波函数的概率解释
1.2.3 波函数的概率解释
内容更新如下：
关于物质波Ψ的物理意义, 目前流行的是1954年 M.Born作出的解释：Ψ*Ψ(q,t)代表时刻t在空间q点粒子出现的概率密度（Ψ*代表Ψ的共轭复数），相应地, Ψ*(q,t)Ψ(q,t)dτ是时刻t在空间q点附近微体积元dτ内粒子出现的概率；若将概率密度对于整个空间积分，就得到粒子在整个空间出现的概率，对于归一化波函数, ∫Ψ*(q,t)Ψ(q,t)dτ=1，这是不言而喻的，既然粒子存在于空间中，这种概率必然为1。概率是无量纲的纯数，而概率密度的量纲是V-1或L-3，V代表体积，L代表长度。
由于对波函数的这一概率解释, M. Born获1954年诺贝尔物理学奖。现在, 量子力学中称Ψ为波函数, 认为这种波动形式是一种概率波, 而de Broglie波、相位波或物质波这些称呼已逐渐成为历史，尽管它们还不时出现在某些文献中。
波函数、概率密度的概念对于推动化学由纯经验学科向理论学科发展起着极为重要的作用。现代化学中广泛使用的原子轨道（Atomic Orbital, AO）、分子轨道（Molecular Orbital, MO）, 就是描述原子、分子中电子运动的单电子波函数。这里的“轨道”一词已经没有经典物理意义上哪种确切轨迹的含义，而是一种“轨函”即轨道函数，在英文中称为Orbital，以区别于具有确切轨迹的轨道（Orbit）。图1-6是氢原子的一部分原子轨道，最后一图是萘的一条大π分子轨道，图形上亮、暗部分分别代表波函数值的正和负，即轨道的位相。
“电子云”就是概率密度，因此，图形上没有正负之分，图1-9是萘的一条分子轨道的电子云。
翻开一本现代化学文献, 随处都可以看到这些术语, 没有这种语言,许多重要的化学问题几乎都无法讨论。为什么Ψ的物理意义要用一种概率解释呢?在经典力学中也广泛地应用概率, 然而, 经典力学中的基本定律都是决定性的, 统计力学的任务, 在于从对物质微观结构和相互作用的认识出发，说明或预言由大量粒子组成的宏观物体的物理性质。当物质的量大到阿伏伽德罗常数的数量级时, 粒子数目多到不可能直接求解其力学方程，就需要用概率统计的方法去研究。但在量子力学中, 按照哥本哈根学派的观点, 概率则是原则性的, 是基本的东西。我们将会看到, 即使象氢原子中的电子这样简单的体系, 也必须用概率描述。微观世界中的概率与不确定原理有关。
统计学名词解释
统计学名词解释 第一章绪论 1.随机变量：在统计学上，把取值之间不能预料到什么值的变量。 2.总体：又称母全体、全域，指具有某种特征的一类事物的全体。 3.个体：构成总体的每个基本单元称为个体。 4.样本：从总体中抽取的一部分个体，称为总体的一个样本。 5.次数：指某一事件在某一类别中出现的数目，又称为频数。 6.频率：又称相对次数，即某一事件发生的次数被总的事件数目除，亦即某一数据出现的次数被这一组数据总个数去除。 7.概率：某一事物或某一情在某一总体中出现的比率。 8.观测值：一旦确定了某个值。就称这个值为某一变量的观测值。 9.参数：又称为总体参数，是描述一个总体情况的统计指标。 10.统计量：样本的那些特征值叫做统计量，又称特征值。 第二章统计图表 1.统计表：是由纵横交叉的线条绘制，并将数据按照一定的要求整理、归类、排列、填写在内的一种表格形式。一般由表号、名称、标目、数字、表注组成。 2.统计图：一般采用直角坐标系，通常横轴表示事物的组别或自变量x，称为分类轴。纵轴表示事物出现的次数或因变量，称为数值轴。一般由图号及图题、图目、图尺、图形、图例、图组成。 3.简单次数分布表：依据每一个分数值在一列数据中出现的次数或总计数资料编制成的统计表，适合数据个数和分布范围比较小的时候用。 4.分组次数分布表：数据量很大时，应该把所有的数据先划分在若干区间，然后将数据按其数值大小划归到相应区域的组别内，分别统计各个组别中包括的数据个数，再用列表的形式呈现出来，适合数据个数和分布范围比较大的时候用。 5.分组次数分布表的编制步骤： （1）求全距 （2）定组距和组数 （3）列出分组组距 （4）登记次数 （5）计算次数 6.分组次数分布的意义： （1）优点：A．可将杂乱无章数据排列成序，以发现各数据的出现次数及分布状况。B．可显示一组数据的集中情况和差异情况等。 （2）缺点：原始数据不见了，从而依据这样的统计表算出的平均值会与用原始数据算出的值有出入，出现误差，即归组效应。 7.相对次数分布表：用频数比率或百分数来表示次数 8.累加次数分布表：把各组的次数由下而上，或由上而下加在一起。最后一组的累加次数等于总次数。 9.双列次数分布表：对有联系的两列变量用同一个表表示其次数分布。
§16.2 物质波的波函数,玻恩的统计解释
