西工大计算方法模板计划试题参考.docx
2002-2003 第一学期一．计算及推导（ 5*8）
1．已知x*
3.141, x，试确定
x *
近似
x
的有效数字位数。
2．有效数 x1* 3.105, x
2
*0.001, x3*0.100 ，试确定 x1*x2*x3*的相对误差限。
3．已知f ( x)
0.5 x30.1x 2 ，试计算差商
f 0,1,2,3
4．给出拟合三点A (0,1), B
(1,0) 和 C
(1,1)
的直线方程。
5．推导中矩形求积公式
b
b)1 f '' ()(b a)3
f (x)dx (b a) f (
a
a224
b n
f (x)dx A i f ( x i )
a
6．试证明插值型求积公式i0的代数精确度至少是 n 次。
7．已知非线性方程x f (x)
在区间
a,b
内有一实根，试写出该实根的牛顿迭代
公式。
8．用三角分解法求解线性方程组
121x10
223x23
130x32
二．给出下列函数值表
0.40.50.60.70.8
x i
0.389420.479430.564640.644220.71736
f ( x i )
要用二次插值多项式计算f (0.63891)
的近似值，试选择合适的插值节点进行计
算，并说明所选用节点依据。（保留 5 位有效数字）（12 分）
三．已知方程x ln x
0 在
(0,1)
内有一实根
（1）给出求该实根的一个迭代公式，试之对任意的初始近似x
(0,1)
迭代法都收
敛，并证明其收敛性。
（ 2）x
0.5
试用构造的迭代公式计算的近似值
x
n ，要求
x
n
x
n 1
10
3
。
四．设有方程组
a 1 3 x 1
b 1 1
a
2
x 2 b 2 3 2 a
x 3
b 3
当参数 a 满足什么条件时，雅可比方法对任意的初始向量都收敛。 写出与雅可比方法对应的高斯赛德尔迭代公式。 （ 12 分） 五．用欧拉预估校正法求解初值问题
y '
y 2x (0 x 0.2)
y
y(0) 1 取 h=0.1 ，小数点后保留 5 位。（8 分）
y '
f ( x, y) 六．证明求解初值问题
y(x 0 ) y 0
的如下单步法
y n 1 y n K 2
K 1 hf ( x n , y n )
K
hf ( x
1
h, y
1 K )
2 n 2 n
2 1 是二阶方法。（10 分）
七．试证明复化梯形求积公式
b h
n 1
b a
f (x)dx
( f ( x 0 ) 2
f (x i ) f (x n ))
h
a
2
i
1
n
对任意多的积分节点数 n+1, 该公式都是数值稳定的。 （6 分）
2003-2004 第一学期
一．填空（ 3*5 ）
1．近似数 x *
0.231 关于真值 x
0.229
有 _____- 位有效数字。
2． n x *
的相对误差为 x *
的相对误差的 _______倍。
3．设
f (x)
可微，求
x
f (x)
根的牛顿迭代公式 ______。
b
n
A i f (x i )
f (x)dx
a
的代数精确度至少是 ______次。
4．插值型求积公式
i
5．拟合三点 A
(1,0), B (1,3) 和 C (2,2) 的常函数是 ________ 。
二．已知
f (x)
有如下的数据
x i
123 f ( x i )
2412 f ' ( x i )3
试写出满足插值条件 P( x i ) f (x i ) 以及 P '(2)f '(2)
的插值多项式
P(x)
，并写出
误差的表达形式。
1三．（1）用复化辛浦森公式计算e x dx
6 位有效数字，问
0为了使所得的近似值有
需要被积函数在多少个点上的函数值？
7
2 lg xdx
（2）取 7 个等距节点（包括端点）用复化辛浦森公式计算x
1，小数点后至少保留 4 位。
四．曲线y
x3与
y 1 x
在点（ 0.7 ，0.3 ）附近有一个交点
(x , y )
，试用牛顿迭
代公式计算 x 的近似值x
n，要求
x
n
x n 1 10 3
五．用雅可比方法解方程组
122x15
111x21
221x33
是否对任意的初始向量 x(0)都收敛，为什么？取 x(0)(0,0,0) T，求出解向量的近max x i( k1)x i(k )10 6
似向量，要求满足 1 i 3。
六．用校正一次的欧拉预估校正格式求解初值问题
y'y2 +1
y(0)0
的解函数在x 0.6
处的近似值，要求写出计算格式。（步长
h0.3
, 小数点后保留
5位有效数字）
y' f (x, y)
七．设有求解初值问题y(x
) y
0的如下格式
y n 1ay
n 1by n chf ( x n , y n )
如假设 y n 1y( x n 1 ), y n y( x n ) 问常数 a, b, c 为多少时使得该格式为二阶格式？
2005-2006 第二学期
一．填空（ 3*5 ）
1. 设 近 似 数
x 1*
1.2250, x 2*
0.5168
都 是 四 舍 五 入 得 到 的 ， 则 相 对 误 差
e r (x 1* x 2* )
______。
x 1 2.8
2. 矛盾方程组 x 1
3.2
的最小二乘解为 _______。
3. 近似数 x *
0.01999 关于真值 x *
0.02000
有______位有效数字 .
