泛函分析部分知识点汇总

度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。

泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。

一、度量空间的进一步例子 1、度量空间

设x 是一个集合，若对于x 中任意两个元素x,y ,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：

1° 的充要条件为x=y 2° 对任意的z 都成立，

则称 d(x,y) 是 x,y 之间的距离，称 d(x,y)为度量空间或距离空间。x 中的元素称为点。 2、常见的度量空间 （1）离散的度量空间

设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称 为离散的度量空间。

（2）序列空间S

令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点

令 称 为序列空间。

（3）有界函数空间B(A ）

设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点x,y ，定义 （4）可测函数空间

设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度，若 ，对任意两个可测函数 及 由于 ，所以这是X 上的可积函数。令 （5）C[a,b]空间

令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意两点x,y ，定义

二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间 1、收敛点列 设 是（X ，d ）中点列，如果存在 ，使 则称点列 是（X ，d ） 中的收敛点列，x 是点列 的极限。 收敛点列性质：

（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。

（2）M 是闭集的充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。

(,)0,(,)0d x y d x y ≥=(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+,x y X ∈1,(,)0,if x y

d x y if x y ≠?=?

=?(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...),

n n x y ξξξηηη==1||

1(,)21||i i i i i i d x y ξηξη∞

=-=+-∑(,)S d (,)sup |()()|

t A

d x y x t y t ∈=-()m X <∞()f t ()

g t |()()|1

1|()()|f t g t f t g t -<+-|()()|

(,)1|()()|X f t g t d f g dt f t g t -=+-?(,)max |()()|

a t b

d x y x t y t ≤≤=-{}n

x x X ∈lim (,)0n n d x x →∞

={}n x {}n

x

2、收敛点列在具体空间中的意义 （1）n 维欧式空间中： 为 中的点列，

即： 按欧式距离收敛于x 的充要条件是 依坐标收敛于

（2）序列空间S 中：

为 S 中的点列，

（3）C[a,b]空间 设 及X 分别为C[a,b] 中的点列及点，

（4）可测函数空间M(X)

设 及 f 分别为可测函数空间中的点列及点，

3、稠密集，可分空间

（1）设X 是度量空间，E 和M 是X 中的两个子集，令 表示M 的闭包，如果 ，那么称集M 在集E 中稠密。 等价定义：

如果E 中任何一点x 的任何邻域都含有集M 中的点，就称M 在E 中稠密。

对任一 ，有M 中的点列 ，使得 （2）当E=X 时，称集M 为X 的一个稠密子集。

（3）如果X 有一个可数的稠密子集时，称X 为可分空间。

三、连续映射

1、度量空间中的连续性

设 X=(X,d)，Y=（Y ，d ） 是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映射, 如果对于任意给定 ，存在 ，使对X 中一切满足

的x ，成立 则称T 在 连续。

我们也可以用集显来定义映射的连续性

连续性的极限定义

设T 是度量空间(X,d)到（Y ，d ） 中的映射，那么T 在 连续的充要条件为当 时，必有

2、连续映射

如果映射T 在X 的每一点都连续，则称T 是X 上的连续映射。 称集合 为集合M 在映射T 下的原像。 定理：

度量空间X 到Y 的映射T 是X 上的连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像 是X 中的开集。

n R ()

()

()

1

2

(,,...,),1,2,...,

m m m m n

x m ξξξ==12(,,...,)n

n x R ξξξ=∈()

lim (,)0,()1m m i

i m d x x m i n

ξξ→∞

=?→→∞≤≤{}m

x m x ()

()

()

1

2

(,,...,,...),1,2,...,

m m m m n

x m ξξξ==12(,,...,,...)n x S

ξξξ=∈()

lim (,)0(),

m m i i m d x x m ξξ→∞=?→→∞{}n

x (,)max |()()|n n

a t b

d x x x t x t ≤≤=-lim (,)0{}[,]n n n d x x x a b x →∞=?在上一致收敛于 {}n f lim (,)0()n n n d f f f t →∞

=??f(t)E M ?x E ∈{}n x ()

n x x n →→∞0,

x X ∈0ε>0δ>0(,)d x x δ<0(,)d Tx Tx ε< 0x 0,

x X ∈0()n x x n →→∞0()n Tx Tx n →→∞{|,}x x X Tx M Y ∈∈?1T M -

四、柯西点列和完备度量空间 1、柯西点列

设 X=(X,d)是度量空间， 是X 中点列，如果对任何事先给定的 ，存在正整数 ，使当n ，m>N 时，必有 则称 是X 中的柯西点列或基本点列。

总结：在实数空间当中，柯西点列一定是收敛点列；但是在一般的度量空间当中，柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列一定是柯西点列。 2、完备的度量空间

