浅谈有关概率论的几个有趣的随机偶然问题
浅谈有关概率论的几个有趣的
随机偶然问题
摘要概率论是数学中的一门基础学科，不仅可以研究古老难题，解决应试的需求，更广泛应用于现实生活中的各个方面。尤其在解决带有偶然性的问题时，其独特的思维方法使得问题浅显易懂，从而变的简单易解。现实生活中那些趣味性的随机问题更离不开概率论的思想。
关键词概率论偶然性趣味性随机
On probability on the several interesting
random chance problem
Abstract Probability thoery is a basic study in mathematics.Not only can be studied old problem, should try to solve the demand, the more widely used in real life in all aspects.Especially in solving the problem with contingency, its unique thinking methods make simple problem, thus become simple easy solution.Real life those interesting problems more from probability theory of random thoughts.
Keywords probability thoery；contingency；interesting；random
2002年8月在北京举行国际数学家大会（ICM2002）期间，陈省身大师为儿童题词，写下了“数学好玩”4个大字。也许这会让很多学生不解，数学如何好玩？更有学生会坦言在所有学科里面最让人头疼的就是数学，它怎么可能会好玩？陈省身先生之所以说它好玩是因为他是数学大师，他乐于其中。然而我们这种出于对应试需求的一种学习当然会认为它枯燥、难理解等等。其实不然，陈省身大师在他十几岁的时候就觉得数学好玩，他是因为觉得好玩才专研其中，并不是因为专研其中才觉得数学好玩的。这就如同世间上的很多事情，只有感受体验才能食髓知味。就比方酒，“酒仙”李白写到“但得此中味，勿为醒着传”，不体会是不能理解诗人所传达的意境与乐趣的。
概率论是研究随机现象的数量规律学科。17、18世纪，数学获得了巨大的进步。数学家们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，至此数学领域里出现了众多崭新的生长点。概率论就是这一时期"使欧几里得几何相形见绌"的若干重大成就之一。早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已经开始从数学角度研究赌博问题。他们的研究不仅包含赌博还涉及到当时的人口、保险业等，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明
确，于是很快被人淡忘了。真正的概率论的历史开始于17世纪中叶，最初概率论是起源于对赌博问题的研究。据说，1654年左右爱好赌博的法国人梅雷（A.G.C.de Mere,1610-1685）写信向帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）请教。两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s 局就算赢，现在一个人赢了a （a
数学的有趣性体现于此，它能把生活中的问题转化为数学问题，用数学的思想与方法解决。与上述案例大致相同的一例有关概率论的赌博游戏就是著名的两个吸收壁的随机游戏问题，也叫做赌徒输光问题。原题如下：
设袋中有a 个白球b 个黑球。甲、乙两赌徒分别有n 元、m 元，他们不知道袋中哪种球多。他们约定：每次有放回从袋中摸一个球，如果摸到白球甲给乙11元，如果摸到黑球，乙给甲1元，知道两个人有一个人输光为止。求甲输光的概率。由题知，甲赢1元的概率为b
a b p +=，输1元的概率为p q -=1，设n y 为甲输光的概率，t x 表示赌t 次（摸t 次球）后甲的赌金，τ=inf {}m n x x t t t +==或0:，即τ表示最终摸球次数。如果{}=+==m n x x t t t 或0:Φ
（Φ为空集），则令τ=∞。
设A=“第一局（次）甲赢”，则P(A)=p ，q A P =)(，且在第一局甲赢的条件下（因为甲有n+1元）甲最终输光的概率为1+n y ，在第1局甲输的条件下甲最终输光的概率为1-n y ，由全概率公式，得齐次一元二阶常系数差分方程与界条件 11-++=n n n qy py y (1) 0,10==+m n y y (2) 解具有边界条件（2）的差分方程（1）有两种方法，其解分别介绍如下。 解法一：
令n n y λ=，由（1）得关于λ的代数方程
q p q p +=+2)(λλ （3） （Ⅰ）当)(b a p q ≠≠即时，方程（3）有两个解p q =
=21,1λλ，故方程（1）有两个特解：1与（
p
q ），从而方程（1）通解为 n n q p C C y )(21+= 由边界条件（2）得
m n m n m n p q C p q p
q C +++??? ??-=??? ??--=11,1)(21
故得 m n n
n p q p q y +??? ??-??? ??--=111 (Ⅱ) 当p=q 时，方程（3）有两个相等的解121==λλ，故方程（1）有通解n C C y n 21+=，再由边界条件（2）得
n
m C C +-==1,121 从而得 m
n n y n +-
=1 综合（Ⅰ）与（Ⅱ）得 ???
????=+-≠---+=q p m n n q p p q p q y m n n n ,1,)(1)(11 （4）
解法二：
（Ⅰ）当q p ≠时，由方程（1）得
()11-+-=-n n n n y y p q y y （递推）
=()......)(212=---n n y y p
q =()()1101-??
? ??=-???? ??y p q y y p q n n （5） 又因 ()∑-+=++-=-=-1
101m n k k k m n y y y y =()()11111101--???
??-=-???? ??+-+=∑y p
q p q y p q m
n m n k k 所以m n p q p
q
y +???
?
??---=-1111，从而由（5）得
n y =1111-+-+??
? ??--???? ??-n m
n n y p q p
q
p q
（递推） =∑-=+???
? ????
? ??---10011n k k
m
n p q p q p q
y =m
n n
p q p q
+??
? ??-??
