习题详解-第6章 定积分
习题6-1
1. 利用定积分的几何意义求定积分:
(1)
1
2xdx ?
;
(2)
?
(0)a >.
解 (1) 根据定然积分的几何意义知, 10
2xdx ?表示由直线2,1y x x ==及x 轴所围的三角
形的面积,而此三角形面积为1,所以
1
21xdx =?.
(2) 根据定积分的几何意义知
,
?
表示由曲线0,y x x a ===及
x 轴所围成的14圆的面积,而此14圆面积为2
14
πa ,
所以2014a a =?π.
2. 根据定积分的性质,比较积分值的大小:
(1)
1
2
x dx ?
与1
3
x dx ?; (2)
1
x
e dx ?与1
(1)x dx +?.
解 (1) ∵当[0,1]x ∈时,232(1)0x x x x -=-≥,即2
3
x x ≥,
又2
x
3x ,所以11
230
x dx x dx >??.
(2) 令()1,()1x x f x e x f x e '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>, 从而()(0)0f x f ≥=,说明1x
e x ≥+,所以1
1
0(1)x e dx x dx >+?
?.
3. 估计下列各积分值的范围:
(1)
4
2
1
(1)x dx +?;
(2) arctan xdx ;
(3)
2
a
x a
e
dx --?
(0a >); (4)
22
x x
e dx -?
.
解 (1) 在区间[]1,4上,函数2
()1f x x =+是增函数,故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,
最小值(1)2m f ==,所以4
2
1
2(41)(1)17(41)d x
x -≤+≤-?,
即 4
21
6(1)51x dx ≤
+≤?
.
(2) 令()arctan f x x x =,则2()arctan 1x f x x x '=+
+,
当
x ∈时,()0f x '>,从而()f x
在上是增函数,从而f (x )
在
上的最大值M f ==,最小
值m f ==,所以
2arctan 93xdx =≤≤=
ππ
即
2arctan 93xdx ≤≤ππ
.
(3) 令2()x f x e -=,则2
()2x f x xe -'=-,令()0f x '=得驻点0x =,又(0)1f =,
2
()()a f a f a e -=-=,a >0时, 2
1a e -<,故()f x 在[],a a -上的最大值1M =,最小值
2
e a m -=,所以
2
2
22a
a x a
a dx a ---≤≤?e e .
(4) 令2()x x
f x e
-=,则2
()(21)x
x
f x x e -'=-,令()0f x '=得驻点1
2
x =
,又(0)1,f = 1
24
1(),(2)2
f e f e -==,从而()f x 在[]0,2上的最大值2M e =,最小值14m e -=,所以 2
12
24
2x
x
e
e dx e --≤≤?.
习题6-2
1. 求下列导数:
(1)
0d dx ?; (2) 5ln 2x t d t e dt dx -?; (3) cos 2
0cos()x d t dt dx π?; (4)
sin x d t dt dx t π? (0x >). 解 (1)
d dx =? (2) 55ln 2x t x
d t
e dt x e dx --=?. (3)
cos 222
cos()cos(cos )(cos )sin cos(cos )x d t dt x x x x dx πππ'=?=-?. (4) sin sin sin x x d t d t x
dt dt dx t dx t x
ππ=-=-??.
2. 求下列极限:
(1) 0
2
arctan lim
x
x tdt x →?; (2)
()22
2
20
e lim
e x
t x
x t dt t dt
→??
.
解 (1) ()0
22000021arctan arctan arctan 11(1)lim lim
lim lim 222x x
x x x x tdt tdt x x x x x →→→→'??--??+====-'
??.
(2) (
)
(
)
2
2
222
222
22
2
0000
20000220022lim lim lim lim x
x
x x t t t x t
x x x x x x x t x t e dt e dt e dt e dt xe xe te dt
te dt →→→→'?
?????
?==='??????????e []
22
2
2202000222lim lim lim 2122x t x x x x x x x e dt e x e xe x xe →→→'????====+'+??. 3. 求由方程
e cos 0y
x
t dt tdt +=?
?所确定的隐函数()y y x =的导数.
解 方程两边对x 求导数得:
cos 0e y y x '?+=, cos e y
x
y '∴=-
, 又由已知方程有00
0sin e y x
t
t +=,即1sin sin 00e y x -+-=, 即1sin e y
x =-,于是有cos cos sin 1
e y
x x
y x '=-
=-. 4. 计算下列定积分:
(1)
1
?
; (2)
2
21
d x x x --?
;
(3) 设,0,2
()sin ,2
x x f x x x πππ?
≤≤??=??≤≤;?? ,求0
()f x dx π?
(4)
?
.
解 (1)
4
321
1
21433x ==?
.
(2)
2
1
2
2222
1101()()()dx x x dx x x dx x x dx x x --=-+-+--????
012
3223321011111111163
22332x x x x x x -??????=++=--- ? ? ???????.
(3) ()
2
2220
2
2
()sin 1cos 8
2x
f x dx xdx xdx x π
π
π
π
π
π
ππ=+=
+=+
-?
??
(4)
3
2
3
2
2(2)(2)xdx x dx x dx =-=-+-?
???
23
2202
115
(2)(2)222x x x x =-+-=.
5.设函数()f x 在区间[],a b 上连续,在(),a b 内可导,()0f x '≤,1()()x
a
F x f t dt x a =-?;
证明:在(),a b 内有()0F x '≤. 证明 2
2
111
()()()()()()()()x
x a
a F x f t dt f x x a f x f t dt x a x a x a ??'=-
+=
--????