如果度量空间(X,d)中每一个柯西点列都在(X,d)中收敛，则称(X,d)是完备的度量空间。

子空间完备性定理

完备度量空间X 的子空间M ，是完备空间的充要条件是：M 是X 中的闭子空间。

五、度量空间的完备化 1、等距同构映射

设(X,d)， 是两个度量空间，如果存在X 到 的保距映射T ，即 ，则称 (X,d) 和 等距同构，此时 T 称为X 到 上的等距同构映射。

六、压缩映射原理及其应用

作为完备度量空间概念的应用，我们介绍巴纳赫的压缩映射原理，它在许多关于存在唯一性的定理（例如微分方程，代数方程，积分方程等）的证明中是一个有力的工具。

在介绍压缩映射原理前，我们来介绍压缩映射以及不动点 1、压缩映射

设X 是度量空间，T 是X 到X 中的映射，如果存在一个数a ，0

几何意义：压缩映射就是使映射后距离缩短a 倍的映射。 2、不动点

设X 为一个集合，T 是X 到X 的一个映射，如果 ，使得 ，则称x*为映射T 的不动点。 3、压缩映射定理

设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点。 注意：

a.完备度量空间中的压缩映射必有唯一的不动点。

b.完备性是保证映射的不动点的存在，至于不动点的唯一性，并不依

赖于X 的完备性。

压缩映射具有连续性，即对任何收敛点列 必有

{}n x 0ε>()N N ε=(,)n m d x x ε<{}n x (,),X d X

(,)(,)d Tx Ty d x y = (,),X d

X (,)(,)d Tx Ty d x y α≤*x X ∈*

*Tx x =0()n x x n →→

∞0()

n Tx Tx n →→∞

八、 赋范线性空间和巴拿赫空间 1、赋范线性空间

设X 是实（或复）的线性空间，如果对于每个向量 ，有一个确定的实数，记为 与之对应，并且满足： 1° 且 等价于x=0

2° 其中 a 为任意实（或复）数；

3° 则称 X 按范数成为赋范线性空间。

注：范数类似于普通向量的长度

2、关于极限的定义（依范数收敛） 设 是X 中一点列，如果存在 ，使 则称 依范数收敛于 x ，记为 或

3、赋范线性空间的性质

1°赋范线性空间不仅是线性空间，也是一个度量空间。

如果令 可以验证 的d （x

，y ） 是X 上的

距离。

依范数收敛于 x 等价于 按距离收敛于x

称 d （x ，y ）为由范数 导出的距离。

度量和线性结构之间的协调性：

2°范数 是 x 的连续函数。 4、巴拿赫空间及常用例子

完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。 （1）欧式空间 ，对每个 ，定义

欧式空间 按上述范数成Banach 空间。

（2）空间，对每个 ，定义

空间 C[a ，b] 按上述范数成Banach 空间。

（3）空间 ，对每个 ，定义 空间 按上述范数成Banach 空间。

x X ∈x 0x ≥0x =x x αα=,,x y x y x y X

+≤+∈x {}n

x x X ∈||||0()n x x n -→→∞{}n x ()n x

x n →→∞lim n n x x →∞

=(,)||||,(,),d x y x y x y X =-∈{}n x {}n x ||||x (,0)(,)

(,0)||(,0)d x y d x y d x d x αα-=??

=?||||x n R 12(,,...,)n n x R ξξξ=∈||||x =n R [,]x C a b ∈||||max |()|a t b

x x t ≤≤=l ∞12(,,...)x l ξ

ξ∞=∈||||sup ||j j

x ξ=l ∞

第八章 有界线性算子和连续线性泛函

一、有界线性算子和连续线性泛函 1、线性算子和线性泛函的定义 ()()()()()()()()()()().

或复是实T 则称,子集时是数域的T R 当.T R 记作,的值值T 称为T D T ,的定义定T 称为T D 其中,中的线的线性Y 到T D 是从T 则称βTy,αTx βy αx T 成立β,α,及数X,

y x,Y,T D :T ,

的线线性子空

X 是T D ,的线线性空或复是两两个同为

Y 和X 设 的线性泛函+=+∈?→2、有界线性算子和连续线性泛函

(

)()().

有界线界线性有界线界线性泛函是特

,地特 .

线性算子称为为无,否则.中的有界线的有界Y 到T D 是T 则称,T D x ,x c Tx 使得成立c,

如果存在常数

,是线线性算Y T D :T ,是两两个赋范线性空

Y 和X 设 别∈≤→

3、相关定理

连续有界的充分必要条件是

则是线性算子设T T T , 定理1

().

, 子空间中的闭

是是上连续的充分必要条件

在那么上的线性泛函是设X f N X f X f 定理2

4、有界线性算子的范数（算子范数）

()()

(

)().

, ,,.sup

,:,,0T D x x T Tx T T D T x

Tx

T Y X T D T Y X T

D x x ∈?≤∞<=→?∈≠则有时当显见上的范数在为算子称

是线性算子

是两个赋范线性空间

设

二、有界线性算子空间和共轭空间

1、有界线性算子全体所成空间()X Y β→设X 和Y 是两个赋泛线性空间， 以表示由X 到Y 中有界线性算子全体。当A 和B 属于()X

Y

β

→， a 是所

讨论数域中的数，定义

()X

Y

β

→中加法运算及数乘运算如下

()(),

,x X A B x Ax Bx A x Ax

αα?∈+=+=

︳定理1：当Y 是巴拿赫空间，()X

Y

β

→也是巴拿赫空间

二、共轭空间

1、共轭空间的定义

一般，设X是赋范线性空间，如果X中定义了两个向量的乘积，并且满足

,,

xy x y x y X

||||≤|||| ||||∈

则称X是赋范代数，当X完备时，则称X的共轭空间定理2：任何赋范线性空间的共轭空间是Banach空间

2、保距算子，同构映射的定义

设X和Y是两个赋范线性空间，T是X到Y中的线性映射，并且对所有x X

∈

有

Tx x

||||=||||

，则称T是X到Y中的的保距算子，如果T又是映射到Y上

的则称T是同构映射，此时X与Y同构。.