§16.2 物质波的波函数，玻恩的统计解释 （一）物质波的波函数ψ（r ，t ） 在第三篇§10.1（四）已谈过，一个频率为ν、波长为λ，沿x 轴传播的平面简谐机械波，其中各个质点的振动位移函数y （x ，t ）可表示如下： () -νπ=??????x t 2cos A )t ,x (y 机械波的位移函数单频率平面简谐 （16.2.1） 此式的y 表示：t 时刻、在x 位置的质点，离开平衡位置的位移．A 为质点的振幅．我们曾经用此式计算机械波的能量和干涉现象等． 在第三篇§11.1（一）描述电磁波时，将上式的y 改为电场强度E y 和磁场强度H z ： ??????电磁波的表式单频率平面 ()() λ-νπ=λ-νπ=x t 2c o s H H x t 2c o s E E 0z z 0y y 利用复数的欧拉公式，可将上述余弦函数与指数函数联系起来?： 〔欧拉公式：〕 （16.2.4） 根据上式可把上述机械波和电磁波表式写成复数形式，例如： 〔单频率平面机械波的复数表式〕)/x t (2i Ae )t ,x (y λ-νπ-=（16.2.5） 表式（16.2.1）就是（16.2.5）复数表式的实数部分． 可以设想，物质波的波函数ψ（x ，t ）也可仿照上式写出： ??????其物质波的波函数轴运动的自由粒子 沿,x （16.2.6） 这里所说自由粒子，指的是没受外力作用的微观粒子，它的总能 ε和动量p 都是不变量，与它缔合的物质波的频率ν和波长λ也是不变量．按波粒二象性的关系式（16.1.4）和（16.1.5），可用ε和p 代替（16.2.6）式中的ν和λ： ??????其物质波的波函数轴运动的自由粒子沿,x 16.2.7） 物质波的波函数要用复数表式，其原因请看（16.3.3）式后面的说明． 如果自由粒子在三维空间中运动，则上式的px 应改为p ·r ，波函数应写为ψ（x,y,z,t ）或ψ（r ，t ）： ??????自由粒子的波函数在三维空间中运动的 （16.2.8） ? 同济大学数学教研室主编《高等数学》下册223—224页，1978年版. （16.2.2） （16.2.3）
概率论与数理统计习题
一 、名词解释 1、样本空间：随机试验E 的所有可能结果组成的集合，称为E 的样本空间。 2、随机事件：试验E 的样本空间S 的子集，称为E 的随机事件。 3、必然事件：在每次试验中总是发生的事件。 4、不可能事件：在每次试验中都不会发生的事件。 5、概率加法定理：P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 6、概率乘法定理：P(AB)=P(A)P(B │A) 7、随机事件的相互独立性:若P(AB)=P(A)P(B)则事件A,B 是相互独立的。 8、实际推断原理：概率很小的事件在一次试验中几乎是不会发生的。 9、条件概率：设A ，B 是两个事件，且P(A)>0，称P(B │A)=()()A P AB P 为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。 10、全概率公式： P(A)= () ) /(1 B B i A P n i i P ∑= 11、贝叶斯公式： P(Bi │A)= ()( ) ∑=?? ? ????? ?? n i j A P j P i A P i P B B B B 1 12、随机变量：设E 是随机试验，它的样本空间是S=﹛e ﹜。如果对于每一个e ∈S,有一个实数X(e)与之对应，就得到一个定义的S 上的单值实值函数X=X(e),称为随机变量。 13、分布函数：设X 是一个随机变量，χ是任意实数，函数F(χ)=P(X ≤χ)称为X 的分布函数。 14、随机变量的相互独立性：设(χ,у)是二维随机变量 ，如果对于任意实数χ,у，有F(χ,у)=F x (χ)·F y (у)或 f (χ,у)= f x (χ)·f y (у)成立。则称为X 与Y 相互独立。 15、方差：E ﹛〔X-E(χ)〕2〕 16、数学期望：E(χ)= ()dx x xf ?∞ -+∞ (或)= i p i i x ∑+∞ =1 17、简单随机样本：设X 是具有分布函数F 的随机变量，若χ1 , χ2 … , χn 是具有同一分布函数F 的相互独立的随机变量，则称χ1 , χ2 … , χn 为从总体X 得到的容量为n 的简单随机样本。 18、统计量：设χ1 , χ2 … , χn 是来自总体X 的一个样本，g(χ1 , χ2 … , χn )是χ1 , χ2 … , χn 的函数，若g 是连续函数，且g 中不含任何未知参数，则称g(χ1 , χ2 … , χn )是一统计量。 19、χ2(n)分布：设χ1 , χ2 … , χn 是来自总体N(0,1)的样本，则称统计量 χ2=n x x x 2......2212++ , 服从自由度为n 的χ2分布，记为χ2～χ2 (n). 20、无偏估计量：若估计量θ=θ(χ1 , χ2 … , χn )的数学期望E(θ)存在，且对任意θ ∈ (H)有E(θ)=θ,则称θ是θ的无偏估计量。 二、填空： 1、随机事件A 与B 恰有一个发生的事件A B ∪ A B 。 2、随机事件A 与B 都不发生的事件是A B 3、将一枚硬币掷两次，观察两次出现正反面的情况，则样本空间S= （正正）（正反）（反正）（反反） 。 4、设随机事件A 与B 互不相容，且P(A)=0.5，P(B)=31,则 P(A ∪ B)=65P (AB)=0。 5、随机事件A 与B 相互独立，且P(A)= 3 1 ,P(B)=51，则P （A ∪ B ）= 15 7。 6、盒子中有4个新乒乓球，2个旧乒乓球，甲从中任取一个用后放回（此球下次算旧球），乙再从中取一个，那么乙取到新 球的概率是95 。 4 8、若X 的分布函数是F(x)=P(X ≤ x) , x ∈ (-∝,+∝) 则当x 1 ≤ x 2 时，P （x 1 波函数的统计解释 一．波动－粒子二重性矛盾的分析 物质粒子既然是波，为什么长期把它看成经典粒子，没犯错误？ 实物粒子波长很短，一般宏观条件下，波动性不会表现出来。