比例线段(2)[上学期]--浙教版1
九年级数学上册第四章相似三角形4.1比例线段第2课时比例线段随堂练习含解析新版浙教版
4.1__比例线段__ 第2课时 比例线段 1．[xx·西固区校级模拟]下列线段中，能成比例的是( D ) A ．3 cm ，6 cm ，8 cm ，9 cm B ．3 cm ，5 cm ，6 cm ，9 cm C ．3 cm ，6 cm ，7 cm ，9 cm D ．3 cm ，6 cm ，9 cm ，18 cm 2．在相同时刻的物高与影长成比例，小明的身高为1.5 m ，在地面上的影长为2 m ，同时一古塔在地面上的影长为40 m ，则古塔高为( C ) A ．60 m B ．40 m C ．30 m D ．25 m 【解析】 设古塔高为x (m)，则有x 40＝1.52 ，解得x ＝30.故选C. 3．已知四条线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，即a b ＝c d ，下列各式错误的是( C ) A ．ad ＝bc B.a ＋c b ＋d ＝a b C.a －b b ＝c －b d D.a 2b 2＝c 2 d 2 4．已知A ，B 两地的实际距离AB ＝5 000 m ，画在地图上的距离A ′B ′＝2 cm ，则这张地图的比例尺是( D ) A ．2∶5 B ．1∶25 000 C ．25 000∶1 D ．1∶250 000 5．已知P 是线段AB 上一点，且 AP PB ＝25，则AB PB 等于( A ) A.75 B.52
C.27 D.57 【解析】 由AP PB ＝25，则可设AP ＝2k ，PB ＝5k ，∴AB ＝7k ，∴AB PB ＝7k 5k ＝75 .故选A. 6．四条线段a ，b ，c ，d 成比例，其中b ＝3 cm ，c ＝2 cm ，d ＝6 cm ，则线段a 的长为__1__cm.
浙教版初中数学九年级比例线段及黄金分割(基础) 知识讲解
比例线段及黄金分割（基础） 知识讲解 【学习目标】 1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段； 2、会运用比例线段解决简单的实际问题； 3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点. 【要点梳理】 要点一、比例线段 【： 394495 图形的相似 预备知识】 1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 2．比例的性质： （1）基本性质：如果 a c b d =，那么ad bc =. （2）合比性质：如果++==.a c a b c d b d b d ，那么 如果--==.a c a b c d b d b d ，那么 要点诠释： （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 要点二、黄金分割 1.定义： 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BC AB AC =,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. 要点诠释： AC AB =≈叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 图4－7 如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD = 2 1AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .
（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释： 一条线段的黄金分割点有两个. 【典型例题】 类型一、比例线段 1. （2016?兰州模拟）若a ：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ） A ．2a=3b B ．3a=2b C ． D ． 【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案． 【答案】B ． 【解析】A 、2a=3b ?a ：b=3：2，故选项错误； B 、3a=2b ?a ：b=2：3，故选项正确； C 、=?b ：a=2：3，故选项错误； D 、=?a ：b=3：2，故选项错误． 故选B ． 【总结升华】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积． 举一反三： 【变式】（2015?崇明县一模）已知=，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）． A ．2a=5b B. a b 52= C. a+b=7 D.a b b 72 += 【答案】C ． 2. 设432z y x ==，求2222232z xy x z yz x --+-的值． 【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x ，y ，z 的值，因此用设参数法代入化简． 【答案与解析】设4 32z y x ==＝k 则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k 原式＝2222)4(322)2()4(433)2(2k k k k k k k k -??-+??-?＝222412k k --＝2 1 【总结升华】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去． 类型二、黄金分割
