高考专题：感生电场

例1

在电磁感应现象中，感应电动势分为动生电动势和感生电动势两种。产生感应电动势的那部分导体就相当于“电源”，在“电源”内部非静电力做功将其它形式的能转化为电能。

（1）利用图甲所示的电路可以产生动生电动势。设匀强磁场的磁感应强度为B ，导体棒ab 的长度为L ，在

外力作用下以速度v 水平向右匀速运动。请从法拉第电磁感应定律出发推导动生电动势E 的表达式；

甲 乙 丙

（2）磁场变化时会在空间激发感生电场，该电场与静电场不同，其电场线是一系列同心圆，如图乙中的

虚线所示。如果此刻空间存在导体，就会在导体中产生感应电流。如图丙所示，一半径为r 、单位长度电阻为R 0的金属导体环垂直放置在匀强磁场中，当磁场均匀增强时，导体环中产生的感应电流为I 。请你判断导体环中感应电流的方向（俯视）并求出磁感应强度随时间的变化率

； （3）请指出在（1）（2）两种情况下，“电源”内部的非静电力分别是哪一种作用力；并分析说明在感生

电场中能否像静电场一样建立“电势”的概念。 解：（1）根据法拉第电磁感应定律可得感应电动势E t

φ

∆=

∆ ① 设导体向右运动了t ∆时间，则这段时间内磁通量的变化量=BLv t φ∆∆ ② 联立①②式可得： E =BLv ③ （5分） （2）根据楞次定律可以判断导体环中感应电流的方向为顺时针方向。

根据法拉第电磁感应定律，电路产生的感生电动势2B

E r t

π∆'=∆ ④ 导体环的总电阻02R rR π'= ⑤ 根据闭合电路欧姆定律，电路中的电流=E I R '

'

⑥ 联立④⑤⑥式可得：

02R I

B t r

∆=

∆ ⑦ （8分） （3）在（1）中非静电力是洛伦兹力沿导体棒方向的分力；在（2）中非静电力是感生电

场力。

在感生电场中不能建立“电势”的概念。因为在感生电场中电荷沿电场线运动一周，感生电场力做功不

为零，即感生电场力做功与路径有关，因此无法建立“电势能”的概念，也就无法建立“电势”的概念。 （5分） 23．（18分）

电源是通过非静电力做功把其它形式的能转化为电势能的装置，在不同的电源中，非静电力做功的本领也不相同，物理学中用电动势来表明电源的这种特性。

B

t

∆∆

B O r

B

（1）如图1所示，固定于水平面的U 形金属框架处于竖直向下

的匀强磁场中，磁感应强度为B ，金属框两平行导轨间距为l 。金属棒MN 在外力的作用下，沿框架以速度v 向右做匀速直线运动，运动过程中金属棒始终垂直于两平行导轨并接触良好。已知电子的电荷量为e 。

a. 请根据法拉第电磁感应定律，推导金属棒MN 切割磁感

线产生的感应电动势E 1；

b ．在金属棒产生电动势的过程中，请说明是什么力充当非静电力，并求出这个非静电 力F 1的大小。

（2）由于磁场变化而产生的感应电动势，也是通过非静电力做功而实现的。在磁场变化时产生的电场与静

电场不同，它的电场线是闭合的，我们把这样的电场叫做感生电场，也称涡旋电场。在涡旋电场中电场力做功与路径有关，正因为如此，它是一种非静电力。如图2所示，空间存在一个垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B 0，磁场区域半径为R 。一半径为r 的圆形导线环放置在纸面内，其圆心O 与圆形磁场区域的中心重合。已知电子的电荷量为e 。 a. 如果磁感应强度B t 随时间t 的变化关系为B t =B 0+kt 。求圆形导