4. 取 3
1.732 ，迭代过程
y
n 1
y n
0.1
3
是否稳定？
3
f ( x) dx 2 f (2)
5. 求积公式 1
有几次的代数精确度？
二． 取初值
x 0
1.6
，用牛顿迭代法求
3.1
的近似值，要求先论证收敛性。当
x
n 1
x n 10 5 时停止迭代。
y a
1
bx 2
中的常数 a 和 b ，使该曲线拟合于下面的四
三．用最小二乘法确定
x
个点（ 1，1.01 ）（2， 7.04 ）（3，17.67 ）（ 4， 31.74 ） （计算结果保留到小数点后 4 位）
四．用乘幂法求矩阵 A 的按模最大的特征值
( k)
1
的第 k 次近似值 1 及相应的特征
x 1
u 0 (1,1,1)T
(k ) ( k 1) 10
3
向量 ，要求取初值 且
1
1
5 1 2
1 0
1 这里 A= 6 1
3
9x 1 2x 2 x 3 6
x 1
8x 2 x 3
8
五．考察用高斯赛德尔迭代法解方程组 x 1 x 2
8x 3
8
收敛性，并取 x
(0)
(1,0,0)
T
，求近似解 x
(k 1)
，使得 x i (k 1)
x i ( k)
10 3 （i=1 ，2，3）
六．已知单调连续函数 y
f ( x)
的如下数据
x i 1.12 0.00 1.80 2.20 f ( x i )
1.10
0.50 0.90
1.70
用插值法求方程 f (x)
在区间（ 0.00 ， 1.80
）内根的近似值。（小数点后至少
保留 4 位）
1
dx
I
4 x 取
5 个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些节
七．设有积分
点上的函数值表（小数点后至少保留 4 位）
用复化的 simpson 公式求该积分的近似值，并且由截断误差公式估计误差大小。
y ' x
y
八．给定初值问题 y(0)
0 1 x 1.4
写出 Euler 预估校正格式 取步长为 0.2 ，计算在 1.4 处的函数的近似值。
九．设矩阵 A 对称正定，考虑迭代格式
x
(k 1)
x
(k )
A
x ( k 1) x ( k)
b
2
0, k
0,1,2,3... 对任意的初始向量 x (0) , x
( k 1)
是否收敛到
Ax
b
的解，为什么？
2006-2007 第一学期
一 . 填空
1） 近似数 x *
1.253 关于真值 x
1.249
有____位有效数字；
1
n
n
f ( x)dx
A k f ( x k )
A k
1
，则 k 1
=______；（只算系数）
2） 设有插值公式
k 1
x 1*
0.0235
x 2* 2.5160
e r (
x 1*
)
3） 设近似数 ， 都是有效数，则相对误差
x 2*
____；
4） 求方程
x
cos x
的根的牛顿迭代格式为 ______；
x 1 x 2 1 2x 1
2 x 2
2
x 1 x 2 1
x 1 x 2
1
5） 矛盾方程组
x 1 2x 2
1 与 x 1 2x 2
1
得最小二乘解是否相同 ______。
二 . 用迭代法（方法不限）求方程 xe x 1
在区间（ 0， 1）内根的近似值，要求先
论证收敛性，误差小于
10
2 时迭代结束。
三 . 用最小二乘法
y ax 2 be x
中的常数 a 和 b ，使该函数曲线拟合与下面四个点
（ 1， -0.72 ）(1.5, 0.02),(2.0, 0.61),(2.5, 0.32) （结果保留到小数点后第四位）
四．用矩阵的直接三角分解法求解线性方程组
1 0
2 0 x 1 5 0 1 0 1 x 2
3 1 2
4 3 x 3 17 0 1 0
3 x 4
7
五．设要给出
f x
cos x
的如下函数表
x i
x 0
h
x 0
x 0
h
f ( x i )
f ( x 0
h)
f ( x 0 )
f ( x 0
h)
用二次插值多项式求
f ( x)
得近似值，问步长不超过多少时，误差小于
10 3
。
六 . 设有微分方程初值问题
y －2y 4x,0 x 0.2 y(0) 2
1 ）写出欧拉预估－校正法的计算格式；
2) 取步长 h=0.1 ，用欧拉预估－校正法求该初值问题的数值解（计算结果保留 4 位小数）。
1
dx
七 .
I
x
设有积分 0 1 取 11 个等距节点（包括端点 0 和 1），列出被积函数在这些节点上的函数值 （小数点侯保留 4 位）；
用复化 Simpson 公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小（小数点侯保留 4 位）。 八 . 对方程组
1 2 －2 x 1 4 1 1 1 x 2 1 2
2 1
x 3
3
1. 用雅可比迭代法求解是否对任意初始向量都收敛？为什么？
2. 取初始向量
x
(0,0,0) T ，用雅可比迭代法求近似解
x ( k 1) ，使
x i ( k 1) x i ( k)
10 3
(i 1,2,3)
九 .设 f(x)在区间 [a ， b] 上有二阶连续导数，且 f(a)=f(b)=0，试证明max f ( x)1 (b a) 2max f ( x)
a x b8 a x b
参考答案：
1: (1)3 (2) 2 (3) 0.0023
x
k 1x k x k cos x k x k sin x k cos x k, k0,1,2,...
