十字相乘法 典型例题
十字相乘法典型例题
例1 把下列各式分解因式：
(1)1522
--x x ； (2)2265y xy x +-．
例2 把下列各式分解因式：
(1)3522--x x ； (2)3832
-+x x ．
例3 把下列各式分解因式：
(1)
9
1024+-x x ；
(2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；
(3)120)8(22)8(2
22++++a a a a ．
例4 分解因式：90)242)(32(2
2+-+-+x x x x ．
例5 分解因式6538562
3
4
++-+x x x x ．
例6 分解因式65522
2
-+-+-y x y xy x ．
例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．
例8、已知1262
4
+++x x x 有一个因式是42
++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．
(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +- (4)
261110y y --
(5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+ (7)
22712x xy y -+
(8) 42718x x +- (9) 22483m mn n ++ (10)
53251520x x y xy --
一、选择题
1．如果))((2
b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )
A ．ab
B ．a ＋b
C ．－ab
D ．－(a ＋b )
2．如果305)(2
2
--=+++?x x b x b a x ，则b 为 ( )
A ．5
B ．－6
C ．－5
D ．6
3．多项式a x x +-32
可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－2
4．不能用十字相乘法分解的是 ( )
A ．
22-+x x B ．x x x 310322+-
C ．
242++x x
D ．22865y xy x --
5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( )
A ．20)(13)(22++-+y x y x
B ．20)(13)22(2++-+y x y x
C ．20)(13)(22++++y x y x
D ．20)(9)(22++-+y x y x 6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( )
①672
+-x x ； ②1232
-+x x ； ③652
-+x x ； ④9542
--x x ； ⑤823152
+-x x ； ⑥12112
4
-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题
7．=-+1032
x x __________．
8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________． 9．=--3522x x (x －3)(__________)．
10．+2x ____=-2
2y (x －y )(__________)．
11．22
____)(____(_____)+=++
a m
n
a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732
有一个因式为(__________)． 13．若x －y ＝6，36
17=
xy ，则代数式3
2232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题
14．把下列各式分解因式：
(1)
6
724+-x x ； (2)
36
524--x x ；
(3)4
2
2
4
16654y y x x +-；
(4)
6
33687b b a a --； (5)
2
34456a a a --；
(6)4
22469374b a b a a +-．
15．把下列各式分解因式：
(1)
2
224)3(x x --； (2)
9
)2(22--x x ；
(3)2222)332()123(++-++x x x x ；
(4)
60
)(17)(222++-+x x x x ；(5)
8
)2(7)2(222-+-+x x x x ；
(6)48)2(14)2(2++-+b a b a ．
16．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．
因式分解之十字相乘法专项练习题精编版.doc
