课题：逻辑函数的公式化简和卡诺图化简

课题：逻辑函数的公式化简和卡诺图化简课题4:逻辑函数的公式化简和卡诺图化简

课型:讲授

教学目的:

1、掌握公式法化简逻辑函数的方法

2、掌握用卡诺图法化简逻辑函数的方法

教学重点:掌握用卡诺图法化简逻辑函数的方法

教学难点:掌握用卡诺图法化简逻辑函数的方法

复习、提问:

1、什么是BCD码?如,(93)=( )10BCD

2、逻辑函数的表示方法有哪几种?

教学过程:

对逻辑函数进行化简，可求得最简逻辑表达式，最直接的好处是使实现逻辑关系的电路简化。因化简需要，先对逻辑代数的基本定律和运算规则作一介绍:

一、逻辑代数的基本定律

1(0?1律 A+1=1 A?0=0

2(自等律 A+0=A A?1=A

3(重叠律 A+A=A A?A=A

4(互补律 A+A=1 A?A=0

5(交换律 A+B=B+A A?B=B?A

6(结合律 (A+B)+C=A+(B+C) (A?B)?C=A?(B?C)

7(分配律 A(B+C)=A?B+A?C A+B?C=(A+B)

(A+C)

8(吸收律 A+AB=A A(A+B)=A

AB +A=A (A+B)(A+)=A

A + B=A+

B (A+B)=AB

9(冗余定律 AB + C+BC=AB+C

10(非非律 =A

11(反演律 =? =+

反演律又称德?摩根(De Morgan)定理，在化简较复杂逻辑关

系时十分有用。

要判别两个含有相同逻辑变量的逻辑函数是否相等，只要分别列出这两个函数式的真值表，如果它们的真值表相同，则这两个逻辑函数相等。上述公式可直接用真值表来证明。

二、逻辑代数的运算顺序

逻辑代数的运算顺序和普通代数一样:

1、先算逻辑乘，再算逻辑加，有括号时先算括号内。

2、逻辑式求反时可以不再加括号。

3、例如:(A?B+C)+(D?E ?F)可写成AB+C+DEF

4、先或后与的运算式，或运算要加括号。例如(A+B)? (C+D)

不能写成A+B? C+D

三、逻辑代数的运算规则

1(代入规则在任意一个逻辑等式中，若将等式两边所出现的同一变量都用另一个函数去置换，则等式仍然成立。例如:A+B =

，以C+D换等式中B可得:A+(C+D)= ?(C+D)= ??仍成立。

2(反演规则对于任意一个逻辑函数式Y，若把式中所有的“? ”换成“+”，“+”换成“? ”;0换成1，1换成0;原变量换成反变量，反变量换成原变量，并保持原来的运算顺序，那么所得的结果就是。例如:Y = +B+D则 = A ?(+C)? 就是它的反函数。摩根定理是反演规则的一个特例。

3(对偶规则

(1)对于任意一个逻辑函数式Y，若把式中所有的“? ”换成“，”，“，”换成“? ”;,换成,，,换成,;并保持原来的运算顺序，那么所得的新函数Y’就是Y 的对偶式。

例如:Y,A，B C，D，则Y’,A(B C)? D

(,)如果两个逻辑函数式Y和F相等，则它们的对偶式Y和F也一定相等。例如:A + A B=A+B，则它们的对偶式A(A+B)=AB一定成立。

四、公式法化简

1(逻辑函数最简式的标准

(1)与项最少，即表达式中“+”号最少。

(2)每个与项中的变量数最少，即表达式中“? ”号最少。 2(用逻辑代数法化简

(1)(利用公式AB + A =A将两乘积项合并成一项;

例1 化简函数Y=ABC+ ABC

解 Y=ABC+ABC=AB(C+ C)=AB

例2 化简函数Y =ABC +AB + AC

解 Y=ABC+A(B+C)=ABC+ABC=A (2)(利用公式A+AB=A吸收多余的乘积项

例3 化简函数Y=AB+ABCD(E+F)

解 Y=AB+ABCD(E+F)=AB

(证明:AB+ABCD(E+F)=AB[1+CD(E+F)]=AB?1=AB) (3)(利用公式A+B=A+B消去多余因子

例4 化简函数Y = AB+AC + BC

解 Y=AB+AC+BC=AB+( A + B)C =AB+ABC=AB+C (4)(利用公式将函数式展开成与或式

例5 Y= A(B+C)

解 Y = A(B+C)= A+ B+C=A+ B C

例6 Y=ABD+ABC

解 Y =ABD+ABC =ABD? ABC =(A+B+D)ABC=ABC D 五、逻辑函数的卡诺图化简美国工程师卡诺(Karnaugh)提出了一种描述逻辑函数的特殊方法-卡诺图法。

1、最小项的概念 : n个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最小项。

n n变量逻辑函数的全部最小项共有2个。以三变量的为例，n=3,

n最小项有 2 =8个。

3个变量A、B、C可组成8个最小项:

ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC

通常用符号m来表示最小项。下标i的确定:把最小项中的原变i

量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。

3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为:

m,ABC、m,ABC、m,ABC、m,ABC0123

m,ABC、m,ABC、m,ABC、m,ABC4567

2、逻辑函数最小项的表达式

任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，这个表达式称为标准与或表达式，也称为最小项表达式

A,1 和A(B+C),对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式A，

AB，BC来配项展开成最小项表达式。

F,AB，AB，AB，C例7 将下列逻辑函数转换成最小项表达式

解: F,AB，AB，AB，C

,AB，AB,AB,C,AB，(A，B)(A，B)C,AB，ABC，ABC

,AB(C，C)，ABC，ABC,ABC，ABC，ABC，ABC

=m+m+m+m=?m(3,5,6,7) 7635

3(表示最小项的卡诺图

(1)最小项的卡诺图

nn将 n 变量的 2 个最小项用 2 个小方格表示，并且使相邻最小项在

几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为 n 变量最小项卡

诺图，简称为变量卡诺图。二变量、三变量、四变量的卡诺图如图1(a)、(b)、(C)所示。

图1变量卡诺图

注意:卡诺图一般画成正方形或矩形，卡诺图中小方格数应为n2个;变量取值

的顺序按照一定规律排列。

(2)相邻最小项:有逻辑相邻和几何相邻

逻辑相邻:若两个最小项只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。例如三变量最小项ABC和AB，其中的C和为互反变量，其余变量AB都相同，故它们是相邻最小项。显然两个相邻最小项相加可以合并为一项，消去互反变量，如。

几何相邻:几何相邻的二种情况:

相接——紧挨着，如图7-28(b)、(c)中的m和m、m和m57812等;

相对——任意一行或一列的两头(即循环相邻性，也称滚转相

邻性)如图7-28(b)、(c)中的m和m、m和m 、m和m等; 46810311

4(填写逻辑函数的卡诺图

上面讲的是空白卡诺图，任何逻辑函数都可以填到与之相对应的卡诺图中，称为逻辑函数的卡诺图。对于确定的逻辑函数的卡诺图和真值表一样都是唯一的。

(1)由真值表填卡诺图

由于卡诺图与真值表一一对应，即真值表的某一行对应着卡诺图的某一个小方格。因此如果真值表中的某一行函数值为“1”，卡诺图中对应的小方格填“1”;如果真值表的某一行函数值为0”，卡诺图中对应的小方格填“0”。即可以得到逻辑函数的卡诺图。

例8 已知逻辑函数Y的真值表如图2所示,画出表示该函数的卡诺图

解: 分析，从逻辑函数的真值表可见，其最小项m，m，m，m0367的Y函数值为1，根据最小项的对应编号，在小方格m、m、m、763m中填“1”，其余小方格中填“0”，直接填好卡诺图如下图所示 0

图2 图3

(2)由逻辑函数表达式填卡诺图

首先把逻辑函数表达式展开成最小项表达式，然后在每一个最小项对应的小方格内填“1”，其余的小方格内填“0”就可以得到该逻辑函数的卡诺图。待熟练以后可以应用观察法填卡诺图(与由逻辑表达式填真值表的方法相同)。

例9 已知逻辑函数，画出表示该函数的卡诺图。

在小方格m、m、m、m中填“1”，其余小方格中填“0”，仍然7630

可以得到如图3所示的卡诺图。

如果已知逻辑函数的卡诺图，也可以写出该函数的逻辑表达式。其方法与由真值表写表达式的方法相同，即把逻辑函数值为“1”的那些小方格代表的最小项写出，然后“或”运算，就可以得到与之对应的逻辑表达式。由于卡诺图与真值表一一对应，所以用卡诺图表示逻辑函数不仅具有用真值表表示逻辑函数的优点，而且还可以直接用来化简逻辑函数。但是也有缺点:变量多时使用起来麻烦，所以多于四变量时一般不用卡诺图表示。

5(利用卡诺图化简逻辑函数

化简的依据:基本公式、常用公式。因为卡诺图中最小项的排列符合相邻性规则，因此可以直接的在卡诺图上合并最小项。因而达到化简逻辑函数的目的。

如果相邻的八个小方格同时为“1”，可以合并一个八格组，合并后可以消去三个取值互补的变量，留下的是取值不变的变量。相邻

的情况举例如图4所示。

图4 合并八格组

(,)画圈的原则是:

圈的个数要尽可能的少(因一个圈代表一个乘积项)

圈要尽可能的大(因圈越大可消去的变量越多，相应的乘积项就越简)。

每画一个圈至少包括一个新的“1”格，否则是多余的，所有的“1”都要被圈到。

(,)用卡诺图化简逻辑函数的步骤:

把给定的逻辑函数表达式填到卡诺图中

找出可以合并的最小项(画圈，一个圈代表一个乘积项)

写出合并后的乘积项，并写成“与,或”表达式

(,)化简逻辑函数时应该注意的问题:

n ? 合并最小项的个数只能为2(n=0,1,2,3 )，即合并最小项的个数只能为:1、2、4、8、16个。

(1)合并最小项的规则

如果相邻的两个小方格同时为“1”，可以合并一个两格组(用圈圈起来)，合并后可以消去一个取值互补的变量，留下的是取值不变的变量。

逻辑相邻的情况举例如图5所示。

图5 合并两格组

如果相邻的四个小方格同时为“1”，可以合并一个四格组，合并后可以消去二个取值互补的变量，留下的是取值不变的变量。逻辑相邻的情况举例如图6所示。

图6 合并四格组

如果卡诺图中填满了“1”则Y=1

函数值为“1”的格可以重复使用，但是每一个圈中至少有一个“1”未被其它的圈使用过，否则得出的不是最简单的表达式。例10 用卡诺图化简逻辑函数

解:首先画出逻辑函数Y的卡诺图，如图7所示。由图7可以看出，可以合并一个四格组和一个二格组，合并后为Y=A+BC

图7 例10卡诺图

课堂小结:

1、用公式法化简逻辑函数成最简式.

2、用卡诺图化简逻辑函数的步骤:

(1)、把给定的逻辑函数表达式填到卡诺图中

(2)、找出可以合并的最小项(画圈，一个圈代表一个乘积项)

(3)、写出合并后的乘积项，并写成“与,或”表达式

作业

参考书2:P(154. 习题 15

P. 155 自测题 5