【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题09 对数与对数函数(含解析)

考点09 对数与对数函数

1．设函数()tan 2x f x =，若()3log 2a f =，151log 2b f ??= ???

，()0.2

2c f =，则（ ）

A ．a b c <<

B ．b c a <<

C ．c a b <<

D ．b a c <<

2．设23451111log log log log a ππππ

=+++，y x a =-，x N ∈，当y 取最小值时的x 的值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

3．若点()1414log 7,log 56在函数()3f x kx =+的图象上，则()f x 的零点为（ ） A ．1

B ．

34

C ．2

D ．

32

4．对于问题“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,5，解关于x 的不等式20cx bx a ++>”，给出如下一种解法：由20ax bx c ++>的解集为()2,5，得2

110a b c x x ????++> ? ?????

的解集为11,52?? ???，即关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集为11,52??

???

.类比上述解法，若关于x 的不等式

0x a x b +<+的解集为()1,3，则关于x 的不等式

1log 3

01log 3

x x a b +<+的解集为（ ） A ．()3,27 B ．()3,9

C ．()1,27

D ．()1,9

5．已知2log 6a =，5log 15b =，7log 21c =则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c <<

B ．c b a <<

C ．c a b <<

D ．b c a <<

6．已知正实数a ，b ，c 满足236log a log b log c ==，则（ ） A ．a bc =

B ．2b ac =

C ．c ab =

D ．2c ab =

7．已知120.5343log (244)a b c b x x -=-=++，，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a >>

B ．b a c >>

C ．a b c >>

D ．a c b >>

8

．已知集合{|A x y ==，2{|log 1}B x x =≤，则A B =

A ．1{|}3x x ≤≤-

B ．{}

01x x <≤ C ．{|32}-≤≤x x

D ．{|2}x x ≤

9．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212

152–lg E m m E =

，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1

B ．10.1

C ．lg10.1

D ．10–10.1

10．已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<

11．若a >b ，则 A ．ln(a ?b )>0 B ．3a <3b C ．a 3?b 3>0

D ．│a │>│b │ 12．已知0.20.3

2log 0.2,2,0.2a b c ===，则

A ．a b c <<

B ．a c b <<

C ．c a b <<

D ．b c a <<

13．设0.321

log 0.6,log 0.62

m n ==，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->

D ．mn m n m n >->+

14．设3log 6a =，5log 10b =，61log 2=+c ，则（ ） A ．a b c <<

B ．b a c <<

C ．c a b <<

D ．c b a <<

15．设集合A ＝{x|x 2﹣x ﹣2＞0}，B ＝{x|0＜2log x ＜2}，则A∩B ＝（ ） A ．（2，4）

B ．（1，1）

C ．（﹣1，4）

D ．（1，4）

16．若4log 3=a ，0.40.6b =，2log 2

1=c ，则实数a ，b

，c 的大小关系为（ ）

A ．c b a >>

B ．a c b >>

C ．a c b >>

D ．b a c >>

17．以下四个数中，最大的是（ ）

A ．

B ．

1e

C ．

ln π

π

D 18．已知函数()2log f x x =，若函数()g x 是()f x 的反函数，则()()

2f g =（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

19．设全集，

，

，则（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

20．已知集合{|ln

}2A x y x ==-（），{

}

2

|30B x x x =-<，则A B ?=（ ） A ．（2，3） B ．（0，3）

C ．（-3，0）

D ．（0，2） 21．已知集合，

，则

（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

22．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]

1,1x ∈-时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是 A ．4 B ．5 C ．6

D ．7

23．已知函数221

()log (1)1

x a x f x x x ?+≤=?->?，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．

24．已知33log ,ln 3,log 2a e b c ===，则a ，b ，c 中最小的是______．

考点09 对数与对数函数

1．设函数()tan 2x f x =，若()3log 2a f =，151log 2b f ??= ???

，()0.2

2c f =，则（ ）

A ．a b c <<

B ．b c a <<

C ．c a b <<

D ．b a c <<

【答案】D 【解析】

()1551log log 22b f f ??

== ???

，

因为35log 2log 20>>且0.2

0332

21log 3log 2>==>，故

0.2530log 2log 221<<<<，又()tan

2

x

f x =在()0,π上为增函数， 所以()()()0.2

53log 2log 22f f f <<即b a c <<，故选D.