（ 4）1sin x k1sin x k(5) 否
2.方程的等价形式为 x e x，迭代格式为x
k 1e x k。
收敛性证明；当x
(0,1) 时，
01 e x e01
e
' ( x) e x e01
所以依据全局性收敛定理，可知迭代格式收敛
取迭代初值为x
0.5
，迭代结果如下
n
x n x n x n 1
00.5
10.606530.01065
20.54524-0.06129
30.579700.03446
40.56006-0.01964
50.571170.01111
60.56486-0.00631
3.
x n
1 1.5 2.0 2.5
x n21 2.25 4.0 6.25
e x n 2.71828 4.481697.3890612.18249
1 2.718280.72
2.25 4.48169a0.02
4.07.38906b0.61
矛盾方程组为 6.2512.182490.32
对应的正则方程组为
61.125118.4989a 3.765
118.4989230.4859b 6.538196
解得 a 2.0019, b 1.0009
所以拟和曲线方程为y 2.0019 x2 1.0009e x
4.由矩阵 Doolittle 分解的紧凑记录形式有
1020510205
010*******
124 3 1712216
01037010 2 4回代求解得
x442x31
( 6 1 x4 ) 2
2,2
x23 0x31x4
1x1
5 0x2 2 x30x4
1 1，1
方程组的解向量为x
(1, 1, 2, 2)T.
max f ( 3) ()( x x
k1 )( x x k )( x x k 1 )103 3!
5.令x k 1x x k 1可求得h
0.2498 （或
h0.2289 ）
6.
y1( 0) 1.6, y1 1.62, y2(0 ) 1.256, y2 1.2724
7. 0.6932
R( f ) 1.3333 10－5
022
B J101
8. （ 1） Jacobi 迭代法的迭代矩阵为－220
谱半径 B J01
. 此时 Jacobi 迭代法对任意初始向量都收敛 .
4822
x (1) 1 ,x (2 ) 6 , x (3)0,x (4 )0
（ 2）3711
9.以x0a, x1b为插值节点，做Lagrange插值：
f ( x) L1 (x)1f()( x a)( x b)1
f ( )( x a)( x b)
2!2!其中 ( x)[ a,b] 。
故
max f (x)max1f ( )( x a)( x b)1max f ( x) max (x a )( x b)1( b a) 2max f ( x) a x b a x b2!2 a x b a x b8 a x b
计算方法 2006-2007 第二学期
1填空
1）.近似数 x*0.0142 关于真值x 0.0139
有 __为有效数字。
1n
f (x)dx A k f (x k )
2）适当选择求积节点和系数，则求积公式1的代数精确
k1
度最高可以达到 ______次 .
3）设近似数 x1*0.0235 ， x2*2.5160
都是四舍五入得到的，则相对误差
e
r (x
1
*
x
2
*
)
的相对误差限______
4)近似值 y* 5 x*的相对误差为e r( x*)的____倍。
5）拟合三点 A(0,1), B(1,3)，C(2,2)的平行于y
轴的直线方程为_____.
2x 2 x x
2.用迭代法求方程x2xe e0 在（-1，0）内的重根的近似值n 1 。要求
4
1）说明所用的方法为什么收敛；2）误差小于10
时迭代结束。
3．用最小二乘法确定y ax
2
b ln x
中的 a 和b，使得该函数曲线拟合于下面四
个点 (1.0,1.01), (1.5,2.45), (2.0,4.35), (2.5,6.71) (计算结果保留到小数点后 4 位)
4设函数有二阶连续导数，在一些点上的值如下
x i 1.0 1.1 1.2
写出中心差分表示的二阶三点微分公
f ( x i )0.010.110.24''
(1.1) 。
式，并由此计算f
5 已知五阶连续可导函数y f ( x)
的如下数据
x i
01 f ( x i )
01
f ' (x i )
1
f ' ' ( x i )
试求满足插值条件的四次多项式
p( x).
6 设有如下的常微分方程初值问题
dy
x
,1 x 1.4 y(1) 1
写出每步用欧拉法预估，用梯形法进行一次校正的计算格式。 取步长 0.2 用上述格式求解。
0.6 x 2
7 设有积分
I
e dx 0
1）取 7 个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些点出的值（保留到小数点后 4 位）
2）用复化 simpson 公式求该积分的近似值。
8 用 LU 分解法求解线性代数方程组
1 1
2
3 x 1 3 0 2 1 2 x 2 1 1 1 2 2 x 3 3 2
2 5
9 x 4
7
9 当常数 c 取合适的值时，两条抛物线 y x
2
x c 与 y
2 x
就在某点相切，
试取出试点
x 0
0.3
，用牛顿迭代法求切点横坐标。误差小于
10 4 时迭代结束。
参考答案 ； 1: (1)2, (2) 2n-1 (3) 2.1457*10E-3
（4）1/5 (5) x=1
2 解：将方程变形为
(x e x )2
即求 x e x
0在（ -1， 0）内的根的近似值 x n 1
牛顿迭代格式为
x n e x n
x
n 1x
n
e x n
1
收敛性证明； 局部收敛定理 结果 x 4
0.56714 。
3 用最小二乘法正则方程组为
61.125a 9.41165b65.86 解得a=1.0072; b=0.4563
9.41165a 1.4844610.1586
4．解推导中心差分格式
''
1
f(x1 )h2( f ( x
f ( x
2
) 2 f ( x
1
))
得到 f '' (1.1)3
5解p(x).2x 43x3
截断误差
f( 5) ( )
x
3
(x1)
2 R( x)5!
6y(1.2) 1.2; y(1.4) 1.4
70.6805
8（0 1 0 1）
9解两条曲线求导
1
y' 2x 1 和 y' x 2
1
切点横坐标一定满足2x 1= x2
将等式变形为f (x) 4x34x2x 1
牛顿迭代法结果为 0.34781
2007-2008 第一学期1填空（ 15 分）
1 ）设近似数x1*9.2270 ， x2*0.8009
都是四舍五入得到的，则相对误差
e r (x1* x2* )
______
2）拟合三点 A(3,1),B(1,3)，C(2,2)的平行于y
轴的直线方程为____.
