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数据是描述客观事物的数值、字符以及能输入机器且能被处理的各种符号集合。换句话说，数据是对客观事物采用计算机能够识别、存储和处理的形式所进行的描述；是计算机加工处理的对象。包括数值、字符、声

数据元素是组成数据的基本单位

一个数据元素可由若干个数据项组成（

）

数据对象是性质相同的数据元素的集合，是数据的一个子集。

…}，字母字符数据对象是集合

象。由此可看出，不论数据元素集合是无限集（如整数集）

Data Structure）

数据元素相互之间的关系称为结构（ Structure ），有四种基本结构。集合结构：结构中的数据元素之间除了同属于一个集合的关系外，无任何其它关系。

线性结构：结构中的数据元素之间存在着一对一的线性关系。

图状结构或网状结构：结构中的数据元素之间存在着多对多的任意关系。

为数据结构的有限集，S是D上关系的有限集。

表示复数的虚部。

存储结构（又称物理结构）是逻辑结构在计算机中的存储映象，是逻辑结构在计算机中的实现，它包括

据元素的表示和关系的表示

形式化描述：要存入机器中，建立一从

，使S（D

逻辑结构与存储结构的关系为：

数据结构的内容可归纳为三个部分：逻辑结构、存储结构和运算集合。按某种逻辑关系组织起来的一批数据，按一定的映象方式把它存放在计算机的存储器中，并在这些数据上定义了一个运算的集合，(Data Type)

数据类型是一组性质相同的值集合以及定义在这个值集合上的一组操作的总称

合，即该类型的取值范围，以及该类型中可允许使用的一组运算。例如高级语言中的数据类型就是已经实现的从这个意义上讲，数据类型是高级语言中允许的变量种类，

计算机中使用的是二进制数，汇编语言中则可给出各种数据的十进制表示，如

二进制数据的抽象; 使用者在编程时可以直接使用

据抽象，出现了数据类型，

(Abstract Data Type)

）是指基于一类逻辑关系的数据类型以及定义在这个类型之上的一组操作。抽象数据类型的定义取决于客观存在的一组逻辑特性，而与其在计算机内如何表示和实现无关，即不论其内部结构如何变化，只要它的数学特性不变，都不影响其外部使用。从某种意义上讲，抽象数据类型和数据类型实质上

一个线性表的抽象数据类型的描述如下：

-list

所有属于同一数据对象，i=1，2，…，

所有数据元素，…，n-1

Linear-list:

初始化空线性表

求线性表的表长

取线性表的第个元素；

在线性表的第i个位置插入元素

删除线性表的第i个元素。

的定义

的定义格式不唯一

抽象数据类型名

数据对象: <

其中数据对象和结构关系的定义采用数学符号和自然语言描述: 初始条件描述>

操作结果描述>

关于参数传递

参数表中的参数有两种：第一种参数只为操作提供待处理数据又能返回操作结果，

作结果描述操作执行之后

构成一个结构类型

语言函数实现各操作。

在数据结构中的指定位置上增添新的数据元素；

删去数据结构中某个指定数据元素；

更新：改变数据结构中某个元素的值，在概念上等价于删除和插入操作的组合；

查找：在数据结构中寻找满足某个特定要求的数据元素（的位置和值

重新安排数据元素之间的逻辑顺序关系，使数据元素按值由小到大或由大到小

结构化的开发方法是面向过程的开发方法，

本书中用到以下常量符号，

＃ define FALSE 0

＃ define MAXSIZE 100

＃ define OK 1

define ERROR 0

本书中所有的算法都以如下的函数形式加以表示，

函数名（

函数的定义主要由函数名和函数体组成，

部分如“［形式参数］”为可选项，

、简单赋值;

〈变量名〉

〈变量〉++

后赋值给变量。

〉=〈表达式〉

条件选择语句。

〈表达式〉）语句；

〈表达式〉）语句；

else 语句；

语句

表达式1>；

循环体语句；

首先计算表达式1的值，然后求表达式的值，若结果非零（即为真）则执行循环体语句，最后对表达式直到表达式的值为零（即不成立为假）时为止。

）

循环首先计算条件表达式的值，若条件表达式的值非零（即条件成立）

次计算条件表达式的值，重复执行，直到条件表达式的值为零（即为假）时退出循环，

语句

条件表达式

该循环语句首先执行循环体语句然后计算条件表达式的值，

算条件表达式的值，直到条件表达式的值为零，即条件不成立时结束循环。

特别当数据为单个字符时，函数实现；当数据为字符串时，

当数据为字符串时，用puts

其中输入输出函数中的类型部分不做严格要求，

其它一些语句。

return <表达式

语句：语句中结束循环过程或跳出情况语句。

continue语句：可用在循环语句中结束本次循环过程，进入下一次循环过程。

//

注释句的作用是增强算法的可阅读性，在算法描述中要求在函数首部加上对算法功能的必要注释描述。加注释说明时如果没有涉及到的参量一定是多余的，而涉及到的内容应当作为参量，这实际上是程序设计中的一希望多加注意。