? ??--111
（Ⅱ）当q p =时，由方程（1）得
1
10111-=-=-=--+y y y y y y y n n n n （递推） 又因 ()()∑∑-+=+=+-=
-=-1
01-m 0
1111m n k n k k k y y y =()()11-+y m n 所以，m n y +-=-1
11，从而
()1111
1--++-=-+=n n n y m n y y y
（递推）
=m
n n y m n n +-=++-
10 从而，亦得（4）。 这样我们就圆满的算出了所要求的量，而且每个步骤都是非常的清晰，使人一看就很明了，我们在此题中也是充分的运用了概率论的知识。这样的题目现在已经从大学的课本中“下放”到高中的知识，相信还是会有同学不觉得概率论有趣，不过下面这一例问题相信会改变一些同学会概率论的看法——蒲丰（Buffon ）投针问题，题目如下：
平面上画着一些平行线，它们之间的距离都是a 。向此平面随意投一长度为l(l 刚看到此题的时候如果不是要求所求的答案为概率是不是很难想象的到它能和概率论结合在一起？甚至根本不会联系到概率呢？这就是概率的有趣之处，随后我们将详细的展现它的有趣。 解：以x 表示针的中点到最近一条平行线的距离，以δ表示针与平行线的交角，针与平行线的位置关系见图1-1.显示样本空间为 图1-1 很多对数学有偏见甚至讨厌数学的人依然会说这不还是计算题吗？不还是一样的数学死模版：分析—假设—大胆求证—得出正确的结果，还是数学的那一套模式也逃不出数学求解的框框，最终还是那么的讨厌。也许像这样出现数字，明显一看就是算数的题目不会引起对数学反感之人的兴趣，那么也就无从谈起概率论的有趣。可是如果概率论和《红楼梦》“扯”上关系，是不是从文学的方面能说明概率论的有趣，也能引起对数字反感之人的兴趣？ a M δsin 2 l x 众所周知《红楼梦》的问世过程比较复杂，一经流传就受到极大地关注。“红学”的影响很深，至今仍有很多的学者为之陶醉，沉迷于研究不曾自拔。要说这《红楼梦》的内容，在各类小说横行的今天看来已经没有太多的新颖，可是为什么大家还是那么的热衷它，还是那么的废寝忘食研究？因为《红楼梦》不但只是我国的四大名著之一，它里面所暗含的内容已经远远超出人们的想象，甚至敢于说出那个年代人们忌讳的话语。 霍国玲女士曾经提出《红楼梦》中有暗喜雍正归天之意，在“红学”界，认为有暗骂雍正的看法。其实在此之前已经有多种版本的论说，在此我们只论霍国玲女士提出的骂雍正的一条具体例证，并用概率统计的思想方法加以讨论，认为可信概率很大，也就是说很可能就是曹雪芹自己的意思。 相信读过《红楼梦》的人对曹氏家族与两个黄帝之间的关系都非常的了解，就现代的思想来看曹雪芹骂雍正正是绝对有动机的，这一点毋庸置疑。可是想必大家都清楚，在清朝中期“文字狱”就像一个魔鬼一样住在每个文人的心中，稍加不注意的文人就会被捕风捉影的人按上“藐视朝廷”、“轻视皇上”诸如此类的罪过，轻则打入地牢重则杀头甚至满门抄斩。试想一下在这样的坏境下又怎么可能容得下骂皇上？可曹雪芹却在小说《红楼梦》中多次暗骂皇上。其中暗喜雍正归天就是显著地一例。可以简单的概括为： 八月二十三日=雍正死亡日 =曹雪芹欢欣鼓舞之日 就当时的情形而言，曹雪芹肯定不能明目张胆的表达出自己的欢喜之情，那么他用了怎样的手法呢？若写的显而易见，便有灭顶之灾；若忽略则难以表达曹家的怨恨，于是使用了多种隐蔽的技巧，下面我们便对大家一一的详解。 史书记载，雍正的死亡之日是8月22日深夜与8月23日凌晨之间，这一年曹雪芹21岁，他必会记住这个日期，又因为有抄家的怨恨内心欢喜是必然的。在《红楼梦》的前80回中，多记载的是贵族的生活场景，尤以37~41回将鲜花着锦之盛，欢乐无限之态，推向了顶峰。只要看了第40回中贵妇人、贵公子和贵小姐们的欢笑场面便会有具体的感受。曹雪芹誓要将此无比欢腾的场面呈现在雍正忌日这一天，可是曹雪芹知道自己不能如实地写出8月23日小说中任务的欢呼雀跃，那么这一愿望如何实现呢？不得不说曹雪芹确实有很高超的文学技巧与笔法。 在地37回的开端处，有这样两行文字：“这年贾政又点了学差，择于八月二十起身……”注意，这两行是承前启后文字，其中的日期可以不必写的如此准确，可用“这日”一类的简单记述。这里似乎又别有用意了。在第42回的开端处，尤以小段文字是对前几回欢唱而豪放场面的收敛，却借着查看崇书之机说出：“八月二十五日，病者在东南方得遇花神”。请注意，此处十分自然而巧妙地设计出又一个确凿日期。在第37~41回的5回里，大约有四万字的篇幅，只管大书特书如何欢呼如何盛宴，再看不到任何月日的记述。不过在关键时刻都能找到“这日”或“次日”等字眼，使得8月20日至8月25日的活动安排井然有序。然而作者仍旧未进行，还在第38回中，暗笔点明这一天正是8月23日，记述了大观园里吟诗作乐欢天喜地的盛况，浓墨林黛玉菊花诗夺魁，淡抹薛宝钗螃蟹咏讽和。后半回看似累赘（有文学家这样认为），好像是给薛宝钗一个安慰赛，实则是有难言之隐，看看她的称冠的“螃蟹咏”吧： 桂霭桐阴坐举觞，长安涎口盼重阳。 眼前道路无经纬，皮里春秋空黑黄。 酒未敌醒还用菊，性防积冷定须姜。 于今落斧成何益？月浦空余禾黍香。 书中还明白写道，在看了“眼前道路无经纬，皮里春秋空黑黄”之后，“众人不禁叫绝”“写的痛快！”。看完全诗后，“都说这是食螃蟹绝唱，这些小题目，原要寓大意才算是人才，只是讽刺世人太毒了些。”作者痛快淋漓地骂出了心里话，横行霸道诡计多端者，终究逃脱不了落入汤锅的下场。结合前文的叙述，所骂何人不言而明。 很明显，这样的例证属于陈维昭所说的“既不能直接形成定论，而无论通过如何缜密的逻辑推理，最终依然不能间接形成定论”。但即使是问到曹雪芹本人，恐怕情况的不同答案也会不同的。如此说来，对这一结论无话可说了吗？不是的，这时恰好可用概论来分析两种可能性大小的差别，如C.R.Rao所指出的“当经济或实验中获取的知识中的不确定性的度量”。这不仅仅是估算两个概率大小的问题，更重要的是一种方法论，带有“哲学、逻辑和实践的问题”。这里将要论述的对“不确定性的度量”，也是来源于公众生活的实践。对概率不熟悉的人也许会看不懂我在这里的叙述，下面我就用一个简单的例子阐述我的原理。 概率计算方法全攻略 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)= 的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件） =0；0 概率论经典实例 概率论的研究问题大多与现实世界联系十分密切，有的甚至引人入胜，非常值得我们探讨以便激发我们对概率论学习的兴趣，同时引导我们对生活的思考，这对我们每一个大学生思维能力的培养有着重要的意义。下面我列举几个典型的概率实例加以说明其重要意义。 