3)近似数 x*0.0351 关于真值x 0.0349
有 _____ 位有效数字 .
1n 1
f ( x)dx A k f (x k )
4）插值型求积公式1k 1至少有 ______次代数精确度 .
5) Simpson( 辛浦生 ) 求积公式有 ______次代数精确度 .
2.（ 10 分）已知曲线
y x 3
2.89 与
y
2.4 x 2 0.51x
在点（1.6,6.9 ）附近相切，
试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值 x n 1 ，当
x
n 1
x
n
10
5
误差小于 10
4
时停
止迭代。
3．（10 分）用最小二乘法确定
y
ax 2
b ln x
中的常数 a 和 b ，使得该函数曲线
拟合于下面四个点 (1 ，2.01), (2 ，7.3), (3,16.9), (4,30.6) (
计算结果保留
到小数点后 4 位 )
2 3 2
A 10 3 4
4.(10 分) 用乘幂法求矩阵
3
6
1
的按模最大的特征值
1 的第 k 次近似
(k)
( k) T
(k)
(k 1) 0.1 。
值 1
及相应的特征向量 x 1
。要求取初始向量
u 0
(1,2,1)
，且 1
1
5．（10 分）设有方程组
a 1 3 x 1
b 1
1
a
2 x 2
b 2 (a 0)
3 2 a x 3
b 3
写出与 Jacobi 迭代法对应的 Gauss-Seidel 方法的迭代格式； Jacobi 方法的迭代矩阵为：
当参数 a 满足什么条件时， Jacobi 方法对任意的初始向量都收敛。
6．（10 分）已知四阶连续可导函数
y
1 x i
0 f ( x i )
1
f ' ( x i )
'
试求满足插值条件
p(x i
) f (x i
), p ( x i
)
f (x) 的如下数据：
2
5 10
f ' (x i )
的三次插值多项式 p(x) ，并写出截
断误差 R( x) f ( x)
p( x)
的导数型表达式（不必证明）
。
2
7．（15 分）设有积分 I x 3e x
dx
1
1）取 7 个等距节点（包括端点 1 和 2），列出被积函数在这些节点上的函数值表 （小数点后至少保留 4 位）；
2）用复化 simpson 公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小。 8．（10 分）
给定初值问题
y'y 20,y(1) 1, 1 x 1.4
x
写出欧拉（ Euler ）预估 - 校正的计算格式；
取步长 h0.2 ，求y(1.4)
的近似值。
9．（10 分）
用迭代法的思想证明：
lim 2 2 L 2 2
k（等号左边有 k 个 2）。
参考答案：
1: (1)6.78 ×10－5,(2) x=2(3) 2（ 4） n-2 (5) 3
2. 切线斜率相等：3x
2
4.8x0.51 ， 3x2 4.8x－0.510
x
n 1
3x n2 4.8x n－0.51 x n
6x n 4.8
牛顿迭代格式：
取x
1.6
，得
x
1
1.70625 , x
2 1.70002, x
3 1.70000, x
4 1.70000
a 2.01
4a bln 27.3
9a bln 316.9
3.矛盾方程组： 16a b ln 4 30.8
35434.84081a672.91
正则方程组：34.84081 3.60921b66.04713
a 1.9997,
b 1.0042
( k)
V1(k 1)
4.取初始向量 V (0 )(1 2 1) T
1
V1( k)
，用乘幂法公式进行计算，且取，得
1
11.0 ， x V ( 4 )(13516,27032,20226) T 5.(1)迭代格式为
x1(k 1)1
b1x2(k)3x3( k) a
x2(k 1)1
b2x1( k 1)2x3(k) a
x3(k 1)1
b33x1( k
1)2x2(k 1) a
(2)Jacobi迭代法的迭代矩阵为
013 a a
1
B J02
a a
2
3
a a
13
a a
I B J 1224 a a a 2
2
3
(3)a a
B J 2
a B J1
谱半径. 由得
a 2
此时 Jacobi迭代法对任意初始向量都收敛 .
p( x)x32x1, R( x) f ( x)p( x) f (4 ) ( ) ( x1) 2 (x 2) 2 , ( x) (1,2) 6.4!
