棱柱与棱锥

棱柱与棱锥

内容提要

1．棱柱的本质特征有两个：

（1）有两个面（所在平面）互相平行；

（2）其余各面中每相邻两个面的公共边互相平行。

2．棱柱按不同的分类标准可以得到不同的分类方法；

（1）以底面多边形的边数分类：棱柱底面是几边形就称这棱柱是几棱柱。如底面是三角形，四边形，五边形等的棱柱分别叫三棱柱，四棱柱，五棱柱等。

（2）以侧棱和底面的关系分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱；侧面和底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。

对于具体的棱柱我们往往同时用它的两种类属来表示，如斜三棱柱，直四棱柱，正五棱柱等，这种表示方法更能体现棱柱的特征。

3．棱柱的性质，可以由棱柱的定义出发，利用空间直线和平面相应位置关系的有关知识推出。

（1）棱的性质：侧棱都平行，并且都相等。

（2）面的性质：侧面是平行四边形；两个底面平行，是全等多边形。

（3）截面性质：平行于底面的截面是与底面全等的多边形；对角面是平行四边形。

4．计算公式

（1）棱柱的体积：V棱柱=Sh（S为底面积，h为棱柱的高）；

（2）棱柱的侧面积=各侧面面积之和；

（3）长方体的对角线长l：l2=a2+b2+c2（a、b、c分别为长、宽、高）。

5．直棱柱直观图的斜二侧画法包括两个主要步骤：

（1）水平放置的平面图形（直棱柱的下底面）的画法；

（2）直棱柱的侧棱及上底面的画法。

要点揭密

在学习本节时，要注意在掌握概念和性质的基础上，以常见的三棱柱、平行六面体、长方体、正方体为截体，研究与处理：线线关系、线面关系、面面关系。解决这类问题常用的方法有：作辅助线，或补形等等。利用前面所学知识，转化、降维，把数和形完美地结合起来，使问题获得解决。

知识讲解

一．棱柱

1．棱柱的概念及其性质

2．棱柱的分类

（1）根据棱柱底面边数分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱……

（2）按照棱柱的侧棱与底面的位置关系分别称做斜棱柱（侧棱与底面不垂直），直棱柱（侧棱与底面垂直）

（3）底面是正多边形的直棱柱又称为正棱柱

（4）平行六面体的性质见下表:

（5）柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的底面积乘以高，柱体的体积公式是V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高。

（6）关于长方体的对角线的定理即长方体的一条对角线长的平方等于同一顶点上的三条棱的长的平方和，是研究长方体问题的基础。

二．棱锥

1．锥的概念和性质和求积公式

=

2.正棱锥是学习的重点，要注意以下两点，其一是棱锥的底面是正多边形；其二是棱锥的顶点在底面内的射影是底面的中心。

3．记住下表的关系，将有助于关于多面体中的面积和体积的运算。

例题分析

第一阶梯

[例1]下列命题：

（1）各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱。

（2）对角面是全等的矩形的平行六面体是长方体。

（3）长方体一定是正四棱柱。

（4）相邻两侧面是矩形的棱柱，一定是直棱柱。

其中正确的命题个数为（）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

解:

（1）侧棱与底面边长相等，底面为菱形的直棱柱，侧面均为正方形，但不是正棱柱。

（2）正确。

（3）长方体的底面不一定是正方形。

（4）因相邻侧面的棱垂直于底面，又所有侧棱平行，则其它侧棱也垂直于底面，故为直棱柱，命题正确。

由上述分析可知，选（C）。

[例2]已知长方体的全面积（底面积与侧面积的和）为11，十二条棱长之和为24，求长方体对角线之长。

解设长方体的一个顶点上的三条棱长分别为a、b、c，由已知条件及长方体对角线性质，得

（2）式即为a+b+c=6，（3）

将（3）式两边平方减去（1）式两边，得a2+b2+c2=25，

∴长方体的对角线长为5。

评注

长方体的一个顶点上的三条棱长a，b，c的大小决定了长方体的形状大小，长方体中的许多元素（对角线长、侧面积、体积等）都可以用a，b，c的式子表示。一般要已知三个独立条件，列三个式子，方可求得a，b，c的值。而本例已知两个独立条件，所以不能通过求a，b，c来求

a2+b2+c2，而是把a2+b2+c2看成一个整体，利用已知条件和平方关系式（a+b+c）2=（a2+b2+c2）+（）直接求得。这充分体现了方程思想和整体处理问题的思想方法在解本题中的运用。

