z s U s Z s b s b s b s b s a s a s a ----?=? =?++++++++ ???++++=++++=----) ()()() ()()(11 11110s Z a s a s a s s U s Z b s b s b s b s Y n n n n m m m m 对上式取拉氏反变换，则 ???++++=++++=----z a z a z a z u z b z b z b z b y n n n n m m m m 1) 1(1)(1)1(1)(0 按下列规律选择状态变量，即设)1(21,,,-===n n z x z x z x ，于是有 ?????? ?+----===-u x a x a x a x x x x x n n n n 12113 221 现代控制理论试题B 卷及答案 一、1 系统[]210,01021x x u y x ? ??? =+=????-???? 能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。 2试从高阶微分方程385y y y u ++= 求得系统的状态方程和输出方程（4分/个） 解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。…..（4分） 2．选取状态变量1x y =，2x y = ，3x y = ，可得 …..….…….（1分） 12233131 835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分） 写成 010*********x x u ???? ????=+????????--???? …..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分） 二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。 （3分） 2已知系统[]210 020,011003x x y x ?? ??==?? ??-?? ，判定该系统是否完 全能观？(5分) 解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++- ，时系统从第 k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于 0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。…..….…….（3分） 2. [][]320300020012 110-=?? ?? ? ?????-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=?? ?? ? ?????--=CA ……..……….（1分） ???? ? ?????-=??????????=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….……. （2分） 三、已知系统1、2的传递函数分别为 2122211 (),()3232 s s g s g s s s s s -+==++-+ 求两系统串联后系统的最小实现。（8分） 解 112(1)(1)11 ()()()(1)(2)(1)(2)4 s s s s g s g s g s s s s s s -+++== ?=++--- …..….……. （5分） 最小实现为 一、（10分，每小题1分） 1、任一线性连续定常系统的系统矩阵均可对角形化。(×) 2、对SISO 线性连续定常系统，传递函数存在零极点对消，则系统一定不能观且不能控制。(×) 3、对线性连续定常系统，非奇异变换后的系统特征值不变。(√) 4、对于线性连续定常系统的最小实现是唯一的。(×) 5、稳定性问题是相对于某个平衡状态而言的。(√) 6、Lyapunov 第二法只给出了判定稳定性的充分条件。(√) 7、对于SISO 线性连续定常系统，状态反馈后形成的闭环系统零点与原系统一样。(√) 8、对于一个系统，只能选取一组状态变量。(×) 9、对于一个n 维的线性定常连续系统，若其完全能观，则利用状态观测器实现的状态反馈闭环系统是2n 维的。(√) 10、对线性定常系统，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵特征值都具有负实部是一致的。(√) 二（10分，每小题5分） （1）简述平衡状态及平衡点的定义。 （2）简述状态方程解的意义。 解：（1）状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点。由平衡状态在状态空间中所确定的点称之为平衡点。 （2）线性连续定常系统状态方程的解由两部分组成，一部分是由初始状态所引起的自由运动即零输入响应，第二部分是由输入所引起的系统强迫运动，与输入有关称为零状态响应。 三、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。其中，m 为运动物体的质量，k 为弹簧的弹性系数，h 为阻尼器的阻尼系数，f 为系统所受外力。取物体位移为状态变量x 1，速度为状态变量x 2，并取位移为系统输出y ，外力为系统输入u ，试建立系统的状态空间表达式。 解： f ma =……………………………….……1分 令位移变量为x 1，速度变量为x 2，外力为输入u ，有 122u kx kx mx --=………………………………2分 于是有 12x x =………………………………..……………1分 2121k h x x x u m m m =--+……….