1990 年9 月9 日，美国一家报纸检阅提出一个有趣的概率问题：电视主持人指着三扇关着的门说，其中一扇后是汽车，另两扇后各有一只山羊。你可随意打开一扇，后面的东西就归你了。你当然想得到汽车。当你选定一扇门，如1 号门(但未打开) ，这时主持人打开有山羊的另一个扇门，不妨说是3号门( 主持人清楚哪扇门后是汽车) ，并对你说：现在再给你一次机会，允许你改变原来的选择。你为了得到汽车是坚持1号门还是改选2号门？问题及答案公诸于众后引发了出乎意料的轰动，编辑部收到了上万封从小学二年级的学生到大学教授的来信，给出了不尽相同的答案（当然正确的答案是唯一的），热烈讨论持续两年之久。此时，无论是一号门还是二号门都有可能门后是汽车，看上去好像每一个都是一半的几率。但从主持人的角度看，他不会让你轻易就得到汽车，于是打开三号门来迷惑你的思想，让你放弃一号门。由此看出，可能一号门的几率会大一点。若从主持人的话语中判断出他没有那种想法，则可以这样思考这个问题。将一号门看成一部分，里面有汽车的概率为0.33，将二号门和三号门看成另一部分，里面有汽车的概率为0.67。当发现三号门里没有汽车时，则一号门和二号门有汽车的概率分别为0.33和0.67。因此，选择二号门比较理智。 稍加留意就会发现若利用概率统计提供的科学思维方法就会大大提高获胜的几率。比如抛两颗均匀骰子，规定如下规则：总数之和小于6为出现小点，大于6为大点，则每局可押大点或小点，若押对了，以出现的点数为对应的奖品数目，若押不中则同样以出现的点数为惩罚品的数目。可以这样思考，当假设骰子理论意义上是均匀的，则六面中点数少的面较重，在抛出后点数多的面朝上的可能性较大，从而抛出点数大的情况的概率应大一些，这样，即可作如下观察：(1)随机抛2颗骰子若干次，观察出现的点数，若点数大于6的次数占多数，则初步判断骰子是均匀的。(2) 当比赛开始时，可做以下决策：刚开始可先押大点，无论押中或不中，第二轮可接着押大点，然后观察一轮，当出现小点后，可继续押大点，当然也可在连续出现几个大点后押一次小点，也有取胜的把握。这是因为，出现大点的机会要多于出现小点的机会，开始出现大点的概率要大一些，故应押大点，当出现几次大点后，小概率的事件也是会发生的，故可押一次小点，若一次不中可继续押，此时出现小点的概率将变大。另外，当连续出现几次小点或大点，则情况即将发生转变，应考虑押相反的情况。运用概率的思想来解决此类问题让我们更有把握赢得我们所要的东西，对此类问题，一味的乱猜，只能让我们处于劣势。 在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一个优秀的数学家的作用超过10 个师的兵力，这句话有一个非同寻常的来历。1943年以前，在大西洋的英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击。当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间德国的潜艇战搞得盟军焦头烂额。为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后，舰队与潜艇相遇是一个随机事件。从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性，一定数量的船（为100艘），编队规模越小，编次就越多（为每次20艘，就要有5个编次），编次越多，与敌 概率统计系的发展与未来 何书元(编写) 2005年 概率统计系的前身是概率统计教研室。1956年初，我国第一个科学发展规划将概率统计列为数学研究中的重点发展方向之一。为落实这一规划，同时在苏联著名数学家柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）建议的基础上, 北京大学数学系成立了全国第一个概率统计教研室, 由许宝騄(1910-1970)教授任教研室主任。同年，根据教育部的安排，一些综合大学选派了进修教师和学生共50多人到北京大学，在许先生的主持下从事概率统计的学习和研究。同年秋，中国科学院的王寿仁、张里千先生、中山大学的郑曾同先生被邀请到北京大学讲授概率统计方面的课程。许先生亲自主持讨论班。这批学员是我国培养的第一批为数可观的概率统计人才，许多人日后成为我国概率统计界的学术骨干。到“文化革命”前，概率统计专业共培养了七届学生，约200人。这时的教学和科研同时在统计推断、试验设计、概率极限定理、马氏过程、多元分析等多方面开展，受到国际同行的好评。这时的毕业生也以基础深厚，学风严谨著称。 当时的概率统计在北京大学是一派兴旺，集中了大批优秀老师和学生，得到数学系领导的关心和大力支持。许先生更是带有一些神秘的英雄色彩(参考“道德文章垂范人间”的前言)。他像磁石一样把莘莘学子吸引到北京大学。大家都十分羡慕那些能得到许先生指导的同学。许先生亲自主持制定概率统计专门化学生的培养计划和教学大纲，指导了五届毕业论文。一些专门化课程的教材也是根据许先生的讲稿整理而成。他领导的讨论班不仅有北大的教师学生参加，还有中科院数学研究所的同志参加，内容涉及到概率论和数理统计的多个方面。在这段时间中，先后有波兰的菲茨(Fisz)教授来北大讲授统计分析，乌尔巴尼克（Urbanike）教授讲授广义随机过程，邓肯(E. Dynkin)教授讲授马氏过程。许先生与这些专家共同制定讲学计划，帮助年轻人消化整理专家们的讲学内容，使北大成为大规模培养概率统计人才的第一基地。 许先生有很高的学术成就，在国际上享有盛誉。他对待教学工作极为认真，讲课条理清晰，作风严谨，十分注意鼓励和培养年轻人。他早年的学生就曾经写到：“许先生坚持简洁，对事物深刻的了解，不畏避困难，凡事追求高标准，这些优秀的品质深深地吸引着我们，使我们成为他的学生。”许先生身体一直不好，加上“文革”期间受到不公正的待遇，终于1970年冬去世。当时由于信息不畅，加上概率统计教研室和数学系的许多老师还在江西鲤鱼洲劳动，使得许先生的过早 浅谈泊松分布 班级：XXX 姓名：XXX 学号：XXX 浅谈泊松分布当一个随机事件，以固定的平均瞬时速率λ 二项概率的泊松逼近 如果∞→n ，0→p 使得λ=np 保持为正常数，则 λλ--→-e k p p C k k n k k n !)1( 对k = 0,1,2,…一致地成立。 2.1泊松分布使用范围 泊松分布主要用于描述在单位时间(空间)中稀有事件的发生数. 即需满足以下四个条件： 1. 给定区域内的特定事件产生的次数，可以是根据时间，长度，面积来定义； 2. 各段相等区域内的特定事件产生的概率是一样的； 3. 各区域内，事件发生的概率是相互独立的； 4. 当给定区域变得非常小时，两次以上事件发生的概率趋向于0。 2.2泊松分布的性质 1. 泊松分布的均数与方差相等，即m =2σ 2．