高二数学解析几何知识点

第三章

一、直线的倾斜角与斜率 1、倾斜角的概念：（1）倾斜角：当直线 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线 向上方向之间所成的角α叫做直线 的倾斜角。

（2）倾斜角的范围：当 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角α为0°因此0°≤α＜180°。 2、直线的斜率

（1）斜率公式：K=tan α（α≠90°） （2）斜率坐标公式：K=

1

21

2x x y y -- （x 1≠x 2）

（3）斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率。当α=0°

时，k=0；当0°＜α＜90°时，k ＞0，且α越大，k 越大；当α=90°时，k 不存在；当90°＜α＜180°时，k ＜0，且α越大，k 越大。 二、两直线平行与垂直的判定 1、两直线平行的判定：

（1）两条不重合的直线的倾斜角都是90°，即斜率不存在，则这两直线平行； （2）两条不重合的直线，若都有斜率，则k 1=k 2 ? 1 ∥2

2、两直线垂直的判定：

（1）一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则这两直线垂直； （2）如果两条直线1 、2 的斜率都存在，且都不为0，则1 ⊥2 ? k 1·k 2=－1

已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程.

直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距（intercept ）.直线y kx b

=+叫做直线的斜截式方程.

已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程为

11

12122121

(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式

已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，则

直线l 的方程1=+b

y

a x 叫做直线的截距式方程.

注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0,b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距.

关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form ）．

注意：直线一般式能表示平面内的任何一条直线

已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则22

122121()()PP x x y y =-+-. 特殊地：(,)P x y 与原点的距离为22OP x y =+.

：已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l 的距离为：

002

2

Ax By C

d A B

++=

+.

已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l

20Ax By C ++=，则1l 与2l 的距离为12

22

C C d A B

-=

+王新敞

1．两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组

111222

0A x B y C A x B y C ++=??

++=?，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行

2．直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决.

3.坐标法的步骤：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关的代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系.

点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式王新敞王新敞

直线名称 已知条件

直线方程

使用范围

点斜式 111(,),P x y k

11()

y y k x x -=-

k 存在

斜截式 b k ， y kx b =+ k 存在 两点式 ),(11y x （),22y x

11

2121

y y x x y y x x --=-- 12x x ≠ 12y y ≠ 截距式

b a ,

1x y a b

+= 0a ≠ 0b ≠

一、直线与方程 （1）直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[)

90,0∈α时，0≥k ； 当()

180,90∈α时，0

②过两点的直线的斜率公式：)(211

21

2x x x x y y k ≠--=

注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）直线方程

①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。 ②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：

11

2121

y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a

b

+

= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别

为,a b 。

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）

注意：○

1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为

常数）；

（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系

平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：

000=++C y B x A （C 为常数） （二）过定点的直线系

（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；

（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为

()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数）

，其中直线2l 不在直线系中。 （6）两直线平行与垂直

当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，

212121,//b b k k l l ≠=?；12121-=?⊥k k l l

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （7）两条直线的交点

0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交

交点坐标即方程组??

?=++=++0

222111C y B x A C y B x A 的一组解。 方程组无解21//l l ? ； 方程组有无数解?1l 与2l 重合 （8）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）

是平面直角坐标系中的两个点， 则222121||()()AB x x y y =-+-

（9）点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离

2

2

00B

A C By Ax d +++=

（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

二、圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，

定长为圆的半径。

2、圆的方程

（1）标准方程()()22

2r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ； （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x

当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为

?

?? ??--2,2

E D ，半径为

F E D r 42

1

22-+=

当0422=-+F E D 时，表示一个点； 当0422<-+F E D 时，方程不表示

任何图形。

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，

需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断： （1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为

2

2

B

A C Bb Aa d +++=

，则有相离与C l r d ?>；相切与C l r d ?=；

相交与C l r d ?<

（2）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为?，则有 相离与C l ??0

注：如果圆心的位置在原点，可使用公式2

00r yy xx =+去解直线与圆相切的问题，其中()00,y x 表示切点坐标，r 表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程：

①圆x 2+y 2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为200r yy xx =+ (课本命题)．

②圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2 (课本命题的推广)． 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+- 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条；

当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当r R d -=时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当r R d -<时，两圆内含； 当0=d 时，为同心圆。

选修内容： 椭圆

把平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse ）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}