浙教版数学九年级上册练习：4.1比例线段(1).docx
4.1 比例线段（1）（巩固练习） 姓名 班级 第一部分 1、根据下列条件，求m ∶n 的值. (1) 34m n =；(2) 53m n =. 2、已知233535 y x y x +=-，求x ∶y 的值. 3、求下列比例式中的x . (1) 123x x +=；(2) 112x x x -=+. 4、已知324 x x =+，求211x x ++的值. 5、已知a c b d =判断下列比例式是否成立，并说明理由. (1) a b c d a c --=；(2) 22a a b b c d +=+. 6、已知234x y z ==，求x y z x y z +++-的值. 第二部分 1. 数－4与2的比值是 . 2. 已知小华的身高为1.5米，大树与小华的身高比为5∶1，则大树高为________米. 3. 如果3a =4b ，则 b a =________. 4. =中，两个内项的积是 . 5. 若3x y =，则_______x y y +=. 6. 已知2y =5x ，则x ∶y =______________. 7. 已知5 922=-+b a b a ，则a ∶b =___________. 8. 已知比例式 3142a a -=+，则a = . 9. 求下列各式中的x 的值. (l) (－3)∶x =2∶(－6)；(2) x ∶(x +l)=(l －x )∶3. 10. 判断21，2，四个数是否成比例．如果成比例，试写出一个比例式．
参考答案 第一部分 1、根据下列条件，求m ∶n 的值. (1) 34m n =；(2) 53m n =. 【解】(1) 43m n =； (2) 3553m n m n =?=?53 m n =. 2、已知233535 y x y x +=-，求x ∶y 的值. 【解】23355(23)3(53)24553524 y x x y x y x x y y x y +=?+=-?=?=-. 3、求下列比例式中的x . (1) 123x x +=；(2) 112 x x x -=+. 【解】(1) ()1321223x x x x x +=?=+?=； (2) ()()2121121012 x x x x x x x x -=?=+-?--=+，解得1x =4、已知324 x x =+，求211x x ++的值. 【解】()2313743262417 x x x x x x x +=?=+?=?=++. 5、已知a c b d =判断下列比例式是否成立，并说明理由. (1) a b c d a c --=；(2) 22a a b b c d +=+. 【解】(1) 比例式成立. 理由如下： ∵ a c b d =，∴11a c b d -=-，即a b c d a c --=. (2) 比例式不成立. 理由如下： 设 a c k b d ==，则a=bk ，c=dk . ∴2222a b bk b b c d dk d d ++==++，而a c b d =，∴22a a b b c d +≠+. 6、已知234x y z ==，求x y z x y z +++-的值. 【解】设 234 x y z k ===，则x =2k ，y=3k ，z =4k . ∴2349234x y z k k k x y z k k k ++++==+-+-.
九年级数学上册 4.1 比例线段(1)教学设计 (新版)浙教版
1 4.1比例线段 教学目标： 1.了解比例中项的概念。 2.会求已知线段的比例中项（了解与数的比例中项的区别）。 3.通过实例了解黄金分割。 4.利用黄金分割进行简单的计算和作图. 教学重点、难点： 教学重点：黄金分割的概念及其简单应用。 教学难点：黄金比的计算涉及数形结合，是本节教学的难点 知识要点： 1.如果三个数a 、b 、c 满足比例式a b ＝b c （或a:b ＝b: c ），则b 叫做a ，c 的比例中项。 2. a b ＝b c <=>b 2 ＝ac 。 3.如图4-1-4,如果点P 把线段AB 分成两条线段AP 和PB ，使PB AP ＝AP AB ,那么称线段AB 被点P 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点，线段AP 与AB 的比叫做黄金比. 重要方法： 1.判断b 是a 、c 的比例中项，只要a b ＝b c 或b 2 ＝ac 成立。 2.记住线段AB 被点P 黄金分割原理；记住黄金比： 5 －1 2 ≈0.618. 3.利用黄金分割原理解释自然界中的生活现象. 4.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形的底与腰的比等于黄金比；顶角为108°的等腰三角形的腰与底的比等于黄金比.（宽与长的比等于黄金比的矩形是黄金矩形） 教学过程： 一、预习反馈 《全程助学》课前预习 二、创设情景，引入新课 感受匀称、协调之美 如：蒙娜丽莎像、芭蕾舞演员的演姿、上海东方明珠塔、五角星等，感受黄金分割图像之美。 三、合作学习，探索新知 1．线段的比例中项 定义：一般地，如果三个数a 、b 、c 满足比例式 a b ＝b c （或a:b ＝b: c ），则b 叫做a ，c 的比例中项. a b ＝b c <=>b 2 ＝ac 。 2a b c ac a b b c ===== 已知算一算，b 成立吗？a,b,b,c 这四个数是否成比例？再写出三个数，使它们满足的条件。
