数列通项公式方法总结归纳

数列通项公式方法总结归纳

不过一般分小题、有梯度设问，往往是第1小题就是求数列的通项公式，难度适中，一般考生可突破，争取分数，而且是做第2小题的基础，因此，求数列通项公式的解题方法、技巧，每一位考生都必须熟练掌握。求数列通项公式的题型很多，不同的题型有不同的解决方法。下面结合教学实践，谈谈求数列通项公式的解题思路。

一、已知数列的前几项

已知数列的前几项，求通项公式。通过观察找规律，分析出数列的项与项数之间的关系，从而求出通项公式。这种方法称为观察法，也即是归纳推理。

例1、求数列的通项公式

（1）0，22——1/3，32——1/4，42＋1/5……

（2）9，99，999，……

分析：（1）0=12——1/2，每一项的分子是项数的平方减去1，分母是项数加上1，n2——1/n＋1＝n——1，其实，该数列各项可化简为0，1，2，3，……，易知an＝n——1。

（2）各项可拆成10-1，102-1，103-1，……，an＝10n——1。

此题型主要通过让学生观察、试验、归纳推理等活动，且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培养学生的思维能力。

二、已知数列的前n项和Sn

已知数列的前n项和Sn，求通项公式an，主要通过an与Sn的关系转化，即an -{ S1（n＝1）Sn -Sn——1（n≥2）

例2、已知数列{an }的前n项和Sn=2n+3，求an

分析：Sn=a1+a2 +……+an——1+an

Sn——1＝a1+a2 +……+an——1

上两式相减得Sn -Sn——1=an

解：当n=1时，a1=S1=5

当n≥2时，an =Sn -Sn——1=2n+3-（2n——1+3）=2n——1

∵n=1不适合上式

∴an ={5（n=1）2n——1（n≥2）

三、已知an与Sn关系

已知数列的第n项an与前n项和Sn间的关系：Sn=f（an），求an。一般的思路是先将Sn与an的关系转化为an与an——1的关系，再根据与的关系特征分为如下几种类型。不同的类型，要用不同的方法解决。