例如：

用于求一个或几个表达式中的最大值；

用于求表达式的绝对值；eof

）的定义

Algorithm is a finite set of rules which gives a sequence of operation for solving a specific 算法是规则的有限集合，

其中每一条指令表示一个或多个操作。

有穷性：有限步骤之内正常结束，

确定性：算法中的每一个步骤必须有确定含义，

可行性：原则上能精确进行，操作可通过已实现的基本运算执行有限次而完成。

至少有一个或多个输出。

最基本的是有限性、

算法的正确性

所设计的程序没有语法错误；

所设计的程序对于几组输入数据能够得出满足要求的结果；

所设计的程序对于精心选择的典型、

(4)

例如：

max=0;

i=1； i<=n; i++

{ scanf(, x); if (x>max) max=x; }

可读性

语言和程序的关系

描述了数据对象的元素之间的关系（包括数据逻辑关系、

描述算法的工具：算法可用自然语言、

二义，框图直观但不擅长表达数据的组织结构，

设计实现算法过程的步骤

找出与求解有关的数据元素之间的关系（建立结构关系）

确定在某一数据对象上所施加的运算。

考虑数据元素的存储表示。

选择描述算法的语言。

设计实现求解的算法，并用程序语言加以描述。

对问题规模和该算法在运行时所占的空间

同的问题其含义不同，

数量关系评价体现在时间——算法编程后在机器中所耗费的时间。数量关系评价体现在空间——算法编程后在机器中所占的存储量。关于算法执行时间

一个算法的执行时间大致上等于其所有语句执行时间的总和，

数和执行一次所需时间的乘积。

语句频度

语句频度是指该语句在一个算法中重复执行的次数。

算法的时间复杂度

原操作是指从算法中选取一种对所研究问题是基本运算的操作，用随着问题规模增加的函数来表征

而对于算法分析，我们关心的是算法中语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析的变化情况并确定T(n)的数量级（Order of Magnitude）。在这里，我们用“O”来表示数量级，这样我

其时间复杂度为

for (i=1; i<= n; i++) x=x+1;

for (i=1; i<= n; i++)

for (j=1; j<= n; j++) x=x+1;

我们称之为平方阶。此外算法还能呈现的时间复杂度有对数阶

数据结构中常用的时间复杂度频率计数有7个：

O(n2)平方型 O(n3)立方型

O(nlog2n)二维型

充分大时）。

与图1.6是同一问题的不同表示形式。

增长较慢的算法为最优的算法。从中我们应该选择使用多项式阶

for (i=1; i< n; i++)

for (j=i; j<= n; j++) x++;

语句x++的执行频度为： n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1 =n(n+1)/2

的增长率为n2, 即时间复杂度为O(n2)。

最坏时间复杂度

算法中基本操作重复执行的次数还随问题的输入数据集的不同而不同。

算法的空间复杂度（略）

B, …, Z)就是一个简单的线性表，表中的每一个英文字母是一个数据元素，

元素之间存在唯一的顺序关系，如在英文字母表字母B的前面是字母A，而字母

(data elements) 可由若干数据项组成，如学生成绩表中，每个学生及其各科成绩

各科成绩及平均成绩等数据项

。数据对象（

表

n (n≥0)个类型相同的数据元素a1, a2, …， an

…，an）。这里的数据元素ai(1≤i≤n)只是一个抽象的符号，其具体含义在不同它既可以是原子类型，也可以是结构类型但同一线性表中的数据元素必须属于同一数据对象。

线性表中相邻数据元素之间存在着序偶关系，即对于非空的线性表（a1,

同一性：线性表由同类数据元素组成，每一个

有穷性：线性表由有限个数据元素组成，表长度就是表中数据元素的个数。

有序性：线性表中表中相邻数据元素之间存在着序偶关系

，因为数据元素之间是由一前驱一后继的直观有序的关系确

队列等都符合线性条件。

ADT List{

数据元素： D={ai| ai

Ｓ＝｛

基本操作：

为未初始化线性表。

L初始化为空表。

DestroyList(&L)

线性表L

销毁。

ClearList(&L)

线性表已存在。

将表L置为空表。

）

线性表L

如果L为空表则返回真，

）

线性表L

L为空表则返回0，

LocateElem(L, e,compare()) compare()