2018年秋九年级数学上册 第4章 相似三角形 4.1 比例线段(3)练习 (新版)浙教版
4.1 比例线段(3) (见B 本35页) A 练就好基础 基础达标 1．已知两条线段的长分别为3和12，则它们的比例中项是( B ) A ．4 B ．6 C ．9 D ．36 2．一条线段的黄金分割点有( B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个 3．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为( A ) A ．12.36 cm B ．13.6 cm C ．32.36 cm D ．7.64 cm 第4题图 4．如图所示，扇子的圆心角为x ，余下的扇形的圆心角为y ，x 与y 的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形较美观，若取黄金比为0.6，则x 为( B ) A ．216° B ．135° C ．120° D ．108° 5．已知线段AB ＝10 cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点(AC>BC)，则AC 的长为6．据有关测定，当气温处于人体正常体温(37 ℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为__23__℃.(结果保留整数) 7．已知：线段a ＝1，b ＝ 5－12，c ＝3－5 2 . 请证明b 是a ，c 的比例中项． 证明：∵b 2 ＝? ?? ??5－122＝3－5 2， a ·c ＝3－52， ∴b 2 ＝ac, ∴b 是a ，c 的比例中项． 8．(1)已知a ＝4，c ＝9，若b 是a ，c 的比例中项，求b 的值； (2)已知线段MN 是AB ，CD 的比例中项，AB ＝4 cm ，CD ＝5 cm ，求MN 的长．并思考两题有何区别． 解：(1)∵b 是a ，c 的比例中项， ∴a ∶b ＝b∶c，∴b 2 ＝ac ， ∴ b ＝±ac.∵a ＝4，c ＝9, ∴b ＝±36＝±6，即b ＝±6. (2)∵MN 是线段， ∴MN ＞0. ∵线段MN 是AB ，CD 的比例中项，∴AB ∶MN ＝MN∶CD， ∴MN 2 ＝AB CD. ∴MN ＝±AB·CD . ∵AB ＝4 cm ，CD ＝5 cm ， ∴MN ＝±20＝±25，MN 不可能为负值， 则MN ＝2 5. 通过解答(1)，(2)发现，b ，MN 同时作为比例中项出现，b 可以取负值，而线段MN 不可以取负值． 9．如图所示，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB 的长为20 m ，那么主持人应走到离点A 约多少米处才最自然得体？(精确到0.1 m)
沪教版数学24.2(2)比例线段
§24.2（2）比例线段（2） 教学目标： 1、 体会平行线、三角形的面积与比例线段之间的转化，为“三角形一边的平行线的性质定 理”做好铺垫. 2、 通过对黄金分割的了解，体会方程思想的作用. 教学重点：转化的数学思想. 难点：方程思想. 教学过程： 一、三角形的面积与比例线段之间的转化. 例1、已知，如图四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，BOC AOD S S ??=. 求证： OA CO OB DO =. 你还能得到其它结论吗？ 比如DC//AB ？ 想一想：如果将条件，改为DC//AB ，结论还成立吗？ 也就是：只要有平行的条件，就可以得到比例式，中间过程是面积相等.即平行线、三角形等积和比例式之间可以相互转化. 二、黄金分割与方程思想： 例2、如图，已知线段AB 的长度是l ，点P 是线段AB 上一点， AB AP AP PB =， 求线段AP 的长. （方程思想） 黄金分割：如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP ＞PB ）两段，其中AP 是AB 和PB 的比例中项，即AB AP AP PB =那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点． 黄金数：如果点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），那么 215-==AB AP AP PB ，其中比值2 15-称为黄金分割数（简称黄金数）．近似值是0.618. 黄金分割被称为“天赋的比例法则”，在建筑设计、美术、音乐、艺术及几何作图方面都有广泛的应用. 《唐老鸭漫游数学奇境》 P
练习1、（1）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），求PB∶AB的值．（2）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），若AB＝20，求PB的值． 三、课堂小结： 1、本节课你学习了哪些概念？ 2 、掌握了哪些方法？ 3、有什么感悟？ 四、作业：1、课后练习 2、练习册.