泊松分布的可加性 如果1x ，2x ，3x …k x 相互独立，且它们分别服从以1λ，2λ，3λ…k λ为参数的泊松分布，则k X X X X T ++++= 321也服从泊松分布，其参数为k λλλλ++++ 321。 3.泊松分布的应用 )0(P 是未产生二体的菌的存在概率，实际上其值的5%与采用2/05.0m J 照射时的大肠杆菌uvrA -株，recA -株（除去既不能修复又不能重组修复的二重突变）的生存率是一致的。由于该菌株每个基因 组有一个二体就是致死量，因此)1(P ，)2(P ……就意味着全部死亡的概率。 3.2泊松分布在医学统计上的应用 在遗传学上，计算遗传图距的基本方法是建立在重组率基础上的，根据重组率的大小作出有关基因间的距离，绘制线性基因图；可是当研究的两个基因间的距离相对较远，在它们之间可能发生双交换、三交换、四交换甚至更高数目的交换，而形成的配子总有一半是非重组型的。若简单的把重组率看作交换率，显然交换率降低了，图距也随之缩小。这里可以用泊松分布原理来描述减数分裂过程中染色体上某区段交换的分布。在图距计算中，x 表示交换数，m 表示对总样本来说每进行一次减数分裂两基因 间的平均交换数，而基因间不发生交换的概率为m m e e m P --==! 0)0(0 ，基因间至少发生一次交换的概率为m e P P --=-=1)0(1。由此可计算两基因间的交换率和重组率。进而可更科学的作出遗传图。 3.3 泊松分布在交通运输上的应用 道路是行驶各种车辆的通道。为了给编制交通建设规划提供可靠的依据和保证道路上的车能安全而有效地通行, 道路工作者必须对道路上的车流进行实地调查和统计分析以便掌握车流的变化规律。数理统计方法是对交通流分布进行研究的有效而实际可行的方法。通常把在单位时间内通过道路上某一地点的车辆叫做交通流。对于时间间隔极短,并非是高密度的交通流的分布状态, 它常常是服从“概率论” 中的“ 泊松分布” 规律的。 如用简单例子表示，取通过某一地点车辆的时间作为时间数轴, 在数轴上划出给定时间间隔和该时间间隔内通过的车辆数目,譬如, 以20秒的时间间隔的数轴为例, 在20~0秒内,一辆车也没有通过, 在40~20秒间隔内,有二辆车通过, 在60~40秒间隔内, 有一辆车通过, 等等。这样在实地进行大量观测就可以的到某一时间间隔内的随机来车数目和该时间间隔内出现该车辆数的次数, 从而按泊松分布公式求算在给定时间间隔内在某一地点通过γ辆车的概率)(γP 。 参考文献 1． 戴维 M. 莱文等.《以EXCEL 为决策工具的商务统计》.机械工业出版社，2009 2．庄军、林奇英《泊松分布在生物学中的应用》.激光生物学报.2007年第16卷第5期. 3．薛珊荣 《“泊松分布”在交通工程中的应用》.湖南大学学报.1995年第8卷第2期. 毕业论文 课题 学生姓名胡泽学 系别 专业班级数学与应用数学指导教师 二0 一六年三月 目录 摘要.................................................................... I ABSTRACT................................................................... II 第一章绪论. (1) 第二章概率在生活中的应用 (4) 2.1在抽签和摸彩中的应用 (4) 2.2经济效益中的应用 (8) 2.3在现实决策中的应用 (4) 2.4在相遇问题中的应用 (12) 2.5在预算及检测中的应用 (10) 结论 (13) 参考文献 (14) 致谢 (15) 概率统计在生活中的应用 摘要 随着时代的发展人类的进步，17—18世纪出现了一门新的学科概率论，概率论逐渐成为了为数不多的可以和传统数学相抗衡的学科之一，并一步步的走向了人们的生活，成为了人们生活中不可或缺的部分。 本文先简述了概率论的发展，之后从概率在抽签中的应用、经济效益中的应用、现实决策中的应用、追击相遇问题中的应用、最大利润问题中的应用、最佳配置问题中的应用、经济保险问题中的应用、获奖问题中的应用、概率和选购方案的综合应用、金融界中的应用、设计方案的综合应用、厂矿生产中的如何合理配置维修工人问题、在商品质检中的应用和在运输预算费用中的应用等。多方面论述了概率的应用。 关键词：概率；概率的含义；概率的应用 Abstract 第一章绪论 概率统计是一门和生活关联紧密的学科同样也是一门特别有趣的数学分支学科，17-18世纪，数学得到了快速的发展。数学家们打破了古希腊的演绎框架，社会生活对与自然界的多方面吸取灵感，数学领域涌现了许多新面孔，之后都形成了完整的数学分支。除了分析学这之外，概率论就是同时期能使"欧几里德几何不相上下"的几个伟大成就之一。 概率的发源与赌博有关，伴随着科学技术的发展进步以及计算机普及,它在最近几十年来的社会科学和自然科学中得到了特别广泛的应用,在生活与社会生产中起着很重要的作用。我们生活在一个千变万化千变万化、千变万化的时代里，而我们每个人无时无刻都要直面生活中遇到的问题。而其中很多的问题都是随机的与随机的随机的。如决策时如何获取最大利益，公司要如何组合生产才能取得最大收益，如何加大买彩票的获奖概率，怎样进行误差分析、所购买物品的产品检验，生产质量把控等，当我们在遇到这些问题时应该如何解决它呢？幸好我们如今有了概率，概率是一门探索和揭示随机现象和规律的一门学科。 实践证明,概率是对生活中碰到的问题进行量的解答的有效工具,对经济决策和预测提供了新型的手段。下文就通过列举实例来表述概率在抽签中的应用、经济效益中的应用、现实决策中的应用、追击相遇问题中的应用、最大利润问题中的应用、最佳配置问题中的应用、经济保险问题中的应用、获奖问题中的应用、概率和选购方案的综合应用、金融界中的应用、设计方案的综合应用、厂矿生产中的如何合理配置维修工人问题、在商品质检中的应用和在运输预算费用中的应用等。 11. 将8本书任意放到书架上，求其中3本数学书恰排在一起的概率。 12. 某人买了大小相同的新鲜鸭蛋，其中有a只青壳的，b只白壳的，他准备将青壳蛋加工成咸蛋，故将鸭 蛋一只只从箱中摸出进行分类，求第k次摸出的是青壳蛋的概率。 13. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随 意将这些油漆发给顾客。问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆，2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到订货的概率是多少？ 14. 将12名新技工随机地平均分配到三个车间去，其中3名女技工，求： （1）每个车间各分配到一名女技工的概率；（2）3名女技工分配到同一车间的概率。 15．从6双不同的手套中任取4只，求其中恰有两只配对的概率。 16．从0，1，2，......