个与e满足关系的数据元素的位序，存在，

返回线性表

ListInsert (&L, i, e)

已存在，1≤

个位置之前插入新的数据元素e，L ListDelete (&L, i, &e)

已存在且非空，ListLength(L)

i个数据元素，

Void union (List &La, List Lb){

La_len= ListLength (La); Lb_len= ListLength (Lb);

loc(ai) =loc(a1)+(i-1)

它是一种随机存取的数据结构。

顺序存储结构可以借助于高级程序设计语言中的一堆数组来表示，一维数组的下标与元素在线性表中的序语言中下标等于序号减1）。线性表的顺序存储结构可用C语言定义如下：

ElemType *elem; /* */

int length；

int listsize;

线性表顺序存储结构上的基本运算

初始化操作

Status IniList_Sq(SqList

L.elem=(ElemType*)

If(!L.elem) exit

由于结点的物理顺序必须和结点的逻辑顺序保持一致，因此我们必须

个位置，然后在该位

是指在线性表的末尾插入结点，所以无需移动结点，直接将e插入表的末尾

图2.3 顺序表中插入元素

Status ListInsert_sq(sqList &L, int i, ElemType e){

(i<1||i>L.length+1) return ERROR;

(L.length>=L.listsize){

newbase=(ElemType*)realloc(L.listsize+LISTINCREMENT)*sizeof( ElemType));

线性表的删除运算是指将表的第

变成长度为n-1

n-i）个元素依次向前移动一个位置。

(4, 9, 15, 21, 28, 30, 30, 42, 51, 62)

图2.4 顺序表中删除元素

Status ListDelete_Sq(sqList &L,int i,ElemType &e){

If( (i<1) || (i>L.length) ) return ERROR;

i个元素的概率，并假设在任何位置上删除的概率相等，即。删除一个元素所需移动元素的平均次数Edel为

在顺序表中查找元素的算法：

int LocatElem_Sq(SqList L,ElemType e, Status(*compare)(ElemType, ElemType))

）无需为表示结点间的逻辑关系而增加额外的存储空间（因为逻辑上相邻的元素其存储的物理位置也是相邻

）可方便地随机存取表中的任一元素。

其缺点是：

插入或删除运算不方便，除表尾的位置外，

用来存储结点的值；指针域用来存储数据元素的直接后继的地址（或位置）链表正是通过每个结点的指针域将线性表的n个结点按

其逻辑顺序链接在一起。由于链表的每个结点只有一个

图2.5单链表的示例图

图2.6 单链表的逻辑状态

图2.7 带头结点单链表图示单链表可以由头指针唯一确定。单链表的存储结构描述如下：

图2.8 头插法建立单链表图示CreateList_L(Linklist &L, int n){

L=(Linklist) malloc(sizeof(Lnode));

L->next=NULL;

图2.9 尾插法建表图示

在单链表中，由于每个结点的存储位置都放在其前一结点的next域中，因而即使知道被访问结点的序号

也不能像顺序表那样直接按序号i访问一维数组中的相应元素，实现随机存取，而只能从链表的头指针出发，next逐个结点往下搜索，直至搜索到第i个结点为止。

设带头结点的单链表的长度为n，要查找表中第i个结点，则需要从单链表的头指针

：要在带头结点的单链表

pre指示，然后申请一个新的结点并由指针

，然后使

图 2.10 在单链表第i个结点前插入一个结点的过程ListInsert_L(Linklist &L, int i, ElmeType e ){

While( p && j

p=p->next;

j>i-1) return ERROR;

s=(Linklist)malloc(sizeof(LNode));

图2.11 单链表的删除过程ListDelete_L(Linklist &L, int i, Elemtype &e){

( p->next && j

p=p->next;

图2.12 带头结点循环单链表

双向链表

循环单链表的出现，虽然能够实现从任一结点出发沿着链能找到其前驱结点，但时间耗费是

图2.13 双链表的结点结构

由于在双向链表中既有前向链又有后向链，寻找任一个结点的直接前驱结点与直接后继结点变得非常方便。

指向双链表中某一结点，则有下式成立：

p->prior->next = p = p->next->prior

图2.14 双向循环链表图示

图2.15 双向链表插入操作

双向链表的删除操作

图2.16 双向链表的删除操作

静态链表同样可以借助一维数组来描述：

1000

图2.17 静态链表的插入和删除操作示例

s, ElemType e){

i=s[i].cur;

IniteSpace_SL(SlinkList &space){

1，而链表的存储密度小

则单链表的存储密度为因此若不

而单链表的存储空间利用率为

在链表中的任何位置上进行插入和删除，都只需要修改指针。而在顺序表中进行插入和删除，平均要移动表中近一半的结点，尤其是当每个结点的信息量较大时，移动结点的时间开销就相当可观。因此，对于频繁进宜采用链表做存储结构。若表的插入和删除主要发生在表的首尾两端，