人教版九年级数学比例线段
优秀学习资料欢迎下载 九年级数学学案 课题比例线段 主备人 课时 时间 学习目标 1.理解线段成比例及有关概念的意义 . 2.掌握比例基本性质及运用 . 3.理解平行线分线段成比例定理并会应用。 重点线段成比例、比例基本性质及平行线分线段成比例定理运用. 导学过程 师生活动 一、导入知识梳理 1. 线段比的含义：如果选用同一长度单位得两条线段 a 、 b 的长度分别为 m 、n ， 那么就说这两条线段的比是a ：b=m ：n ，或写成 a m = b n ，和数的一样，两条线段的比 a 、 b 中，a 叫做比的前项 b 叫做比的后项． 2. 线段成比例及有关概念的意义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于 另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果或a ：b=c ：d ，那么a 、b 、c 、d 叫做成比例的项，线段a 、d 叫做比例外项，线段 b 、d 叫做比例内项，线段 d 叫做a 、b 、c 的第四比例项。 3.比例基本性质：如果a ：b=c ：d ，那么ad=bc ；反之亦成立。 4．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。 二、导学精典例题： 【例1】已知 05 4 3 z y x ，那么 z y x z y x ＝。答案： 3 11. 变式：已知3:1:2::z y x ，求 y x z y x 232的值。答案：3 2．（2012北京）已知 02 3 a b ≠，求代数式 2 2 5224a b a b a b 的值．答案： 1 2 【例2】如图，在△ABC 中，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且AE ＝AF ，EF 的延长线交BC 的延长线于点 D 。在下面的三个图形中任选一个探究： 是否存在CD ∶BD 等于 CF ∶BE 。若存在请证明，若不存在请说明理由。 例2图1 G F E D C B A 例2图2 G F E D C B A 例2图3 G F E D C B A 【例3】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：
浙教版九上 4.1比例线段(1) 教案
4.1比例线段(1) 教学目标： 1.理解比例的基本性质。 2.能根据比例的基本性质求比值。 3.能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形。 教学重点、难点： 教学重点：比例的基本性质 教学难点：例2根据条件判断一个比例式是否成立，不仅要运用比例的基本性质，还要运用等式的性质等方法是本节教学的难点。 知识要点： 1.如果两个数的比值与另两个数的比值相等，那么这四个数成比例。 2.a 、b 、c 、d 四个实数成比例，可表示成a:b ＝c:d 或a b =c d ，其中b 、c 叫做内项，a 、d 叫做外项。 3.基本性质：a b =c d <=>ad ＝bc(a 、b 、c 、d 都不为零) 重要方法： 1.判断四个数a 、b 、c 、d 是否成比例， 方法1:计算a:b 和c:d 的值是否相等； 方法2:计算ad 和bc 的值是否相等，(利用ad ＝bc 推出a b =c d ) 2.“a c =b d <=>a b =c d ”的比例式之间的变换是抓住实质ad ＝bc 。 3.记住一些常用的结论： a b =c d =>a ＋b b =c ＋d d ，a b =a ＋c b ＋d 。 教学过程： 一、复习引入 1、举例说明生活中大量存在形状相同，但大小不同的图形。 如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。 2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。你知道0.618这个比值的来历吗？ 说明学习本章节的重要意义。 3.如何求两个数的比值？ 二、自学新课，探究结论 阅读思考题 (1)什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6 的比。如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？ (2)比与比例有什么区别？ (3) 用字母a,b,c,d 表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项和第四比例项的概念吗？
浙教版九年级数学上册《比例线段》教案
《比例线段》教案 教学目标 1.了解两条线段的比和比例线段的概念； 2.能根据条件写出比例线段； 3.回运用比例线段解决简单的实际问题. 教学重点、难点 教学重点：比例线段的概念. 教学难点：例题中要求根据具体问题发现等量关系，找出比例式，有一定的隐蔽性，是本节教学的难点. 知识要点 1.两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 2.四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段. 重要提示 1.用方程思想寻找几何图形中四条线段成比例是常用方法. 2.四条线段成比例可以解决一些实际问题，如地图上的某两地之间的距离. 教学过程 一、复习引入 1.列举四个数成比例，并写出比例式，指出比例内项、外项、第四比例项. 2.说出比例的基本性质.由ad ＝bc 可推出哪些比例式？ 3.练习：(1)若3x ＝4y ，求x y 、x x －y 、x －2y x ＋y 的值. (2)若a ＋b a ＝53 ，求a －2b b 的值. (3)x :y :z ＝2:3:4，求x －y ＋z 2x ＋3y －z 的值. (4)已知a :b :c ＝3:4:5，且2a ＋3b －4c ＝－1，求2a －3b ＋4c 的值. (5)已知线段AB ＝15cm ，CD ＝20cm .求AB :CD 的值. 二、设置问题，探究新课