十字相乘法进行因式分解 1．二次三项式 多项式 ax 2 bx c ，称为字母 x 的二次三项式，其中 ax 2 称为二次项， bx 为一次项， c 为常数项．例如， x 2 2x 3 和 x 2 5x 6 都是关于 x 的二次三项式． 在多项式 x 2 6xy 8 y 2 中，如果把 y 看作常数，就是关于 x 的二次三项式；如果把 x 看作常数，就是关于 y 的二次三项式． 在多项式 2 2 b 2 7 ab 3 中，把 ab 看作一个整体，即 2( ab) 2 7( ab) 3，就是关于 ab a 的二次三项式．同样，多项式 ( x y)2 7( x y) 12 ，把 x ＋y 看作一个整体，就是关于 x ＋y 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用 (ax ＋ b)(cx ＋ d)竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为 1 的二次三项式 x 2 px q ，如果能把常数项 q 分解成两个因数 a ， b 的积，并且 a ＋b 为一次项系数 p ，那么它就可以运用公式 x 2 (a b) x ab ( x a)( x b) 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项” ．公式中的 x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一 次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是 1 的二次三项式 ax 2 bx c (a ， b ，c 都是整数且 a ≠0)来说，如 果存在四个整数 a 1, a 2 , c 1, c 2 ，使 a 1 a 2 a ， c 1 c 2 c ，且 a 1c 2 a 2 c 1 b ， 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤： 先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进 行．以上步骤可用口诀概括如下： “首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，
十字相乘法练习题含答案汇编
十字相乘法因式分解练习题 1、=++232x x 2、=+-672x x 3、=--2142x x 4、=-+1522x x 9、=++342x x 10、=++1072a a 11、=+-1272y y 12、=+-862q q 13、=-+202x x 14、=-+1872m m 15、=--3652p p 16、=--822t t 23、=++101132x x 24、=+-3722x x 25、=--5762x x 27、=++71522x x 28、=+-4832a a 29、=-+6752x x 33、=-+15442n n 34、=-+3562l l
答案：1、)2)(1(++x x 2、)6)(1(--x x 3、)7)(3(-+x x 4、)5)(3(+-x x 5、)2)(4(22++x x 6、)3)(1(-+-+b a b a 7、)2)((y x y x -- 8、)7)(4(2-+x x x 9、)3)(1(++x x 10、)5)(2(++a a 11、)4)(3(--y y 12、)4)(2(--q q 13、)5)(4(+-x x 14、)9)(2(+-m m 15、)9)(4(-+p p 16、)4)(2(-+t t 17、)5)(4(22-+x x 18、)8)(1(+-ax ax 19、)7)(2(b a b a -- 20、)9)(2(y x y x ++21、)6)(1(2-+y y x 22、)6)(2(+--a a a 23、)53)(2(++x x 24、)12)(3(--x x 25、)53)(12(-+x x 26、)45)(2(y x y x -+27、)7)(12(++x x 28、)23)(2(--a a 29、)35)(2(-+x x 30、)5)(25(+-ab ab 31、)5)(23(xy ab xy ab -- 32、)32)(32)(1(22-++x x x y 33、)52)(32(n m n m +- 34、)73)(52(-+l l
十字相乘法练习题及答案
十字相乘法因式分解练习题及答案 1、=++232x x 2、=+-672x x 3、=--2142x x 4、=-+1522x x 9、=++342x x 10、=++1072a a 11、=+-1272y y 12、=+-862q q 13、=-+202x x 14、=-+1872m m 15、=--3652p p 16、=--822t t 23、=++101132x x 24、=+-3722x x 25、=--5762x x 27、=++71522x x 28、=+-4832a a 29、=-+6752x x 33、=-+15442n n 34、=-+3562l l 答案：1、)2)(1(++x x 2、)6)(1(--x x 3、)7)(3(-+x x 4、)5)(3(+-x x 5、)2)(4(22++x x 6、)3)(1(-+-+b a b a 7、)2)((y x y x -- 8、)7)(4(2-+x x x 9、)3)(1(++x x 10、)5)(2(++a a 11、)4)(3(--y y 12、)4)(2(--q q 13、)5)(4(+-x x 14、)9)(2(+-m m 15、)9)(4(-+p p 16、)4)(2(-+t t 17、)5)(4(2 2-+x x 18、)8)(1(+-ax ax 19、)7)(2(b a b a -- 20、)9)(2(y x y x ++21、)6)(1(2-+y y x 22、)6)(2(+--a a a 23、)53)(2(++x x 24、)12)(3(--x x 25、)53)(12(-+x x 26、)45)(2(y x y x -+27、)7)(12(++x x 28、)23)(2(--a a 29、)35)(2(-+x x 30、)5)(25(+-ab ab 31、)5)(23(xy ab xy ab -- 32、)32)(32)(1(22-++x x x y 33、)52)(32(n m n m +- 34、)73)(52(-+l l
因式分解之十字相乘法专项练习题