12|2M MF MF a +=． 椭圆的简单几何性质

①范围：由椭圆的标准方程可得，22

2210y x b a

=-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理

可得：b y b -≤≤，即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里；

②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭

圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；

④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比a

c

e =

叫做椭圆的离心率（10<

?→→→椭圆图形越扁时当01a ，，b ，c e ；???→→→椭圆越接近于圆

时当a

，b ，c e 00 椭圆的第二定义

当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=

e a

c

e 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．

对于椭圆122

22=+b

y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦

点)0,(c F -'的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b

x a y 的准线方程是c a y 2

±=．

可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几

何意义．

由椭圆的第二定义e d

MF =∴

|

|可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -=-==||||2右；左焦半径公式为ex a c

a x e ed MF +=--==|)(|||2

左

椭圆中焦点三角形的性质及应用

定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

性质一：已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b

y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形

21F PF 中,21θ=∠PF F 则2

tan

221θ

b S PF F =?。

θ

cos 2)2(212

22

12

2

12PF PF PF PF F F c -+== )cos 1(2)(212

21θ+-+=PF PF PF PF

θ

θθcos 12)cos 1(244)

cos 1(24)(2

222

22121+=

+-=+-+=

∴b c a c PF PF PF PF 12

22121sin sin tan 21cos 2

F PF b S PF PF b θθθθ?∴===+ 性质二：已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b

y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形

21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。

证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ?中，2

12

2

121212cos PF PF F F PF PF -+=

θ2

12

21221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=

1))((2412442

2122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122

22

2--o

x e a b a x a ≤≤-0 22

a x o ≤∴

性质三：已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b

y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形

21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ

证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ?中，由余弦定理得：

1222242)(2cos 2

12

221221221212

212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ

.2112221)2

(22222

2

22

2122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。 双曲线

把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}

122M MF MF a -=． 双曲线的简单几何性质

①范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a

=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这

说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；

②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；

④渐近线：直线b y x a =±叫做双曲线22

221x y a b

-=的渐近线；

⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比a

c

e =

叫做双曲线的离心率（1e >）． 双曲线第二定义:当动点M(x,y) 到一定点F(c,0)的距离和它到一定直线2

:a l x c

=的距离之

比是常数1c

e a

=

>时,这个动点M(x,y)的轨迹是双曲线。其中定点F(c,0)是双曲线的一个焦点，定直线2

:a l x c

=叫双曲线的一条准线，常数e 是双曲线的离心率。双曲线上任一点到

焦点的线段称为焦半径。

椭圆

定义 1到两定点F 1,F 2的距离之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（0

图形

K 2

F 2

F 1

N 1K 1

N 2

P

B 2

B 1

A 2

A 1

x

O

y

K 2

F 2

F 1

N 1

K 1

N 2P

B 2

B 1

A 2

A 1

x

O

y

方 程

标准方程 122

22=+b

y a x (b a >>0)

122

22=+b

y a x (b a >>0)

参数方程

为离心角）

参数θθθ

(sin cos ?

??==b y a x 为离心角）

参数θθθ(sin cos ?

??==b y a x 范围 ─a ≤x ≤a ，─b ≤y ≤b ─a ≤x ≤a ，─b ≤y ≤b 中心 原点O （0，0） 原点O （0，0） 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)

(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)

对称轴 X 轴，y 轴； 长轴长2a,短轴长2b X 轴，y 轴； 长轴长2a,短轴长2b 焦点 F 1(c,0), F 2(─c,0) F 1(c,0), F 2(─c,0) 焦距 2c （其中c=22b a -）

2c （其中c=22b a -）

离心率 )10(<<=

e a

c

e )10(<<=

e a

c

e 准线

x=c a 2

±

x=c a 2

±

焦半径 ex a r ±=

ex a r ±=

通径

a b 2

2 a

b 2

2

名称椭圆双曲线图象x

O

y

x

O

y

定义

平面内到两定点

2

1

,F

F的距离的和为

常数（大于

2

1

F

F）的动点的轨迹叫椭

圆。即a

MF

MF2

2

1

=

+

当2a﹥2c时，轨迹是椭圆，

当2a=2c时，轨迹是一条线段

2

1

F

F

当2a﹤2c时，轨迹不存在

平面内到两定点

2

1

,F

F的距离的差的

绝对值为常数（小于

2

1

F

F）的动点的

轨迹叫双曲线。即a

MF

MF2

2

1

=

-

当2a﹤2c时，轨迹是双曲线

当2a=2c时，轨迹是两条射线

当2a﹥2c时，轨迹不存在

标准方程

焦点在x轴上时：1

2

2

2

2

=

+

b

y

a

x

焦点在y轴上时：1

2

2

2

2

=

+

b

x

a

y

注：是根据分母的大小来判断焦点在

哪一坐标轴上

焦点在x轴上时：1

2

2

2

2

=

-

b

y

a

x

焦点在y轴上时：1

2

2

2

2

=

-

b

x

a

y

注：是根据项的正负来判断焦点所

在的位置

常数

c b a, ,

的关系

2

2

2b

c

a+

=（符合勾股定理的结构）

>

>b

a，

a最大，b

c

b

c

b

c>

<

=,

,

2

2

2b

a

c+

=（符合勾股定理的结构）

>

>a

c

c最大，可以b

a

b

a

b

a>

<

=,

,