，9十个数中随机地有放回的接连取三个数字，并按其出现的先后排成一列，求下列事件的概率：（1）三个数字排成一奇数；（2）三个数字中0至多出现一次； （3)三个数字中8至少出现一次；（4）三个数字之和等于6。 （利用事件的关系求随机事件的概率） 17. 在1~1000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被4整除，又不能被6整除的概率是多少？ 18. 甲、乙两人先后从52张牌中各抽取13张， （1）若甲抽后将牌放回乙再抽，问甲或乙拿到四张A的概率； （2）若甲抽后不放回乙再抽，问甲或乙拿到四张A的概率。 19. 在某城市中发行三种报纸A,B,C，经调查，订阅A报的有45%，订阅B报的有35%，订阅C报的有30%，同时订阅A及B的有10%，同时订阅A及C的有8%，同时订阅B及C的有5%，同时订阅A,B,C 的有3%。试求下列事件的概率： （1）只订A报的；（2）只订A及B报的；（3）恰好订两种报纸。 《概率论与随机过程》第一章习题 1. 写出下列随机试验的样本空间。 （1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录 抽取的次数。 （4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选 举的结果。 （6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 （7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 （8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次 品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察 装球的情况。 （10） 测量一汽车通过给定点的速度。 （11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1） A 发生，B 与C 不发生。 （2） A 与B 都发生，而C 不发生。 （3） A ，B ，C 都发生。 （4） A ，B ，C 中至少有一个发生。 （5） A ，B ，C 都不发生。 （6） A ，B ，C 中至多于一个发生。 （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。 （8） A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设{}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） BC A 。 （5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，??????≤<=121x x A ，? ?????<≤=234 1x x B ，具体写出下列各式。 （1）B A ?。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，81)(=AC P ，求A ， B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？ （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？ 浅谈初中教材中的概率与统计 发表时间：2015-06-12T14:46:19.687Z 来源：《中小学教育》2015年5月总第206期供稿作者：张永辉 [导读] 但是目前人教版初中数学教材却把这部分内容作为选学教材，导致教学中出现了诸多误区。 张永辉淮北师范大学数学科学学院235000 摘要：大数据时代，概率统计与我们的生活关系越来越密切。但是目前人教版初中数学教材却把这部分内容作为选学教材，导致教学中出现了诸多误区。笔者认为须将初中数学“概率与统计”的教学内容做进一步研究、澄清，以提高师生认识，达到学习为生活储备、教学为社会服务的目的。 关键词：概率与统计数据误区 一、教学现状及教材内容分析 新课标提出：义务教育阶段的学生应该了解概率与统计的基本思想方法，逐步形成统计观念。中学生在小学中已接触过少量有关统计方面的知识与方法，如计算平均值、了解一些可能性的事件；初步的调查，如“同学们喜欢哪项运动”，绘制条形统计图等。这些内容架起了与初中数学概率与统计内容之间的桥梁。 初中阶段的概率与统计分三学段进行：第一学段，体验数据统计的过程，掌握一些简单数据的收集、整理和描述的方法，感受事件发生的可能性；第二学段，经历简单数据统计过程，会根据数据分析的结果做出判断与预测，能计算一些简单事件发生的可能性；第三学段，从事数据的收集、整理与描述的过程，体会抽样的必要性，以及用样本估计总体的思想，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。 二、教师和学生对其认识上的误区 在人教版初中教材传统的概率与统计教学中，数据分析、概率、频率这部分内容都没有安排，只安排了概率的基础知识、平均值、方差、排列与组合等与精确数学接近的相关内容。在新课改的教材中，这种状况虽然得到了改善，但相当一部分学生对概率与统计学还存在一定的认识障碍。 1.教师思想不够重视。 概率与统计部分与其他代数或几何内容不同，教学时需要让学生参与计算、分析与判断。还有教材安排上三个年级分段教学，每次只有一小部分内容，这样大部分教师就忽视了其重要性，认为是选学内容，一带而过，没有真正理解教材按照学生的认知规律安排教材的意图。事实上对统计与概率的接受需要经历收集数据、检验并调整自己的直觉等过程，这需要延续较长的时间，才能形成较为完整的概率统计意识。 2.学生理解存在偏差。 初中生已经历过前运算阶段（七八岁）与具体运算阶段（七八岁到十二岁左右），差不多开始进入形式运算阶段，但演绎逻辑与随机概念还比较缺乏，比如主观判断、预言结果、用自己的方法统计与计算、因果事件与随机事件的区分等等，总认为没有发生的总比发生过的更容易出现。例如，总共投1000次硬币，已投了999次都是正面朝上，那么，他认为在投第1000次时一定会出现反面朝上。有的学生在学习数据处理时不能区分有效与无效数据，抓不住重点数据，不能做出合理归纳与引用。 三、改进措施 针对上述师生在概率与统计教学过程中的错误认识和偏颇理解，我们应该从以下三方面进行改进： 1.通过活动组织概率与统计的教学。 教师应通过课堂实践活动来改变学生存在的一些偏颇理解和错误认识。在活动过程中，教师要改变常规的讲授教学法，采用实践教学活动来引领学生学习，教师作为活动的组织者与合作者，让学生通过交流合作、主动探究，在收集和处理数据的实践中去领悟。