2．设23451111

log log log log a ππππ

=+++，y x a =-，x N ∈，当y 取最小值时的x 的值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【答案】C 【解析】

23451111

log log log log a ππππ

=

+++log 2log 3log 4log 5log 120πππππ=+++=，

∵481π≈，5243π≈.45a a ∴-<-

∴y x a =-，x N ∈，当y 取最小值时的x 的值为4． 故选：C ．

3．若点()1414log 7,log 56在函数()3f x kx =+的图象上，则()f x 的零点为（ ） A ．1 B ．

34

C ．2

D ．

32

【答案】D 【解析】

解：根据题意，点1414log 7log 56（，）在函数()3f x kx +＝的图象上，

则1414log 56log 73k ?+＝，变形可得：2k ＝-，则()=2+3f x x - 若()0f x ＝，则32x =，即()f x 的零点为3

2

， 故选：D ．

4．对于问题“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,5，解关于x 的不等式20cx bx a ++>”，给出如下一种解法：由20ax bx c ++>的解集为()2,5，得2

110a b c x x ????++> ? ?????

的解集为11,52?? ???，即关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集为11,52??

???

.类比上述解法，若关于x 的不等式

0x a x b +<+的解集为()1,3，则关于x 的不等式

1log 3

01log 3

x x a b +<+的解集为（ ） A ．()3,27 B ．()3,9

C ．()1,27

D ．()1,9

【答案】A 【解析】

将关于x 的不等式

1log 301log 3x x a b +<+变形可得1

log 3

01

log 3x x a

b +<+， 从而由条件可得1

13log 3

x <

<.利用对数换底公式有31log 3x <<， 即333log 3log log 27x <<，于是所求不等式的解集为()3,27，故选A. 5．已知2log 6a =，5log 15b =，7log 21c =则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．c b a <<

C ．c a b <<

D ．b c a <<

【答案】B 【解析】

解：由于22log 6log 42a =>=，

772log 211log 3,c a c >==+∴> 552log 151log 3b >==+， 33log 7log 5>，

可得b c >，综合可得a b c >>， 故选B.

6．已知正实数a ，b ，c 满足236log a log b log c ==，则（ ） A ．a bc = B ．2b ac =

C ．c ab =

D ．2c ab =

【答案】C 【解析】

∵ 正实数a ，b ，c 满足236log log log a b c ==， ∴ 设236log log log a b c k ===， 则2k a =，3k b =，6k c =， ∴ c ab =． 故选：C ．

7．已知120.5343log (244)a b c b x x -=-=++，，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a >> B ．b a c >>

C ．a b c >>

D ．a c b >>

【答案】C 【解析】

由题得1133433

a

a b b -+-==>，可得11a b -+>，则a b >；

因为22

2442[(1)1]2x x x ++=++≥，则22log 2[(1)1]1c b x -=-++≤-，

可得10c b -+≤，因此c b <，所以有a b c >>，故选C 。

8．已知集合{|A x y ==，2{|log 1}B x x =≤，则A B =

A ．1{|}3x x ≤≤-

B ．{}

01x x <≤ C ．{|32}-≤≤x x D ．{|2}x x ≤

【答案】B 【解析】

由二次根式有意义的条件可得(1)(3)0x x -+≥， 解得31x -≤≤，

所以{|A x y =={|31}x x =-≤≤. 由对数函数的性质可得22log log 2x ≤，

解得02x <≤，

所以2{|1}B x log x =≤{|02}x x =<≤， 所以A B ={|01}x x <≤.

故选B.

9．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212

152–lg E m m E =

，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1 B ．10.1

C ．lg10.1

D ．10–10.1

【答案】A 【解析】

两颗星的星等与亮度满足1212

5lg 2E m m E -=

,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.1112122

22

lg

( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =?-=-+==. 故选：A.