7．20.2174R( f ) 0.0048
8．（1）Euler 预 - 校法的计算格式为
y n(0)1y n h f (x n , y n )
y
n 1y n h f (x n , y n ) f (x n 1 , y n(0)1 )
2
h0.2 , f ( x , y)y
2
x
（ 2）将代入，则
y n(01)y n0.2y n 2
x n
y
n 1y n0.1y n2( y n(0)1 ) 2
x n x n 1
代入 x01, y01得
y1[0 ] 1.2y2[0] 1.4681
y(1.2)y1 1.22， y(1.4)y2 1.49798
9．证明考虑迭代格式x
0, x k 12x k , k0,1,，则
x12 ， x22 2 ，， x k22222
（k 个 2）
设 ( x)2x
，则当 x[0,2]时， (x)[ (0),(2)]=[ 2 ,2][0,2]；
( x)
1
(x)(0)
1
1 2
2 x
，则当 x [0,2] 时，22
由．
所以，由迭代格式x0 0, x k 12x
k产生的序列收敛于方程x2
x
在[0,2]
内的根．
lim x k
，则有2，即2
2．解之得2,
1
．舍去不合题意
设 k
lim x k2lim222222的负根，有 k，即
k
《数值计算方法》试题集及答案(1-6) 2
《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。
《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为
( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。
西工大计算智能化试题(卷)
一、选择题（10小题，共10分） 6、产生式系统的推理不包括（） A）正向推理B）逆向推理C）双向推理D）简单推理 8、在公式中?y?xp(x,y))，存在量词是在全称量词的辖域内，我们允许所存在的x可能 依赖于y值。令这种依赖关系明显地由函数所定义，它把每个y值映射到存在的那个x。 这种函数叫做（） A) 依赖函数B) Skolem函数 C) 决定函数D) 多元函数 9、子句~P∨Q和P经过消解以后，得到（） A) P B) ~P C) Q D) P∨Q 10、如果问题存在最优解，则下面几种搜索算法中，（）必然可以得到该最优解。 A)宽度（广度）优先搜索B) 深度优先搜索 C) 有界深度优先搜索D) 启发式搜索 二、填空题（10个空，共10分） 1、化成子句形式为：~。 2、假言推理（A→B）∧A?B，假言三段论（A→B）∧（B→C）? A -> C. 3、在启发式搜索当中，通常用启发函数来表示启发性信息。 5、状态空间法三要点分别是：状态和算符，状态空间方法。 6. 鲁宾逊提出了⑦归结原理使机器定理证明成为可能。 7. 宽度优先搜索与深度优先搜索方法的一个致命的缺点是当问题比较复杂是可能会发 生组合爆炸。 8、产生式系统是由___综合数据库知识库___和_推理机________三部分组成的. 9、谓词公式G是不可满足的，当且仅当对所有的解释G都为假。 10、谓词公式与其子句集的关系是包含。 11、利用归结原理证明定理时，若得到的归结式为空集，则结论成立。 12、若C1=┐P∨Q，C2=P∨┐Q，则C1和C2的归结式R（C1，C2）= ┐P∨P或┐Q ∨Q。 13、在框架和语义网络两种知识表示方法中，框架适合于表示结构性强的知识，而 语义网络则适合表示一些复杂的关系和联系的知识。 三、简答题（4小题，共40分） 1．什么是A*算法的可纳性？(4分) 答：在搜索图存在从初始状态节点到目标状态节点解答路径的情况下，若一个搜索法总能找到最短（代价最小）的解答路径，则称算法具有可采纳性。 2．在一般图搜索算法中，当对某一个节点n进行扩展时，n的后继节点可分为三类，请举例说明对这三类节点的不同的处理方法。(8分)
(完整word版)西工大计算方法试题参考(完整版).docx
2002-2003 第一学期 一．计算及推导（ 5*8） 1．已知 x* 3.141, x ，试确定 x * 近似 x 的有效数字位数。 * * * 0.100 * * * 2．有效数 x 1 3.105, x 2 0.001, x 3 1 x 2 3 ，试确定 x x 的相对误差限。 3．已知 f ( x) 0.5 x 3 0.1x 2 ，试计算差商 f 0,1,2,3 4．给出拟合三点 A (0,1), B (1,0) 和 C (1,1) 的直线方程。 5．推导中矩形求积公式 b (b a) f ( a b ) 1 f '' ( )(b a)3 f (x)dx a 2 24 b n f (x)dx A i f ( x i ) a 6．试证明插值型求积公式 i 0 的代数精确度至少是 n 次。 7．已知非线性方程 x f (x) 在区间 a, b 内有一实根，试写出该实根的牛顿迭代 公式。 8．用三角分解法求解线性方程组 1 2 1 x 1 0 2 2 3 x 2 3 1 3 0 x 3 2 二．给出下列函数值表 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x i 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 f ( x i ) 要用二次插值多项式计算 f (0.63891) 的近似值，试选择合适的插值节点进行计 算，并说明所选用节点依据。 （保留 5 位有效数字）（12 分） 三． 已知方程 x ln x 0 在 (0,1) 内有一实根 （ 1）给出求该实根的一个迭代公式，试之对任意的初始近似 x 0 (0,1) 迭代法都收 敛，并证明其收敛性。 （ 2） x 0 0.5 试用构造的迭代公式计算 的近似值 x n ，要求 x n x n 1 10 3 。 四． 设有方程组
计算方法试题
