高等数学一元函数微积分测试题
高等数学一元函数微积分测试题
（时间：120分钟）
1. 已知()1,0x r r =>
，1n x +=
lim n n x →∞
．
2. （1）0x →时，用幂函数表示(
)()
111tan 1sin n
n
n n
x
x +-+的等价无穷小；
（2）求()()
2
0tan sin sin tan lim n n n x x x x +→-．
3. 从椭圆()22
221,0x y a b a b
+=<<的焦点()0,C c 发射出一束光线，射到椭圆上一点
()00,x y 上；
（1）证明：反射光线必经过椭圆的另一个焦点()0,C c '-；
（2）若反射光线再次射到椭圆上一点，记为()11,x y ，经再次反射射到点()22,x y ……依此类推，求lim n n x →∞
和lim n n y →∞
．
4. 若函数()f x 在定义域内无穷阶可导，则称它是“光滑函数”
证明：函数()4
,0,0
x x f x e
x --=??=?≠??是光滑函数．
5. 将曲线sin ,(0)2cos n n
x t t y t
π?=<
20130
log tan d x x π
?
的敛散性；若收敛则求值．
参考答案： 1.
1．
2. （1）
2
12
n x +； （2）0． 3. （2）0；b ．
5.
()()()()
222!k!,22!
1221,11122221+222,21
2+1!
k n k
n n k n n n n k n k k n k k π=????Γ+Γ ? ?
??????B +==∈ ???????Γ+-?? ? ? ?
??????=+N ．
6. 收敛；0．
高等数学复习题库和答案
网络远程教育专升本高等数学复习题库和答案 一、选择题 1. 下列函数中，表达式为基本初等函数的为（ ）. A: { 2 20 21 x x y x x >= ≤+ B: 2cos y x x =+ C: y x = D: sin y = 2. 下列选项中，满足()()f x g x =的是( ). A: ()cos , ()f x x g x == B: (), ()f x x g x == C: ()(), ()arcsin sin f x x g x x == D: 2 ()ln , ()2ln f x x g x x == 3. 设)(x f 的定义域为[]1,0，则(21)f x +的定义域为( ). A: 1 ,02??- ???? B: 1,02??- ??? C: 1,02??- ??? D: 1,02??-???? 4. 函数)(x f y =的定义域为]1,0[，则函数)(2x f y =的定义域为（ ）. A: [0,1]; B: )1,0(; C: [-1, 1] D: (-1, 1). 5. 设)(x f 的定义域为[]1,0，则)12(-x f 的定义域为( ). A: ? ? ????1,21 B: 1,12?? ??? C: 1,12?????? D: 1,12?? ??? 6. 函数4 339 9)(2 2<<≤???? ?--=x x x x x f 的定义域为（ ）. A: [-3, 4] B: (-3, 4) C: [-4, 4] D: (-4, 4) 7. 3 1lim (1)n n →∞ + =（ ）. A: 1 B: E C: 3 e D: ∞
一元函数微分学习题
第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
)(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x
高等数学微积分习题
《高等数学B(1)》教学大纲 二、课程描述 中文：高等数学B课程是我校经济、管理类学科各专业一门必修的重要基础理论课程，它能使学生获得微积分学方面的一些基本概念、基本理论和基本方法，并为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 高等数学课程安排上下两个学期讲授，其主要内容包括：函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、多元函数的微积分、无穷级数、常微分方程、差分方程等。 高等数学课程在传授知识的同时，将通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力和自学能力，并注重培养学生具有比较熟练的运算能力以及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
湖南大学的高等数学课程是国家级精品课程，课程的教学团队是国家级教学团队。 英文：Course Description： Advanced Mathematics B is an important pubic basic compulsory course for the students majoring in economics or management at Hunan university.In this course, students will learn the basic concepts,basic theories and basic principles in the differential and integral calculus to obtain the necessary mathematics fundamentals for further courses or advanced mathematics studies. Advanced Mathematics B is lectured in two semesters,covering functions,limits and continuity,derivative and differential,the mean value theorem of differential calculus and the application of derivatives,indefinite integral,definite integral and its applications,calculus of multivariate functions,infinite series,ordinary differential equation,difference equation,etc. In this course,the professor not only imparts knowledge,but also cultivates a student’s ability to draw abstraction and generalization,to make logical reasoning and to study independently.This course also focuses on enhancing a student’s ability to achieve relatively proficient calculation and the ability to analyze and solve the problems with all knowledge in hand. Advanced Mathematics B in Hunan University is listed in China Excellent Courses, whose faculty is a national teaching team. 三、课程内容 （一）课程教学目标
清华大学微积分习题(有答案版)
第十二周习题课 一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2） 广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。 （3） Young 不等式：由（2）可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。 （4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 （6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1
一元函数微分学综合练习题
第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤
高等数学(复旦大学版)第十章_多元函数积分学(一)
第十章 多元函数积分学（Ⅰ） 一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。 第一节 二重积分 教学目的： 1、熟悉二重积分的概念； 2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理； 3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法； 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序 教学重点： 1、二重积分的性质和几何意义； 2、二重积分在直角坐标系下的计算 教学难点： 1、二重积分的计算； 2、二重积分计算中的定限问题 教学容： 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为 f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 . 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 0. 其中λ是个小区域的直径中的最大值.
