数列,通项公式方法,求前n项和例题讲解和方法总结

数列的通项公式

1.通项公式

如果数列{}a n 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个公式来表达，叫做数列的通项公式。

2.数列的递推公式

（1）如果已知数列{}a n 的第一项，且任一项n a 与它的前一项-1n a 之间的关系可以用一个公式来表示。 （2）递推公式是数列所特有的表示方法，它包含两部分，一是递推关系，二是初始条件，二者缺一不可

3.数列的前n 项和与数列通项公式的关系

数列{}a n 的前n 项之和，叫做数列的前n 项和，用n S 表示，即123=n n S a a a a ++++L n S 与通项n a 的关系是1

1

(1)(2)

={

n n S n n S S

n a -=-≥

4.求数列通项公式的常用方法有：(前6种常用，特别是2,5,6)

1）、公式法，用等差数列或等比数列的定义求通项

2）前n 项和n S 与n a 的关系法，

???≥???????-=????????????????=-2111n S S n S a n n

n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项)

3）、累（叠）加法：形如)(1

n f a a n n +=+∴112211=()()()n n n n n a a a a a a a a ----+-++-+L

4）. 累（叠）乘法：形如n

n a n f a )(1=+

∴13211221

=

n n n n n a a a a

a a a a a a ---???????? 5）.待定系数法 ：形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0），（设a 1+n +k=p （a n +k ）构造新的等比数列） 6) 倒数法 ：形如1

1n n n a a ka b

--=

+（两边取倒，构造新数列，然后用待定系数法或是等差数列）

7). 对数变换法 ：形如，11()lg lg lg p n n n n a c a a p a c ++=??=+（然后用待定系数法或是等差数列）

8).除幂构造法: 形如111

11

n n n n n n n

a q a a qa d d d d d

++++=+?

=+ (然后用待定系数法或是等差数列) 9). 归纳—猜想—证明”法

直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳—猜想—证明”法．

递推数列问题成为高考命题的热点题型，对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可对递推式

的变形转化为等差数列或等比数列.下面将以常见的几种递推数列入手，谈谈此类数列的通项公式的求法.

通项公式方法及典型例题

1.前n 项和n S 与n a 的关系法

例1、已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。

（1）(1)S n ＝2n 2

－3n ； （2）12

-=n s n

解： (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2

－3n )－[2(n －1)2

－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.

（1）11111-+==S a ， 当2≥n 时n a =1--n n S S =[

]

1)1()1()1(3

3

--+---+n n n n =3232

+-n n

经验证12a =也满足上式 ∴n a =3232

+-n n

（2）011==s a ，当2≥n 时， 12]1)1[()1(2

21-=----=-=-n n n s s a n n n

由于1a 不适合于此等式 。 ∴??

?≥-==)

2(12)1(0

n n n a n

(点评：要先分n=1和2≥n 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。)

2.累加法:

)

(1n f a a n n +=+型

112211

=()()()n n n n n a a a a a a a a ----+-++-+L

2.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n

；

解:由a n ＋1－a n ＝2n

，把n ＝1,2,3，…，n －1(n ≥2)代入，得(n －1)个式子， 累加即可得(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋22

＋23

＋…＋2

n －1

，所以a n －a 1＝

2

1－2n －1

1－2

，

即a n －a 1＝2n

－2，所以a n ＝2n

－2＋a 1＝2n

－1.当n ＝1时，a 1＝1也符合， 所以a n ＝2n

－1(n ∈N *

)．

3.累乘法

1()

n n a a f n +=?型，

13211221

=

n n n n n a a a a a a a a a a ---????????

3. 已知数列{}a n 中满足a 1=1，n n

n a a ?=+21，求n a 的通项公式. 解：∵n n

n a a ?=+21 ∴

n n

n a a 21

=+. ∴=n a 1

2232332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n ???????------- a 1=222222321??????---n n n *1=2

)1(2-n n ∴=n a 2)

1(2-n n

4.待定系数法: a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0）型，

通过分解常数，可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。解法：设a 1+n +k=p （a n +k ）与原式比较系数可得 pk －k=q ，即k=

1

-p q

，从而得等比数列{a n +k}。 4.在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1.