十字相乘法进行因式分解 【基础知识精讲】 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2 ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652 ++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式3722 2+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 【典型热点考题】 例1 把下列各式分解因式： （1）1522 --x x ； （2）2 265y xy x +-． 例2 把下列各式分解因式： （1）3522 --x x ；（2）3832 -+x x ．
例3 把下列各式分解因式： （1）9102 4 +-x x ； （2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； （3）120)8(22)8(222++++a a a a ． 点悟：（1）把2 x 看作一整体，从而转化为关于2 x 的二次三项式； （2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式； （3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式． 因式分解之十字相乘法专项练习题 (1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35；
(完整版)因式分解之十字相乘法专项练习题
十字相乘法进行因式分解 1．二次三项式 多项式ax2 bx c ，称为字母x的二次三项式，其中ax 2称为二次项，bx为一次项， c 为常数项．例如，x2 2x 3和x2 5x 6都是关于x的二次三项式． 在多项式x2 6xy 8 y2中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式2a2b2 7ab 3 中，把ab 看作一个整体，即2(ab)2 7(ab) 3，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式(x y)2 7(x y) 12 ，把x＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是： (1)对于二次项系数为1 的二次三项式x2 px q ，如果能把常数项q 分解成两个因数a， b 的积，并且a＋b 为一次项系数p，那么它就可以运用公式 2 x (a b)x ab (x a)( x b) 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项” ．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (2)对于二次项系数不是 1 的二次三项式ax2 bx c(a，b，c 都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数a1,a2,c1,c2，使a1 a2 a，c1 c2 c，且a1c2 a2c1 b， 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一
(完整版)因式分解--十字相乘法练习题含答案
十字相乘法因式分解练习题 1、232++x x 2、672+-x x 3、2142--x x 4、1522 -+x x 5、8624++x x 6、3)(4)(2++-+b a b a 7、2223y xy x +- 8、234283x x x -- 9、342++x x 10、1072++a a 11、1272+-y y 12、862+-q q 13、202-+x x 14、1872-+m m 15、3652--p p 16、822--t t 17、2024--x x 18、8722-+ax x a
19、22149b ab a +- 20、2 21811y xy x ++ 21、222265x y x y x -- 22、a a a 12423+-- 23、101132++x x 24、3722 +-x x 25、5762--x x 26、22865y xy x -+ 27、71522++x x 28、4832+-a a 29、6752-+x x 30、1023522-+ab b a 31、222210173y x abxy b a +- 32、22224954y y x y x -- 33、15442-+n n 34、3562-+l l 35、2222110y xy x +- 36、2215228n mn m +- 376)25)(35(22--+++x x x x 38、24)4)(3)(2)(1(++-+-x x x x
答案：1、)2)(1(++x x 2、)6)(1(--x x 3、)7)(3(-+x x 4、)5)(3(+-x x 5、)2)(4(22++x x 6、)3)(1(-+-+b a b a 7、)2)((y x y x -- 8、)7)(4(2-+x x x 9、)3)(1(++x x 10、)5)(2(++a a 11、)4)(3(--y y 12、)4)(2(--q q 13、)5)(4(+-x x 14、)9)(2(+-m m 15、)9)(4(-+p p 16、)4)(2(-+t t 17、)5)(4(22-+x x 18、)8)(1(+-ax ax 19、)7)(2(b a b a -- 20、)9)(2(y x y x ++21、)6)(1(2 -+y y x 22、)6)(2(+--a a a 23、)53)(2(++x x 24、)12)(3(--x x 25、)53)(12(-+x x 26、)45)(2(y x y x -+27、)7)(12(++x x 28、)23)(2(--a a 29、)35)(2(-+x x 30、)5)(25(+-ab ab 31、)5)(23(xy ab xy ab -- 32、)32)(32)(1(22-++x x x y 33、)52)(32(n m n m +-34、)73)(52(-+l l 35、)2)(10(y x y x --36、)54)(32(n m n m -- 37、)35)(4)(1(2-+++x x x x 38、)8)(2)(3(2-++-x x x x