计算方法考试题（一） 满分70分 一、选择题：（共3道小题，第1小题4分，第2、3小题3分，共10分） 1、将A 分解为U L D A --=，其中),,(2211nn a a a diag D =，若对角阵D 非奇异（即),1,0n i a ii =≠，则b Ax =化为b D x U L D x 1 1)(--++=（1） 若记b D f U L D B 111 1),(--=+= （2） 则方程组（1）的迭代形式可写作 ) 2,1,0(1 )(1)1( =+=+k f x B x k k （3） 则（2）、（3）称 【 】 (A)、雅可比迭代。(B)、高斯—塞德尔迭代 (C)、LU 分解 (D)、Cholesky 分解。 2、记*x x e k k -=，若0lim 1≠=+∞→c e e p k k k （其中p 为一正数）称序列}{k x 是 【 】 (A)、p 阶收敛； (B)、1阶收敛； (C)、矩阵的算子范数； (D)、p 阶条件数。 3、牛顿切线法的迭代公式为 【 】 (A)、 ) () (1k x f x f x x k k k '- =+ (B)、 )()())((111--+--- =k k k k k k k x f x f x x x f x x 1 )() ()1()()()(x x f x f x f k i k i k i ??+=+ (D)、 )() ()()1(k k k x f x x -=+ 二、填空题：（共2道小题，每个空格2分，共10分） 1、设0)0(f =，16)1(f =，46)2(f =，则一阶差商 ，二阶差商=]1,2,0[f ，)x (f 的二次牛顿 插值多项式为 2、 用二分法求方程 01x x )x (f 3 =-+=在区间]1,0[内的根，进行第一步后根所在的区间为 ，进行第二步后根所在的区间 为 。 三、计算题：（共7道小题，第1小题8分，其余每小题7分，共50分） 1、表中各*x 都是对准确值x 进行四舍五入得到的近似值。试分别指出试用抛物插值计算115的近似值，并估计截断误差。 3、确定系数101,,A A A -，使求积公式 ) ()0()()(101h f A f A h f A dx x f h h ++-≈? -- （1） 具有尽可能高的代数精度，并指出所得求积公式的代数精度。
西工大机试试题
2003西北工业大学程序设计选拔赛 上机竞赛题 注：本次竞赛机试共8题，时间为4小时，答题多者获胜；若题数相同，按时间先后排序。 可以查阅文字资料，但禁止使用电子资料；违者取消比赛资格。 一．矩阵乘法 问题描述： 对给定的两个“实数”矩阵，输出它们的乘积。 例如：若输入??????654321和?? ?? ? ?????121110987654321，应输出?? ????0.1280.1130.980.830.560.500.440.38。 输入输出： 输入文件包括多组测试用例，以“0 0 0”标志文件结束，该行无需处理。 每个测试用例第一行为三个正整数k n m ，，(101≤≤k n m ，，)，表示以下m 行为一个n m ?的矩阵 A ，再接下来的n 行为k n ?的矩阵 B 。每行各元素间用一个空格隔开。 输出矩阵A 与矩阵B 的乘积B A C ?=。C 中元素一律“四舍五入”保留一位小数。 每个测试用例之间输出一个空行。 二．混合排序 问题描述： 完成对单词和数字的混合排序。输入文件中给出若干序列，其中包含有单词和数字。你的任务就是对这些序列完成排序(单词按词典序排列，不区分大小写；数字按从小到大的顺序排列）。要求：如果序列中某元素是单词，则排序后的序列中此位置仍为单词，数字仍为数字。 输入输出： 输入文件包括多组测试用例，每个测试用例占一行，以“.”标志文件结束，该行无需处理。 输入文件每行为一个序列。序列中的每个元素(单词或数字)以逗号加空格隔开，序列以句号结束。 输出排序后的序列，序列的每个元素以逗号加空格隔开，序列以句号结束，每个序列占一行。
三．数字河 问题描述： 数字河中的一个数n 的后继数是n 加上其每位数字的和。例如，12345的后继数是12360，因为12345＋1＋2＋3＋4＋5＝12360。如果数字河的第一个数为k ，我们就称此数字河为river k 。例如，river 480 代表序列{480, 492, 507, 519, ...}，river 483 代表序列{483, 498, 519, ...}。 当两个数字河有相同的元素时，我们称这两个数字河在此元素处相遇。例如，river 480 和river 483 在元素519处相遇。所有数字河都会和river 1, river 3 或river 9 相遇。编程计算给定的数字河最先与以上三条河流中的哪一条相遇，在何元素处相遇？ 输入输出： 输入文件包括多组测试用例，每个测试用例占一行，以“0”标志文件结束，该行无需处理。 每行给定一个整数n ，163841≤≤n ，即river n 。 对于每个测试用例输出两行，第一行为测试用例号，第二行输出“first meets river x at y ”。其中，y 表示river n 最先遇到的river x 中的最小元素值(x = 1,3,9)。 示例输入 示例输出 117 52 0 Case #1 first meets river 9 at 117 Case #2 first meets river 1 at 107 四．盘子问题 问题描述： 有m 个白色盘子和n 个黑色盘子放置在一个带有转动器的椭圆形的轨道上。现在能对这些盘子进行“旋转”和“顺时针移动”两种操作，如图1所示： 图1 两种合法的操作 我们的目标是“反复使用以上两种操作把相同颜色的盘子放在相临的位子上”。即如图2所示： 图2 我们的目标
数值分析、计算方法试题库及答案
二、设(2)0,(0)2,(2)8f f f -===，求 )(x p 使 )()(i i x f x p =,)2,1,0(=i ；又 设 M x f ≤''')( ，则估计余项 )()()(x p x f x r -= 的大小 。（15分） 三、设(0)1,(0.5)5,(1)6,(1.5)3,(2)2f f f f f =====，()k f M ≤(2,3,4)k =， （1）计算? 20 )(dx x f ， （2）估计截断误差的大小（12分） 寂涯网络 https://www.360docs.net/doc/c214266889.html, xx ~xx 学年第 1学期 《计算方法》课程试卷A 第 1 页 共 4 页