由a n ＋1＝2a n ＋1得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，

令b n ＝a n ＋1，所以{b n }是以2为公比的等比数列． 所以b n ＝b 1·2

n －1

＝(a 1＋1)·2

n －1

＝2

n ＋1

， 所以a n ＝b n －1＝2

n ＋1

－1(n ∈N *

)．

5.倒数变换法、形如

1

1n n n a a ka b --=

+的分式关系的递推公式，分子只有一项

（两边取倒，再分离常数化成q pa a n n +=+1求解）然后用待定系数法或是等差数列

例5. 已知数列{}n a 满足112,12

n

n n a a a a +=

=+，求数列{}n a 的通项公式。 解：由112,12n n n a a a a +=

=+ 得11111111

,,22

n n n n a a a a ++=+∴-= 111n n a a +??∴-????

是以首项为111a =，公差为1

2的等差数列 112(1),21n n n a a n ∴=+∴=+

考点六、构造法 .形如1111

n n n n n n n

a q a a qa d d d d d

+++=+?

=+ 然后用待定系数法或是等差数列 6、已知数列

{}

n a 满足

111,32(2).

n n n a a a n -==+≥求a n ．

解：将132n

n n a a -=+两边同除3n ，得1213

3n n n n a a -=+，变形为1121333n n n n a a --=+． 设3n n n a b =，则1213n n b b -=+．所以123(3)

3n n b b --=-，

数列

18

{3}3333n a b --=-=-

1是以b 为首项，23为公差的等比数列． 1823()33n n b --=-?．因3n n n a b =，所以3n n n a b ==1823(()3)33n n --?+ 得n a =1232n n ++-．

求数列的通项公式

一、数列通项公式的求法 1、观察法

观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式 例、由数列的前几项写通项公式

（1）1，3，5，7，9… （2）9，99，999，9999， （3）

K ,5

4

,43,32,21--

2、定义法：

当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差或公比。这种方法适应于已知数列类型的题目．

例（1）已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a 。求{}n a 的通项n a .；

（2）已知数列{n a }为等比数列，.162,652==a a 求数列{n a }的通项公式；

（3）已知等比数列{}n a ，若27,13321321==++a a a a a a ，求数列{}n a 的通项公式。

（4）数列{}n a 中，111,2n n a a a +==+，求{}n a 的通项公式

（5）已知数列{}n a 满足11=a ，11

11

=-

+n

n a a ，求{}n a 的通项公式

（6）已知数列{}n a 中, 11a =,且当2n ≥时112n n n n S S S S ---=?,则n S = ;

n a = .

3、公式法：

已知数列的前n 项和公式，求通项公式的基本方法是：

注意：要先分n=1和n ≥2 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。

例（1）已知数列}{n a 的前n 项和13

-+=n n S n ，求}{n a 的通项公式。

（2）已知数列{}n a 中, 2

32n S n n =-+,则n a = .

（3）已知数列{}n a 前n 项和2

3n s n n =-，求}{n a 的通项公式

4 累加法：

利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）.

反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a a f n +=+.

例.（1）数列{}n a 中，1

111,3n n n a a a -+==+，求{}n a 的通项公式

（2）在数列{}n a 中，112a = ，12141

n n a a n +-=- 求数列{}n a 的通项公式？

???≥-==-)2()1(11

n s

s n s a n n n

5、 累乘法: 利用恒等式3

21

121

(0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积).