[例3]长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为α、β、γ，求证：

cos2α+cos2β+ cos2γ=1．

【分析】证明三角恒等式，可用从左边推出右边的方法

证明：

设对角线B1D与长方体的棱AD、DC、D1D所成的角分别为α、β、γ，连结AB1、CB1、D1B1，则△B1DA、△B1DC、△B1DD1都是直角三角形．

[例4]平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各棱长都相等，且∠B1C1D1＝∠CC1B1＝∠CC1D1＝60°

(1)求证平面ACC1A1⊥平面BB1D1D；

(2)若AA1＝a，求C到平面A1B1C1的距离．

分析

(1)如图，作CO⊥平面A1B1C1于O．

∵∠CC1B1＝∠CC1D，∴O在∠B1C1D1的角平分线上．

又∵A1B1C1D1是菱形．

∴D1B1⊥A1C1，A1C1平分∠B1C1D1

∴O∈A1C1，即A1C1是CC1在平面A1B1C1D1内的射影，因此，D1B1⊥CC1∴B1D1⊥平面A1C1CA

∴平面BB1D1D⊥平面A1C1CA

(2)作OM⊥B1C1于M，连CM，在Rt△CC1M中，CC1＝a，

[例5]如图，设正三棱柱A1B1C1—ABC的各条棱长都为a，M、N分别为BB1、CC1的中点，求经过A、M、N三点的截面与底面所成的角。

评注

由于已知图形中过A、M、N的截面与底面△ABC只有一个公共点，这两个平面所成的二面角的棱在图中没有出现，因此解本题的关键是作出二面角的棱l。另外，本题也可用射影面积公式

求解。设二面角为，则

[例6]如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1．

(1)求证：BE＝EB1．

(2)若AA1＝A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数．

∴∠DA1C1＝∠DA1B1＋∠B1A1C1＝90°，

即 DA1⊥A1C1．

∵CC1⊥面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，由三垂线定理得DA1⊥A1C，所以∠CA1C1是所求二面角的平面角．且∠A1C1C＝90°．

∵CC1＝AA1＝A1B1＝A1C1，

∴CA1C1＝45°，即所求二面角为45°．

如果改用面积射影定理，则还有另外的解法．

另解设△ABC的边长为a，截面A1EC和底面所成二面角为θ，

第二阶梯

[例1]如图．三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=a，∠BAC=90°；顶点A1在底面ABC上的射影为BC边的中点M．

(1)求证：BC垂直于过三点A1，A，M的平面；

(2)如果平面A1ABB1与平面ABC所成的二面角为60°，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积V．

例4．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，高为5，过AB作一个截面，截面与底面成60°角，则截面的面积是（）.

A、4

B、

C、

D、

分析：（1）先确定截面形状，即截面是与棱交于线段上或延长线上，（2）由截面形状是三角形或梯形，进一步求出面积.

解：设过AB的截面与侧棱CC1（或延长线上），交于一点P（如图

所示），取AB的中点为D，连结PD、CD，由ΔCAB是正三角形知CD⊥AB，

再由三垂线定理知PD⊥AB，故截面PAB与底面ABC所成二面角的平面角

就是∠PDC.

由已知∠PDC=60°.

∵ CD= BA= ，∴ PC=CD·tan∠PDC=3.

∴ P在侧棱CC1上，截面为ΔPAB.

∵ PD=2·CD= ，∴ SΔPAB= ·PD·AB= ··2= .故选B.

点评：若其他条件不变，将棱柱的高改为h, 求截面面积，就需要讨论，同学们可以验证：

当h≥3时，截面为等腰三角形，顶点在侧棱CC1上，面积为定值

；当h<3时，

截面为梯形，面积为[1- ].

例5．如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AC的中点.

①求证：AB1//平面BDC1；②若AB1⊥BC1，求二面角D-BC1-C的大小.

提示：连结B1C，B1C∩BC1=O，由AB1//OD，可证明AB1//平面BDC1：

过D作DE⊥BC，DE∩BC=E，连结OE，则OE是OD在侧面BC1内的射影，

∴DE⊥BC1，∠DOE是二面角D-BC1-C的平面角，∠DOE=45°.