….……………….2分 再令位移为系统的输出y ，有 湖南工业大学2014年现代控制理论（A卷闭卷） 适用专业年级：电气、测控考试时间100 分钟 一、（第1小题12分，第2小题8分，共20分） 1.如图所示R-L-C网络: C u c R i u L （1）以电容电压和回路电路i为系统的状态变量，电容电压为输出变量， 给出该系统的状态空间表达式。 （2）根据状态空间表达式从输入u到输出u c的传递函数。 2、已知两个子系统的传递函数矩阵分别为 （1）求两个系统并联联接时，系统的传递函数阵。 求两个系统串联联接时（G1(s)在前，G2(s)在后），系统的传递函数阵。 二、（20分） 有系统如图所示： 2 ∫ -3 -2 ∫ x2x1 u y （1）给出系统状态空间表达式 （2）求系统的单位阶跃响应（初始状态x(0)=（））。 （3）求出该系统的离散化空间表达式（采样周期为T）。 答案 三、（每题10分，共20分） 1.确定下列系统为状态完全能控和状态完全能观的特定 常熟a和b。 要点： 2、系统传递函数为 （1）建立系统能控标准形实现。（2）建立系统能观测标准形实现。 四、（每题10分，共20分） 1.设系统状态方程为： 1-试确定平衡状态的稳定性。 2、设线性离散系统状态方程为： 试确定在平衡点渐近稳定的条件。 五、（20分） 设系统传递函数为： )2 )( 1 ( 10 ) ( + + = s s s W （1）给出系统能控标准型的实现，在此基础上设计状态反馈控制器，使闭环极点特征配置在-1±j 上， 并给出闭环传递函数的结构图。 （2）给出系统能观标准型实现，并在此基础上设计全维观测器，使观测极点为-2 ，-3。 《现代控制理论》练习题 判断题 1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。 3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。 4. 对系统Ax x = ，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。 5. 对一个系统，只能选取一组状态变量； 6. 由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的系统矩阵，进而决定系统的动态特性； 7. 状态反馈不改变系统的能控性。 8. 若传递函数B A sI C s G 1)()(--=存在零极相消，则对应状态空间模型描述的系统是不能控的； 9. 若线性系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则它是大范围渐近稳定的； 10. 相比于经典控制理论，现代控制理论的一个显著优点是可以用时域法直接进行系统的分析和设计。 11. 传递函数的状态空间实现不唯一的一个主要原因是状态变量选取不唯一。 12. 状态变量是用于完全描述系统动态行为的一组变量，因此都是具有物理意义。 13. 等价的状态空间模型具有相同的传递函数。 14. 互为对偶的状态空间模型具有相同的能控性。 15. 一个系统的平衡状态可能有多个，因此系统的李雅普诺夫稳定性与系统受扰前所处的平衡位置无关。 16. 若一线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的，则从系统的任意一个状态出发的状态轨迹随着时间的推移都将收敛到该平衡状态。 17. 反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能，但不改变系统的能控性和能观性。 18. 如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么我们就可以断定该系统是不稳定的。 填空题 l ．系统状态完全能控是指 。 2．系统状态的能观性是指 。 3．系统的对偶原理： 。 4．对于一个不能控和不能观的系统，按系统结构标准分解 为 、 、 、 、的四个子系统。 实验八 线性系统的状态空间分析 §8.1 用MATLAB 分析状态空间模型 1、状态空间模型的输入 线性定常系统状态空间模型 x Ax Bu y Cx Du =+=+ 将各系数矩阵按常规矩阵形式描述。 [][][]11 121120 10 1;;;n n n nn n n A a a a a a a B b b b C c c c D d ==== 在MATLAB 里，用函数SS()来建立状态空间模型 (,,,)sys ss A B C D = 例8.1 已知某系统微分方程 22d d 375d d y y y u t t ++= 求该系统的状态空间模型。 解：将上述微分方程写成状态空间形式 0173A ??=??--??，01B ??=???? []50C =，0D = 调用MATLAB 函数SS()，执行如下程序 % MATLAB Program example 6.1.m A=[0 1;-7 -3]; B=[0;1]; C=[5 0]; D=0; sys=ss(A,B,C,D) 运行后得到如下结果 a = x1 x2 x1 0 1 x2 -7 -3 b = u1 x1 0 x2 1 c = x1 x2 y1 5 0 d = u1 y1 0 Continuous-time model. 2、状态空间模型与传递函数模型转换 状态空间模型用sys 表示，传递函数模型用G 表示。 