如在概念讲解中要多举例子，让抽象的概念和生活实际联系起来，这样便于学生理解。同时，教师还要着意培养学生正确的学习方法，提倡合作、探究、实践、创新的学习精神，充分体现学生在学习中的主体地位。 2.借助练习加深学生理解。 概率与统计的教学仅用口头教授的方法很难改变学生直觉，即使教师多次讲解、反复强调，但学生还是可能出现理解偏差。教师应创设情境，引导学生用真实的数据、活动以及直观的模拟实验让学生由浅入深、由具象到抽象地认识；有可能的话，还可以让学生走出课堂，通过深入调查生活中的事例，综合考虑多方面的因素做出合理估计与统计，进而化纯知识为能力。 例如，概率初步中有这样一道题：同时投掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （1）两个骰子的点数相同； （2）两个骰子点数和是9； （3）至少有一个骰子的点数是2。 我们都知道每个骰子出现的点数无非就是“1、2、3、4、5、6”，那么每次投掷两个质地均匀的骰子出现的点数组合的排列，我们很快就能列举出来，自然会得出正确答案，这就要学生亲自动手操作。类似的，同时投掷两枚硬币，问正面向上的概率、一正一反的概率是多少，也可以用这种数字模型去做。 3.充分发挥现代化教学媒体的作用。 现代的多媒体课件具有文字、图片、声音、动画等直观的效果，这种动态演示能强有力地吸引学生，激发学生的求知欲。在概率计算中，往往数据复杂，可以允许学生用计算器来处理繁杂的计算，容易调动学生的学习兴趣。同时可以将学习重点放在理解统计思想和从事统计活动上来，避免将这些内容变成单纯的数学计算。 要想在教学过程中教好概率统计，首先，需要教师先学好概率统计的相关知识，深刻了解它在教材中的作用和地位；其次，结合学生的实际学情，遵循学生的接受能力、认识水平，处理好教材与生活的联系，方能事半功倍。 概率论与数理统计在生活中的应用 单位:兴隆场初级中学姓名:姜宏琼 摘要：随机现象无处不在，渗透于日常生活的方方面面和科学技术的各个领域，概率论就是通过研究随机现象及其规律从而指导人们从事物表象看到其本质的一门科学。生活中买彩票显示了小概率事件发生的几率之小，抽签与体育比赛赛制的选择用概率体现了公平与不公平，用概率来指导决策，减少错误与失败等等，显示了概率在人们日常生活中越来越重要。数理统计在人们的生活中也不断的发挥重要的作用，如果没有统计学，人们在收集资料和进行各项的大型的数据收集工作是非常困难的，通过对统计方法的研究，使得我们处理各种数据更加简便，所以统计也是一门很实用的科学，应该受到大家的重视。 关键字：概率、保险、彩票、统计、数据、应用 由赌徒的问题引起，概率逐渐演变成一门严谨的科学。1654年，有一个法国赌徒梅勒遇到了一个难解的问题：梅勒和他的一个朋友每人出30个金币，两人谁先赢满3局谁就得到全部赌注。在游戏进行了一会儿后，梅勒赢了2局，他的朋友赢了1局。这时候，梅勒由于一个紧急事情必须离开，游戏不得不停止。他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢？梅勒的朋友认为，既然他接下来赢的机会是梅勒的一半，那么他该拿到梅勒所得的一半，即他拿20个金币，梅勒拿40个金币。然而梅勒争执道：再掷一次骰子，即使他输了，游戏是平局，他最少也能得到全部赌注的一半——30个金币；但如果他赢了，并可拿走全部的60个金币。在下一次掷骰子之前，他实际上已经拥有了30个金币，他还有50%的机会赢得另外30个金币，所以，他应分得45个金币。 赌本究竟如何分配才合理呢？后来梅勒把这个问题告诉了当时法国著名的数学家帕斯卡，这居然也难住了帕斯卡，因为当时并没有相关知识来解决此类问题，而且两人说的似乎都有道理。帕斯卡又写信告诉了另一个著名的数学家费马，于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信，在通信中，他们最终正确地解决了这个问题。他们设想：如果继续赌下去，梅勒（设为甲）和他朋友（设为乙）最终获胜的机会如何呢？他们俩至多再赌2局即可分出胜负，这2局有4种可能结果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。前3种情况都是甲最后取胜，只有最后一种情况才是乙取胜，所以赌注应按3：1的比例分配，即甲得 《概率论》课后练习（一） 第一章§1-1随机事件与概率 班级 姓名 座号 成绩 一．填空题（每空1.6分,共计8分） 1．一份试卷上有6道题。某学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的错误。现观察该学生做完试卷他答对的题数，则样本空间=Ω____________________。 2．十件产品中三件次品，每次从中取1件（不放回抽样）直到将三件次品都取出，记录抽取到的正品数；则样本空间=Ω_______________ 。 3. 一口袋中有许多红色、白色、蓝色的乒乓球，在其中任取出4 只，观察它们具有颜色的种数。则样本空间=Ω______________________。 4..设某人向靶子射击3次，用 i A 表示“第i 次射击击中靶子” )3,2,1(=i ，试用语言描述下列事件：(1)— ——321A A A (2) 21A A 二． 单项选择题（每小题2,共计8分） 1. 射击3次，事件i A 表示第i 次命中目标)3,2,1(=i ，则表示至少命中一次的是 （ ） )(A 321A A A )(B 321A A A -Ω )(D A A A A A A A A A 21321321 )(D 321A A A 2. 以A 表示事件“甲种产品畅销或乙种产品滞销”，则其对立事件A 表示（ ）。 )(A “甲种产品滞销，乙种产品畅销” )(B “甲、乙两种产品均畅销” )(C “甲种产品滞销” )(D “甲种产品滞销或乙种产品畅销” 3. 对于任意事件A 和B ，则与B B A =+不等价的是（ ）。 )(A B A ? )(B A B ? )(C φ=B A )(D φ=B A 4. 对于事件A ，C B ，,则下列等式不成立的是（ ）。 )(A B B A A -+=)( )(B ))(()(C A B A AB A ++=+ )(C 如果AB A =，则B A ? )(D )(C B A C B A +-=-- 三．下列说法是否正确？（必须说明理由 ）（每小题2分，共计4分） （1）若Ω=+B A ，则B A ,互为对立事件。 (2) 若φ=ABC ，则C B A ,,两两互斥。 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 浅谈小学数学概率与统计的教学 摘要：概率与统计之所以在新一轮基础教育的数学课程改革中受到特别重视，这与统计、概率的教育价值密不可分。既然统计与概率在课程改革中受到了如此的重视，那么小学数学概率与统计内容应该如何进行设计？