到了原子世界（原子大小约1A）,物质波的波长与原子尺寸可比，物质微粒的波动性就明显的表现出来。 传统对波粒二象性的理解： （1）物质波包物质波包会扩散，电子衍射，波包说夸大了波动性一面。 （2）大量电子分布于空间形成的疏密波。电子双缝衍射表明，单个粒子也有波动性。疏密波说夸大了粒子性一面。 对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。 二．波函数的统计解释 1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。既描写粒子的波叫几率波。 描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。 几率波的概念将微观粒子的波动性和粒子性统一起来。微观客体的粒子性反映微观客体具有质量，电荷等属性。而微观客体的波动性，也只反映了波动性最本质的东西：波的叠加性（相干性）。 描述经典粒子：坐标、动量，其他力学量随之确定； 描述微观粒子：波函数，各力学的可能值以一定几率出现。 设波函数描写粒子的状态，波的强度，则在时刻t、在坐标x 到x+dx、y到y+dy、z到z+dz的无穷小区域内找到粒子的几率表示为，应正比于体积和强度 归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。 归一化常数可由归一化条件确定 重新定义波函数， 叫归一化的波函数。 在时刻t、在坐标 (x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率称为几率密度，用 精心整理 第一课 随机试验：可重复进行；试验结果不止一个且无法事先断定；但所有可能结果是可知的。每一种结果称为一个随机事件。 随机现象：自然界中的客观现象，当人们观测它时，所得结果不能预先确定，而仅仅是多种可能结果之一 随机试验： 基本事件： 必然事件：肯定会出现的事件 不可能事件： 随机事件： 组成 相容： 不相容： 第二课 概率：概率又称或然率机会率机率或可能性，是概率论的基本概念。同时，概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小 主观概率：与主观臆测不同，这种相信的程度虽是种主观的，但又是根据经验、各方面知识，对客观情况进行分析、推理、综合判断而作出的 第三课 条件概率：设事件A和B是随机试验Ω中的两个事件，则A事件发生的前提下，B事件发生的概率 主观概率：主观概率估计是贝叶斯决策理论中的重要概念，在不完全情报下，用主观估计，再利用期望和概率修做出最优决策，在许多领域中有着广泛应用 贝努里（伯努利）概率模型：每次试验只有A事件发生和不发生两种结果，独立地做了n次重复试验。在n次试验中A出现 其中p为每次试验中A 随机变量：设随机试验的样本空间为。是定义在样本空间上的实值单值函数，则称为随机变量为随机变量 离散型随机变量： 即，期望通常与每一个样本结果都不相等 大数定理：是——叙述随机变量序列的前一些项的算术平均值，在某种条件下收敛到这些项的算术平均值，在某种条件下收敛到这些项的均值（期望）的算术平均值——的定理 总的来说，关于大量随机现象的平均结果稳定性的定理，统称大数定理 第六课 中心极限定理：概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理 第七课 总体：总体是我们所研究对象的所有个体之和；而样本是从中抽取的一部分个体。若总体中个体数目有限，则称为有限总体，否则为无限总体 总体本质上可以看作是某种数量指标的集合 第八课 点估计： 极大似然法： 个给定样本的可能性最大 点估计： 区间估计 弃真错误：原假设本来是正确的，但由于ɑ取值过大，导致结果落在小概率内，拒绝了它，称弃真错误 取伪错误：原假设本来是错误的，但由于ɑ取值较小，反而接受了它，称取伪错误点估计：直接以样本统计量作为相应总体参数的估计值；缺陷是没法给出估计的可靠性，也没法说出点估计值与总体参数真实值接近的程度 1. 总体(population)：根据研究目的所确定的同质观察单位的全体。只包括(确定的时间和空间范围内)有限个观察单位的总体，称为有限总体(finite population)。假想的，无时间和空间概念的，称为无限总体(infinite population)。 2. (总体)参数(parameter)：总体的统计指标或特征值。总体参数是事物本身固有的、不变的。 3. 样本(sample)：从总体中随机抽取的部分个体。 4. 样本含量(sample size)：样本中所包含的个体数。 5. 变量(variable)：观察对象个体的特征或测量的结果。由于个体的特征或指标存在个体差异，观察结果在测量前不能准确预测，故称为随机变量(random variable)，简称变量(variable)。变量的取值称为变量值或观察值(observation)。根据变量的取值特性，分为数值变量和分类变量。 6. 数值变量(Numerical variable)：又称为计量资料、定量资料，指构成其的变量值是定量的，其表现为数值大小，有单位。对每个观察单位用定量的方法测定某项指标的数值，组成的资料。 7. 计数资料：将全体观测单位按照某种性质或特征分组，然后再分别清点各组观察单位的个数。 8. 抽样(sampling)：从总体中抽取部分观察单位的过程称为抽样。 9. 