成都市2013级2016届一诊数学试题及答案word版(文科)

22n S S =++

1+=n n

?n k ≤

,0==n S k 输入

开始

结束

S 输出

是

否

成都市高2016级“一诊”考试

数学试题(文科)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

1．已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，{|22}B x x =-<<，则A B =

（A ）{|12}x x -≤≤ （B ）{|12}x x -≤< （C ）{|12}x x -<< （D ）

{|21}x x -<≤

2．在ABC ?中，“4A π=

”是“2

cos 2

A =”的 （A ）充分不必要条件 （

B ）必要不充分条件 （

C ）充要条件 （

D ）既不充分也不必要条件 3．如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为

（A ）3:1 （B ）2:1 （C ）1:1 （D ）1:2

4．设147()9a -=，1

59()7

b =，2

7log 9c =，则a , b , c 的大小顺序是 （A ）b a c <<

（B ）c a b << （C ）c b a << （D ）b c a <<

5．已知n m ,为空间中两条不同的直线，βα,为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是

（A ）若βα//,//m m ，则βα//

（B ）若,m m n α⊥⊥，

则//n α （C ）若n m m //,//α，则α//n （D ）若βα//,m m ⊥，则βα⊥

6．已知实数,x y 满足40

2020x y x y y -+≥??

+-≤??-≥?

，则2z y x =-的最大值是

（A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）6

7．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k

的最大值为

（A

）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7

8．已知菱形ABCD 边长为2，3

B π

∠=，点P 满足AP AB λ= ，

4

正视图

侧视图

俯视图

λ∈R ．若3BD CP ?=-

，则λ的值为

（A ）

1

2

（B ）1

2

-

（C ）

1

3

（D ） 13

-

9．已知双曲线22

22:1(0,0)x y E a b a b

-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若E 上存在点P 使

12F F P ?为等腰三角形，且其顶角为23π

，则22a b

的值是

（A ）

4

3

（B ）

23

3

（C ）34

（D ）

3

2

10．已知函数232

log (2),0()33,x x k

f x x x k x a

-≤

（A ）3[,13]2

+ （B ）[2,13]+

（C ）[1,3] （D ） [2,3]

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．设复数z 满足i (32i)(1i)z -=+-（其中i 为虚数单位），则z = ．

12．已知函数3

()s i n 1f x x x -=++.若()3f a =，则

()f a -= ．

13．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲，乙的平均成绩分别为x 甲，x 乙.则x >甲x 乙的概率是 ．

14. 已知圆42

2

=+y x ，过点(0,1)P 的直线l 交该圆于B A ,两点，O 为坐标原点，则OAB ?面积的最大值是 ．

15．某房地产公司要在一块矩形宽阔地面（如图）上开发物业 ，阴影部分是

不能开发的古建筑群，且要求用在一条直线上的栏栅进行隔离，古建筑群的边界为曲线

2

413

y x =-

的一部分，栏栅与矩形区域边界交于点M ，N ．则当能开发的面积达到最大时，OM 的长为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16．（12分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且212()5n n n a a a +++=．（Ⅰ）求q 的值； （Ⅱ）

甲 乙

4 7

5 8 7 6

9

9 2 4 1

若2510a a =，求数列{

}3

n

n a 的前n 项和n S ．

17．（12分）有编号为129,,,A A A 的9道题，其难度系数如下表：其中难度系数小于0.50的为难题．

编号 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A

难度系数

0.48 0.56 0.52 0.37 0.69 0.47 0.47 0.58 0.50

（Ⅰ）从上述9道题中，随机抽取1道，求这道题为难题的概率； （Ⅱ）从难题中随机抽取2道，求这两道题目难度系数相等的概率．

18．已知函数22531

()cos sin cos sin 424

f x x x x x =

--． （Ⅰ）求函数()f x 取得最大值时x 取值的集合； （Ⅱ）设A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角.若3

cos 5

B =

，1

()4

f C =-，求sin A 的值．

19．（12分）如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在平面互相垂直，

FD ⊥平面ABCD ，且3FD =．（Ⅰ）求证：//EF 平面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=?，

求几何体EFABCD 的体积．

20．（13分）已知椭圆22

:

132

x y E +=的左右顶点分别为A ，B ，点P 为椭圆上异于,A B 的任意一点.（Ⅰ）求直线PA 与PB 的斜率之积；（Ⅱ）过点3

(,0)5

Q -

作与x 轴不重合的任意直线交椭圆E 于M ，N 两点.证明：以MN 为直径的圆恒过点A .

21．（14分）已知函数2

1()(1)ln ()2

f x ax a x x a =-

++-∈R ． （Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）当0a =时，设函数

()()(2)2g x xf x k x =-++.若函数()g x 在区间1[,)2

+∞上有两个零点，

求实数k 的取值范围．

C

B

D

A

E

F

数学（文科）参考答案及评分意见 第I 卷（选择题，共50分）

一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．B ； 2．B ； 3．C ； 4．C ； 5．D ； 6．D ； 7．A ； 8．A ； 9．D ； 10．B ．

第II 卷（非选择题，共100分）

二．填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．15i +； 12．-1； 13．

2

5

； 14．3； 15．1． 三、解答题：(本大题共6小题，共75分) 16．解：（Ⅰ） 212()5,n n n a a a +++=

2

2()5.n n n a a q a q ∴+= 由题意，得0n a ≠，∴22520.q q -+=

2q ∴=或1

.2

1q >，

2.q ∴= ……………………6分 （Ⅱ）2

510,

a a =

429

11().a q a q ∴= 12a ∴=.

∴112.n n n a a q -==

∴2().33

n n n a = ∴122[1()]

2332.2313n n n n S +-=

=--

……………………12分 17．解：（Ⅰ）记“从9道题中，随机抽取1道为难题”为事件M ，9道题中难题有1A ，4A ，

6A ，7A 四道.