如何定义两线段的比呢？什么是比例线段？ 在同一长度单位下，a ,b ,两线段长度的比叫做这两线段的比.记为a ：b 或a b 注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定； (2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关. (3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB :CD . 比例线段：一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段.(老教材定义：如果四条线段的长度成比例，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段) 三、模仿与应用 例题：已知线段a =10mm ，b =6cm ，c =2cm ，d =3cm .问：这四条线段是否成比例？为什么? 答：这四条线段成比例 ∵a =10mm =1cm ∴a c ＝12 ，d b ＝36 ＝12 ∴a c ＝d b ，即线段a 、c 、d 、b 是成比例线段. 想一想:是否还可以写出其他几组成比例的线段. 反思：判断四条线段是否成比例的方法有两种： (1)把四条线段按大小排列好，判断前两条线段的比和后两条线段的比是否相等. (2)查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积. 例如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高.请找出一组比例线段，并说明理由. 分析：(1)根据比例基本性质，要判断四条线段是否成比例， 只要采取什么方法(看其中两条线段的乘积是否等于另两条线段的乘积) (2)已知条件中有三角形的高，我们通常可以把高与什么知识联系起来？ (3)根据三角形的面积公式，你能得到一个怎样的等式？根据所得 的等式可以写出怎样的比例式. 例如图，是我国台湾省的几个城市的位置图，问基隆市在高雄市的哪一个方向？到高雄市的实际距离是多少km ？ A B C D
沪教版(上海)九年级第一学期教案设计 24.2比例线段(2)
§24.2比例线段（2） 教学目标： 1.知道线段的黄金分割点并会计算． 2.经历黄金分割点的探索过程，从中体会化归、分类讨论和方程的数学思想． 3.通过黄金分割在生活中的应用，感受黄金分割在数学中的巨大魅力． 教学重点：黄金分割的应用． 教学难点：黄金数的推导． 教学过程： 教师活动 学生活动 设计意图 一、情景引入 1．观察 （1） 请同学们欣赏一段芭蕾舞表演． 师：芭蕾舞在跳法上和其他舞种有什么区别吗？ 师：你们知道这是为什么吗？ （2） 展示四个国家的国旗. 中华人民共和国 朝鲜 新西兰 新加坡 师：请问这四面国旗中有共同图案吗？若有，请指出来. 师：为什么都会选择五角星这个图案呢？有一个非常重要的原因就是：五角星是一个非常完美的图案. 古希腊数学家毕达哥拉斯有一句名言：“凡是美的东西，都具有共同的特征，这就是部分与部分以及部分与整体之间的协调一致.”下面就让我们从数学的角度来探究五角星中部分与部分以及部分与整体之间存在着怎样的一种关系. 二、学习新课 1. 探究五角星中的线段： 度量点Ｐ到点A 、B 的距离，计算 AB AP 和AP PB 的预设： 答：要掂起脚尖. 学生可能有各种猜测，但不一定说的清楚． 答：都能有五角星． 对学生视觉上形成美的冲击. 学生有了强烈的求知欲. 通过创设情境“四个国家的国旗中都有五角星这个图案”，就会使同学们认识到五角星这个图案不一般，也就会非常想知道五角星中部分与部分以及部分与整体之间到底蕴涵着怎样的一种关系.有了探究的欲望．. B P A
师：下面我们再来了解黄金分割在现实生活中 的应用： 请同学们观察两幅照片，哪一更具有美感呢？ 教师补充： 因为绝对的对称会给人单调、静止、缺乏活力的感觉，为了打破这种感觉，我们在构图的时候，就需要灵活地运用黄金分割来构图，把画面的上下左右用黄金分割来做出4条线，人们发现4条线交汇的4个点是人们的视觉最敏感的地方，被反复证明的是当被摄主体处于或发布在这4个点附近最容易得到“眼球”，在摄影理论里把这4个点称为“趣味中心”. 师：下面再来看看黄金分割在建筑上的应用： 展示巴黎埃斐尔铁塔、上海东方明珠电视塔、古埃及金字塔三幅图片，讲述其中蕴涵的黄金分割比例. 3. 新知应用： 例题1：已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB=8,求较长线段AP和较短线段PB. 问：如何求？答：第２副. 学生欣赏著名建筑的图片， 体会黄金分割在建筑上的应用 价值和人文价值． 答:由 2 1 - 5 全 长 长 短 = =， 则已知全长,长= 2 1 5- 全； 学生选择 图（2）完全 是一种直觉， 并不明白其 中的原因，当 把上述道理 讲给学生听 时，他们对黄 金分割的美 学价值有更 深的认识. 通过具体 实例感受黄 金分割的巨 大魅力.