G=tf(sys) sys=ss(G) 状态空间表达式向传递函数形式的转换 G=tf(sys) Or [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) 多项式模型参数 [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu) [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu) 零、极点模型参数 iu 用于指定变换所需的输入量，iu 默认为单输入情况。 传递函数向状态空间表达式形式的转换 sys=ss(G) or [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) [A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k) 例 8.2 11122211220.560.050.03 1.140.2500.1101001x x u x x u y x y x -??????????=+??????????-????????????????=??????? ????? 试用矩阵组[a ，b ，c ，d]表示系统，并求出传递函数。 % MATLAB Program example 6.2.m 《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 系统的状态方程如下： u K x K x K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p n p b 161116613153 46 1 5141313322211 +-- =+-==++--== =??? ?? ? 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []????? ? ??? ? ??????????=??????? ???????????????+?????? ??????????????? ????????????? ??????????? ?-----=????????????????????????????? ?654321165432111111112654321000001000000 000000010010000000000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 U 图1-28 电路图 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =? ? ? 写成矢量矩阵形式为： 状态空间模型概述 状态空间模型是动态时域模型，以隐含着的时间为自变量。状态空间模型在经济时间序列分析中的应用正在迅速增加。其中应用较为普遍的状态空间模型是由Akaike提出并由Mehra进一步发展而成的典型相关(canonical correlation)方法。由Aoki等人提出的估计向量值状态空间模型的新方法能得到所谓内部平衡的状态空间模型，只要去掉系统矩阵中的相应元素就可以得到任何低阶近似模型而不必重新估计，而且只要原来的模型是稳定的，则得到的低阶近似模型也是稳定的。 状态空间模型起源于平稳时间序列分析。当用于非平稳时间序列分析时需要将非平稳时间序列分解为随机游走成分(趋势)和弱平稳成分两个部分分别建模。含有随机游走成分的时间序列又称积分时间序列，因为随机游走成分是弱平稳成分的和或积分。当一个向量值积分序列中的某些序列的线性组合变成弱平稳时就称这些序列构成了协调积分(cointegrated)过程。非平稳时间序列的线性组合可能产生平稳时间序列这一思想可以追溯到回归分析，Granger提出的协调积分概念使这一思想得到了科学的论证。Aoki和Cochrane等人的研究表明：很多非平稳多变量时间序列中的随机游走成分比以前人们认为的要小得多，有时甚至完全消失。 协调积分概念的提出具有两方面的意义： ①如果一组非平稳时间序列是协调积分过程，就有可能同时考察他们之间的长期稳定关系和短期关系的变化； ②如果一组非平稳时间序列是协调积分过程，则只要将协调回归误差代入系统状态方程即可纠正系统下一时刻状态的估计值，形成所谓误差纠正模型。 Aoki的向量值状态空间模型在处理积分时间序列时，引入了协调积分概念和与之相关的误差纠正方法，因此向量值状态空间模型也是误差纠正模型。一个向量值时间序列是否为积分序列需判断其是否含有单位根，即状态空间模型的动态矩阵是否含有量值为1的特征值。根据动态矩阵的特征值即可将时间序列分解成两个部分，其中特征值为1的部分(包括接近1的“近积分”部分)表示随机游走趋势，其余为弱平稳部分，两部分分别建模就得到了两步建模法中的趋势模型和周期模型。 状态空间模型的假设条件是动态系统符号马尔科夫特性，即给定系统的现在状态，则系统的将来与其过去独立。 [编辑] 状态空间模型的分类 状态空间模型包括两个模型：一是状态方程模型，反映动态系统在输入变量作用下在某时刻所转移到的状态；二是输出或量 uy现代控制理论复习题 1.自然界存在两类系统：静态系统和动态系统。 2.系统的数学描述可分为外部描述和内部描述两种类型。 3.线性定常连续系统在输入为零时，由初始状态引起的运动称为自由运动。 4.稳定性、能控性、能观测性均是系统的重要结构性质。 5.互为对偶系统的特征方程和特征值相同。 6.任何状态不完全能控的线性定常连续系统，总可以分解成完全能控子系统和完全不能控子系统两部分。 7.任何状态不完全能观的线性定常连续系统，总可以分解成完全能观测子系统和完全不能观测子系统两部分。 8.对状态不完全能控又不完全能观的线性定常连续系统，总可以将系统分解成能控又能观测、能控但不能观测、不能控但能观测、不能控又不能观测四个子系统。 9.对SISO系统，状态完全能控能观的充要条件是系统的传递函数没有零极点对消。 10.