十字相乘法分解因式经典例题和练习(供参考)
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 十字相乘法培优 知识点讲解: 一、十字相乘法： （1）．2()x p q x pq +++型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 例1把下列各式因式分解： (1) 276x x -+ (2) 2 1336x x ++ 变式 1、22215a b ab -- 2、422318a b a b -- 例2把下列各式因式分解： ⑴2243a ab b -+ ⑵222()8()12x x x x +-++ 变式1、22215x xy y -- 2.、2256x xy y +- 3、22421x xy y +- 4、22712x xy y ++ 例3把下列各式因式分解： ⑴2()4()12x y x y +-+- ⑵2()5()6x y x y +-+- 变式1、2()9()14x y x y +-++ 2、2()5()4x y x y ++++ 3、2()6()16x y x y +++- 4、2()7()30x y x y +++- 例4 ⑴ 223310x y xy y -- ⑵2234710a b ab b -+ 变式⑴222(3)2(3)8x x x x +-+- ⑵22(2)(22)3x x x x ---- ⑶32231848x x y xy -- ⑷222(5)2(5)24x x x x +-+- ⑸22(2)(27)8x x x x ++-- ⑹4254x x -+ （2）．一般二次三项式2 ax bx c ++型的因式分解 大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++
十字相乘法分解因式经典例题和练习
用十字相乘法分解因式 十字相乘法： 一．2()x p q x pq +++型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 例1把下列各式因式分解： (1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ 变式 1、22215a b ab -- 2、422318a b a b -- 例2把下列各式因式分解： ⑴2243a ab b -+ ⑵222()8()12x x x x +-++ 变式 1、22215x xy y -- 2.、2256x xy y +- 例3把下列各式因式分解 ⑴ 223310x y x y y -- ⑵2234710a b ab b -+ 变式 ⑴222(3)2(3)8x x x x +-+- ⑵22(2)(22)3x x x x ----
二．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 例4把下列各式因式分解： (1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +- 练习： 1、.因式分解：1、6732-+x x 2、 3832-+x x 例5把下列各式因式分解： （1）422416654y y x x +-； （2） 633687b b a a --； 练习：234456a a a --； 422469374b a b a a +-． 例6把下列各式因式分解 2222-+--+y y x xy x 练习： 233222++-+-y y x xy x 变式：分解因式：22 2456x xy y x y +--+- 变式：. 若x y mx y 2256-++-能分解为两个一次因式的积，求m 的值
十字相乘法分解因式专项练习30题(有答案)ok
十字相乘法分解因式专项练习30题（有答案）1．x3+5x2+6x． 2．（x2+x）2﹣8（x2+x）+12． 3． （1）a2﹣4a+3； （2）2m4﹣16m2+32． 4．3x2﹣5x﹣2． 5．x（x﹣5）﹣6． 6．x2﹣5x+6． 7．x3+5x2y﹣24xy2． 8．﹣2x2+10x﹣12． 9．16﹣8（x2﹣3x）+（x2﹣3x）2． 10．2ax2﹣10ax﹣100a． 11．x2﹣x﹣12． 12．（x2+2x）2﹣11（x2+2x）+24． 13．x4﹣2x2﹣8． 14．（x2﹣2x）2﹣11（x2﹣2x）+24． 15．ax8﹣5ax4﹣36a． 16．x2﹣x﹣6． 17．x2﹣x4+12． 18．x4﹣13x2+36． 19．（a2﹣a）2﹣14（a2﹣a）+24． 20．﹣a4+13a2﹣36． 21．3ax2﹣18ax+15a． 22．x2﹣3x﹣10． 十字相乘法分解因式----- 1