虽然统计与概率受到重视，但在具体实施的过程中，仍有许多问题袁有待研究。 关键词:教学;数据;统计 小学数学概率与统计的教育价值[3] 在以信息和技术为基础的社会里，数据日益成为一种需要的信息，为了更好地理解世界，人们必须学会处理各种信息，尤其是数字信息。收集、整理与分析信息的能力已经成为信息时代每一个公民基本素养的一部分，日常生活中，我们经常会听到“某地区受灾面积达到70%”，“估计第三世界人口的增长率为每年4%”，“今天长沙地区的降水概率为60%”，“买医疗保险对我有利”等语言。这实际上就是人们对客观世界中某些现象的一种描述，其中都涉及大量的数据。而对这些数据，人们就姚作出分析与判断，也就是说，人们常常需要对大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断。 随着社会的不断发展，统计与概率的思想和方法在日常生活、生产和科学研究中应用越来越广泛，已经成为人们普遍需要掌握的基础知识。统计与概率所提供的“运用数据进行推断”的思考方法已经成为现代社会一种普遍适用且强有力的思维方式。 因此，义务教育阶段应当是学生掌握统计与概率的基本思考方法，从而使他们逐步形成统计概念，进而形成尊重事实，用数据说话的态度。不仅如此，让学生了解随机现象，将有助于他们形成科学的世界观与方法论。 第一方面，在学习统计与概率的过程中，将会涉及计算、推理以及整数、分数、比值等知识，这实际上是在学习新知识的同时复习和运用过去的旧知识，发展学生解决问题的能力。 此外，统计与概率这一领域的内容对学生来说是充满趣味和吸引力的。动手收集和呈现数据是一个活动性很强并且充满挑战性和乐趣的过程。这有助于培养学生对数学的积极情感体验。 总之，统计与概率的教育价值主要有三点。首先，养成通过数据来分析问题的习惯，其实质使通过事实来分析问题，当遇到问题时，应当去调查研究，应当收集收据，在此基础上进行的推断才可能客观地反映实际背景。其次，建立随机的概念。有些事情可能发生，有些事情可能不发生，这在日常生活中时大量存在的。即使如此，只要我们掌握的信息多了，叶能够合理地推断实际背景。第三，学习如何去判断事情的主要因素。我已经谈到，统计与概率学能够从一堆看似杂乱无章的数据中提炼信息，寻找规律，这就需要抓主要因素。在统计与概率学中，可能还有其他方面的教育价值，但在小学阶段统计与概率的教育价值主要就是这三点。 小学数学概率与统计的教学 概率与统计教学的主要内容[5] 一些很有趣的概率学问题 说到概率，有些好玩的东西不得不提。比如，你知道吗，23个人中至少两个人生日相同的概率竟然超过了1/2；假如你们班上有50个人的话，那更不得了，至少两人生日相同的概率达到97% ！如果你会计算这个概率问题的话，你可以亲自证实这一点。本文适宜的读者是知道上述问题怎么算的高中朋友，上述问题也是高中阶段学的一些基本概率知识。 上面的问题都是简单概率，它包含了一个最基本的原则，即使没有系统地学习过，平常人们也都在无形之中使用它：概率等于你要算的东西除以总的数目。比如。我们要计算23个人中任何两个人都不在同一天生的概率。假设2月29 日与其它日期出现概率相同的话（这是为了便于计算我们做出的假设，它有悖于常理），那么它的概率为A(366,23)/366^23。它约为0.493677。因此，至少两人在同一天生的概率为1-0.493677=0.506323。当然，对于“你要算的东西除以总的数目”的认识是片面的，比如“投两个骰子出现的数字和从2到12共有11种可能，问数字和大于10的概率”这一问题的答案并不是2/11，因为这11个点数和出现的概率不是相等的，我们只能从投出的两个数字共6*6=36种情况中进行统计，可能的情况只有(5,6)、(6,5)和(6,6) （不会有人说还有(6,7)之类的吧），答案应该是3/36=1/12。这些都是废话，我不细说了。 但是，你有想过这个问题吗：要是这些数目是无穷的怎么办？换句话说，统计的东西不是“离散”的怎么办？比如看这样一个问题。明天早上我要和MM约会，但是具体见面时间我忘了，好像是8:00-9:00的某个时候。那么我随便在这个时段中选一个时间去等MM，最多等她半个小时，正好能见到MM的概率是多少（假设MM先到的话不会等我）。这个问题和我们平时见到的问题不同的地方在于，它的“情况”是连续的，不是离散的，不能逐一统计数目。咋办呢？我们注意到，我的时间随机取一个，MM的时间随机取一个，对于某些组合我们是有缘分的（这些组合无穷多）。这些组合正好对应了平面区域上的点。就是说，搞一个横坐标表示我的时间，纵坐标表示MM的时间，那么肯定能画出那么一块区域，区域里的所有点(x,y)对应所有我和MM可能相见的组合。任何一个时间组合有多大的可能落在这个区域呢？由于在矩形区域内点(x,y)是均匀分布的，我们只需要计算一个面积之比就行了。下图中显而易见，答案是3/8。 一个类似的问题是Buffon投针实验。有一个人，叫Buffon。他在地板上画了很多间隔相同的平行线，然后叫了一帮狐朋狗友来，把一些长度相同的针扔在地上。然后，他统计有多少针和地板上的线相交，并宣称可以得到圆周率π的值。换句话说，一根针投到间隔相同的平行线中，与平行线相交的概率和π有关。我们时常感到数学的神奇之处，比如当这个π在很多不该出现的场合莫明 《概率论论文》 概率论论文（一）： 《概率论与数理统计》论文 摘要 概率论的发展具有很长的历史，多位数学家对概率论的构成做出了巨大贡献。纵观其发展史，在实际生活中具有很强的应用好处。正是有了前人的努力，才有了现代的概率论体系。本文将从概率论的研究好处、定义，以及发展历程进行叙述。 概率论的发展与起源 1.1概率论的定义 概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象 而言的，随机现象是指在基本条件不变的状况下，一系列或观察会得到不同结果的现象。每一次实验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，抛一枚硬币，可能会出现正面或者反面；在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或者一组基本事件统称为随机事件，或者简称为事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下超多重复的随机实验却往往呈现出明显的数量规律。例如，连续多次抛一枚硬币，出现正面的频率随着抛次数的增加逐渐趋近于1/2；犹如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且测量值大多落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某种程度的对称性。