例（1）已知数列{}n a 的首项11a =，且11

(2)n n n a a n n

--=≥，求数列{}n a 的通项公式

（2）已知数列{}n a 的首项()()

22111,21n n a n n a n n a +=+=++，求数列{}n a 的通项

6、 凑配法（也叫构造新数列）: 将递推公式n+1n a qa d =+（,q d 为常数，0q ≠，0d ≠）通过

1()()n n a x q a x ++=+与原递推公式恒等变成1()11

n n d d a q a q q ++

=+--的方法叫凑配法（构造新数列.） 例（1）数列{}n a 中，112,32n n a a a +==+，求{}n a 的通项公式 （2）已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式

7、 倒数变换：将递推数列1n n n ca a a d +=+(0,0)c d ≠≠,取倒数变成

1111

n n d a c a c

+=+ 的形式的方法叫倒数变换.

例（1）在数列{}n a 中, 11

2

a =

,1321n n n a a a +=+, 求数列{}n a 的通项公式？

求前n 项和的方法

(1)公式法

①等差数列前n 项和S n ＝____________＝________________，推导方法：____________；

②等比数列前n 项和S n ＝?

??

??

，q ＝1，

＝ ，q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法．

③常见数列的前n 项和：

a ．1＋2＋3＋…＋n ＝________________；

b ．2＋4＋6＋…＋2n ＝_________________；

c ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝_____________；

d ．222

112(1)(21)6

n n n n +++=++L

e ．

3333

2

(1)123[]2

n n n +++++=L (2)分组求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可以分为几个等差或者等比数列或者常见的数列，即可以分别求和，然后再合并；

(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再

求和．

常见的裂项公式有： ①_x0001_ 1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； ②1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ????1

2n －1－12n ＋1；

③

1

n ＋n ＋1

＝n ＋1－

n

1

d

=

(4)错位相减：

适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．这种方法主要用于求数列{}n n a b g 的前n 项和，其中{}n a 和{}n b 分别是 和 ；

(5)倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导．

考点二、分组求和法：

2.求数列???+???),21

(,,813,412,211n

n 的前n 项和。

n

n n n n n n n S 211)1(21)

2

1

212121()321()2

1(813412211

32-++=+???+++++???+++=++???+++= 考点三、.裂项相消法：

3. 求数列

???++???++,1

1,

,321,

2

11n n 的前n 项和.

解：设n n n n a n -+=++=

111

（裂项）

则 1

13

212

11

+++

???+++

+=

n n S n （裂项求和）

＝)1()23()12(n n -++???+-+-＝11-+n

考点四、错位相减法：

4. 求数列

??????,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2

1

}的通项之积

设2324622222n n

n

S =+++???+…………………………………①

234112462-12+2

22222

n n n n n S +=+++???+（）…………………………② （设制错位,乘以公比） ①_x0001_

- ②得1432222222222222)2

1

1(+-+???++++=

-n n n n

S （错位相减） 1122212+---=n n n ∴ 12

2

4-+-=n n n S

考点五、倒序相加法：

5. 求ο

οοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值

解：设ο

οοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. ①

将①式右边反序得

ο

οοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S …………..②（反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 2

2

=+-=x x x x ο

①+②得 （反序相加）

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++???++++=S ＝89

∴ S ＝44.5

数列求和练习

1、已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项a n 及S n ；

(2)设{b n －a n }是首项为1，公差为3的等差数列，求{b n }的通项公式及前n 项和T n .

3、已知等差数列{a n }中，a 5＋a 9－a 7＝10，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 13的值为( ) A. 130 B. 260 C. 156 D. 168

4. 在数列{a n }中，a n ＝4n －52

，a 1＋a 2＋…＋a n ＝an 2

＋bn ，n ∈N+，其中a ，b 为常数，则ab ＝________.

二、错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.

2．设数列}{n a 的前n 项和为2

2n S n =，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=

（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设n

n

n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n T .