23．（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15． 24．（a2+a）2﹣8（a2+a）+12． 25．2ab4+2ab2﹣4a． 26．x2﹣11x﹣26 27．阅读下面因式分解的过程： a2+10a+9=a2+2?a?5+52﹣52+9=（a+5）2﹣16=（a+5）2﹣42=（a+5+4）（a+5﹣4）=（a+9）（a+1） 请仿照上面的方法，分解下列多项式： （1）x2﹣6x﹣27 （2）a2﹣3a﹣28． 28．在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn=（x+m）（x+n）．例如：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3= （x+2）（x+3）．你能运用上述方法分解多项式x2﹣5x﹣6吗？ 29．根据多项式的乘法与因式分解的关系，可得x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3），右边的两个一次两项式的系数有关系 11× ﹣3 2，左边上、下角两数积是原式左边二次项的系数，右边两数积是原式左边常数项，交叉相乘积之和是原式左 边一次项的系数．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题．（1）填空： ①分解因数：6x2﹣x﹣2=_________． ②解方程：3x2+x﹣2=0，左边分解因式得（_____）（_____）=0，∴x1=______，x2=_______．（2）解方程． 30．我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab， 即x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单． 如：（1）x2+5x+6=x2+（3+2）x+3×2=（x+2）（x+3）； （2）x2﹣5x﹣6=x2+（﹣6+1）x+（﹣6）×1=（x﹣6）（x+1）． 请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式： （1）x2﹣8x+7； （2）x2+7x﹣18． 十字相乘法分解因式--- 2
十字相乘法因式分解练习题11
十字相乘法因式分解练习题 1、=++232 x x 2、=+-672 x x 3、=--2142 x x 4、=-+1522 x x 5 、 =++8624x x 6、=++-+3)(4)(2 b a b a 7、=+-22 23y xy x 9、=++342 x x 10、 =++1072a a 11、 =+-1272y y 12 =+-862q q 13、=-+202 x x 14 =-+1872m m 15、 =--3652p p 16、=--822 t t 17、=--2024 x x 18、=-+8722 ax x a 19、=+-22 149b ab a 20、=++22 1811y xy x 21、=--2222 65x y x y x 22、=+--a a a 12423 23、=++101132 x x 24、=+-3722 x x 25、=--5762x x 26、=-+22 865y xy x 27、=++71522x x 28、=+-4832 a a 29、=-+6752x x 30、=-+1023522 ab b a 31、=+-2222 10173y x abxy b a 32、=--22224 954y y x y x 33、=-+15442 n n 34、=-+3562 l l 35、=+-22 22110y xy x 36、=+-22 15228n mn m 一元二次方程的解法 1、 ()()513+=-x x x x 2、x x 5322=- 3、2260x y -+= 4、01072=+-x x 5、 ()()623=+-x x 6、()()03342 =-+-x x x
十字相乘法习题及答案
1.用十字相乘法分解因式： (1)2x2－5x－12；(2)3x2－5x－2； (3)6x2－13x+5；(4)7x2－19x－6； (5)12x2－13x+3；(6)4x2+24x+27. 2.把下列各式分解因式： (1)6x2－13xy+6y2；(2)8x2y2+6xy－35； (3)18x2－21xy+5y2；(4)2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2. 答案： 1.(1)(x－4)(2x+3)；(2)(x－2)(3x+1)； (3)(2x－1)(3x－5)；(4)(x－3)(7x+2)； (5)(3x－1)(4x－3)；(6)(2x+3)(2x+9).
2.(1)(2x－3y)(3x－2y)；(2)(2xy+5)(4xy－7)； (3)(3x－y)(6x－5y)；(4)(3a－b)(5b－a). 另外，还有难度较大的双十字相乘法： ①4x2-4xy-3y2-4x+10y-3②x2-3xy-10y2+x+9y-2 ③ab+b2+a-b-2④6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2 解①原式=（2x-3y+1）(2x+y-3) 2x -3y 1 2x y -3 ②原式=（x-5y+2）(x+2y-1) x -5y 2 x 2y -1 ③原式=(b+1)(a+b-2)
0 b 1 a b -2 ④原式=（2x-3y+z）(3x+y-2z) 2x -3y z 3x -y -2z 另外还有一些题目，就不给你留答案了，不懂再问吧。 (1)2x2－5x－12；(2)3x2－5x－2； (3)6x2－13x+5；(4)7x2－19x－6； (5)12x2－13x+3；(6)4x2+24x+27. (1)6x2－13xy+6y2；(2)8x2y2+6xy－35； (3)18x2－21xy+5y2；(4)2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2.