---?
?
[][][]21
()()()(),(,,)()
x a f x x a f a x a b x a ξξ=
---∈∈- (),((,)(,))x f x a b x a
ξ
ηηξ-'=
∈∈-. 由已知条件可知结论成立.
习题 6-3
1. 计算下列积分:
(1) 3
sin()x dx π
ππ
+3?; (2) 32(115)dx x 1-+?;
(3)
1
-?
; (4) 320
sin cos d ???π?
;
(5)
2
2cos udu ππ6
?
;
(6)
2
e 1
?
(7)
1
;
(8)
;
(9)
ln 3
ln 2
e e x x
dx --?
; (10) 3222dx
x x +-?. 解 (1)
3
3
3
sin()sin()()[cos()]x dx x d x x π
π
πππ
πππ
π
π
+=++=-+3333?
?
42cos
cos 033
ππ
=-+=. (2) 1
2
33222
11(511)1
51
(511)(115)5(511)10512
dx d x x x x 1
1---+==-
=
+++??. (3)
1
111(54)14x --=--==?
?.
(4)
2334220
00
11
sin cos cos cos cos 44d d π
π
π
??????=-==-?
?.
(5) 2
22221cos 211
cos cos 2(2)224u udu du du ud u ππ
ππ
ππππ66
66+==+????
26
11sin 226264u π
ππππ??=
+=- ??? (6)
2
22
1
1
1)e e ===?
?. (7) 令tan x t =,则2
sec dx tdt =,当1x =时,4t π=
;当x =3t π=; 于是
3
3
21
4
4
cos 1
sin sin t dt t t
π
π
ππ
==-=?. (8)
令x t =,
则dx tdt =,当0x =时,0t =
;当x =
,2
t π
=
; 于是
22
220
1
2cos (1cos 2)(sin 2)22tdt t dt t t π
ππ
π==+==+??
.
(9) 令x
e t =,则1ln ,d x t x dt t
==,当ln 2x =时,2t =;;当ln 3x =时,3t =;
于是
3
ln3
332ln 2
2221113111(ln ln )12222
111x x dx dt t dt e e t t t t --??====- ?---++???
??. (10)
3
3
322
22
11111()ln 231232dx x dx x x x x x -=-=+--++?
?
1211
(ln ln )ln 2ln 53543
=-=- 2. 计算下列定积分: (1)
1
0e x
x dx -?
; (2)e
1
ln x xdx ?;
(3)
4
1?; (4) 32
4
sin x
dx x
ππ?
; (5) 220
e cos x xdx π
?
; (6) 2
21
log x xdx ?;
(7)
π
2
(sin )x x dx ?
; (8) e
1
sin(ln )x dx ?.
解 (1)
111
1000
x x x x
xe dx xde xe e dx ----=-=-+???
1
1101
2
1x e e
e e e e
----=--=--+=-.
(2) 222221
1111111111ln ln ln (1)222244
e e e e e
x xdx xdx x x xdx e x e ==-=-=+???.
(3) 44411111
2ln 28ln 2dx x dx x ==-=-???
8ln 24=-.
(4)
33
332
4
4
4
4
cot cot cot sin x
dx xd x x x xdx x ππ
π
π
π
πππ
=-=-+???
34
π131ln ln sin 4224x
ππ
π?=+=+ ?.
(5)
22222222
cos sin sin 2sin x x x
x e xdx e d x e x
e xdx π
π
π
π==-?
??
2222220
2
cos 2cos 4cos x x
x e e d x e e x
e xdx π
π
ππ
π=+=+-?
?
220
e 24
cos x e xdx π
π
=--?
于是
22
1cos (2)5x
e xdx e π
π=-?. (6) ()
222222211112
222
1111log ln ln 2ln 22ln 211ln 2ln 22x xdx xdx x x xdx x x x ==-??=- ? ???
??? 133(4ln 2)22ln 224ln 2
=-=-. (7) 2
2320000
1111(sin )(1cos 2)(sin2)2232x x dx x x dx x x d x ππππ
=-=-??? 33
200011(sin 22sin2)cos26464
x x x xdx xd x ππ
πππ=--=-?? 3001(cos 2cos2)64
x x xdx ππ
π=
--? 3301sin 264864
x π
ππππ=
-+=-. (8)
11
1
sin(ln )sin(ln )cos(ln )e
e
e
x dx x x x dx =-?
?
1
1
sin1cos(ln )sin(ln )e
e
e x x x dx =--?
1
sin1cos11sin(ln )e
e e x dx =-+-?
所以
1
1
sin(ln )(sin1cos11)2
e
x dx e e =-+?. 3. 利用被积函数的奇偶性计算下列积分:
(1)
1
1ln(x dx -? ; (2)1
2
12sin 1x
dx x -++?
(3)
2
2
2
(x dx -+?
; (4)
422
4cos d θθππ-?
.
解 (1)
ln(x 是奇函数,
1
1
ln(0x dx -∴
=?
.
(2) 2sin 1x
x +
是奇函数,121sin 01x dx x -∴=+?, 因此 111
2
21112sin 22arctan 11x dx dx x x x π---+===++??. (3)
2
2
2
2
22
2
((42416x dx dx dx ---=+==?
??.
(4) ()2
4
4
2220
2
2
20
1cos 24cos 8cos 822
12cos 2cos
231384222
d d d d θθθθθθθθθ
πππ
πππ-π
+??== ???