（1）an=an——1+k。数列属等差数列，直接代公式可求通项公式。

例3、已知数列{an}，满足a1=3，an=an——1+8，求an。

分析：由已知条件可知数列是以3为首项，8为公差的等差数列，直接代公式可求得an=8n-5。

（2）an=kan——1（k为常数）。数列属等比数列，直接代公式可求通项公式。

例4、数列{an}的前n项和Sn,a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N+）

求数列{an}的通项公式。

分析：根据an与Sn的关系，将an+1=2Sn+1转化为an与an+1的关系。

解：由an+1=2Sn+1

得an=2Sn-1+1（n≥2）

两式相减，得an+1-an=2an

∴an+1=3an （n≥2）

∵a2=2Sn+1=3

∴a2=3a1

∴{an}是以1为首项，3为公比的等比数列

∴an=3n-1

（3）an+1=an+f（n），用叠加法

思路：令n=1，2，3，……，n-1

得a2=a1+f（1）

a3=a2+f（2）

a4=a3+f（3）

……

+）an=an——1+f（n-1）

an=a1+f（1）+f（2）+…+f（n-1）

例5、若数列{an}满足a1=2，an+1=an+2n

则{an}的通项公式=（）

解：∵an+1=an+2n

∴a2 =a1+2×1

a3=a2+2×2

a4=a3+2×3

……

+）an=an——1+2（n-1）

an=a1+2（1+2+3+…+n-1）

=2+2×（1+n-1）（n-1）

=n2-n+2

（4）an+1=f（n）an，用累积法

思路：令n=1，2，3，……，n-1

得a2 =f（1）a1 a3=f（2）a2 a4=f（3）a3

……

×）an=f（n-1）an-1

an=a1·f（1）·f（2）·f（3）……f（n-1）

例6、若数列{an}满足a1=1，an+1=2n+an，则an=（）解：∵an+1=2nan ∴a2 =21a1

a3=22a2 a4=23a3

……

×）an=2n——1·an——1

an=2·22·23·……·2n-1a1=2n（n-1）/2

（5）an=pan——1+q，an=pan——1+f（n）

an+1=an+p·qn（pq≠0），

an=p（an——1）q，an+1=ran/pan+q=（pr≠0，q≠r）

（p、q、r为常数）

这些类型均可用构造法或迭代法。

①an=pan——1+q （p、q为常数）

构造法：将原数列的各项均加上一个常数，构成一个等比数列，然后，求出该等比数列的通项公式，再还原为所求数列的通项公式。

将关系式两边都加上x

得an+x=Pan——1+q+x

=P（an——1 + q+x/p）

令x=q+x/p，得x=q/p-1

∴an+q/p-1=P（an——1+q/p-1）

∴{an+q/p-1}是以a1+q/p-1为首项，P为公比的等比数列。

∴an+q/p-1=（a1+q/p-1）Pn-1

∴an=（a1+q/p-1）Pn-1-q/p-1

迭代法：an=p（an——1+q）=p（pan-2+q）+q

=p2（（pan-3+q）+pq+q……

例7、数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-n（n∈N+）求an

解析：由Sn=2an-n 得Sn-1=2an-1-（n-1）（n≥2,n∈N+）

两式相减得an=2an-1+1

两边加1得an+1=2（an-1+1）（n≥2，n∈N+）

构造成以2为公比的等比数列{an+1}

②an=Pan-1+f（n）

例8、数列{an}中，a1为常数，且an=-2an-1+3n-1（≥2，n∈N）证明：an=（-2）n-1a1+3n+（-1）n·3·2n-1/5

分析：这道题是证明题，最简单的方法当然是数学归纳法，现用构造法和迭代法来证明。

方法一：构造公比为-2的等比数列{an+λ·3n}

用比较系数法可求得λ=-1/5

方法二：构造等差型数列{an/（-2）n}。由已知两边同以（-2）n，得an/（-2）n=an-1/（-2）n=1/3·（-3/2）n，用叠加法处理。

方法三：迭代法。

an=-2an-1+3n-1=-2（-2an-2+3n-2）+3n-1

=（-2）2an-2+（-2）·3n-2+3n-1

=（-2）2（-2an-3+3n-3）+（-2）·3n-2+3n-1

=（-2）3an-3+（-2）·3n-3+（-2）·3n-2+3n-1

=（-2）n-1a1+（-2）n-1·3+（-2）n-3·+32+……+（-2）·3n-2+3n-1 =（-2）n-1a1+3n+（-1）n-2·3·2n-1/5

③an+1=λan+p·qn（pq≠0）

（ⅰ）当λ=qn+1时，等式两边同除以，就可构造出一个等差数列{an/qn}。

例9、在数列{an}中，a1=4，an+1+2n+1，求an。

分析：在an+1=2an+2n+1两边同除以2n+1，得an+1/2n+1=an/2n+1∴{an/2n}是以a1/2=2为首项，1为公差的等差数列。

（ⅱ）当λ≠q时，等式两边同除以qn+1，令bn=an/qn，得bn+1=λ/qbn+p，再构造成等比数列求bn，从而求出an。

例10、已知a1=1，an=3an-1+2n-1，求an

分析：从an=3an-1+2n-1两边都除以2n，

得an/2n=3/2 an-1/2n-1+1/2

令an/2n=bn

则bn=3/2bn-1+1/2

④an=p（an——1）q（p、q为常数）

例11、已知an=1/a an——12，首项a1，求an。

方法一：将已知两边取对数

得lgan=2lgan——1-lga

令bn=lgan

得bn=2bn-1-lga，再构造成等比数列求bn，从而求出an。

方法二：迭代法

an=1/a a2n——1=1/a （1/a a2n——2）2=1/a3 a4n——2

=1/a3 （1/a a2n——3）4=1/a7·an——38=a·（an——3/a）23 =……=a·（a1/a）2n——1

⑤an+1=ran/pan+q（p、q、r为常数，pr≠0，q≠r）

将等式两边取倒数，得1/an+1=q/r·1/an+p/r，再构造成等比数列求an。

例12、在{an}中，a1=1，an+1=an/an+2，求an

解：∵an+1=an/an+2

∴1/an+1=2·1/an+1

两边加上1，得1/an+1+1=2（1/an+1）

∴{1/an+1}是以1/an+1=2为首项，2为公比的等比数列

∴1/an+1=2×2n-1=2n

∴an=1/2n-1

以上罗列出求数列通项公式的解题思路虽然很清晰，但是一般考生对第三项中的5种类型题用构选法和迭代法都比较困难的。遇到此情况，可转化为第一种类型解决，即从an与Sn的关系式求出数列的前几项，用观察法求an。

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