例5．直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，

AC=1，

AA1= ，连结A1B、A1C，点D为AB的中点（如图）

①证明CD⊥面ABB1A1；

②求平面A1AB与平面A1BC所成二面角的正切值；

提示：①RtΔACB，∠ACB=90°，AC=BC=1.

∴ AB= ，∴ 侧面ABB1A1是正方形，A1B= ，

∵ D是AB的中点，∴CD⊥AB，因为侧面ABB1A1⊥底面ABC，交线为AB，

所以CD⊥侧面ABB1A1.

②过D作DE⊥A1B.连结CE，则DE是CE在侧面ABB1A1的射影，∴ A1B⊥CE，

∠CED是二面角A-BA-C的平面角，可求CD= ，DE= ·tan∠CED= .

第三阶梯

例1．若正四棱锥的底面边长是a，斜高是h，则它的侧棱长为________，高为_____.

分析：由正棱锥的性质可以知道：它的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；它的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形，本题已知斜高、求侧棱长和高，只要找到它们在底面的射影即可.

解：如图所示，正四棱锥P-ABCD中，正方形ABCD的边长AB=a, 斜高PE=h，作PO^面ABCD，则PO与面ABCD的交点O是底面正方形的中心，连结OE，

∵AB=a, PE=h, ∴ OE= a,

∴ 在RtΔPOE中，PO= ，∴ PO=

.

连结OB，在RtΔPOB中，PO= ，OB= a, ∴ PB= .

故棱锥的侧棱长为，高为.

点评：利用正棱锥中的几个直角三角形各边之间的关系，寻找解题途径，往往事半功倍.

例2．如图所示，平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AB=BC=CD，将ΔABC沿AC折起，使二面角B-AC-D为直二面角.

（1）求证：AB⊥平面BCD；

（2）求二面角B-AD-C的大小.

分析：作出点B在平面ACD上的射影E并

且证E是AC中点.

（1）证明：过B作BE⊥AC，垂足是E.

∵ 二面角B-AC-D是直二面角.

∴ BE⊥平面ACD，AC是AB在平面ACD上的射影，

又AC⊥CD，由三垂线定理知AB⊥CD. 又由已知，AB⊥BC.

∴ AB⊥平面BCD.

（2）解：过E作EF⊥AD于F，连结BF，由三垂线定理，BF⊥AD，

∴ ∠BFE就是二面角B-AD-C的平面角.

设AB=BC=CD=a, 则BE= a, AC= a,

RtΔACD中，AD= .

由ΔAFE∽ΔACD，得 EF= .

∴ 在RtΔBFE中 , tan∠BFE= .

∴ ∠BFE=60°，即二面角B-AD-C的大小为60°.

点评：对于平面图形翻折问题，要注意有关量在翻折之后的“变”与“不变”的位置和度量.对空间图形中不易观察的现象可根据翻折前的平面图形帮助观察，如本题中的相似三角形AFE和三角形ACD.

例3．三棱锥A-BCD的底面ΔBCD中，BD=CD=a, ∠CDB=90°，AB⊥

底面BCD，且AB=a,那么异面直线AD和BC之间的距离为_______.

分析：线线距离可转化为点线距离、线面距离及面面距离.

解：如图所示，过B作BE CD，过A作AF CD，连结CF、BF、AE、DE，

∵ ADCF是平行四边形，

∴ AD//CF，同理BC//DE，

∴ 平面ADE//平面FCB，

∴ 异面直线AD、BC的距离h就是这两个平行平面之间的距离.

又∵ ΔADE中，AD=DE=AE= a,

∴ SΔADE= .

由S四边形CBED=a2, V FCB-ADE= S CBED·AB=h·SΔADE得a2·a=h· a2，

∴ h= a, 即两条异面直线间的距离是 a.

点评：运用直线和平面的基本知识和方法，并且适当使用“割补法”，是解决多面体和旋转体问题的重要手段之一.

例4．如图，在三棱锥S-ABC中，SA=2，AB=AC，∠SAB=∠SAC=60°，SA与底面ABC所成的角等于45°，SA、AB、BC顺次成等差数列.(I)求证：SA⊥BC；(II)求二面角A-BC-S的正切值.