高等数学练习答案1-10
习题1-10 1. 证明方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 证明 设f (x )=x 5-3x -1, 则f (x )是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f (1)=-3, f (2)=25, f (1)f (2)<0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点ξ (1<ξ<2), 使f (ξ)=0, 即x =ξ 是方程x 5-3x =1的介于1和2之间的根. 因此方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 2. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明 设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0. 若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根; 若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 3. 设函数f (x )对于闭区间[a , b ]上的任意两点x 、y , 恒有|f (x )-f (y )|≤L |x -y |, 其中L 为正常数, 且f (a )?f (b )<0. 证明: 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 证明 设x 0为(a , b )内任意一点. 因为 0||l i m |)()(|l i m 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(l i m 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a 微积分的基本内容可以分为三大块：一元函数微积分，多元函数微积分（主要是二元函数），无穷级数和常微分方程与差分方程。一元函数微积分学的知识点是考研数学三微积分部分出题的重点，应引起重视。多元函数微积分学的出题焦点是二元函数的微分及二重积分的计算。无穷级数和常微分方程与差分方程考查主要集中在数项级数的求和、幂级数的和函数、收敛区间及收敛域、解简单的常微分方程等。 一、熟记基本内容 事实上，数学三考微积分相关内容的题目都不是太难，但是出题老师似乎对基本计算及应用情有独钟，所以对基础知识扎扎实实地复习一遍是最好的应对方法。阅读教材虽然是奠定基础的一种良方，但参考一下一些辅导资料，如《微积分过关与提高》等，能够有效帮助同学们从不同角度理解基本概念、基本原理，加深对定理、公式的印象，增加基本方法及技巧的摄入量。对基本内容的复习不能只注重速度而忽视质量。在看书时带着思考，并不时提出问题，这才是好的读懂知识的方法。 二、紧抓内容重点 在看教材及辅导资料时要依三大块分清重点、次重点、非重点。阅读数学图书与其他文艺社科类图书有个区别，就是内容没有那么强的故事性，同时所述理论有一定抽象性，所以在此再一次提醒同学们读书需要不断思考其逻辑结构。比如在看函数极限的性质中的局部有界性时，能够联系其在几何上的表现来理解，并思考其实质含义及应用。三大块内容中，一元函数的微积分是基础，定义一元函数微积分的极限及微积分的主要研究对象——函数及连续是基础中的基础。这个部分也是每年必定会出题考查的，必须引起注意。多元函数微积分，主要是二元函数微积分，这个部分大家需要记很多公式及解题捷径。无穷级数和常微分方程与差分方程部分的重点很容易把握，考点就那几个，需要注意的是其与实际问题结合出题的情况。 三、检测学习效果 大量做题是学习数学区别与其他文科类科目的最大区别。在大学里，我们常常会看到，平时不断辗转于各自习室占坐埋头苦干的多数是学数学的，而那些平时总抱着小说看，还时不时花前月下的同学多半是文科院系的。并不是对两个院系的同学有什么诟病，这种状况只是所学专业特点使然。在备考研究生考试数学的时候，如果充分了解其特点，就能对症下药。微积分的选择及填空题考查的是基本知识的掌握程度及技巧的灵活运用，可做做《考研数学客观题1500题》，必定能达到所希望的结果。微积分的解答题注重计算及综合应用能力，平时多做这方面的题目既可以练习做题速度及提高质量，也能检测复习效果。 高考数学中关于一元函数微积分学所考查的知识点高考数学中关于一元函数微积分学所考查的知识点： 第五章 一元函数积分学 1．基本要求 （1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。 （3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次 线性微分方程的通解公式。 （4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析 （1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布 尼茨公式；定积分的应用。 （2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。 重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写 《微积分（1）》练习题 一．单项选择题 1．设()0x f '存在，则下列等式成立的有（ ） A ． ()()()0000 lim x f x x f x x f x '=?-?-→? B ．()()()0000lim x f x x f x x f x '-=?-?-→? C ．()()()0000 2lim x f h x f h x f h '=-+→ D ．