10．已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<

【答案】A 【解析】

551

log 2log 2

a =<<

， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 10.200.50.50.5<<，故

1

12

c <<， 所以a c b <<. 故选A. 11．若a >b ，则 A ．ln(a ?b )>0

B ．3a <3b

C ．a 3?b 3>0

D ．│a │>│b │

【答案】C 【解析】

取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取

1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3

y x =是增函数，a b >，所以33a b >，

故选C ．

12．已知0.20.3

2log 0.2,2,0.2a b c ===，则

A ．a b c <<

B ．a c b <<

C ．c a b <<

D ．b c a <<

【答案】B 【解析】

22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．

13．设0.321

log 0.6,log 0.62

m n ==，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>-> D ．mn m n m n >->+

【答案】A 【解析】

0.30.3log 0.6log 10,m =>= 2211

log 0.6log 10,22

n =

<= 0mn < 0.60.611log 0.3log 4m n +=+ 0.60.6log 1.2log 0.61=<=,即1m n mn

+<，故m n mn +>. 又()()20m n m n n --+=->，所以m n m n ->+. 故m n m n mn ->+>，所以选A.

14．设3log 6a =，5log 10b =，61log 2=+c ，则（ ） A ．a b c << B ．b a c <<

C ．c a b <<

D ．c b a <<

【答案】D 【解析】

()333log 6log 321log 2a ==?=+；()555log 10log 521log 2b ==?=+

又356log 2log 2log 2>> c b a ∴<<

本题正确选项：D

15．设集合A ＝{x|x 2﹣x ﹣2＞0}，B ＝{x|0＜2log x ＜2}，则A∩B ＝（ ） A ．（2，4） B ．（1，1）

C ．（﹣1，4）

D ．（1，4）

【答案】A 【解析】

A ＝{x|x ＜﹣1或x ＞2}，

B ＝{x|1＜x ＜4}；∴A∩B ＝（2，4）． 故选：A ．

16．若4log 3=a ，0.40.6b =，2log 2

1=c ，则实数a ，b

，c 的大小关系为（ ）

A ．c b a >>

B ．a c b >>

C ．a c b >>

D ．b a c >>

【答案】A 【解析】

由题得33log 4log 31,a =>=

0.400.60.61,0b b =<=>，

2log 2

1=c 12

log 10<=，

所以a>b>c. 故选：A

17．以下四个数中，最大的是（ ）

A ．

B ．

1e

C ．

ln π

π

D 【答案】B 【解析】 由题意，令()ln x

f x x =

，则()21x f x x

-'=， 所以e x >时，()0f x '<，∴()f x 在(,)e +∞上递减， 又由315e π<<<，∴()()()3(15)f e f f f π>>>，

则

1

111

13

3

15

ln ln 3ln ln ln15e

e π

ππ>>>>>

即

1ln ln e ππ>>>，

18．已知函数()2log f x x =，若函数()g x 是()f x 的反函数，则()()

2f g =（ ） A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B 【解析】

由函数2y f x log x ==（

） ，得2y x =， 把x 与y 互换，可得2x

y =，即2x

g x （

）=， ∴2224g ==（） ，则()22442f g f log ===（）（

）． 故选：B 19．设全集，，

，则（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C 【解析】

，

，

则或， 则，

故选：．

20．已知集合{|ln

}2A x y x ==-（），{

}

2

|30B x x x =-<，则A B ?=（ ） A ．（2，3） B ．（0，3） C ．（-3，0） D ．（0，2）

【答案】A 【解析】

由对数的运算，可得{|ln 22,}A x y x ==-=+（）（）∞，{}

2

(0,3)|30B x x x ==-<，

根据集合的交集运算，可得2,3A B =（），故选A.

21．已知集合，，则（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【解析】 解：∵； ∴；

∴．

故选：D ．

22．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]

1,1x ∈-时，()f x x =

，则方程()3log f x x =的根的个数是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7

【答案】A

【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数. 又[1,1]x ∈-时，()||f x x =，所以函数()f x 的图象如图所示.

再作出3log y x =的图象，易得两图象有4个交点，所以方程3()log f x x =有4个零点．故应选A ．

23．已知函数221()log (1)1

x a x f x x x ?+≤=?->?，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．

2【解析】

∵0

(0)223f =+= ∴[(0)](3)log 2a f f f == ∵[(0)]2f f = ∴log 22a =，

因为0,a >

所以解得a ．

24．已知33log ,ln 3,log 2a e b c ===，则a ，b ，c 中最小的是______． 【答案】c 【解析】 b=ln3＞1， 又2＜e ＜3，

所以log 32＜log 3e ＜1， 即c ＜a ＜b ，

故a ，b ，c 中最小的是c ． 故答案为：c