李氏稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。 11.经典控制理论讨论的是在有界输入下，是否产生有界输出的输入输出稳定性问题，李氏方法讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。 12.状态反馈和输出反馈是控制系统设计中两种主要的反馈策略。 13.综合问题的性能指标可分为优化型和非优化型性能指标。 14.状态反馈不改变被控系统的能控性；输出 反馈不改变被控系统的能控性和能观测性 实对称矩阵P为正定的充要条件是P的各阶顺序主子式均大于零。 15.静态系统：对于任意时刻t，系统的输出 唯一地却绝育同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。16.动态系统：对于任意时刻t，系统的输出 不仅和t有关，而且与t时刻以前的累积 有关，这类系统称为动态系统。 17.状态；状态方程：状态：系统运动信息的 合集。状态方程：系统的状态变量与输 入之间的关系用一组一阶微分方程来描 述的数学模型称之为状态方程。 18.状态变量：指能完全表征系统运动状态的 最小一组变量。状态向量：若一个系统 有n个彼此独立的状态变量x1（t），x2 （t）…xn（t），用它们作为分量所构成 的向量x（t），就称为状态向量。状态空 间表达式：状态方程和输出方程结合起 来，构成对一个系统动态行为的完整描 述。 19.x(t)=Φ(t-t0)x(t0)的物理意义：是自由运动 的解仅是初始状态的转移，状态转移矩 阵包含了系统自由运动的全部信息，其 唯一决定了系统中各状态变量的自由运 动。 20.状态方程解的意义：线定定常连续系统状 态方程的解由两部分相加组成，一部分 是由初始状态所引起的自由运动即零输 入相应，第二部分是由输入所引起的系 统强迫运动，与输入有关称为零状态相 应。 21.系统能控性：控制作用对被控系统的状态和输出进行控制的可能性。 系统能观性：反应由能直接测量的输入输出的量测值来确定系统内部动态特征的状态的可能性。 22.对偶定理：设线性定常连续系统错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。）是互为对偶，则系统错误！未找到引用源。状态能控能控（能观测）性定价与系统错误！未找到引用源。的状态能测（能控）性。23.从传函的角度说明状态不完全能控和不 完全能观系统的原因。状态不完全能观 测系统的传递函数矩阵等于其能观测性 分解后能观测子系统的传递函数矩阵， 由于状态不完全能观测系统的传递函数 矩阵等于其能观测子系统的传递函数矩 阵，则其极点必少于n个，即系统存在 第一章 控制系统的状态空间表达式 １． 状态空间表达式 n 阶 Du Cx y Bu Ax x +=+=&1:?r u 1:?m y n n A ?: r n B ?: n m C ?:r m D ?: A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。 ２． 状态空间描述的特点 ①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。 ②状态方程和输出方程都是运动方程。 ③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。 ④状态变量的选择不唯一。 ⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。 ⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。 ⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。 ３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器） 已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。 ４． 状态空间表达式的建立 ① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积 分器的输出选作i x ，输入则为i x &；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。 ② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。 利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。 ③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。 方法：微分方程→系统函数→模拟结构图→状态空间表达式 注意：a 如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。 b 模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。p28 c 对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。 5．状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。 特征矢量 i p 的求解：也就是求0)(=-x A I i λ的非零解。 状态空间表达式变换为约旦标准型（Ａ为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。