抽样误差(sampling error)：由于抽样造成的统计量与参数之间的差别，特点是不能避免的，可用标准误描述其大小。 10. 误差(error)：统计上所说的误差泛指测量值与真值之差，样本指标与总体指标之差。主要有以下二种：系统误差和随机误差 。 11. 可信区间(confidence interval, CI)：按一定的概率或可信度(1-α)用一个区间估计总体参数所在范围，这个范围称作可信度1-α的可信区间，又称置信区间。 12. 总体均数的可信区间：按一定的概率大小估计总体均数所在的范围(CI)。常用的可信度为95％和99％，故常用95％和99％的可信区间。 13. 变异(variation)：同质事物间的差别。由于观察单位通常即为观察个体，故变异亦称为个体变异(individual variation)。 16. 平均数(average)：也叫平均值，是一组(群)数据典型或有代表性的值。这个值趋向于落在根据数据大小排列的数据的中心，包括算术平均数(arithmetic mean)、几何平均数(geometric mean)、中位数(median)等。 17. 中位数(median)：将一组观察值按升序或降序排列，位次居中的数，常用M 表示。适用于偏态分布资料或不规则分布资料和开口资料。所谓“开口”资料，是指数据的一端或两端有不确定值。当n 为奇数时，M=X (n+1)/2；当n 为偶数时，M=[X n/2+ X n/2+1]/2。 18. 百分位数(percentile)：是一种位置指标，以P x 表示，一个百分位数Px 将全部观察值分为两个部分，理论上有x%的观察值小于Px 小，有(1-x%)的观察值大于Px 。 19. 变异系数(coefficient of variance, CV)：亦称离散系数(coefficient of dispersion)，为标准差与均数之比，常用百分数表示。100%X s/CV ?=, 变异系数没有度量衡单位，常用于比较度量单位不同或均数相差悬殊的两组或多组资料的离散程度。 20. 频率(relative frequency)：在n 次随机试验中，事件A 发生了m 次，则比值 22. 概率(probability)：在重复试验中，事件A 的频率，随着试验次数的不断增加将愈来愈接近一个常数p ，这个常数p 就称为事件A 出现的概率(probability)，记作P(A)或P 。 描述随机事件发生的可能性大小的数值，常用P 来表示。 23. 统计量(statistic)：由样本所算出的统计指标或特征值。 24. 相关系数(correlation coefficient)：用以说明具有直线关系的两个变量间相关关系的密切程度和相关方向的指标，称为相关系数，又称为积差相关系数(coefficient of product-moment correlation)，总体相关系数用希腊字母ρ表示，而样本相关系数用r 表示，取值范围均为[-1, 1]。 25. 回归系数(regression coefficient)：直线回归方程Y ?= a+b X 的系数b 称为回归系数，也就是回归直线的斜率(slope)，表示X 每增加一个单位，Y 平均改变 b 个单位。 26. 参考值范围(reference range)：也称为正常值范围(normal range)，医学上常把绝大多数正常人的某指标值范围称为该指标的正常值范围。绝大多数：可以是90%、95%、99%等等，最常用的是95%。正常人：不是指健康人，而是指排除了影响所研究指标的疾病和有关因素的同质人群。又称参考值范围，是指特定健康人群的解剖、生理、生化等各种数据的波动范围。习惯上是确定包括95%的人的界值。 28. 统计推断(statistic inference)：从总体中随机抽取一定含量的样本进行研究，目的是通过样本的信息判断总体的特征，这一过程称为统计推断。 29. 标准误(standard error, SE)：在统计理论上将样本统计量的标准差称为标准误，用来衡量抽样误差的大小。据此，样本均数的标准差X σ称为标准误。 30. 参数估计(parameter estimation)：由样本信息估计总体参数。它包括两种：点估计和区间估计。 点估计：直接用样本统计量作为对应的总体参数的估计值。 区间估计：按一定的概率或可信度(1-α)用一个区间估计总体参数所在范围，这个范围称作可信度1-α的可信区间(confidence interval, CI )，又称置信区间。这种估计方法称为区间估计。 33. 95%可信区间含义：如果重复若干次样本含量相同的抽样，每个样本均按同一方法构建95%可信区间，则在这些可信区间中，理论上有95个包含了总体参数，还有5个未估计到总体均数。 34.Ⅰ类错误(type Ⅰerror)：统计学上规定，拒绝了实际上成立的H 0，这类“弃真”的错误称为Ⅰ型错误或第一类错误，Ⅰ型错误的概率用α表示。 35.Ⅱ类错误(type Ⅱerror)：统计学上规定，不拒绝实际上不成立的H 0，这类“存伪”的错误称为Ⅱ型错误或第二类错误，Ⅱ型错误的概率用β表示。 36. 检验效能(power of a test)：又称把握度，即两总体确有差别，按α水准能发现它们有差别的能力。 37. 参数检验：总体分布已知，对其中一些未知参数进行估计或检验。这类统计推断的方法叫参数统计或参数检验。 38. 