=++=???=
?
??
?.
4. 证明下列等式: (1) 证明:
1
1
00
(1)(1)m n n m x x dx x x dx -=-?
?;
(2) 证明:1
1
2
2111x
x dx dx x x =++?? (0x >); (3) 设()f x 是定义在区间(,)-∞+∞上的周期为T 的连续函数,则对任意(,)a ∈-∞+∞,有
0()()a T
T
a
f x dx f x dx +=?
?.
证 (1)令1x t -=,则dx dt =-,当0x =时,1t =;当1x =时,0t =;
于是
1
11
1
(1)(1)()(1)(1)m n
m n
n
m
n m x x dx t t dt t t dt x x dx -=--=-=-?
???,
即
1
1
(1)(1)m n n m x x dx x x dx -=-?
?.
(2) 令1x t
=
则21
dx dt t -=,
于是11
1
11112
2222112
1
1111111111t x
x t t dx dt t dt dx x t
t x t t
??=?=-?==- ?++++??+?????d ,
即 1
1
2
2111x
x dx dx x x =++??. (3) 因为
()()()a T
T a T
a
a
f x dx f x dx f x dx ++=+?
??
,而
()()()a T
a
a
a
f x dx x t T f t T dt f t dt +=++=?
??令
()()()a
T T
a
f x dx f x dx f x dx ==-?
??
故
()()a T
T a
f x dx f x dx +=?
?.
4. 若()f t 是连续函数且为奇函数,证明0
()x
f t dt ?
是偶函数;若()f t 是连续函数且为偶函
数,证明
()x
f t dt ?
是奇函数.
证 令0
()()x
F x f t dt =
?
.
若()f t 为奇函数,则()()f t f t -=-,令t u =-,可得
()()()()()x
x x
F x f t dt f u du f u du F x --==--==?
??,
所以0
()()x
F x f t dt =
?
是偶函数.
若()f t 为偶函数,则()()f t f t -=,令t u =-,可得
()()()()()x
x x
F x f t dt f u du f u du F x --==--=-=-?
??,
所以0
()()x
F x f t dt =
?
是奇函数.
5. 利用分部积分公式证明:
()
()()()d x
x
u
f u x u du f x x du -=?
?
?
.
证 令0
()()u
F u f x dx =?
则()()F u f u '=,
则
(())()()()x
u x x
x
f x dx du F u du uF u uF u du '==-??
??
()()()()x
x x
xF x uf u du x f x dx uf u du =-=-?
??
()()()()x
x
x
x
x f u du uf u du xf u du uf u du =-=-?
???
()()x
x u f u du =
-?
. 习题6-4
1. 求由下列曲线所围成的平面图形的面积:
(1) 2y x =与22y x =-; (2) x y e =与0x =及y e =; (3) 24y x =-与0y =; (4) 2y x =与y x =及2y x =;
(5) 1
y x
=
与y x =及2x =; (6) 2y x =与2y x =-; (7) ,x x y e y e -==与1x =;
(8) sin (0)2
y x x π
=≤≤
与0,1x y ==. 解 (1)两曲线的交点为(1,1),(1,1)-,取x 为积分变量,[]1,1x ∈-,面积元素
22(2)dA x x dx =--,于是所求的面积为
1
1
2
311
18
2(1)2()33A x dx x x --=-=-=?.
(2) 曲线x y e =与y e =的交点坐标(1,)e , x y e =与0x =的交点为(0,1),取y 为积分变量,[]1,y e ∈,面积元素ln dA ydy =;于是所求面积为
11
1
ln (ln )1e
e
e A ydy ydy y y y =
==-=?
?.
(3)曲线2
4y x =-与0y =的交点为(2,0),(2,0)-,取x 为积分变量,[]2,2x ∈-,面积元
素2(4)dA x dx =-,于是所求的面积为
2
2
2322
132
(4)(4)33A x dx x x --=-=-=
?. (4) 曲线2y x =与y x =的交点为(0,0),(1,1);2
y x =与2y x =的交点为(0,0),(2,4);
它们所围图形面积为:
1212
220
1
1
(2)(2)(2)A x x dx x x dx xdx x x dx =-+-=+-????
2
23120
1
117()
2
3
6
x x x =
+-=
.
(5) 曲线1y x =
与y x =的交点为(1,1),1y x =与2x =的交点为1(2,)2
;取x 积分变量,[]1,2x ∈,面积元素1
()dA x dx x
=-,于是所求的面积为
2
2
211
113
()(ln )ln 222A x dx x x x =-=-=-?.
(6) 曲线2
y x =与2y x =-的交点为()()114,2-,和,取y 作积分变量,[]1,2y ∈-,
面积元素2
(2)dA y y dy =+-,于是所求的面积为
2
2
2
2311
117
(2)(2)232A y y dy y y y --=+-=+-=?.
(7) 曲线x y e =与x y e -=的交点(0,1),取x 作积分变量,[]0,1x ∈,面积元素
()x x dA e e dx -=-,于是所求图形的面积为
1
)()
2x x x x A e e dx e e e e
--=-=+=+-?1
01
(.
(8)取x 作积分变量,0,
2x π??
∈????
,面积元素(1sin )dA x dx =-,于是所求的面积为 220
(1sin )(cos )12
A x dx x x ππ
π
=-=+=-?.
2. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积:
(1) 1,4,0y x x y =
===,绕x 轴;
(2) 3,2,y x x x ==轴,分别绕x 轴与y 轴; (3) 22,y x x y ==,绕y 轴; (4) 22(5)1x y -+=,绕y 轴.