a 互异根时，各特征矢量按列排。b 有重根时， 设３阶系统，1λ＝2λ，3λ为单根，对特征矢量1p ，3p 求法与前面相同， 2p 称作1λ的广义特征矢量，应满足121)(p p A I -=-λ。 系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数→部分分式展开→模拟结构图→状态空间表达式。 6．由状态空间表达式求传递函数阵)(s W D B A sI C s W ++-=-1)()( r m ?的矩阵函数［ij W ］ ij W 表示第j 个输入对第i 个输出的传递关系。 状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵)(s W 是不变的。 子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵)(s W 。方法：画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。 第二章 控制系统状态空间表达式的解 长安大学2012—2013学年第2学期试题（A）卷 一、（10分）已知某R-C-L电路如图1所示，试求：（1）建立系统的微分方程；（2）以电感电流和电感电压为状态变量，以电阻R上的输出电压为输出量，建立系统的状态空间表达式。 R L + 输入 U c - 二、（10分）已知差分方程y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=2u(k+1)+3u(k) 试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b（即控制阵列）为 b= 1 。 三、（10分）Consider the following state-space equation: 0 1 0 0 x。= 0 0 1 x + 0 u, y=[1 0 0]x 2 3 0 1 Please convert the state-space equation into Jordan canonical form and calculate the transfer function. 四、（10分空间表达式为 -2 2 -1 0 x。= 0 -2 0 x + 0 u y=[1 -1 1]x 1 -4 0 1 试按能控性对系统进行结构分解。 五、（10分stem dynamic equation is 0 6 -2 x。= x+ u y=[0 1] 1 -1 1 Determine the BIBO stabiity and asymptotical stability. 六、（10分）设非线性系统的状态方程为 X。1=x2 x。2=-1/(a+1) x2(1+x2)(1+x2)-10x1, a>0 利用李雅普诺夫第二法确定其平衡状态的稳定性。 七、（20）已知系统状态方程为 -3 1 0 X。= x + u y=[1 1]x 0 -3 1 试求：（1）判断系统的能控性；（2）若u(t)=1(t),x1(0)=1,x2(0)=1 ,时系统输出y(t);(3)设计状态反馈阵K，使闭环控制系统的极点配置到-2，-3。 八、（20分）已知被控系统的状态空间表达式为： -2 1 0 x。= x+ u y=[1 0] x 0 -1 1 试求：（1）判断系统的能观性；（2）设计全维状态观测器，使观测极点为-3，-3； （3）画出全维状态观测器的模拟结构图。 武汉理工大学考试试题纸（A 卷） 课程名称现代控制理论专业班级自动化0801-04 题号一二三四五六七八九十总分 题分10 15 15 15 15 15 15 100 备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题) 一、判别题（对的打“√”,错的打“×”, 每小题1分，共10分） （1）描述系统的状态方程不是唯一的。 （2）用独立变量描述的系统状态向量的维数不是唯一的。 （3）线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的可控性不变。 （4）一个单输入单输出系统和它的对偶系统,它们的状态变量和输出变量将不同，则它们的传递函数也一定不相同。 （5）对单输入单输出系统，如果传递函数存在零极点对消，则系统一定不可控或者不可观测。（6）李雅普诺夫第二法的四个判定定理中所述的条件都是充分条件。 （7）李雅普诺夫函数是正定函数，李雅普诺夫稳定性是关于系统平衡状态的稳定性。 （8）若系统是李雅普诺夫意义下稳定, 则系统在经典意义下也稳定。 （9）用状态反馈进行系统极点配置可能会改变系统的可观测性。 （10）对一个线性定常的单输入单输出5阶系统，假定系统状态可控可观测，通过设计输出至输入的反馈矩阵F的参数能任意配置系统的闭环极点。 二、（15分）已知系统传递函数3 42) ()(2 +++= s s s s U s Y 试列写系统可控标准型，可观测标准型，对角标准型实现。并画出可观测标准型状态 变量图。 三、（15分）某线性系统的状态转移矩阵为： ?? ?? ??+-+---=--------t t t t t t t t t 3333e 3e e 3e 3e e e e 321)(Φ (1) 试求系统矩阵A 。 (2) 根据系统矩阵 A 求这个系统的特征根。 四、（15分）已知系统的动态方程为： 试确定a ，b 值，使系统状态可控、可观测。 []x b y u x a x 011012=??????+??????=现代控制理论第一章答案1
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