寂涯网络 https://www.360docs.net/doc/c214266889.html, xx ~xx 学年第 1学期 《计算方法》课程试卷A 第 2 页 共 4 页 四、设方程012523=-+x x 在 [2,1] 内有实根α，试写出迭代公式 ,,2,1,0)(1 ==+k x x k k ? 使 {}α→k x ，并说明迭代公式的收敛性。 （10分） 五、设有线性方程组b Ax =，其中 ???? ? ??=?? ????????=582,3015515103531b A （1）求A LU =分解; (2) 求方程组的解 (3) 判断矩阵A 的正定性（14分）
寂涯网络 https://www.360docs.net/doc/c214266889.html, xx ~xx 学年第 1学期 《计算方法》课程试卷A 第 3 页 共 4 页 六、设有线性方程组b Ax =，其中 1 442 12441A -?? ??=?? ???? ， 试讨论Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的收敛性。（14分） 七、设()i j n n A a ?=是n 阶实对称正定矩阵，A 经过一次高斯消元计算变为 ?? ? ???211A O T a ， 其中T 为行向量，O 是零列向量，试证明2A 是对称正定矩阵（8分）
《计算方法》期末考试试题
《计算方法》期末考试试题 一 选 择（每题3分，合计42分） 1. x* ＝ 1.732050808，取x ＝1.7320，则x 具有 位有效数字。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 2. 取7 3.13≈（三位有效数字），则 ≤-73.13 。 A 、30.510-? B 、20.510-? C 、10.510-? D 、0.5 3. 下面_ _不是数值计算应注意的问题。 A 、注意简化计算步骤，减少运算次数 B 、要避免相近两数相减 C 、要防止大数吃掉小数 D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量)0(x ?及常向量g ?，迭代过程g x B x k k ? ??+=+)() 1(收敛的充分必要条件是_ _。 A 、11< B B 、1<∞ B C 、1)(人工智能期末试题及答案完整版
xx学校 2012—2013学年度第二学期期末试卷 考试课程：《人工智能》考核类型：考试A卷 考试形式：开卷出卷教师： 考试专业：考试班级： 一单项选择题（每小题2分，共10分） 1.首次提出“人工智能”是在（D ）年 A.1946 B.1960 C.1916 D.1956 2. 人工智能应用研究的两个最重要最广泛领域为：B A.专家系统、自动规划 B. 专家系统、机器学习 C. 机器学习、智能控制 D. 机器学习、自然语言理解 3. 下列不是知识表示法的是 A 。 A：计算机表示法B：“与/或”图表示法 C：状态空间表示法D：产生式规则表示法 4. 下列关于不确定性知识描述错误的是 C 。 A：不确定性知识是不可以精确表示的 B：专家知识通常属于不确定性知识 C：不确定性知识是经过处理过的知识 D：不确定性知识的事实与结论的关系不是简单的“是”或“不是”。 5. 下图是一个迷宫，S0是入口，S g是出口，把入口作为初始节点，出口作为目标节点，通道作为分支，画出从入口S0出发，寻找出口Sg的状态树。根据深度优先搜索方法搜索的路径是 C 。 A：s0-s4-s5-s6-s9-sg B：s0-s4-s1-s2-s3-s6-s9-sg C：s0-s4-s1-s2-s3-s5-s6-s8-s9-sg D：s0-s4-s7-s5-s6-s9-sg 二填空题（每空2分，共20分） 1.目前人工智能的主要学派有三家：符号主义、进化主义和连接主义。 2. 问题的状态空间包含三种说明的集合，初始状态集合S 、操作符集合F以及目标
状态集合G 。 3、启发式搜索中，利用一些线索来帮助足迹选择搜索方向，这些线索称为启发式(Heuristic)信息。 4、计算智能是人工智能研究的新内容，涉及神经计算、模糊计算和进化计算等。 5、不确定性推理主要有两种不确定性，即关于结论的不确定性和关于证据的不确 定性。 三名称解释（每词4分，共20分） 人工智能专家系统遗传算法机器学习数据挖掘 答：（1）人工智能 人工智能(Artificial Intelligence) ，英文缩写为AI。它是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学。人工智能是计算机科学的一个分支，它企图了解智能的实质，并生产出一种新的能以人类智能相似的方式做出反应的智能机器，该领域的研究包括机器人、语言识别、图像识别、自然语言处理和专家系统等 （2）专家系统 专家系统是一个含有大量的某个领域专家水平的知识与经验智能计算机程序系统,能够利用人类专家的知识和解决问题的方法来处理该领域问题.简而言之,专家系统是一种模拟人类专家解决领域问题的计算机程序系统 （3）遗传算法 遗传算法是一种以“电子束搜索”特点抑制搜索空间的计算量爆炸的搜索方法，它能以解空间的多点充分搜索，运用基因算法，反复交叉，以突变方式的操作，模拟事物内部多样性和对环境变化的高度适应性，其特点是操作性强，并能同时避免陷入局部极小点，使问题快速地全局收敛，是一类能将多个信息全局利用的自律分散系统。运用遗传算法(GA)等进化方法制成的可进化硬件(EHW)，可产生超出现有模型的技术综合及设计者能力的新颖电路，特别是GA独特的全局优化性能，使其自学习、自适应、自组织、自进化能力获得更充分的发挥，为在无人空间场所进行自动综合、扩展大规模并行处理(MPP)以及实时、灵活地配置、调用基于EPGA的函数级EHW，解决多维空间中不确定性的复杂问题开通了航向 （4）机器学习 机器学习(Machine Learning)是一门多领域交叉学科，涉及概率论、统计学、逼近论、凸分析、算法复杂度理论等多门学科。专门研究计算机怎样模拟或实现人类的学习行为，以获取新的知识或技能，重新组织已有的知识结构使之不断改善自身的性能。它是人工智能的核心，是使计算机具有智能的根本途径，其应用遍及人工智能的各个领域，它主要使用归纳、综合而不是演绎 （5）数据挖掘 数据挖掘是指从数据集合中自动抽取隐藏在数据中的那些有用信息的非平凡过程，这些信息的表现形式为：规则、概念、规律及模式等。它可帮助决策者分析历史数据及当前数据，并从中发现隐藏的关系和模式，进而预测未来可能发生的行为。数据挖掘的
西工大计算方法作业答案