线段比与比例线段概念
线段的比与比例线段的概念、比例的性质和黄金分割 Ⅰ梳理知识 比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割 1.线段的比的定义 在同一单位长度下，两条线段 的比叫做这两条线段的比. 2.比例线段的定义 在四条线段中，如果其中两条线段的 等于另外两条线段的 ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称 .在a ：b ＝c ：d 中，a 、d 叫做比例的 ，b 、c 叫做比例的 ，称d 为a 、b 、c 的 . 3.比例的性质 (1)比例的基本性质：如果a ∶b ＝c ∶d ，那么 .特别地，若a ∶b ＝b ∶c ，即 ，则b 叫a ，c 的比例中项. (2)合(分)比性质：若 d c b a =，则 . (3)等比性质：若n m f e d c b a ==== ，且 ，则 . 4.黄金分割 (1)黄金分割的意义：如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果 ，那么称线段AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB 的比叫做 . (2)黄金分割的作法 【例题讲解】 例1.(1)已知1，5，5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是 . (2)在比例尺为1：n 的某市地图上，规划出一块长5cm ×2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是 平方米. 例2.(1)已知x ∶y ∶z ＝3∶4∶5，①求 z y x +的值；②若x ＋y ＋z ＝6，求x 、y 、z. (2)已知a 、b 、c 、d 是非零实数，且 k c b a d d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值.
初三数学第2讲：比例线段与黄金分割
教学内容 一、知识要点： 1、两条线段长度的比叫做两条线段的比。 2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 如果a、b、c、d是比例线段，即（或），那么线段a、d是比例外项，线段b、c是比例内项。 3、比例线段有以下性质： （1）基本性质 如果，那么 （2）合比性质 如果，那么，； （3）等比性质 如果，那么。 等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形。例如：如果，那么小试牛刀： 一、填空题 1、两条线段x、y的长度的比叫做这两条线段的____________，记作 ____________。 2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比 ____________，那么这四条线段叫做成比例线段，简称____________。 3、合（分）比性质：如果，那么=_____________。 4、等比性质：如果，且_____________，那么__________= 5、若4x=5y，则x：y=____________ 6、已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，则d为_______ 7、下列各组线段成比例的是（）
A、1cm、3cm、2cm、4cm B、1m、20cm、5cm、25cm C、cm、cm、cm、4m D、4cm、8cm、6m、12cm 8、已知点C是AB延长线上一点，且AC:CB=5:3,AB=52,则CB的值为（） A、13 B、19.5 C、78 D、130 9、在比例尺为40:1的图纸上，一零件的长度为16厘米，则该零件的实际长度为（） A、6.4厘米 B、64分米 C、0.4厘米 D、4厘米 二、典型例题： 例1、有两组线段，每组分别有四条，长度如下： （1）a=16厘米，b=18厘米，c=5厘米，d=10厘米； （2）a=10厘米，b=0.5厘米，c=0.6分米，d=12厘米。 试判断它们是否成比例。 分析：判断四条线段是否成比例，可以先把它们按从小到大的顺序排列，由比例的基本性质可知，即如果第一、四两个数之积等于第二、三两数之积，则四条线段成比例，否则不成比例。 例2、如图：已知 A 求证：（1）（2） D E B C
比例线段及比例的基本性质