例2．已知数列{}n a 的首项12

3

a =

，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．

（Ⅰ）证明：数列1{1}n a -是等比数列； （Ⅱ）数列{}n

n

a 的前n 项和n S ．

2．设数列}{n a 的前n 项和为2

2n S n =，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=

（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设n

n

n b a c =

，求数列}{n c 的前n 项和n T . 三、分组法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

2、已知数列}{n a 的通项公式为n

n n a 3+=，则它的前n 项的和=n S

3：求数列???+???),21

(,,81

3,41

2,21

1n n 的前n 项和。

四、裂项相消法求和

[例1] 在数列{a n }中，1

1211++

???++++=n n

n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

练习1、设数列}{n a 的前n 项的和为n S ，点*))(,

(N n n

S n n

∈均在函数23-=x y 的图像上 （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n n n T a a b ,3

1

+=是数列}{n b 的前n 项的和，求T n

3、数列}{n a 的通项公式为*)(1

1N n n n a n ∈++=，则它的前10项的和10S =

4、)

12)(12(1531311+-++?+?n n Λ

5．已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为.62

1

,33=?=

S a S n （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）求和：n

S S S 11121+++Λ.

等差 等比 应用 例1.在等差数列{}n a 中，3737a a +=，则2468a a a a +++= .

练习1.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24

2.已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =（ ）

(A)

3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d ＝________

4. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝_______

5. 数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.

6.正项等比数列2244635

412111

{},

81,n a a a a a a a a ++=+中则= 。 7.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12310a a S +=,95=a ,则=1a

(A)

31 (B)31- (C)9

1

(D)9

1

-

8.已知等差数列{}n a 的公差为3，若431,,a a a 成等比数列，则2a 等于（ ）

A ．9

B ．3

C ． -3

D ．-9

9. 设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==,则m = ( ) A.3

B.4

C.5

D.6

10.已知数列{}n a 为等差数列，且12a =，2313a a +=，那么则456a a a ++等于（ ）

（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45

11.知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和.若21=a ，123=S ，则=4S ( ) A ．10 B ．16 C ．20 D ．24

12.在等比数列{}n a 中，首项=1a 3

2

，()44

1

12a x dx =+?

，则公比q 为

.

13. 若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n 项和n =S __________. 14 ．等比数列{}n a 中5121=a ,公比2

1

-

=q ,记12n n a a a ∏=???L (即n ∏表示数列{}n a 的前n 项之积),n ∏取最大值时n 的值为 （ ）

A ．8

B ．9

C ．9或10

D ．11

数列大题训练

1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =2

11

n a -(n ∈N *

)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

2．函数)(x f 对任意R x ∈都有?=-+2

1)1()(x f x f (1)求)21(f 和)1

(

)1(n

n f n f -+的值*);(N n ∈ (2)数列}{n a 满足：),1()1()2

()1

()0(f n

n f n

f n

f f a n +-++++=Λ数列}{n a 是等差数列吗？请给予证明．

3．已知数列}{n a 满足ΛΛ,,,,,123121----n n a a a a a a a 是首项为1、公比为3

1

的等比数列． (1)求n a 的表达式； (2)如果,)12(n n a n b -= 求数列}{n b 的前n 项和．

4、数列

{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）等差数列{}n b 各项为正，前n 项和为n T ，315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T .

5、已知数列{}n a 是等差数列，且355,9a a ==，n S 是数列{}n a 的前n 项和． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；

(Ⅱ) 若数列{}n b

满足n b =，且n T 是数列{}n b 的前n 项和，求n b 与n T ．

6．设}{n a 是正数组成的数列，其前n 项和为,n S 并且对于所有的自然数n a n ,与2的等差中项等于n S 与2

的等比中项． (1)求数列}{n a 的通项公式； (2)令*),)((2

111

N n a a a a b n n n n n ∈+=++ 求证：.1321n b b b b n +<++++Λ

7、已知数列{}n a 是等差数列， 256,18a a ==；数列{}n b 的前n 项和是n T ，且1

12

n n T b +=． (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 求证：数列{}n b 是等比数列；

(Ⅲ) 记n n n c a b =?，求{}n c 的前n 项和n S

8.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足231n n S a =-，其中*n N ∈．

（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设23n

n n a b n n

=+，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．

9.已知数列{}n a 的首项为11a =，前n 项和n S ，且数列n S n ??

????