对于没有提供指针类型的高级语言，

在存储分配上有不足之处，但它和动态链表一样，具有插入和删除方便的特点。

值得指出的是，即使是对那些具有指针类型的语言，静态链表也有其用武之地。特别是当线性表的长度不

个系数唯一确定。因此，在计算机内，可以用一个线性表P来表示：则它也可以用一个线性表Q来表示，

，则两个多项式相加的结果Rn(x)=Pn(x)+Q m(x)，也可以用线性表

我们可以采用顺序存储结构来实现顺序表的方法，使得多项式的相加的算法定义十分简单，即

20001个空间，而存储的有用数据只有三个，这无疑是一种浪费。则必须存储相应的指数信息才行。

在最坏情况下，即n+1个系数都不为零，则比只存储系数的方法多存储

但对于非零系数多的多项式则不宜采用这种表示。

图2.18 多项式的单链表表示法

所指的结点应是“和多项式”中的一项，所指的结点应是“和多项式”中的一项，将结点

栈的定义

栈作为一种限定性线性表，是将线性表的插入和删除运算限制为仅在表尾进行，通常将表中允许进行删除操作的一端称为栈顶

器指示。同时表的另一端被称为栈底

数据元素：可以是任意类型的数据，但必须属于同一个数据对象。数据关系：栈中数据元素之间是线性关系。

基本操作：

InitStack(&S)

初始条件：S为未初始化的栈。

操作结果：将S初始化为空栈。

ClearStack(&S)

已经存在。

置成空栈。

StackEmpty(S)

初始条件：栈S已经存在。

操作结果：若S为空栈，则函数值为TRUE，否则FALSE

已经存在。

的顶部插入(亦称压入

Pop(&S, &e)

初始条件：栈S已经存在。

操作结果：删除栈S的顶部元素，并用

GetTop(S, &e)

已经存在。

的顶部元素。

GetTop(S,&e)不改变栈顶的位置。

typedef struct {

SElemType * base;

SElemType *top;

顺序栈基本操作的实现如下:

Status InitStack (SqStack &S){

S.base=(SElemType *)malloc

(STACK_INIT_SIZE *sizeof(SElemType)); Status GetTop(SqStack S, SElemType &e)

Status Push(SqStack &S, SElemType e){

if (S.top - S.base>= S.stacksize){

S.base=(SElemType*)realloc(S.base,

Status Pop(SqStack &S, SelemType &e)

If( S.top==S.base) return ERROR;

数制转换

假设要将十进制数N转换为d进制数，一个简单的转换算法是重复下述两步，直到X = N mod d (其中mod为求余运算)

N = N div d (为整除运算)

栈非常重要的一个应用是在程序设计语言中用来实现递归。递归是指在定义自身的同时又出现了对自身的调

递归函数

很多数学函数是递归定义的，

一个函数调用另一个函数时，在运行被调用函数之前，系统做的工作有：

保留本层参数与返回地址（将所有的实在参数、返回地址等信息传递给被调用函数保存）给下层参数赋值（为被调用函数的局部变量分配存储区）；

将程序转移到被调函数的入口。

恢复上层参数（释放被调函数的数据区）

依照被调函数保存的返回地址，将控制转移回调用函数。

当多个函数调用时按后调用先返回的原则。

中的任何一个塔座上；

任何时刻都不能将一个较大的圆盘压在较小的圆盘之上。

时，问题比较简单，只要将编号为

2 if(n==1)

3 move(x,1,z); /* 的圆盘从X Z */

4 else {

5 hanoi(n-1,x,z,y); /* 的圆盘移到 */

6 move(x,n,z); /* Z */

7 hanoi(n-1,y,x,z); /* 的圆盘移动到作辅助塔 */

算法：

下面给出三个盘子搬动时

hanoi(2,A,C,B):

hanoi(1,A,B,C) move(A->C) 1

move(A->B) B

hanoi(1,C,A,B) move(C->B) 1号搬到

hanoi(1,B,C,A) move(B->A)

move(B->c) 2C

hanoi(1,A,B,C) move(A->C) C

递归问题的优点

通过上面的例子可看出，递归既是强有力的数学方法，也是程序设计中一个很有用的工具。对递归问题描述简捷，结构清晰，程序的正确性容易证明。

递归算法求解问题的要素

递归算法就是算法中有直接或间接调用算法本身的算法。递归算法的要点如下：问题具有类同自身的子问题的性质，被定义项在定义