参数检验：假定比较数据服从某分布,通过参数的估计量(x , s)对比较总体的参数(μ)作检验，统计上称为参数法检验(parametric test)。如t 、u 检验、方差分析。 39. 率(rate)：又称频率指标，用以说明某现象发生的频率或强度。常以百分率(%)、千分率(‰)、万分率(1/万)、十万分率(1/10万)等表示。其计算公式为： 40. 构成比(proportion)：又称构成指标，它说明一种事物内部各组成部分所占的比重或分布，常以百分数表示。 41. 比(ratio)：又称相对比，是A 、B 两个有关指标之比，说明A 为B 的若干倍或百分之几，它是对比的最简单形式。其计算公式为：比=A/B 。 统计学（Statistics ）：运用概率论、数理统计的原理与方法，研究数据的搜集；分析；解释；表达 的科学。 总体（population ）：大同小异的研究对象全体。更确切的说，总体是指根据研究目的确定的、同质的全部研究单位的观测值。 样本（sample ）：来自总体的部分个体，更确切的说，应该是部分个体的观察值。样本应该具有代表性，能反映总体的特征。利用样本信息可以对总体特征进行推断。 一十种概率密度函数 function zhifangtu(x,m) %画数据的直方图,x表示要画的随机数,m表示所要画的条数%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% a=min(x); b=max(x); l=length(x); h=(b-a)/m; %量化x x=x/h; x=ceil(x); w=zeros(1,m); for i=1:l for j=1:m if (x(i)==j) %x(i)落在j的区间上，则w(j)加1 w(j)=w(j)+1; else continue end end end w=w/(h*l); z=a:h:(b-h); bar(z,w); title('直方图') function y=junyun(n) %0-1的均匀分布，n代表数据量，一般要大于1024 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% y=ones(1,n); x=ones(1,n); m=100000; x0=mod(ceil(m*rand(1,1)),m); x0=floor(x0/2); x0=2*x0+1; u=11; x(1)=x0; for i=1:n-1 x(i+1)=u*x(i)+0; x(i+1)=mod(x(i+1),m); x(i)=x(i)/m; end %x(n)单位化 x(n)=x(n)/m; y=x; function y=zhishu(m,n) %指数分布,m表示指数分布的参数,m不能为0.n表示数据量,n一般要大于1024 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% x=junyun(n); for i=1;n if (x(i)==0) x(i)=0.0001; else continue; end end u=log(x); y=-(1/m)*u; function y=ruili(m,n) %瑞利分布,m是瑞利分布的参数,n代表数据量,n一般要大于1024 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% x=junyun(n); for i=1:n if (x(i)==0) x(i)=0.0001; else continue; end end u=(-2)*log(x); y=m*sqrt(u); function y=weibuer(a,b,n) %韦布尔分布,a,b表示参数,b不能为0.n表示数据量,一般要大于1024 %a=1时,是指数分布 %a=2时,是瑞利分布%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% x=junyun(n); for i=1:n if (x(i)==0) x(i)=0.0001; else continue; end 单选题(共40 分) 1、在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（） (C) A、在H0不成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 B、在H0不成立的条件下，经检验H0被接受的概 率C、在H0成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率D、在H0成立的条件下，经检验H0被接受的概率2、设,AB是两个事件,且P(A)≤P(A|B),则有 (C) A、P(A)=P(A|B) B、P(B)>0 C、P(A|B)≥P(B) D、设,AB是两个事件 3、某中学为迎接建党九十周年,举行了”童心向党,从我做起”为主题的演讲比赛.经预赛,七、八年纪各有一名同学进入决赛,九年级有两名同学进入决赛,那么九年级同学获得前两名的概率是（）(A) A、1/6. B、1/5. C、1/4. D、1/3. 4、设,,ABC是三个相互独立的事件，且0 目录 1. 均匀分布 (1) 2. 正态分布（高斯分布） (2) 3. 指数分布 (2) 4. Beta分布（：分布） (2) 5. Gamm 分布 (3) 6. 倒Gamm分布 (4) 7. 