分析：因为∠SAB=∠SAC，且有AB=AC，所以得到SA在底面ΔABC内的射影是等腰ΔABC底边BC上的高线，根据三垂线定理，可以判定BC与SA的垂直关系.为求二面角A-BC-S的正切值，首先要找出这个二面角的平面角的所在位置.

解：过S作SO⊥平面ABC，过O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，分别连结SE和SF，则OE、OF分别是SE和SF在底面ΔABC内的射影，∵AB⊥OE，∴AB⊥SE，∵AC⊥OF，∴AC⊥SF，在RtΔSAE和RtΔSAF中，

∵ SA=SA，∠SAE=∠SAF=60°，∠SEA=∠SFA=90°，

∴ RtΔSAE≌RtΔSAF, ∴ AE=AF. 在RtΔOAE和RtΔOAF中，OA=OA，AE=AF，

∠OEA=∠OFA=90°，

∴ RtΔOAE≌RtΔOAF, ∴ OA平分∠BAC，

延长AO交BC于D，∵ AB=AC，∴ AD又是ΔABC中BC边上的中线和高线，

∵BC⊥AD，且AD是直线SA在底面ABC内的射影，

∴BC⊥SA，

∵AO是SA在底面ABC内的射影，∴ ∠SAO是SA

和底面ABC所成的角，∴ ∠SAO=45°，

在RtΔSAO中，SA=2，∠SAO=45°，∠SOA=90°，

∴ SO=AO= ×SA= .

在RtΔSAE中，∠SAE=60°，∠SEA=90°， SA=2，

∴ AE=1， SE= .

在RtΔSOE中，SO= ，SE= ，∠SOE=90°，

∴ OE= =1.

在RtΔAOE中，sin∠OAE= , ∴ ∠OAE=45°,

∴ ∠BAC=90°.

在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∴ BC= ×AB，

∵ SA、AB、BC成等差数列，

∴ 2×AB=SA+BC，∴ (2- )×AB=SA,

∴ AB= , ∴ BC=2+2 ,

∵ AD=BD= ×BC= +1,∵ AO= ,

∴ OD=1. 连结SD，则OD是SD在底面ABC内的射影.

∵BC⊥OD，∴BC⊥SD，∴ ∠SDO是二面角A-BC-S的平面角，

在RtΔSOD中，SO= ，OD=1，∠SOD=90°，∴tan∠SDO= , ∴ 二面角A-BC-S

的正切值等于.

例5．如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，侧棱SA⊥

底面ABCD，截面AEKH垂直SC，且与SB、SC、SD交于E、K、H.

①求证：∠AHK=90°；

② 设AB=a, SA为2a, 求SA与截面AEKH所成角的正切值.

提示：

①∵ SC⊥截面AEKH，∴AH⊥SC，∵CD⊥AD，且CD⊥SA，

SA∩AD=A，∴ CD⊥平面SAD， AH 平面SAD，

∴AH⊥CD，∵ C D∩SC=C，∴ AH⊥平面SCD，MK 平面SCD，∴AH⊥HK，∠AHK=90°.

②连结AK，则AK是SA在截面AEKH内的射影，∴ ∠SAK是SA和截面AEKH所成的角，

在RtΔSAC中，SA=2a, AC= a, ∠SAC=90°, SC= a,

∵AK⊥SC, ∴ ∠SAK=∠SCA,

∴tan∠SAK= .

例6．如图，三棱锥P-ABC中，底面ΔABC是正三角形，并

且棱锥的高与底面边长均为4，∠PAB=∠PAC，PB与底面ABC成45°

角.

①若点P在底面ABC的射影为点D，求证四边形ABDC是菱形；

②求PA与底面所成角的大小；

③若点E是PA的中点，求证：平面BEC⊥平面ABC；

④求二面角A-BE-C的大小的正切值.

提示：

①可证ΔPAB≌ΔPAC，∴ PC=PB，∴ CD=DB，

∵ RtΔPBD中，PD=4，∠PBD=45°，

∠PDB=90°，

∴ BD=CD=AC=AB=4.

②在RtΔPAD中，∠PDA=90°，PD=4，AD=4 ，∴tan∠PAD= ,∴ ∠PAD=30°.

③连结AD交BC于O，连结EO，∵EO//PD，∴ 可证EO⊥平面ABCD，∴ 平面BEC⊥平面ABCD