初中因式分解典型例题汇总(附答案)
初中因式分解典型例题汇总 例 1 多项式x +ax+b因式分解为(x+1)(x-2)，求a+b的值． 分析 根据因式分解的概念可知因式分解是一种恒等变形，而恒等式 中的对应项系数是相等的，从而可以求出 a 和 b，于是问题便得到解 决． 解
2 2
由题意得：x +ax+b=(x+1)(x-2)，所以
2
2
x +ax+b=x -x-2， 从而得出 a=-1，b=-2， 所以 a+b=(-1)+(-2)=-3． 点评 “恒等式中的对应项系数相等”这一知识是求待定系数的一种 重要方法． 例2 分析 解 点评 因式分解 6a b+4ab -2ab． 此多项式的各项都有因式 2ab，提取 2ab 即可． 6a b+4ab -2ab=2ab(3a+2b-1)． 用“提公因式法”分解因式，操作时应注意这样几个问题：首
2 2 2 2
先， 所提公因式应是各项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的乘 积，即提取的公因式应是多项式各项的最高公因式，否则达不到因式 分解的要求；其次，用“提公因式法”分解因式，所得结果应是：最 高公因式与原多项式各项分别除以最高公因式所得商式的乘积． 如果 原多项式中的某一项恰是最高公因式，则商式为 1，这个 1 千万不能
丢掉． 本例题中，各项的公因式有 2，a，b，2a，2b，ab，2ab等．其中 2ab 是它们的最高公因式，故提取 2ab．作为因式分解后的一个因式，另 一个因式则是分别用 6a b，4ab 和-2ab除以 2ab所得的商式代数和， 其中-2ab÷2ab=-1，这个-1 不能丢． 例3 分析 因式分解 m(x+y)+n(x+y)-x-y． 将-x-y 变形为-(x+y)，于是多项式中各项都有公因式 x+y，提
2 2
取 x+y 即可． 解 m(x+y)+n(x+y)-x-y
=m(x+y)+n(x+y)-(x+y) =(x+y)(m+n-1)． 点评 例4 分析
3
注意添、去括号法则． 因式分解 64x -1． 64x 可变形为(8x ) ，或变形为(4x ) ，而 1 既可看作 1 ，也可
6 3 2 2 3 2 6
看作 1 ，这样，本题可先用平方差公式分解，也可先用立方差公式分 解． 解
6
方法一
3 2
64x -1=(8x ) -1 =(8x +1)(8x -1) =[(2x) +1][(2x) -1] =(2x+1)(4x -2x+1)(2x-1)(4x +2x+1) 方法二
2 2 3 3 3 3
(完整版)解一元二次方程之十字相乘法专项练习题
解一元二次方程十字相乘法专项练习题 ⑵8X2+6X—35=0 ; (3)18x2—21X+5=0 ; ⑷ 20 —9y — 20y2=0 ； ⑸2X2+3X+1=0 ;⑹2y2+y —6=0 ; ⑺6X2—13X+6=0 ;(8)3a 2—7a — 6=0 ; (9)6X2— 11X+3=0 ; (10)4m 2+8m+3=0 ; (11)10X2—21X+2=0 ;(12)8m 2—22m+15=0 ; (13)4n 2+4n —15=0 ;(14)6a 2+a —35=0 ; (15)5X2—8X— 13=0 ; (16)4X 2+15X+9=0 ; (17)15X 2+X—2=0 ;(18)6y 2+19y+10=0 ; (19) 2(a+b) 2+(a+b)(a —b) —6(a —b) 2=0 ;(20)7(X—1) 2+4(X—1) —20=0 ⑴ a2—7a+6=0 ;
参考答案： (I) (a-6)(a-1), (3)(3x-1) (6x-5), ⑸(x+1) (2x+1), (7)(2x-3) (3x-2), (9)(2x-3) (3x-1), (II) (x-2)(10x-1), (13) (2n+5) (2n-3), (15)(x+1)(5x-13), (17) (3x-1) (5x=2), (19) (3a-b) (5b-a), ⑵(2x+5) (4x-7) (4)-(4y-5)(5y+4) ⑹(y+2) (2y-3) (8)(a-3)(3a+2) (10) (2m+1) (2m+3) (12) (2m-3) (4m-5) (14) (2a+5) (3a-7) (16) (x+3) (4x+3) (18) (2y+5) (3y+2) (20) (x+1)(7x-17) 解一元二次方程十字相乘法专项练习题 9.21 一、十字相乘分解因式： 分解因式：x 2 3x 2 x 2 5x 6 x 2 3x 2 x 2 2x 3 x 2 2x 3 x 2 x 2 x 2 12x 32 分解因式：2x 2 5x 2 2x 2 7x 3 2x 2 7x 6 3x 2 7x 6 5x 2 3x 2 2 5x 6x 8 x 2 5x 6 x 2 5x 6 x 2 5x 6 2 x 4x 12 x 2 2x 63 x 2 8x 15 x 2 10x 9 x 2 3x 10 x 2 2x 15 2x 2 5x 3 2 2x 3x 20 2x 2 7x 3 3x 2 8x 3 6x 2 5x 25 6x 2 7x 3 2x 2 5x 7 2x 2 7x 6 3x 2 5x 2
十字相乘法分解因式知识点与练习
十字相乘法分解因式 1.二次三项式 （1）多项式c bx ax ++2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项． 例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． （2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式． （3）在多项式37222+-ab b a 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容 (1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (2)对于二次项系数不是1的二次三项式 c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++= 它的特征是“拆两头，凑中间” 当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同 注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