是公差为2的等差数列．

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若(1)n

n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

10、已知数列{}n a 满足111

,2 1.2n n a a a +=-=

（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：12...1n a a a n +++<.

11.已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且*1

1()2

n n S a n N +

=∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设*

31log (1)()n n b S n N +=-∈，求适合方程

122311112551

n n b b b b b b +++???+= 的正整数n 的值．

数列大题训练( 答案 )

1、【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有

112721026

a d a d +=??+=?，解得13,2a d ==，所以321)=2n+1n a n =+-（；n

S =n(n-1)

3n+22?=2n +2n 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =

211n a -=2

1=2n+1)1-（114n(n+1)?=111

(-)4n n+1

?， 所以n T =

111111(1-+++-)4223n n+1?-L =11

(1-)=

4n+1

?n 4(n+1)，即数列{}n b 的前n 项和n T =n 4(n+1) 2．(1)因为=

+=-+)21()21()211()21

(f f f f ,2

1

故41)21(=f

令,1n x =

得+)1(n f ,21)11(=-n f 即?=-+2

1

)1()1(n n f n f (2) ：++++=Λ)2()1

()0(n

f n

f f a n ),1()1(f n n f +-而),0()1

()1()1(f n

f n n f f a n +++-+=Λ 两式相加得++=)]1()0([2f f a n )]0()1([)]1(

)1

([f f n n f n

f +++-+Λ,2

1+=n 所以*),(4

1N n n a n ∈+= 又,41

1=-+n n a a 故数列}{n a 是等差数列．

3．(1),11=a 当2≥n 时，,)31(1

1--=-n n n a a 故

-++-+-+=n n a a a a a a a ()()(23121Λ121)3

1()31(311)--++++=n n a Λ?-=)31

1(23n

即 *).)(3

1

1(23N n a n n ∈-=

(2)因),3

1

1(2)12(3)12(n n n n a n b -?-=

-=

故n n b b b S +++=Λ21--++++=

))12(531[(23n Λ?-++++])3

12353331(32n n Λ n n n T 31

235333132-++++=

Λ …① 14323

1235333131+-++++=n n n T Λ …② ①一②得 1432312)31313131(23132+--+++++=n n n n T Λ,3

12)311(31

3111+----+=n n n 故?+-

=n

n n T 3

11 又,)12(5312

n n =-++++Λ故?++-=)311(232n n n n S 4、解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，

两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，

又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴13n n a -=

（Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =

故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，

由题意可得2

(51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d ==

∵等差数列

{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴

2(1)

3222n n n T n n n -=+

?=+

5、(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意可知：31512549

a a d a a d =+=??

=+=?,解得:11,2a d == …3分 ∴1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=- …………………………………5分 21()(121).22

n n a a n n n

S n ++-=

=

=111

(1)1

n b n n n n =

==-

++Q

123111111111()()()()1.122334111

n n

T b b b b n n n n n =+++???+=-+-+-+???+-=-=+++∴ 6．(1)由题意可知：

*),(222N n S a n n ∈=+整理得,)2(8

1

2+=n n a S 所以+=

++11(81n n a S .)22故+-+=-=+++n n n n n a a S S a ()2[(812111).22(8

1])22

1212n n n n a a a a --+=++ 整理得：,0)4)((11=--+++n n n n a a a a 由题意知,01=/++n n a a 而.21=a 故,41=-+n n a a

即数列}{n a 为等差数列，其中.4,21==d a 故.24)1(1-=-+=n d n a a n (2)令,1-=n n b c 则)2(2111-+=

++n n

n n n a a a a c )]11

212()11212[(21-+-+--+=n n n n ?+--=121121n n

故n n c c c n b b b +++=-+++ΛΛ2121

)121121()5131()311(+--++-+-=n n Λ.11

211<+-=n

故.1321n b b b b n +<++++Λ

7、解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ，则：21a a d =+，514a a d =+，