∴4().9P M =

……………6分 （Ⅱ）记“从难题中随机抽取2道难度系数相等”为事件N ，则基本事件为：14{,}A A ，

16{,}A A ，17{,}A A ，46{,}A A ，47{,}A A ，67{,}A A 共6个；难题中有且仅有6A ，7A 的

难度系数相等. ∴1

().6P N =

……………12分 18．解：（Ⅰ）22531()cos sin cos sin 424

f x x x x x =

-- 53sin 231cos 242222x x -=

-?-?133

(cos 2sin 2)244

x x =--+ 13sin(2).

223x π

=

--

……………………3分 要使()f x 取得最大值，须满足sin(2)3

x π

-取得最小值.

∴22,32

x k k ππ

-

=π-∈Z. ∴,12x k k π

=π-∈Z.

……………………5分 ∴当()f x 取得最大值时,x 取值的集合为{|,}.12

x x k k π

=π-∈Z ……………………6分

（Ⅱ）由题意，得3sin(2).32

C π-=-

(0,),

2C π

∈ 22(,).333

C πππ∴-∈-3

C π

∴=

.

………………9分

(0,)2B π∈ ，4

sin .5

B ∴=

sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C ∴=+=+ 4133433.525210

+=?+?=

………………12分 19．解：（Ⅰ）如图，过点E 作EH BC ⊥于H ，连接.HD

3.EH ∴=

平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ?平面BCE ， 平面ABCD 平面BCE 于BC ，

C B

D

A

E

F

H

∴EH ⊥平面.ABCD

又FD ⊥ 平面ABCD ， 3.FD =

//.FD EH ∴

∴四边形EHDF 为平行四边形.

//.EF HD ∴

EF ? 平面ABCD ，HD ?平面,ABCD

//EF ∴平面.ABCD ………6分

（Ⅱ）连接,CF HA .由题意,得HA BC ⊥.

HA ?平面,ABCD 平面ABCD ⊥平面BCE 于BC ，

∴HA ⊥平面BCE .

//FD EH ，EH ?平面BCE ，FD ?平面BCE ，

//FD ∴平面.BCE

同理，由//HB DA 可证，//DA 平面.BCE

FD DA 于D ，FD ?平面ADF ，DA ?平面ADF ，

∴平面BCE //平面.ADF

F ∴到平面BCE 的距离等于HA 的长. FD 为四棱锥F ABCD -的高, EFABCD F BCE F ABCD V V V --∴=+

1133BCE ABCD S HA S FD =?+? 11

3323333

=??+?? 3.= ……………………………12分

20．解：（Ⅰ）(3,0),(3,0)A B -.设点(,)P x y (0)y ≠.

则有

22132x y +=，即22

222(1)(3).33

x y x =-=- 2

23

33PA PB

y y y k k x x x ∴?=?=-+-222

(3)

23.33x x -==-- ……………………4分

（Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ， MN 与x 轴不重合，

∴设直线3

:()5

MN l x ty t =-∈R . 由223

,5

2360

x ty x y ?=-

???+-=?

得2243144(23)0.525t y ty +--= C B

D

A

E

F

H

由题意,可知0?>成立，且122

12243

523.1442523t y y t y y t ??

+=??+??-

?=?+? ……（*）

112212124343

(3,)(3,)()()55AM AN x y x y ty ty y y ?=++=+++

212124348

(1)().525

t y y t y y =++

++ 将（*）代入上式，化简得

2222

214414448484823482525250.2325252325

t t t AM AN t t -

-++?=+=-?+=++ ∴AM AN ⊥，即以MN 为直径的圆恒过点A ． ………………13分

21.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，(1)(1)

()(0).ax x f x a x

--'=-

> ①当(0,1)a ∈时，1

1a >.

由()0f x '<，得1x a >或1x <.∴当(0,1)x ∈，1

(,)x a

∈+∞时，()f x 单调递减.

∴()f x 的单调递减区间为(0,1),1

(,)a

+∞.

②当1a =时，恒有()0f x '≤，∴()f x 单调递减. ∴()f x 的单调递减区间为(0,)+∞.

③当(1,)a ∈+∞时，1

1a

<.

由()0f x '<，得1x >或1x a <.∴当1

(0,)x a ∈，(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递减.

∴()f x 的单调递减区间为1

(0,)a

,(1,)+∞.

综上，当(0,1)a ∈时，()f x 的单调递减区间为(0,1),1

(,)a

+∞；

当1a =时，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞；

当(1,)a ∈+∞时，()f x 的单调递减区间为1

(0,)a ,(1,)+∞. ………6分

（Ⅱ）2

()ln (2)2g x x x x k x =--++在1[,)2

x ∈+∞上有零点，

即关于x 的方程2ln 22

x x x k x -+=+在1

[,)2x ∈+∞上有两个不相等的实数根.

令函数2ln 21

(),[,)22

x x x h x x x -+=

∈+∞+. 则22

32ln 4()(2)x x x h x x +--'=+. 令函数2

1()32ln 4,[,)2p x x x x x =+--∈+∞. 则(21)(2)()x x p x x -+'=

在1

[,)2+∞上有()0p x '≥.

故()p x 在1

[,)2

+∞上单调递增.

(1)0p = ，

∴当1[,1)2

x ∈时，有()0p x <即()0h x '<.∴()h x 单调递减；

当(1,)x ∈+∞时，有()0p x >即()0h x '>，∴()h x 单调递增.

19ln 2

()2105

h =+ ，(1)1,h =10210ln 21021023(10)12123h --=

>=>1()2h ， ∴k 的取值范围为9ln 2

(1,].105+

…………14分