()()()00002 1 2lim x f h x f h x f h '=-+→ 2．下列极限不存在的有（ ） A ．201 sin lim x x x → B ．12lim 2+-+∞→x x x x C ． x x e 1 lim → D ．() x x x x +-∞ →63 2 21 3lim 3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A ．x e 22-- B ．x e 2- C ．x e 24- D ． x xe 22-- 4．函数?? ? ??>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（ ）间断点。 A ．跳跃间断点； B ．无穷间断点； C ．可去间断点； D ．振荡间断点 5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ） A ． 当()()0 第四部分 一元函数微积分 第11章 函数极限与连续[内容提要] 一、函数：(138-141页） 1、函数的定义：对应法则、定义域的确定、函数值计算、简单函数图形描绘。 2、函数分类：基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反 三角函数的统称）；复合函数（[()]y f x ?=）；初等函数（由常数和基本初等函数构成的，且只能用一个式子表达的函数）；分段函数；隐函数；幂指函数（()()g x y f x =）；反函数。 3、函数的特性：奇偶性；单调性；周期性；有界性. 二、极限： 1、极限的概念：(141-142页) 定义1：（数列极限）给定数列{}n x ，如果当n 无限增大时，其通项n x 无限趋向 于某一个常数a ，即a x n -无限趋近于零，则称数列{}n x 以a 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记为a x n n =∞ →lim ，若{}n x 没有极限，则称数列{} n x 发散。 定义2：（0x x →时函数)(x f 的极限）设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域0(,) U x δo 内有定义，当x 无限趋向于0x （0x x ≠）时，函数)(x f 的值无限趋向于 A ，则称0x x →时， )(x f 以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0 。 左极限：设函数)(x f 在点0x 的左邻域00(,)x x δ-内有定义，当0x x <且无限趋向 于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的左极限为A ，记作0 0(0)lim ()x x f x f x A -→-==。 右极限：设函数)(x f 在点0x 的右邻域00(,)x x δ+内有定义，当0x x >且无限趋向 于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的右极限为A ，记作0 0(0)lim ()x x f x f x A +→+==。 定义3：（x 趋于无穷大时函数)(x f 的极限）设)(x f 在区间)0(>>a a x 时有定义， 若x 无限增大时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称当∞→x 时， 第五章一元函数积分学 5.1 原函数和不定积分的概念 一、原函数与不定积分的概念 定义：如果在区间I内，存在可导函数F（x）使都有F＇（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I内原函数。 例：，sinx是cosx的原函数。 Lnx是在区间（0，+∞）内的原函数。 原函数存在定理： 如果函数f（x）在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F（x），使，都有F＇（x）=f（x）。 简言之：连续函数一定有原函数。 问题：（1）原函数是否唯一？ （2）若不唯一它们之间有什么联系？ 例：（sinx）＇=cosx （sinx+C）＇=cosx （C为任意常数） 关于原函数的说明： （1）若F＇（x）=f（x），则对于任意常数C，F（x）+C都是f（x）的原函数。 （2）若F（x）和G（x）都是f（x）的原函数，则F（x）-G（x）=C（C为任意常数） 证∵[F（x）-G（x）] ＇=F＇（x）-G＇（x） =f（x）=f（x）=0 ∴F（x）-G（x）=C（C为任意常数） 不定积分的定义： 函数f（x）的全体原函数的集合称f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx。 ,其中∫为“积分号”，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式，C为任意常数。 例：求。 【答疑编号11050101】 解： 例：求。 【答疑编号11050102】 解： 积分曲线 例设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。 【答疑编号11050103】 解：设曲线方程为y=f（x）, 根据题意知 即f（x）是2x的一个原函数。 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为y =x2+1。 函数f（x）的原函数的图形称为f（x）的积分曲线。显然，求不定积分得到一积分曲线族。 不定积分的性质 一、极限题 1、求.)(cos lim 2 1 x x x → 2、6 sin )1(lim 2 2 x dt e x t x ?-→求极限。 