解 (1)取x 作积分变量,[]1,4x ∈
,体积元素2dV dx xdx ππ==,于是所求旋转体的体积为
4
4
21
1
15
2
2V xdx x π
ππ==
=
?. (2)绕x 轴旋转时,取x 作积分变量,[]0,2x ∈,体积元素32()x dV x dx π=,于是
2
2
670
128
7
7
x V x dx x π
ππ==
=
?; 同理可求平面图形绕y 旋转所成的旋转体的体积
8
58
223
00
3642(4)55y V dy y y πππ??=-=-=???.
(3)曲线2y x =与2x y =的交点为(0,0),(1,1),取y 作积分变量[]0,1y ∈
,体积元素
222
()dV y dy π??=-??,于是所求的旋转体的体积为
1
1
42500
113()()2510V y y dx y y π
ππ=-=-=
?. (4) 取y 作积分变量[]1,1y ∈-
,体积元素
22(5(520dV dy π??=-=??
,
于是所求的旋转体的体积为
1212020102
V π
ππ-==?=?.
3.设某企业边际成本是产量Q (单位)的函数0.2()2Q
C Q e '=(万元/单位),其固定成本为090C =(万元),求总成本函数. 解 总成本函数为
0.200
()()290Q Q
Q C Q C Q dQ C e dQ '=+=+??
0.20.20
10901080Q
Q Q e e =+=+.
4.设某产品的边际收益是产量Q (单位)的函数()152R Q Q '=-(元/单位),试求总收益函数与需求函数. 解 总收益函数为
20
()(152)15Q
R Q Q dQ Q Q =-=-?
需求函数为
()
15R Q P Q Q
=
=-. 5.已知某产品产量的变化率是时间t (单位:月)的函数()25,0f t t t =+≥,问:第一个5月和第二个5月的总产量各是多少?
解 设产品总产量为()Q t ,则()()Q t f t '=,第一个5月的总产量
55
2510
()(25)(5)50Q f t dt t dt t t ==+=+=??. 第二个5月的总产量为
1010
210
25
5
5
()(25)(5)
100Q f t dt t dt t t ==+=+=??.
6.某厂生产某产品Q (百台)的总成本()C Q (万元)的变化率为()2C Q '=(设固定成本为零),总收益()R Q (万元)的变化率为产量Q (百台)的函数()72R Q Q '=-.问: (1) 生产量为多少时,总利润最大?最大利润为多少?
(2) 在利润最大的基础上又多生产了50台,总利润减少了多少? 解 (1)总利润()()()L Q R Q C Q =-
当()0L Q '=即()()0R Q C Q ''-=即7220Q --=,
2.5Q =(百台)时,总利润最大,此时的总成本和总收益分别为
2.5 2.5
2.50
()225C C Q dQ dQ Q
'====??
2.5
2.5
2.520
()(72)(7)
11.25R R Q dQ Q dQ Q Q '==-=-=??
总利润11.255 6.25L R C =-=-=(万元).
即当产量为2.5(百台)时,总利润最大,最大利润是6.25万元.
(2)在利润最大的基础上又生产了50台,此时产量为3百台,
总成本3
3
00()26C C Q dQ dQ '===?
?,
总收入3
3
23
000
()(72)(7)12R R Q dQ Q dQ Q Q '=
=-=-=??, 总利润为1266L R C =-=-=(万元).
减少了6.2560.25-=万元.
即在利润最大的基础上又生产了50台时,总利润减少了0.25万元.
习题 6-5
1. 判断下列反常积分的敛散性,若收敛,则求其值: (1)
41
dx
x
+∞
?
; (2)
1
+∞
?
; (3) 0x
e dx +∞
-?
(a >0); (4)
sin xdx +∞
?
;
(5)
1
-?; (6)
222
dx
x x +∞
-∞
++?
;
(7)
21
?
; (8)10
ln x xdx ?;
(9)
e
1
?
; (10)
2
3
(1)dx
x -?
.
解 (1)
1
43
1
11
33
dx x x +∞
+∞
=-=?
.此反常积分收敛.
(2)
1
+∞
==+∞?
.此反常积分发散. (3) 1
1x x
e dx e +∞
--+∞=-=?
.此反常积分收敛.
(4) 0
0sin cos lim cos 1x xdx x
x +∞
+∞→+∞
=-=-+?
不存在,此反常积分发散.
(5)
1
1
1arcsin x π--==?.此反常积分收敛.
(6)
22(1)arctan(1)
22(1)1
dx
d x x x x x π+∞
+∞+∞-∞
-∞
-∞+==+=++++?
?.此反常积分收敛.
(7)
2
32
221
10012lim lim (1)3x εεεε
+++→→+?==-+???
?
320222lim 22333εε+→?==-- ?.此反常积分收敛. (8)
1
1122221
000111111ln lim
ln lim ln lim ln 2224
24x xdx xdx x x xdx εεεεεεεεε→→→????==-=-- ? ??????
??, 所以
1
1220001111
ln lim ln lim (ln )4244
x xdx x xdx εεεεεε++→→==--=-??.此反常积分收敛.
(9)
11
1
π
arcsin(ln )2
e
e
e
x ===
?
?
.此反常积分收敛. (10)
2
12333
01(1)(1)(1)dx dx dx
x x x =+
---?