∵26a =，518a =，∴116418

a d a d +=??+=?，∴12,4a d ==． ………………………2分

∴24(1)42n a n n =+-=-． …………………………………………4分

（Ⅱ）当1n =时，11b T =，由11112T b +=，得12

3

b =． …………………5分 当2n ≥时，112n n T b =-Q ，11112n n T b --=-，∴111=() 2n n n n T T b b ----，即11

()2

n n n b b b -=-…7分 ∴

11=3n n b b -． ∴{}n b 是以23为首项，1

3

为公比的等比数列． …………………………………9分

（Ⅲ）由（2）可知：1211()2()333n n n b -=?=?． ∴11

(42)2()(84)()33

n n n n n c a b n n =?=-??=-?． ∴

211211111

4()12()(812)()(84)()3333

n n n n n S c c c c n n --=++++=?+?++-?+-?L L ．

∴23111111

4()12()(812)()(84)()33333

n n n S n n +=?+?++-?+-?L ． ∴231121111148()8()8()(84)()3333333n n n n n S S S n +-==?+?+?++?--?L

21111()[1()]41338(84)()13313n n n -+?-=+?--?-118114()(84)()333n n n -+=-?--?．……13分

∴144(1)()3n n S n =-+?． 8.解:（I ）∵*31

()22

n n S a n N =-∈， ①

当1131

1,22

n S a ==-，∴11a =，当2n ≥，∵113122n n S a --=-， ②

①-②：133

22

n n n a a a -=-，即：13(2)n n a a n -=≥ ………………………………4分

又∵11a =，23a = ，∴

1

3n n

a a +=对*n N ∈都成立，所以{}n a 是等比数列，∴1*3()n n a n N -=∈ （II ）∵23n n n a

b n n

=+，∴23

n b n n =+， ∴111113(1)2231n T n n =-+-++--L ，

∴13

3(1)311

n T n n =-=-

++，即31n n T n =- .……………………………12分

9.（1）由已知得

1(1)221n

S n n n

=+-?=-，∴22n S n n =-． 当2n ≥时，2

2

12[2(1)(1)]43n n n a S S n n n n n -=-=-----=-．

11413a S ==?-，∴43n a n =-，*n ∈N ．

（2）由⑴可得(1)(1)(43)n n n n b a n =-=--．

当n 为偶数时，(15)(913)[(45)(43)]422

n n

T n n n =-++-++???+--+-=?=， 当n 为奇数时，1n +为偶数

112(1)(41)21n n n T T b n n n ++=-=+-+=-+，综上，2,2,,

21,21,.

n n n k k T n n k k *

*

? =∈?=?-+=-∈??N N 10.（1）解()11111

,2121,221,211,2

n n n n n n a a a a a a a +++=

-==--=--=- 1

1112n n a a +-=- 1111122a -=

-=- ∴数列{}1n a -是以12-为首项，1

2

为公比的等比数列， ∴1

11122n n a -??

-=-? ?

??，∴112n

n a ??

=- ???

。

（2）证明：∵212111......222n n a a a n ??????+++=-+++?? ? ????????? 111222112n

n ??-? ???=-- 112n

n ??

=-+ ???

∴1211...21n

n a a a n n ??- ?+++??=-， ∵n 是正整数，∴1012n ??<< ???，1112011,02n

n

n ??- ?????<-<> ???

， ∴

12...1n

a a a n

+++<。

11.解：（1） 当1n =时，11a s =，由11112s a +

=，得12

3

a = 当2n ≥时，∵ 112n n s a =-， 111

12

n n s a --=-， ∴()1112n n n n s s a a ---=-，即()112n n n a a a -=- ∴)2(3

1

1≥=-n a a n n …5分 ∴{}n a 是以

23为首项，13为公比的等比数列．故1211()2()333

n n n a -=?=? )(*

∈N n

（2）

111()23n n n s a -=

=，13131

log (1)log ()13n n n b s n ++=-==--

（3）1

1111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++ 1223111111111111()()()23341222n n b b b b b b n n n +++???+=-+-+???+-=-+++解11252251

n -=+，得100n =