比例线段及比例的基本性质 [内容] 教学目标 1．理解比例线段的概念，能说出比例关系式中比例的内项、外项、第四比例项或比例中项. 2．掌握比例的基本性质，初步会用它进行简单的比例变形，并会判断四条线段是否成比例. 3．培养学生将比例式看成是关于末知数的方程的观点，利用方程思想来解决问题. 教学重点和难点 重点是比例线段的概念及基本性质的应用；难点是应用比例的基本性质进行比例变形. 教学过程设计 一、复习四个数成比例的有关知识 1.四个数a ，b ，c ，d 成比例的定义，比例的项、内项及外项的含义. 2.比例的基本性质的内容. 二、类比联想、定义比例线段的有关概念 1.复习两条线段的比的有关知识. 投影：如图5-4，矩形ABCD 与矩形A 'B 'C 'D '中，AB=50，CD=25，A 'B '=20，C 'D '=10.求出''''C B B A BC AB 及的值，并回答它们的大小关系. 答： 12''''==C B B A BC AB 由此引出比例线段的概念. 2.用类比的方法学习比例线段的概念. （1）比例线段的概念. 在四条线段中，如果其中两条线段比等于另外两条线段比，那么这两条线段叫做成比例线段，简称比例线段. （2）比例线段的符号表示及有关名称. ① ① 四条线段 a ，b ，c ，d 成比例，记作a :b=c :d .组成比例的项是a ，b ，cd ，其中比 例外项为a ，b ，比例内项为b ，c ，d 称为a ，b ，c 的第四比例项. ② ② 特殊情况：若作为比例内项的两条线段相同，即a :b=c :d .则线段b 叫a ，c 的比 例中项. ③ ③ （3）教师应强调四条线段才能成比例，而且有顺序关系. 如图5-4中， ''' 'B A C B BC AB ≠，即AB ，BC ，B 'C '，A 'B '四条线段不成线段，而AB ，BC ，
24.2比例线段
都英教育教师辅导讲义 班级编号： 年 级：九 课时数： 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：常老师 学科组长签名及日期 授课时间 课 题 比例线段 教学目标 1、相似形的复习 2、知道两条线段的比的意义，理解比例线段及有关概念，运用比例线段的性质对比例进行简单的变形 重点、难点 1、熟练掌握比例线段的性质 2、运用“同高（或等高）的两个三角形的面积的比等于对应边的比”进行三角形的面积比与线段的比的转化 教学内容 一、知识回顾 1、在数学上，我们把______________的两个图形称为相似的图形，或者称为__________________。 2、如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的_______________相等，______________成比例。 3、利用“方格法”画与已知图形相似的图形的依据是_______________________________________. 例1、下面各组中的两个图形，哪些是形状相同的图形，哪些是形状不同的图形。 例2、关于一个图形进行缩放时，以下说法正确的是（ ） A. 图形中线段的长度与角的大小都保持不变 B. 图形中线段的长度与角的大小都会改变 C. 图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变 D. 图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变
二、知识精讲 知识点一：成比例线段的概念 线段的比：在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。 即：如果用同一长度单位量得线段a ，b 的长度分别是c ，d ,那么d c b a d c b a ==或::。在中，a 叫比的前项，b 叫比的后项。 （1）比例线段所表示的是四条线段的关系， （2）比例线段所表示的是一种相等关系，因此表示比例线段的式子中必须有等号存在， （3）线段a 、b 、c 、d 成比例是有顺序地表示为d c b a ::=。 （4）判断四条线段是否成比例，只要把这四条线段按长度的大小顺序排好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可。 生活常识： （1）同一时刻物高与影长成比例. （2）图上长度与实际长度的比通常称为比例尺. 注意： （1）两条线段比是一个正数,它没有单位. （2）两条线段比与所选的长度单位无关. （3）求两条线段比时.如果单位不同.那么必须先化成同一单位.再求它们的比. 例3、判断下列各组长度的线段是否成比例： （1）2cm ，3cm ，4cm ，1cm （2）1.5cm ，2.5cm ，4.5cm ，6.5cm （3） （4） 例4、若线段AB=3 cm ，CD=6 cm ，则AB ∶CD= ，CD ∶AB= 例5、已知，且是、的比例中项，则 ，若是、的比例中项，则 . 知识点二：比例线段的性质 1、比例线段的两个外项的积等于两个内项的积，即如果 d c b a =，那么bc a d =。还可以得到如果d c b a =，那么c d a b =，d b c a =，b d d c =。 2、如果d c b a =，那么d d c b b a +=+。 类似地，可得；如果d c b a =，那么c d c b b a -=-。 b a b a 或:;32,15,5,2====d c b a .10,15,8,12====d c b a 34=b a b a c =c b a b c =c b
线段的比与比例线段的概念