??, 因为反常积分1
1
32001(1)(1)dx x x ==∞--?发散,所以反常积分230(1)
dx
x -?发散. 2. 当k 为何值时,反常积分
+2
(ln )
k
dx
x x ∞
?
收敛?当k 为何值时,这反常积分发散? 解 当1k =时,
++2
2
2ln ln(ln )ln ln dx
d x x x x x
∞
∞+∞===+∞?
?,发散.
当1k ≠时,
1++12
2
211(ln )(1)(ln 2)(ln )ln (ln )11
k
k k
k k dx x k x d x x x k
k -∞
∞
--+∞
?
>?
-==
=?-?+∞
?
?
所以,当1k >时,此广义积分收敛;当1k ≤时,此广义积分发散. 3. 利用递推公式计算反常积分+0
e n x n I x dx ∞
-=?
.
解 ++110
n x n x
n x n n I x de x e n x e dx nI ∞
∞
----+∞
-=-
=-+=?
?
,
因为 +10
1x x x
I xde xe e ∞
---+∞+∞=-
=--=?
,
所以 121(1)(1)2!n n n I nI n n I n n I n --==-=-= .
复习题6
(A )
1、 求下列积分:
(1)1
21tan sin 1x
dx x -+?; (2
)?; (3
)
2
x
?
; (4
)ln 0
?
;
(5)2
1
220(1)x dx x +?; (6
)1?;
(7)
1
20
x x e dx -?
; (8)
21
(ln )e
x dx ?
;
(9) 4
01cos 2x
dx x
π
+?; (10) 20
cos x e xdx π-?
;
(11) 2
0sin 1cos x x
dx x
π
++?; (12) 40ln(1tan )x dx π
+?. 解 (1) 因为被积函数2tan sin 1
x x +是奇函数,所以121tan 0sin 1x
dx x -=+?.
(2)
=?
?,令1sin x t -=,则cos dx tdt =;
当0x =时,2
t π
=-
;当1x =时,0t =;所以
02
22
2
1cos 2sin 2cos 2244t t t tdt dt ππππ---+??
===+=?????
??. (3) 令2sin x t =,则2cos dx tdt =,当0x =时,0t =;当2x =时,2
t π
=
;所以2
2
2
2
2220
4sin 4cos 4sin 22(1cos 4)x
t tdt tdt t dt ππ
π=?==-?
???
20
1
2(sin 4)4t t π
π=-=. (4)
t =,则2
21
t
dx dt t =
+,当0x =时,0t =;当ln 2x =时,1t =
;所以2ln 1
1
200
022(arctan )2(1)14
t dt t t t π==-=-+?
?. (5) 令tan x t =,则2
sec dx tdt =,当0x =时,0t =;当1x =时,4
t π
=
;所以2241
244
2240000tan 1cos 2sin 21sec ()(1)sec 22484x t t t t dx tdt dt x t π
ππ
π-===-=-+???.
(6) 令sec x t =,则sec tan dx t tdt =,当1x =时,0t =;当2x =时,3
t π
=
;所以2
23330
1
00tan sec tan tan (tan )sec 3
t dx t tdt tdt t t x t πππ
π===-=?
??. (7)
1
1
1
1
1
22
21
00
00
22x
x
x x x x e dx x de
x e
xe dx e xde ------=-=-+=--?
???
1
1
11
110
223225x x x e xe e dx e e e ------=--+=--=-?.
(8)
22111
111(ln )ln 2ln 2ln 22e
e e e e
x dx x x x x dx e x x dx e x
=-?=-+=-?
??.
(9) 4
444000
0tan tan tan 1cos 2x dx xd x x x xdx x π
πππ
==-+??? 401ln cos ln 2442
x π
ππ=+=-. (10)
2222
cos cos cos sin x
x
x
x e xdx xde
e x e xdx π
π
ππ
----=-=--?
??
2220
00
1sin 1sin cos x
x
x xde
e x e xdx π
ππ
---=+
=+-?
?
22
1cos x e
e xdx π
π-
-=+-?,
所以 2201
cos (1)2
x
e xdx e π
π--=+?.
(11)
2
222
20
00002sin sin cos tan 1cos 1cos 21cos 2cos
2
x x x x x d x dx dx dx xd x x x x π
ππππ
+=+=-+++?
????
22
2
0002
2
00
tan tan ln(1cos )222ln cos ln(1cos )22x x x dx x x x π
ππ
π
ππ
=--+=--+?
20ln 22ln cos
2
22
x π
π
π=
++=. (12) 44
440
00cos sin ln(1tan )ln ln(cos sin )ln cos cos x x x dx dx x x dx xdx x
π
πππ
++==+-?
?
??
令
4
x u π
-=
,可得
04
40
041ln(cos sin )ln cos()(ln 2ln cos )42
x x dx x dx u du π
π
ππ?
+=-=-+???
??
40
ln 2
ln cos 8
xdx π
π=+?
所以
40
ln 2
ln(1tan )8
x dx π
π+=
?
.
2、设()f x 在[],a b 上连续,且
()1b
a
f x dx =?
,求()b a
f a b x dx +-?.
解 令a b x t +-=,则dx dt =-,当x a =时,t b =;当x b =时,t a =;所以
()()()1b
a
b
a
b
a
f a b x dx f t dt f t dt +-=-==?
??.
3、设()f x 为连续函数,试证明:
()()(())x
x t
f t x t dt f u du dt -=?
??.
证 用分部积分法,
(())()(())x
x
t t
x t
f u du dt t f u du td f u du =-?