参考答案 第一章 1 *1x =1.7； * 2x =1.73； *3x =1.732 。 2． 3． （1） ≤++)(* 3*2*1x x x e r 0.00050； （注意：应该用相对误差的定义去求） （2） ≤)(*3*2*1x x x e r 0.50517； （3） ≤)/(*4*2x x e r 0.50002。 4．设6有n 位有效数字，由6≈2.4494……，知6的第一位有效数字1a =2。 令3)1()1(1* 102 1 102211021)(-----?≤??=?= n n r a x ε 可求得满足上述不等式的最小正整数n =4，即至少取四位有效数字，故满足精度要求可取6≈2.449。 5. 答：（1）*x (0>x )的相对误差约是* x 的相对误差的1/2倍； （2）n x )(* 的相对误差约是* x 的相对误差的n 倍。 6． 根据******************** sin 21)(cos 21sin 21)(sin 21sin 21)(sin 21)(c b a c e c b a c b a b e c a c b a a e c b S e r ++≤ =* *****) ()()(tgc c e b b e a a e ++ 注意当20* π < 7．设20= y ，41.1*0 =y ，δ=?≤--2* 00102 1y y 由 δ1* 001*111010--≤-=-y y y y ， δ2*111*221010--≤-=-y y y y M δ10*991*10101010--≤-=-y y y y 即当0y 有初始误差δ时，10y 的绝对误差的绝对值将减小10 10-倍。而110 10 <<-δ，故计算过程稳定。 8. 变形后的表达式为： （1）)1ln(2--x x =)1ln(2-+-x x （2）arctgx x arctg -+)1(=) 1(11 ++x x arctg （3） 1ln )1ln()1(ln 1 --++=? +N N N N dx x N N =ΛΛ+-+- +3 2413121)1ln(N N N N 1ln )11ln()1(-++ +=N N N N =1)1ln()1 1ln(-+++N N N （4）x x sin cos 1-=x x cos 1sin +=2x tg 西北工业大学考试试题（A卷） 2004 － 2005 学年第一学期 一、填空题：（每题 3 分，共计 30 分） 1. 塑性是指： ________________________________________________________ ________________________________________________ 。 2. 金属的超塑性可分为 _____ 超塑性和 _____ 超塑性两大类。 3. 金属单晶体变形的两种主要方式有： _____ 和 _____ 。 4. 影响金属塑性的主要因素有： _____ ， _____ ， _____ ， _____ ， _____ 。 5. 等效应力表达__________________________________________________ 。 6. 常用的摩擦条件及其数学表达式： __________________________________ ，__________________________________ 。 7. π平面是指： _____________________________________________________ ______________________________________________________________ _。 8. 一点的代数值最大的 __________ 的指向称为第一主方向，由第一主方 向顺时针转所得滑移线即为 _____线。 9. 平面变形问题中与变形平面垂直方向的应力σz=______________________ 10. 在有限元法中：应力矩阵 [S]= ________________________ ， 单元内部各点位移{U}=[ ]{ } 二、简答题（共计 30 分） 1. 提高金属塑性的主要途径有哪些？（ 8 分） 2. 纯剪切应力状态有何特点？（ 6 分） 3. 塑性变形时应力应变关系的特点？（ 8 分） 4. Levy-Mises 理论的基本假设是什么？（ 8 分） 三、计算题（共计 40 分） 1 、已知金属变形体内一点的应力张量为Mpa ，求：（ 18 分）（1）计算方向余弦为 l=1/ 2 ， m=1/2 ， n= 的斜截面上的正应力大小。（2）应力偏张量和应力球张量； 计算方法模拟试题 一、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1．近似值210450.0?的误差限为（ ）。 A ． 0.5 B. 0.05 C ． 0.005 D. 0.0005. 2. 求积公式)2(3 1 )1(34)0(31)(2 0f f f dx x f ++≈ ?的代数精确度为（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若实方阵A 满足（ ）时，则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ，使LR A =。 A. 0det ≠A B. 某个0 det ≠k A C. )1,1(0det -=≠n k A k D. ),,1(0det n k A k =≠ 4.已知?? ?? ? ?????=531221112A ，则=∞A （ ）。 A. 4 B. 5 C. 6 D 9 5.当实方阵A 满足)2(,221>>-=i i λλλλ，则乘幂法计算公式1e =（ ）。 A. 1+k x B. k k x x 11λ++ C. k x D. k k x x 11λ-+ 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 14159.3=π，具有4位有效数字的近似值为 。 2. 已知近似值21,x x ，则=-?)(21x x 。 3．已知1)(2-=x x f ，则差商=]3,2,1[f 。 4．雅可比法是求实对称阵 的一种变换方法。西工大试题
计算方法模拟试题及答案