威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布） (5) 8. Pareto 分布 (6) 9. Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) 2 10. 分布（卡方分布） (7) 8 11. t分布................................................ 9 12. F分布 ............................................... 10 13. 二项分布............................................ 10 14. 泊松分布（Poisson 分布）............................. 11 15. 对数正态分布........................................ 1. 均匀分布 均匀分布X ~U（a,b）是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。 2. 正态分布（高斯分布） 当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量 很可能服从正态分布，记作 X~N （」f 2）。正态分布为方差已知的正态分布 N （*2）的参数」的共轭先验分布。 1 空 f （x ）： —— e 2- J2 兀 o' E(X)， Var(X) _ c 2 3. 指数分布 指数分布X ~Exp （ ）是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其 中，.0为尺度参数。指数分布的无记忆性： Plx s t|X = P{X t}。 f （X ）二 y o i E(X) 一 4. Beta 分布（一：分布） f （X ）二 E(X) Var(X)= (b-a)2 12 Var(X)二 1 ~2 单选 题(共 40 分) 1、在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） (C) A、在H0不成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 B、在H0不成立的条件下，经检验H0被接受的概率 C、在H0成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 D、在H0成立的条件下，经检验H0被接受的概率 2、设,AB是两个事件,且P(A)≤P(A|B),则有 (C) A、P(A)=P(A|B) B、P(B)>0 C、P(A|B)≥P(B) D、设,AB是两个事件 3、某中学为迎接建党九十周年,举行了”童心向党,从我做起”为主题的演讲比赛.经预赛,七、八年纪各有一名同学进入决赛,九年级有两名同学进入决赛,那么九年级同学获得前两名的概率是（ ）(A) A、1/6. B、1/5. C、1/4. D、1/3. 4、设,,ABC是三个相互独立的事件，且0 名词解释 1.统计学：是应用概率论和数理统计的基本原理和方法，研究数据的收集、整 理、分析、表达和解释的一门科学。 2.医学统计学：是应用统计学的基本原理和方法，研究医学及其有关领域数据 信息的搜集整理、分析、表达和解释的一门科学。 3.抽样：是从研那个研究总体抽取少量有代表性的个体，称为抽样。 4.统计推断：是根据已知的样本信息来推断未知的总体，是统计分析的目的， 包括参数估计和假设检验。 5.总体：是根据研究目的确定的同质研究对象的全体。 6.概率：是随机事件发生可能性大小的数值度量。 7.同质：是指所研究的观察对象具有某些相同的性质或特征。 8.变异：是同质个体的某项指标之间的差异，即个体差异。 9.正态分布：频数分布的高峰在中间，两端基本对称，逐步减少，这种分布称 为近似正态分布，如果两端完全对称则称为正态分布。 10.医学参考值范围：又称正常值范围，医学上常将包括绝大多数正常人的某指 标值的波动范围称为该指标的正常值范围。 11.动态数列（dynamic series）：是按照一定的时间顺序，将一系列描述某事 物的统计指标依次排列起来，观察和比较该事物在时间上的变化和发展趋势，这些统计指标可以为绝对数、相对数或平均数。 12.人口金字塔：将人口的性别与年龄资料结合起来以图形的方式表达人口的性 别与年龄结构，以年龄为纵轴，人口百分比为横轴，左侧为男，右侧为女，两个对应的直方图，其形似金字塔。 13.负担系数（dependency ratio）:又称抚养比或抚养系数，是指人口中非劳 动年龄人数与劳动年龄人数之比。 14.标准化死亡比(SMR):实际死亡人数与期望死亡人数之比称为标准化死亡比。 精品文档 精品文档第一课 随机试验：可重复进行；试验结果不止一个且无法事先断定；但所有可能结果是可知的。每一种结果称为一个随机事件。 随机现象：自然界中的客观现象，当人们观测它时，所得结果不能预先确定，而仅仅是多种可能结果之一 随机试验：随机现象的实现和对它某个特征的观测（要求结果至少有2个，在试验和观测前不可预知，此外在相同条件下可以重复） 基本事件：不能分解的称为基本事件，随机试验中的每一个单一结果。