????
()()()()x
x x x
x f u du tf t dt xf t dt tf t dt =-=-?
???
()()x
f t x t dx =-?
.
4、设()u ?为连续函数,试证明:220
()2()a
a a
x dx x dx ??-=?
?.
证
2220
()()()a
a
a
a
x dx x dx x dx ???--=+?
??,
令x t =-,则0
022220
()(())()()a a
a
a
x dx t dt t dt x dx ????-=--==?
???
所以
022220
()()()2()a
a a
a
a
x dx x dx x dx x dx ????--=+=?
???.
5、计算下列反常积分:
(1)20
48dx
x x +∞
++?
; (2)21arctan x dx x
+∞?; (3
)
1
?
; (4
)1
e ? 解 (1)
2220
00(2)12arctan 48(2)2228dx d x x x x x π
+∞
+∞
+∞++===++++??. (2)
221
1
11arctan 1arctan 1
arctan (1)
x x dx xd dx x x x x x +∞
+∞
+∞+∞=-=-++?
?? 2
2
1
11
ln
ln 242142
x
x π
π
+∞
=
+=
++.
(3)
11
10022π?===??
?.
(4)
1
12e
e ===?
?. 6、求抛物线22y px =及其在点(
,)2p
p 处的法线所围成的平面图形的面积. 解 抛物线2
2y px =在点(,)2p p 处的法线方程为32
x y p +=,两曲线的交点为
9(,3),(,)22
p
p p p -;取y 作积分变量3p y p -≤≤,所求的平面图形面积为 2232
333131116()()222263p
p
p p
A p y y dy py y y p p p --=--=--=?
. 7、求由曲线32
y x =与直线4,x x =轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积.
解 曲线3
2
y x =与直线4x =的交点为(4,8),取y 作积分变量,08y ≤≤,体积元素
223243
4()(16)dy y dy y dy ππ??=-=-??
于是,所求的旋转体的体积为
8
8
4700
3512
(16)(16)77V y dy y y πππ=-=-=?.
8、设某产品的边际成本为()2C Q Q '=-(万元/台),其中Q 代表产量,固定成本022C ==(万元),边际收益()204R Q Q '=-(万元/台).试求: (1) 总成本函数和总收益函数; (2) 获得最大利润时的产量;
(3) 从最大利润时的产量又生产了4台,总利润的变化.
解 (1)总成本函数2
00
1()(2)2222
Q C Q Q dQ C Q Q =-+=-+?, 总收益函数20
()(204)202Q
R Q Q dQ Q Q =
-=-?
.
(2)利润函数2
3()()()18222
L Q R Q C Q Q Q =-=-
-,令()0L Q '=,得6Q =(台),而(6)30L ''=-<,所以当产量6Q =(台)时,利润最大.
(3)(10)(6)83224L L -=-=-,所以从最大利润时的产量又生产了4台,总利润减少了24(万元).
(B) 1、填空题:
(1)
202
cos x d x t dt dx
=? . (2) 设()f x 连续,2
20
()()x F x xf t dt =
?
,则()F x '= .
(3) 20
sin()x
d x t dt dx -=? . (4) 设()f x 连续,则220
()x
d tf x t dt dx -=? . (5) 设20cos ()1sin x
t f x dt t
=+?,则220()1()f x dx f x π
'=+? . (6) 设()f x 连续,且1
()2()f x x f x dx =+?
,,则()f x = .
(7) 设()f x 连续,且
()1cos x
tf x t dt x -=-?
,则20()f x dx π
=? .
(8)
2ln e dx
x x +∞
=? .
解 (1) 2220002224
cos (cos )cos (cos )2x x x d d x t dt x t dt t dt x x x dx dx
==+-????
2
224cos 2cos x
t dt x x =
-?
.
(2) 222
220
0()(())()()2x x d F x x f t dt f t dt x f x x dx '=
=+???? 2
2220
()2()x f t dt x f x =
+?
.
(3) 令x t u -=,则0
2
2
20
sin()sin ()sin x
x
x
x t dt u du u du -=-=?
??
所以
222
00sin()sin sin x x d d x t dt u du x dx dx -==??. (4)令22
x t u -= 则222222001()()()2x x tf x t dt f x t d x t -=---??
2
200
11()()22x x f u du f u du =-=??.所以
2222
00
1()()()2x x d d tf x t dt f u du xf x dx dx -=?=??. (5)
2
2200
()arctan ()arctan ()arctan (0)1()2
f x dx f x f f f x π
π
π'==-+?
, 而0
2222000cos cos (0)0,()arctan(sin )1sin 21sin 4
t t f dt f dt t t t ππ
ππ=====++??,所以2
20
()arctan
1()4
f x dx f x π
π
'=+?
(6) 等式1
()2
()f x x f x dx =+?
两边在区间[]0,1积分得
1
1
1
10
01
()2()2()2
f x dx xdx f x dx f x dx =+=
+?
???
1
1
()2
f x dx =-?, 所以 ()1f x x =-.
(7)令x t u -=,则du dt =-,于是
00()()()x
x
tf x t dt x u f u du -=-?
?
原等式化为 0
()()1cos x
x
x f u du uf u du x -=-??
两边对x 求导
()sin x
f u du x =?
在上式中,令2
x π
=
,得
()1x
f x dx =?
.
(8)
22ln 11ln ln ln e
e e
dx d x x x x x +∞
+∞
+∞==-=?