线段的比与比例线段的概念、比例的性质和黄金分割 Ⅰ梳理知识 比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割 1.线段的比的定义 在同一单位长度下，两条线段 的比叫做这两条线段的比. 2.比例线段的定义 在四条线段中，如果其中两条线段的 等于另外两条线段的 ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称 .在a ：b ＝c ：d 中，a 、d 叫做比例的 ，b 、c 叫做比例的 ，称d 为a 、b 、c 的 . 3.比例的性质 (1)比例的基本性质：如果a ∶b ＝c ∶d ，那么 .特别地，若a ∶b ＝b ∶c ，即 ，则b 叫a ，c 的比例中项. (2)合(分)比性质：若 d c b a =，则 . (3)等比性质：若 n m f e d c b a = == = ，且 ，则 . 4.黄金分割 (1)黄金分割的意义：如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果 ，那么称线段AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB 的比叫做 . (2)黄金分割的作法 【例题讲解】 例1.(1)已知1，5，5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是 . (2)在比例尺为1：n 的某市地图上，规划出一块长5cm ×2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是 平方米. 例2.(1)已知x ∶y ∶z ＝3∶4∶5，①求z y x +的值；②若x ＋y ＋z ＝6，求x 、y 、z. (2)已知a 、b 、c 、d 是非零实数，且k c b a d d a b c d c a b d c b a =++= ++= ++= ++，求 k 的值.
2020浙教版数学九年级上册4.1比例线段2
4.2比例线段(2) 教学目标： 1.了解两条线段的比和比例线段的概念； 2.能根据条件写出比例线段； 3.回运用比例线段解决简单的实际问题。 教学重点：比例线段的概念。 教学难点：要求根据具体问题发现等量关系，找出比例式。 教学过程 一、知识回顾 如果两个数的比值与另两个数的比值相等,就说这四个数成比例. 我们把a、b、c、d这四个数成比例， 表示成a c b d =或 a：b=c：d， 比例有如下性质: 二、新课 练一练：１、设线段ＡＢ＝２cm，ＡＣ＝４cm, 两条线段的长度比是 2、设线段ＡＢ＝200cm，ＡＣ＝４m,两条线段的长度比是 归纳：两条线段的长度比叫做这两条线段的比 记作: 1 2 AB AC = 归纳：一般地,如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的比, 即 a c b d =,那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 例如'''' ,,, AB A B AC AC是比例线段. 三、范例 例1 已知线段a=10mm , b=6cm, c=2cm , d=3cm . 问：这四条线段是否成比例？为什么? 答：这四条线段成比例. ∵a=10mm=1cm a c ad bc b d =?=(a,b,c,d均不为零)
即线段a 、c 、d 、b 成比例. 想一想: 是否还可以写出其他几组成比例的线段. 答:可以. 如: 四、练习： 1.已知线段a=2cm,b=4.1cm,c=4cm,d=8.2cm,下面哪个选项是正确的？( ) A. d, b, a, c 成比例线段 B. a, d, b, c 成比例线段 C. a, c, b, d 成比例线段 D. a, d, c, b 成比例线段 2.下列各组线段的长度成比例的是（ ） A.2cm,3cm,4cm,1cm ,2.5cm,6.5cm,4.5cm ,2.2cm,3.3cm,4.4cm D.1cm,2cm,2cm,4cm 五、例2 如图，在直角三角形ＡＢＣ中，ＣＤ是斜边ＡＢ上的高线，请找出一组比例线段，并说明理由. 分析：(1)根据比例基本性质，要判断四条线段是否成比例，只要采取什么方法? (看其中两条线段的乘积是否等于另两条线段的乘积) (2)已知条件中有三角形的高，我们通常可以把高与什么知识联系起来？ (3)根据三角形的面积公式，你能得到一个怎样的等式？ 根据所得的等式可以写出怎样的比例式。 六、试一试 １．如图在平行四边形ＡＢＣＤ中， ,DE AB DF BC ⊥⊥.找出图中的一组比例 线段（用小写字母表示）,并说明理由． 说说你在这节课中的收获与体会56 七、小结 判断四条线段是否成比例的方法有两种： (1)把四条线段按大小排列好，判断前两条线段的比和后两条线段的比是否相等。 (2)查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积 。 说说你在这节课中的收获与体会