基本事件的集合就称为基本事件空间或叫做样本空间，通用表示符号Ω 必然事件：肯定会出现的事件 不可能事件：肯定不会出现的事件 随机事件：简称事件，在随机试验中可能出现的各种结果，由个或若干个基本事件组成 相容：两个事件有可能同时发生 不相容：两个事件不可能同时发生 第二课 概率：概率又称或然率机会率机率或可能性，是概率论的基本概念。同时，概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小主观概率：与主观臆测不同，这种相信的程度虽是种主观的，但又是根据经验、各方面知识，对客观情况进行分析、推理、综合判断而作出的 第三课 条件概率：设事件A和B是随机试验Ω中的两个事件，则A事件发生的前提下，B事件发生的概率 主观概率：主观概率估计是贝叶斯决策理论中的重要概念，在不完全情报下，用主观估计，再利用期望和概率修做出最优决策，在许多领域中有着广泛应用 贝努里（伯努利）概率模型：每次试验只有A事件发生和不发生两种结果，独立地做了n 次重复试验。在n次试验中A出现k次的概率为 其中p为每次试验中A出现的概率 第四课 随机变量：设随机试验的样本空间为。是定义在样本空间上的实值单值函数，则称为随机变量为随机变量 离散型随机变量：把只能取有限个数，或排成有次序的无穷多个数（无限可列）的随机变量称为离散型随机变量 第五课 数学期望：简称期望又称为均值，也就是说，期望是随机试验在同样的情况下，根据重复多次的结果而计算出的以概率为权重的加权平均值，具有重要统计意义。需要注意的是，期望并不一定等同于常识中的“期望” 即，期望通常与每一个样本结果都不相等 大数定理：是——叙述随机变量序列的前一些项的算术平均值，在某种条件下收敛到这些项的算术平均值，在某种条件下收敛到这些项的均值（期望）的算术平均值——的定理 总的来说，关于大量随机现象的平均结果稳定性的定理，统称大数定理 目录 1. 均匀分布 ...................................................................................................... 1 2. 正态分布（高斯分布） ........................................................................... 2 3. 指数分布 ...................................................................................................... 2 4. Beta 分布（β分布） .............................................................................. 2 5. Gamma 分布 .............................................................................................. 3 6. 倒Gamma 分布 ......................................................................................... 4 7. 威布尔分布(Weibull 分布、韦伯分布、韦布尔分布) ..................... 5 8. Pareto 分布 ................................................................................................. 6 9. Cauchy 分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) 10. 2χ分布（卡方分布） (7) 11. t 分布 ......................................................................................................... 8 12. F 分布 ........................................................................................................ 9 13. 二项分布 ................................................................................................ 10 14. 泊松分布（Poisson 分布） .............................................................. 10 15. 对数正态分布 ....................................................................................... 11 1. 均匀分布 均匀分布~(,)X U a b 是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。 1 ()f x b a =- 1．