? 2、计算下列积分:
(1) 1
2
0ln(1)
(2)x dx x +-?; (2)
31
42
(1)x x dx -?
;
(3)
3
1
(2)f x dx -?
,其中21()x x f x e
-?+=??
0x x ≤>; (4)
()f x dx π
?
,其中0
sin ()x
t
f x dt t
π=-?
. 解 (1) 1
1
1120000ln(1)1ln(1)ln(1)(2)22(1)(2)
x x dx
dx x d x x x x x ++=+=----+-??? 1
100
11111
1
ln 2(
)ln 2ln ln 231232
3
x dx x x x +=--=-=+--?. (2) 令2
sin x t =,则
3
3
1
14424222
2
20
0001111cos 2(1)(1)cos ()2222t x x dx x dx tdt dt ππ+-=-==????
2200
11cos 41313
(12cos 2)(sin 2sin 4)8282832t t dt t t t π
π
π+=++=++=?. (3) 令2x t -=,则dx dt =,当1x =时,1t =-;当3x =时,1t =;于是
3
101
1
1
1
(2)()()()f x dx f t dt f x dx f x dx ---==+?
???
1
21
71
(1)3x x dx e dx e
--=++=
-?
?. (4) 由题设有sin ()x
f x x
π'=
-,用分部积分法得 00000sin sin ()()()t x f x dx xf x xf x dx dt x dx t
x π
π
π
ππ
π
ππ'=-=---???? 000sin sin sin ()x x x
dx x dx x dx x x x
ππππππππ=-=----??? 0
sin 2xdx π
=
=?
.
3、设13
2
01()()1f x x f x dx x =
++?,求10()f x dx ?. 解 等式两边在区间[]0,1上积分得
1
1
113
20
0001()()1f x dx dx f x dx x dx x =+?+?
?
??
11
1
000
11arctan ()()444x f x dx f x dx π=+=+??
解得
1
()3
f x dx π
=
?
.
4、求函数2
()(1)x t f x t e dt -=
-?
的极值.
解 令2
2
2()(1)22(1)(1)0x x f x x e x x x x e --'=-?=--+=,得函数()f x 的驻点:1,0,1-;
当1x <-时,()0f x '>;当10x -<<时,()0f x '<; 当01x <<时,()0f x '>;当1x >时,()0f x '<;
所以函数()f x 在0x =处取得极小值(0)0f =,在1x =±处取得极大值:
1
1(1)(1)t f t e dt e
-±=-=
?. 5、设2
1
sin ()x t
f x dt t
=
?
,求10()xf x dx ?.
解 用分部积分法得
221
2
1
11222200110
01sin 1sin 1sin ()2222x x t t x xf x dx dt dx x dt x xdx t t x ????==-???????????????
1
122200
11cos11
sin cos 222x dx x -=-==?.
6、求曲线(1)(2)y x x =--和x 轴围成的平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体体积. 解 抛物线(1)(2)y x x =--的顶点坐标为3
1(,)24
-
,左、右半支方程分别为:
11()(32x y =
-
和21()(32x y =+;取y 作积分变量,1
04
y -≤≤;体积
元素为22
21(())(())3dV x y x y dy π??=-=??,因此所求的旋转体的体积为
030
2114
4
33(14)(14)
42
2
V y y π
π
π
--==
+=
+=
??
.
7、设2
()()()x
a
x x t f t dt Φ=-?
,证明:()2()()x
a
x x t f t dt 'Φ=-?.
证 2
2
2
2()(2)()()2()()x
x
x x
a
a
a
a
x x xt t f t dt x
f t dt x tf t dt t f t dt Φ=
-+=-+?
?
??,所以
(
)
2
2()()2()()x
x x
a
a
a
x x
f t dt x tf t dt t f t dt ''Φ=-+???
222()()2()2()()x
x
a a
x f t dt x f x tf t dt x xf x x f x =+--?+??
2()2()2()()x
x x
a
a
a
x
f t dt tf t dt x t f t dt =-=-?
??.
不定积分练习题及答案
不定积分练习题一、选择题、填空题: 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数,贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数,贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中,过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x),则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续,则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是:(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则: f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx
不定积分练习题及答案
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题:、( 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数,则: 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数,则、在积分曲线族 中,过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续,则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是: (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则:
定积分典型例题20例答案(供参考)
定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L . 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分,则每个小区间长为1i x n ?=,然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?. 例2 0 ? =_________. 解法1 由定积分的几何意义知,0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故0 ? = 2 π . 解法2 本题也可直接用换元法求解.令1x -=sin t (2 2 t π π - ≤≤ ),则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 (1)若2 2 ()x t x f x e dt -=?,则()f x '=___;(2)若0 ()()x f x xf t dt =?,求()f x '=___. 分析 这是求变限函数导数的问题,利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?. 解 (1)()f x '=42 2x x xe e ---; (2) 由于在被积函数中x 不是积分变量,故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?,则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?. 例4 设()f x 连续,且31 ()x f t dt x -=?,则(26)f =_________. 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=, 故321(1)3f x x -= ,令3126x -=得3x =,所以1(26)27 f =.