线环中的感应电动势E 2的大小；

b ．上述感应电动势中的非静电力来自于涡旋电场对电子的作用。 求上述导线环中电子所受非静电力F 2的大小。

（1）a. （5分）在△t 内金属棒由原来的位置MN 移到M 1 N 1，如图所示。 这个过程中金属框和棒所围面积的变化量是 ∆s = lv ∆t

则穿过闭合电路的磁通量的变化量是

φ∆=B ∆s =Blv ∆t

根据法拉第电磁感应定律1E t

φ∆=∆ 由此得到感应电动势E 1 =Blv

b. （4分）金属棒MN 向右切割磁感线时，棒中的电 子受到沿棒向下的洛仑兹力，是这个力充当了非静 电力。

非静电力的大小F 1 = Bev

（2）a. （4分）由B t =B 0+kt 得

=B k t

∆∆ 根据法拉第电磁感应定律2E t φ'

∆=

'

∆ 解得222r B

E r k t

ππ∆=

=∆

b. （5分）在很短的时间内电子的位移为△s ，非静电力对电子做的功为F 2∆s

图2

O

r R

B

M

N 图1

v

B M N v

M 1

N 1

B

M

N v F 1

q B

电子沿着导线环运动一周，非静电力做的功22=2W F s F r π∑∆=⋅非 根据电动势定义2W E e

=非

联立解得2=

2

kre

F

20．如图所示，在圆柱形区域内存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度的大小B 随时间t 的变化关系为B ＝B 0+kt ，其中B 0、k 为正的常数。在此区域的水平面内固定一个半径为r 的圆环形内壁光滑的细玻璃管，将一电荷量为q 的带正电小球在管内由静止释放，不考虑带电小球在运动过程中产生的磁场，则下列说法正确的是c

A ．从上往下看，小球将在管内沿顺时针方向运动，转动一周的过程中动能增量为2qkπr

B ．从上往下看，小球将在管内沿逆时针方向运动，转动一周的过程中动能增量为2qkπr

C ．从上往下看，小球将在管内沿顺时针方向运动，转动一周的过程中动能增量为qkπr 2

D ．从上往下看，小球将在管内沿逆时针方向运动，转动一周的过程中动能增量为qkπr 2

在如图甲所示的半径为r 的竖直圆柱形区域内，存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小随时间的变化关系为B =kt （k >0且为常量）。

（1）将一由细导线构成的半径为r 、电阻为R 0的导体圆环水平固定在上述磁场中，并使圆环中心与磁场区域的中心重合。求在T 时间内导体圆环产生的焦耳热。

（2）上述导体圆环之所以会产生电流是因为变化的磁场会在空间激发涡旋电场，该涡旋电场趋使导体内的自由电荷定向移动，形成电流。如图乙所示，变化的磁场产生的涡旋电场存在于磁场内外的广阔空间中，其电场线是在水平面内的一系列沿顺时针方向的同心圆（从上向下看），圆心与磁场区域的中心重合。在半径为r 的圆周上，涡旋电场的电场强度大小处处相等，并且可以用2E r

ε

π=

涡计算，其中ε为由于磁场变化在半径为r 的导体圆环中产生的感生电动势。如图丙所示，在磁场区域的水平面内固定一个内壁光滑的绝缘环形真空细管道，其内环半径为r ，管道中心与磁场区域的中心重合。由于细管道半径远远小于r ，因此细管道内各处电场强度大小可视为相等的。某时刻，将管道内电荷量为q 的带正电小球由静止释放（小球的直径略小于真空细管道的直径），小球受到切向的涡旋电场力的作用而运动，该力将改变小球速度的大小。该涡旋电场力与电场强度的关系和静电力与电场强度的关系相同。假设小球在运动过程中其电荷量保持不变，忽略小球受到的重力、小球运动时激发的磁场以及相对论效应。 ○1若小球由静止经过一段时间加速，获得动能E m ，求小球在这段时间内在真空细管道内运动的圈数；