解一元二次方程之十字相乘法专项练习题
解一元二次方程十字相乘法专项练习题 (1) a2－7a+6=0；(2)8x2+6x－35=0；(3)18x2－21x+5=0；(4) 20－9y－20y2=0； (5)2x2+3x+1=0；(6)2y2+y－6=0；(7)6x2－13x+6=0；(8)3a2－7a－6=0； (9)6x2－11x+3=0；(10)4m2+8m+3=0；
(11)10x2－21x+2=0；(12)8m2－22m+15=0； (13)4n2+4n－15=0；(14)6a2+a－35=0； (15)5x2－8x－13=0；(16)4x2+15x+9=0； (17)15x2+x－2=0；(18)6y2+19y+10=0； (19) 2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2=0； (20)7(x－1) 2+4(x－1)－20=0
参考答案： (1)(a-6)(a-1)，(2)(2x+5)(4x-7) (3)(3x-1)(6x-5)，(4)-(4y-5)(5y+4) (5)(x+1)(2x+1)，(6)(y+2)(2y-3) (7)(2x-3)(3x-2)，(8)(a-3)(3a+2) (9)(2x-3)(3x-1)，(10)(2m+1)(2m+3) (11)(x-2)(10x-1)，(12)(2m-3)(4m-5) (13)(2n+5)(2n-3)，(14)(2a+5)(3a-7) (15)(x+1)(5x-13)，(16)(x+3)(4x+3) (17)(3x-1)(5x=2)，(18)(2y+5)(3y+2) (19)(3a-b)(5b-a)，(20)(x+1)(7x-17)
十字相乘法典型例题
十字相乘法典型例题 6 y 2 ． 3 ． ； 一、典型例题 例 1 把下列各式分解因式： (1) x 2 2 x 15 ； (2) x 2 5xy 例 2 把下列各式分解因式： (1) 2 x 2 5 x 3； (2) 3x 2 8 x 例 3 把下列各式分解因式： (1) x 4 10 x 2 9 (2) 7 (x y ) 3 5( x y ) 2 2( x y ) ； (3) (a 2 8a ) 2 22(a 2 8a ) 120 ． 例 4 分解因式： ( x 2 2 x 3)( x 2 2x 24) 90 ．
4 ，求 a 值和这个多项式的其他因式． 把下列各式分解因式： 例 5 分解因式 6 x 4 5 x 3 38 x 2 5 x 6 ． 例 6 分解因式 x 2 2 x y y 2 5x 5 y 6 ． 例 7 分解因式： ca ( c － a )＋ bc (b －c )＋ab (a － b ) ． 例 8、 已知 x 4 6 x 2 x 12 有一个因式是 x 2 ax 试一试：
2 (1) 2 x 2 15x 7 (2) 3a 2 8a 4 (3) 5 x 2 7 x 6 (4) 6 y 2 11 y 10 (5) 5a 2 b 2 23ab 10 (6) 3a 2b 2 17abxy 10 x 2 y 2 (7) x 2 7 x y 12 y 2 (8) x 4 7 x 2 18 (9) 4 m 2 8mn 3n 2 (10) 5 x 5 15 x 3 y 20xy 2 课后练习 一、选择题 1. 如果 x 2 px q (x a )( x b) ，那么 p 等于 ( ) A ．ab B ． a ＋ b C ．－ ab D ．－ ( a ＋ b ) 2 2. 如果 x (a b ) x 5b x x 30 ，则 b 为 ( ) A ．5 B ．－ 6 C ．－ 5 D ． 6
十字相乘法典型例题
十字相乘法典型例题 例1 把下列各式分解因式： (1)1522--x x ； (2)2 265y xy x +-． 例2 把下列各式分解因式： (1)3522--x x ； (2) 3832-+x x ． 例3 把下列各式分解因式： (1)9 1024+-x x ； (2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； (3)120)8(22)8(222++++a a a a ． 例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ． 例5 分解因式653856234++-+x x x x ． 例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．
例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )． 例8、已知12624+++x x x 有一个因式是42 ++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式． 把下列各式分解因式： (1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +- (4) 261110y y -- (5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+ (7) 22712x xy y -+ (8) 42718x x +- (9) 22483m mn n ++ (10) 53251520x x y xy -- 一、选择题