社会统计学 社会统计学是运用统计学的一般原理，对社会各种静态结构和动态趋势进行定量描述或推断的一种专门方法与技术。人们既用它来分析已经发生和正在发生的现象，也用它来估计预测未来可能发生的现象。 2．国势学派 产生于德国，其创始人为康令和阿亨瓦尔。该学派一直以统计学为名，但只用文字记述，不用数字计量，历史上人们将该学派称为“有名无实”学派。 3．政治算术学派 该学派的创始人为英国人格朗特和威廉·配第。该学派“用数字、重量、尺度来表达自己想说的问题”，虽然没有使用统计学这一名词，但所使用的社会宏观数量对比和分析方法揭示了统计学所要研究的内容，因此历史上人们将这一学派称为“有实无名”学派。马克思对配第评价很高，誉他为“政治经济学之父，在某种程度上也可以说是统计学的创始人”。 4．数理统计学派 该学派的创始人未比利时人凯特勒，其最大的贡献就是将法国的古典概率论引入统计学，用纯数学的方法对社会现象进行研究。由于把概率论引进统计学，使社会随机现象数量方面的研究提高了准确性。因此，一门兼有数学和统计学双重意义的学科被命名为“数理统计学”。凯特勒也被人称为“现代统计学之父”。 5．大量观察法 大量观察法，就是就总体中足够多的单位进行调查和综合分析，用以反映社会总体的数量特征。大量观察法是统计调查阶段的重要方法 6．大数规律 大数规律是随机现象出现的基本规律，它的一般意义是：观察过程中每次取得的结果可 能不同（因为具有偶然性），但大量重复观察结果的平均值却几乎接近某个确定的数值。7．描述性统计 描述性统计，就是讨论范围仅以搜索的资料本身为限，而不予以扩大。早期的统计都是描述统计。 8．推论性统计 推论性统计，主要是依据概率论，研究如何依据有限资料对总体性质作推断，从而使统计的功能大为扩充。是在树立统计学派之后发展起来的，属于比较现代的统计分析方法。9．样本和（或）样本总体 样本或样本总体，是通过抽样得到的用以推断总体特征的那个“部分”。 10．标志 标志是说名总体单位属性或数量特征的名称。 11．虚拟变量 当品质标志的变异性用离散变量来表达时，这个变量可称虚拟变量。 12．指标体系 指标体系就是一系列有内在联系得统计指标集合体。 13．总体和总体单位 总体，就是作为统计研究对象的、由许多具有共性的单位构成的整体。也有人称之为母体。构成总体的每一个个体称为总体单位，简称单位，也称为个体。 14．中位数 把总体单位某一数量标志的各个数值，按大小顺序排列，位于正中处的变量值即为中位数。 15．众数 目录 1.均匀分布 (1) 2.正态分布（高斯分布） (2) 3.指数分布 (2) 4.Beta分布（β分布） (2) 5.Gamma分布 (3) 6.倒Gamma分布 (4) 7.威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布) (5) 8.Pareto分布 (6) 9.Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) χ分布（卡方分布） (7) 10.2 11.t分布 (8) 12.F分布 (9) 13.二项分布 (10) 14.泊松分布（Poisson分布） (10) 15.对数正态分布 (11) 1.均匀分布 均匀分布~(,) X U a b是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。 1()f x b a = - ()2 a b E X += 2 ()()12 b a Var X -= 2. 正态分布（高斯分布） 当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作2~(,)X N μσ。正态分布为方差已知的正态分布 2(,)N μσ的参数μ的共轭先验分布。 22 ()2()x f x μσ-- = ()E X μ= 2()Var X σ= 3. 指数分布 指数分布~()X Exp λ是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其中0λ>为尺度参数。指数分布的无记忆性：{}|{}P X s t X s P X t >+>=>。 (),0 x f x e x λλ-=> 1 ()E X λ = 2 1 ()Var X λ = 4. Beta 分布（β分布） Beta 分布记为~(,)X Be a b ，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。如果二项分布(,)B n p 中的参数p 的先验分布取(,)Beta a b ，实验数据（事件A 发生y 次，非事件A 发生n-y 次），则p 的后验分布(,)Beta a y b n y ++-，即Beta 分布为二项分布(,)B n p 的参数p 的共轭先验分布。 10 ()x t x t e dt ∞--Γ=? 1 1()()(1)()() a b a b f x x x a b --Γ+= -ΓΓ ()a E X a b = + 2 ()()(1) ab Var X a b a b = +++ 5. Gamma 分布 Gamma 分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布，解决的波函数的统计解释
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