②若在真空细管道内部空间加有方向竖直向上的恒定匀强磁场，小球开始运动后经过时间t 0，小球与环

形真空细管道之间恰好没有作用力，求在真空细管道内部所加磁场的磁感应强度的大小。

24. （20分）

（1）导体圆环内的磁通量发生变化，将产生感生电动势，根据法拉第电磁感应定律，感生电动势

2()BS B S r k t t t

φεπ∆∆∆=

===∆∆∆…………………………………………………（2分） 导体圆环内感生电流2

00

k r I R R ε

π==

……………………………………………………（1分） 在T 时间内导体圆环产生的焦耳热Q=I 2R 0T ………………………………………………（2分）

解得：224

T k r Q R π=………………………………………………………………………（1分）（2）①根据题意可知，磁场变化

将在真空管道处产生涡旋电场，该电场的电场强度

22

kr

E r επ=

=………………………………………………………………………………（2分） 小球在该电场中受到电场力的作用，电场力的大小2

kqr

F Eq ==

……………………（1分） 电场力的方向与真空管道相切，即与速度方向始终相同，小球将会被加速，动能变大。设小球由静止到其动能为E m 的过程中，小球运动的路程为s ，

根据动能定理有Fs=E m ……………………………………………………………………（2分）

小球运动的圈数r

s N π2=

…………………………………………………………………（1分）

解得：m

2

E N kq r π=

…………………………………………………………………………（2分）

②小球的切向加速度大小为 2F kqr

a m m

=

=

……………………………………………（2分） 由于小球沿速度方向受到大小恒定的电场力，所以经过时间t 0，

小球的速度大小v 满足v =at 0…………………………………………………………（1分）

小球沿管道做圆周运动，因为小球与管道之间没有相互作用力，所以，小球受到的洛伦兹力提供小球的向心力，设所加磁场的磁感应强度为B 0，

则有qvB 0=mv 2/r ………………………………………………………………………（2分）

解得：B 0=kt 0/2…………………………………………………………………………（1分）

例2变化的磁场可以激发感生电场，电子感应加速器就是利用感生电场使电子加速的设备。它的基本原理如图所示，上、下为两个电磁铁，磁极之间有一个环形真空室，电子在真空室内做圆周运动。电磁铁线圈电流的大小、方向可以变化，在两极间产生一个由中心向外逐渐减弱、而且变化的磁场，这个变化的磁场又在真空室内激发感生电场，其电场线是在同一平面内的一系列同心圆，产生的感生电场使电子加速。图1中上部分为侧视图、下部分为俯视图。已知电子质量为m 、电荷量为e ，初速度为零，电子圆形轨道的半径为R 。穿过电子圆形轨道面积的磁通量Φ随时间t 的变化关系如图2所示，在t 0 时刻后，电子轨道处的磁感应强度为B 0，电子加速过程中忽略相对论效应。（1）求在t 0 时刻后，电子运动的速度大小；

（2）求电子在整个加速过程中运动的圈数；

（3）电子在半径不变的圆形轨道上加速是电子感应加速器关键技术要求。试求电子加速过程中电子轨道处的磁感应强度随时间变化规律。

当磁场分布不均匀时，可认为穿过一定面积的磁通量与面积的比值为平均磁感应强度B 。请进一步说明在电子加速过程中，某一确定时刻电子轨道处的磁感应强度与电子轨道内的平均磁感应强度的关系。

【例3】.电子感应加速器工作原理如图1所示（上图为侧视图、下图为真空室的俯视图）它主要有上、下电磁铁磁极和环形真空室组成。当电磁铁绕组通以交变电流时,产生交变磁场，穿过真空盒所包围的区域内的磁通量也随时间变化，这时真空盒空间内就产生感应涡旋电场。电子将在涡旋电场作用下得到加速。 (1)设被加速的电子被“约束”在半径为