1．如果))((2 b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b ) 2．如果305)(22--=+++?x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．6 3．多项式a x x +-32 可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－2 4．不能用十字相乘法分解的是 ( ) A ． 22-+x x B ．x x x 310322+- C ．242++x x D ．22865y xy x -- 5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．20)(9)(22++-+y x y x 6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题 7．=-+1032x x __________． 8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________． 9．=--3522 x x (x －3)(__________)． 10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)． 11．22____)(____(_____)+=++a m n a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)． 13．若x －y ＝6，36 17= xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题
[好]十字相乘法解一元二次方程专项练习题内附答案.doc
十字相乘法解一元二次方程专项练习题内附答案 (1) a2－7a+6=0；(2)8x2+6x－35=0； (3)18x2－21x+5=0；(4) 20－9y－20y2=0； (5)2x2+3x+1=0； (7)6x2－13x+6=0； (9)6x2－11x+3=0； (11)10x2－21x+2=0； (13)4n2+4n－15=0； (15)5x2－8x－13=0； (17)15x2+x－2=0； (19) 2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2=0； (6)2y2+y－6=0；(8)3a2－7a－6=0；(10)4m2+8m+3=0；(12)8m2－22m+15=0；(14)6a2+a－35=0；(16)4x2+15x+9=0； (18)6y2+19y+10=0；(20)7(x－1) 2+4(x－1)－20=0 十字相乘法解一元二次方程专项练习题答案 (1) (a-6)(a-1)，
(3)(3x-1)(6x-5)， (5)(x+1)(2x+1)， (7)(2x-3)(3x-2)， (9)(2x-3)(3x-1)， (11)(x-2)(10x-1)， (13)(2n+5)(2n-3)， (15)(x+1)(5x-13)， (17)(3x-1)(5x=2)， (19)(3a-b)(5b-a)，(2)(2x+5)(4x-7) (4)-(4y-5)(5y+4) (6)(y+2)(2y-3) (8)(a-3)(3a+2) (10)(2m+1)(2m+3) (12)(2m-3)(4m-5) (14)(2a+5)(3a-7) (16)(x+3)(4x+3) (18)(2y+5)(3y+2) (20)(x+1)(7x-17)
十字相乘法(附答案解析)
十字相乘法 (2020年8月) 【基础知识精讲】 （1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式； （4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法． 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2 ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652 ++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2 286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式3722 2+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22 +-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同 样，多项式12)(7)(2 ++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2 ，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项
负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2 (a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数 2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2 ))(()(22112112212 21c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”， 这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如： )45)(2(86522-+=-+x x y xy x 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 【典型热点考题】 例1 把下列各式分解因式： （1）1522 --x x ；（2）2 2 65y xy x +-． 点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数； （2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项2 6y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数． 解：（1）)5)(3(1522 -+=--x x x x ； （2）)3)(2(652 2 y x y x y xy x --=+-．