3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x x x -→ 4、2 1 0sin lim x x x x ?? ? ??→ 5、? ?+∞ →x t x t x dt e dt e 0 20 2 2 2)(lim 6、 ) 1ln(1 lim -→+x e x x 7、x x x e x cos 11 20 ) 1(lim -→+ 8、 x x x x x x ln 1lim 1+--→ 9、) 1ln()2(sin ) 1)((tan lim 2 30 2 x x e x x x +-→ 10、1 0lim( )3 x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞ →x x e x 12、 )cot 1(lim 2 20x x x -→ 13、[] )1(3sin 1 lim 11x e x x ---→ 14、() ?? ???=≠+=0 021)(3 x A x x x f x 在0=x 点连续，则A =___________ 二、导数题 1、.sin 2 y x x y ''=，求设 2、.),(0y x y y e e xy y x '==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2 3 的单调区间与极值求函数-=x x x f 4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小， 淮安现代教育2016年“专转本”高等数学寒假训练试卷一参考答案(一元函数微积分学与微分方程) 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、（ B ） 2、（ B ） 3、（ C ） 4、（ A ） 5、（ C ） 6、（ D ） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 7、2ln 2 8、-2 9、-2 10、2 2sin x x dx - 11、1266 (cos sin )22 x y e C x C x =+ 12、 2π （注：原题须修改为 ( ) 2 2 201322arctan 4-+-? dx x x x ） 三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 13、求极限：2 03 arcsin lim ln(1)tan(121) x x tdt x x →---? 解：原式2 03arcsin lim 41()(2) 2 x x tdt x x →'=-?-? 223300arcsin 211lim lim 8422x x x x x x x x →→??'=== 14、设函数)(x y y =由参数方程2 arctan ln(1) x t y t =??=+?确定，求2 2,dx y d dx dy 解：22 211124t dy dt t dx dt t dy t dx ++' == = 2 22 21 122(1)8t d y t dx +'==+ 15、求曲线1y y xe -=在点()0,1处的切线方程 解：方程两边对x 求导得: 0, 51y y y y e y e xe y y xe ''''--?==- 切线斜率01 x y k y e ==' == ， 则切线方程为:1y e x -=?，即:108ex y '-+= 16、设x y x =，求dy dx 解： ln 2x x x y x e '== ，()ln 1ln ln 18x x x dy e x x x x dx x ??'=+?=+ ?? ? 17、求微分方程()2 2210x dy xy x dx +-+=的通解 解：原方程可化为：2221 2x y y x x -'+ = ， 所以 通解22 2 216dx dx x x x y e e dx C x -??-??'=+ ???? ()222118-'=-+=-+ C x x x C x x 18、计算不定积分2 cos x xdx ? 解：2cos x xdx ?2222 (sin )sin sin ()sin 2sin 4x d x x x xd x x x x xdx '==-=-??? 22 sin 2(cos )sin 2(cos cos )x x xd x x x x x xdx =+=+-?? 2 sin 2cos 2sin 8x x x x x C '=+-+ 19、计算定积分 52 31 dx x +-? 解：令1x t -= ，则2 1,22x t dx tdt '=+= 5 222 121123 5 52(1)2[3l n (3)] 26l n 8 334 31''==-=-+=-+++-??? dx tdt dt t t t t x 20、利用函数的单调性证明不等式: 当0x >时，(1)ln(1)arctan x x x ++> 证明：令()(1)ln(1)arctan 2f x x x x '=++- ，()2 22 11ln(1)ln(1)4111x x f x x x x x x +''=++-=+++++ 当0>x 时，()0f x '>，于是()f x 在()0,+∞内单调递增，且()f x ∞在[0,+)内连续， 所以()()00>=f x f ，因而有(1)(1)arctan 8x ln x x '++> 四、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分） 21、证明：方程4 410x x -+=有且仅有一个小于1的正实根 证明：(1)存在性：令4 ()41f x x x =-+，则()f x 在[0，1]上连续2' ()()010,120f f =>=-<，由零点定理知，()()0,10f ?