的圆周上运动，整个圆面区域内的平均磁感应强

度为B

̅，求电子所在圆周上的感生电场场强的大小与B ̅的变化率满足什么关系。 （2）给电磁铁通入交变电流，一个周期内电子能被加速几次？

（3）①在（1）条件下，为了维持电子在恒定的轨道上加速，电子轨道处的磁场B r 应满足什么关系？

②已知在一个轨道半径为r=0.84m 的电子感应加速器中，电子在被加速的

4.2ms(=4.2×10−3s)时间内获得的能量为120MeV 。设在这期间电子轨道内的高频交变磁场是线性变化的，磁通量的最小值为零，最大值为1.8Wb ，试求电子在加速器中共绕行了多少周？

练习麦克斯韦电磁理论认为：变化的磁场会在其周围空间激发一种电场，这种电场与静电场不同，称为感生

电场或涡旋电场，如图甲所示。

Φ t

t 0 Φ0

S

N

真空室

电子轨道

电子枪

（1）若图甲中磁场B 随时间t 按B =B 0+kt （B 0、k 均为正常数）规律变化，形成涡旋电场的电场线是一系列

同心圆，单个圆上形成的电场场强大小处处相等。将一个半径为r 的闭合环形导体置于相同半径的电场线位置处，导体中的自由电荷就会在感生电场的作用下做定向运动，产生感应电流，或者说导体中产生了感应电动势。求： a. 环形导体中感应电动势E 感大小； b. 环形导体位置处电场强度E 大小。

（2）电子感应加速器是利用感生电场使电子加速的设备。它的基本原理如图乙所

示，图的上部分为侧视图，上、下为电磁铁的两个磁极，磁极之间有一个环形真空室，电子在真空室中做圆周运动。图的下部分为真空室的俯视图，电子从电子枪右端逸出，当电磁铁线圈电流的大小与方向变化满足相应的要求时，电子在真空室中沿虚线圆轨迹运动，不断地被加速。

若某次加速过程中，电子圆周运动轨迹的半径为R ，圆形轨迹上的磁场为B 1，圆形轨迹区域内磁

场的平均值记为2B （由于圆形轨迹区域内各处磁场分布可能不均匀，2B 即为穿过圆形轨道区域内的磁通量与圆的面积比值）。电磁铁中通有如图丙所示的正弦交变电流，设图乙装置中标出的电流方向为正方向。

a. 在交变电流变化一个周期的时间内，分析说明电子被加速的时间范围；

b. 若使电子被控制在圆形轨道上不断被加速，B 1与2B 之间应满足B 1=

2

1

2B 的关系，请写出你的证明过程。

．（1）a 、t r B t B S t E ∆∆=∆∆=∆∆=2πϕ感 k t

B

=∆∆ 所以：2r k E π=感 b 、由 r F W π2电电=

感电eE W = （3分）

e F E 电= 所以2

222kr r r k r E E ===

πππ感 （2分） （2）a ．B 1和2B 是由同一个电流产生的，因此磁场方向总相同； 由图2可知：B 1处的磁场向上才可能提供做圆周运动的向心力（时间0～

2

T

）； 由图2可知：感生电场的电场线方向顺时针电子才可能加速，所以2B 可以是向上增强（时间0～

4

1T ） T/2 T

I m

-I m

t / s

i/A T/4 3T/4 图甲

图乙 图丙 磁场增强 涡旋电场 i

S

N

真空室

电子轨道

电子枪

或向下减弱（时间

4

3

T ～T ）； 综上三点可知：磁场向上增强才能满足在圆周上的加速，因此根据图3可知只能在第一个四分之一周期加速。 （5分）

b ．做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供：设某时刻电子运动的速度为v

则 R

v m ev B 2

1= mv eR B =1 ①

由（1）问中的b 结论可得，此时轨道处的感生电场场强大小t

B R E ∆∆=

22

① 对①式

eE ma t

v

m t B eR

===∆∆∆∆1 所以：t

B R e t B eR

∆∆∆∆2121=

t

B t B ∆∆=

∆∆22

1 因为t =0时：B 1=0、B

2 =0，所以有212

1

B B = （5分）