大数定律和中心极限定律就是描述和论证这些规律的。在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变状况。例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而构成不规则的运动，即布朗运动，这就是随机过程。随机过程的统计特征、计算与随机过程有关的某些事件的概率，个性是研究 与随机过程样本轨道（及过程的一次实现）有关的问题，是现代概率论的主要课题。 在当代，随着概率论本身的发展和学科之间的交叉融合，囊括了概率理论和 统计理论两大部分的广义概率论已经成为一门应用十分广泛的学科，概率方法与统计方法逐渐渗透到了其它学科的研究工作当中。无论是在自然科学领域还是社会科学领域，各门学科中都能看到概率论的身影。概率论已经成为一种重要的工具，在社会发展中发挥着巨大的作用。 1.2课题背景及研究的目的和好处 现代社会步调快，信息更新快，信息量大，如何从中选取分析最有效的信息 成为发展的先决条件，故概率统计学有着不可比拟的重要地位与作用。无论是在日常生活中，还是商业经济、科学研究，小到日常下雨，大到卫星发射，各种事物发展中都有概率统计的影子。在这个科技革新的时代，概率统计学必将发挥前所未有的重大影响，所以研究概率学具有十分重要的好处。 《概率论与随机过程》第一章习题 1.写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。 （4）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （5）一个小组有A，B，C，D，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。 （6）甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 （7）一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 （8）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （9）有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。 （10）测量一汽车通过给定点的速度。 （11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 2.设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。 （1）A发生，B与C不发生。 （2）A与B都发生，而C不发生。 （3）A，B，C都发生。 （4）A，B，C中至少有一个发生。 （5）A，B，C都不发生。 （6）A，B，C中至多于一个发生。 （7）A，B，C中至多于二个发生。 （8）A，B，C中至少有二个发生。 3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） BC A 。 （5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，?????? ≤<=121x x A ，? ?????<≤=2341x x B ，具体写出下列各式。 （1）B A ?。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，1)(=AC P ，求A ，B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算） （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少 8. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求 第4只次品管子在下列情况发现的概率。 （1） 在第5次测试发现。 （2） 在第10次测试发现。 9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A ，B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一 事件。根据以往的气象记录已知4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)/(B A P ，)/(A B P 及)(B A P ?。 10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概 率。 （1） 二只都是正品。 （2） 二只都是次品。 （3） 一只是正品，一只是次品。 （4） 第二次取出的是次品。 11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率 浅析概率论在经济学中的应用 摘要 概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门学科。作为经济数学的三大支柱之一，概率统计知识在当今信息社会里越来越重要。在经济和管理活动中，怎样使利润最大、风险最小；怎样由不确定因素得出相对可靠的结论等，只有运用概率统计的知识才能解决。本文将通过实例来讨论概率统计知识在经济活动中的具体应用。 关键词:概率论与数理统计经济学应用数学化 经济学的数学化已经成为不可否认的事实，而R数学化的趋势愈演愈烈。特别是近十几年来，由于金融学、保险学等经济学分支学科越来越普遍的应用，研究随机事件的概率论在经济学中得到越来越快的发展，而且近几年诺贝尔奖也授予在经济学的随机处理方面做出突出贡献的学者，比如1990年奖获的证券组合选择理论，1994年获奖的博弈理论(王文华，2007)；同时由于概率论考虑了样本与总体之间的关系的这一特性，对实证经济学特别是经济计量学可以说起到-r非常大的推动作用。甚至可以说，当代实证经济学的发展就是概率统计知识在经济模型中的实际应用．如果考虑在实证经济学领域的诺贝尔获奖者，那概率论对经济学的影响就更大了，包括第一届诺贝尔奖获得者丁博根、第二届诺贝尔获奖者萨谬尔森等在内，前前后后大约有20名经济学家研究和应用概率论在经济学中的作用(史树中。2002)，因此概率论在经济学巾有十分广泛的作用。 一、概率论与经济学结合的原因 从理论研究角度看，借助概率论方法研究经济问题至少有三个优势：其一是前提假定用概率论语言描述得一清二楚，概率论强调事物处于不可能事件和必然事件之间，即事物出现的概率在(0，1)之间，这符合经济现象的现实．经济学强调经济现象要用概率计算方法全攻略
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