∈=ξξ使 即方程4 410x x -+=有小于1的正实根5ξ' (2)唯一性：4 ()41f x x x =-+ ，()33 0,1()44=410x f x x x '∈=--当时，()<7' ()f x ∴在[0，1]上单调减少,故()0f x =在[0，1]上最多有一个实根 一元函数积分知识点完整版 牛顿—莱布尼兹定理为： 设)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则 )()()(a F b F dx x f b a -=? 问题3： 已知?+=) 1ln(2)(x x t dt e t x f ，求)('x f )0(≥x 一．考查奇偶函数和周期函数的积分性质 讲解：需要掌握对称区间上奇偶函数的定积分性质、周期函数的积分性质，学会用性质化简积分。 问题4： 设)(x f 在 ]1,0[上连续，A dx x f =?20)cos (π，则 ==?π 20)cos (dx x f I _______。 二．利用定积分的定义求某些数列极限 讲解：需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。 常见的情形有： ∑?=∞→--+=n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1))((lim )( ∑?=∞→---+=n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1 )))(1((lim )( 问题5： 求∑=∞→+=n i n i n n i n w 12tan lim 三．考察基本积分表 讲解：需要掌握基本初等函数的积分公式。 四．考察分项积分方法 讲解：利用不定积分（定积分）线性性质把复杂函数分解成几个简单函数的和，再求积分。 问题6： 求下列不定积分： dx x x ?++2cos 1cos 12 五．考察定积分的分段积分方法 讲解：利用定积分的区间可加性把复杂的区间分解成几个简单区间的和，再求积分。 问题7： 计算以下定积分： {}?-+22cos ,5.0min )1(ππdx x x 六．考察不定积分的分段积分方法 讲解：有时被积函数是用分段函数的形式表示的，这时应该采用分段积分法。 问题8： 第四章 不定积分 一、是非题： １．已知()211 arcsin x x -='π+，则?π+=-x dx x arcsin 112． 错 2. 连续函数的原函数一定存在． 对 3. ()()?? =dx x f d dx x f dx d ． 错 4. ax y ln =和x y ln =是同一函数的原函数． 对 ()2x x e e y -+=和()2x x e e y --=是同一函数的原函数． 对 5. ()()??=dx x f k dx x kf （k 是常数） 错 二、填空题： １．()()? ='dx x f x f （C x f +)(ln ）． ２．()?=''dx x f x （()C x f x f x x f xd +-'='? )()( ）． ３．知()()?+=C x F dx x f ，则()?=+dx b ax f （C b ax F a ++)(1），b a ,为常数． ４．已知 ()?+=C e dx x f x ，则()=??dx x x f sin cos （ C e x +-cos ）． ５．已知()[]x dx x f sin ='?，则()=x f （x sin ）． 6. 设()x f 、()x f '连续，则() ()[]=+'?dx x f x f 21（[]C x f +)(arctan ）． 7. 设()x f 的一个原函数为x e -，则()ln f x dx x =?（ 1C x + ）． 8. 函数（21ln(1)2x C ++）是2 1x x +的原函数． 9. 设()x f x e =，则()ln f x dx x '=?（x C +）． 三、选择填空： 1．已知()x F 是()x f 的一个原函数，C 为任意常数，下列等式能成立的是（ a ） a ．()()?+=C x F x dF b ．()()? ='x F dx x F 一．选择题 1.函数y= 1 1 2 +x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（ ） A ． ，，， B ． 23 ，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（ ） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （ ） .0 C 2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ） 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0） 为（） A、 B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x 必不连续 14、设f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、 C、tan[f(x)] D、f[f(x)] 16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（） A、[0,л] B、（0,л） 第二部分 一元函数微分 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2． 已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x （B ）0≠x （C ）0>x （D ）0≤x 答C一元函数微积分重点
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