2016年专项练习题集-定积分的计算
2016年专项练习题集-定积分的计算 一、选择题 1.dx x )5(1 22-?=( ) A.233 B. 31 C.3 4 D .83 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。 【考查方向】求定积分 【解题思路】求出被积函数的原函数,应用微积分基本定理求解。 【解析】dx x )5(122-?=123153x x -=83 . 2.直线9y x =与曲线3 y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A 、 B 、 C 、2 D 、4 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积,可转化为函数在某个区间内的定积分来解决,被积函
数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积 【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点,再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由? ??==39x y x y ,得交点为()()()27,3,27,3,0,0--, 所以()4 81034129942303 =??? ??-=-=?x x dx x x S ,故选D. 3.2 2-?2412x x -+dx =( ) A.π 4 B.π 2 C.π D.π3 【分值】5分 【答案】A 【易错点】利用定积分的几何意义,一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数,注意理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分 【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。 【解析】设y =2412x x -+,即(x -2)2+y 2=16(y ≥0).∵2 2-?2412x x -+dx 表示以4为半径的圆的四分之一面积.∴2 2-?2412x x -+dx =π4. 4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动,为了测试一款新赛车的性能,将新款赛车A 设定v =3t 2+1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶,老款赛车B 设定在A 的正前方5 m 处,同时以v
不定积分例题及答案
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项, 分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式, 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 (- +-)2 思路:分项积分。 解:34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134(- +-)2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 :2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =? 111 7248 8 x x ++==,直接积分。 解 : 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解: 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解:21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
定积分典型例题11198
定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L . 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分,则每个小区间长为1 i x n ?=,然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 =?. 例2 ? =_________. 解法1 由定积分的几何意义知,0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故0 ?= 2 π . 例18 计算2 1 ||x dx -?. 分析 被积函数含有绝对值符号,应先去掉绝对值符号然后再积分. 解 2 1||x dx -?=0 2 10()x dx xdx --+??=220210[][]22x x --+=5 2 . 注 在使用牛顿-莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件.如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?,则是错误的.错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算2 20 max{,}x x dx ?. 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? . 解 232 12 2 2 12010 1 1717max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数,且10 ()3()f x x f t dt =+?,则()________f x =. 分析 本题只需要注意到定积分()b a f x dx ?是常数(,a b 为常数). 解 因()f x 连续,()f x 必可积,从而10 ()f t dt ?是常数,记1 ()f t dt a =?,则 ()3f x x a =+,且11 (3)()x a dx f t dt a +==??.
不定积分例题及答案 理工类 吴赣昌
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!
★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
经济数学(不定积分习题及答案)
第五章 不定积分 习题 5-1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -,并且当x = 1时, 该函数值是3 2π,求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时, 3 (1)2f π =,代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍,求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
§_5_定积分习题与答案
第五章 定积分 (A) 1.利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ,两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2.利用定积分的几何意义,证明下列等式: ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3.估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4.根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5.计算下列各导数
dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6.计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7.当x 为何值时,函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值? 8.计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?
? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ,其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ,l 为正整数,且l k ≠,试证下列各题: ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx
定积分典型例题20例答案
定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++. 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分,则每个小区间长为1i x n ?=,然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?. 例2 2 20 2x x dx -? =_________. 解法1 由定积分的几何意义知,2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故220 2x x dx -? = 2 π . 解法2 本题也可直接用换元法求解.令1x -=sin t (2 2 t π π - ≤≤ ),则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 (1)若2 2 ()x t x f x e dt -=?,则()f x '=___;(2)若0 ()()x f x xf t dt =?,求()f x '=___. 分析 这是求变限函数导数的问题,利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?. 解 (1)()f x '=42 2x x xe e ---; (2) 由于在被积函数中x 不是积分变量,故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?,则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?. 例4 设()f x 连续,且31 ()x f t dt x -=?,则(26)f =_________. 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=,
不定积分例题及答案
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?
思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式 加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134( -+-)2 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134( -+-)2 ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 :2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ?? ★★ (9) 思路 =? 看到1117248 8 x x ++==,直接积分。 解 : 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解: 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解:21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? 3x x e dx ?
高等数学不定积分例题思路和答案超全
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?
高中数学定积分计算习题
定积分的计算 班级 姓名 一、利用几何意义求下列定积分 (1)dx x ? 1 1 -2-1 (2)dx x ? 2 2-4 (3) dx x ? 2 2-2x (4) ()dx x x ? -2 4 二、定积分计算 (1)()dx ?1 7-2x (2)( ) d x ?+2 1 x 2x 32 (3)dx ?3 1 x 3 (4)dx x ?π π - sin (5)dx x ?e 1 ln (6)dx ? +1 x 112 (7)() dx x x ?+-10 2 32 (8)()dx 2 31 1-x ? (9)dx ?+1 1 -2x x 2)( (10)( ) d x x ?+21 2x 1x (11)() dx x x ?-+1 1 -352x (12)() dx e e x x ?+ln2 x -e (13)dx x ?+π π --cosx sin ) ( (14)dx ? e 1 x 2 (15)dx x ?2 1 -x sin -2e )( (16)dx ?++2 1-3x 1 x x 2 (17)dx ? 2 1x 13 (18)()dx 2 2 -1x ?+
三、定积分求面积、体积 1求由抛物线y 2=2x 与直线y =4-x 围成的平面图形的面积。 2.求曲线y =x ,y =2-x ,y =-1 3 x 所围成图形的面积. 3.求由曲线y =cos x (0≤x ≤2π)与直线y =1所围成的图形面积 4.如图求由两条曲线y =-x 2 ,y =-14 x 2 及直线y =-1所围成的图形的面积. 5、求函数f(x)=???? ? x +1 (-1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。 6.将由曲线y =x 2,y =x 3所 围成平面图形绕x 周旋转一周,求所得旋转体的体积。 7.将由三条直线x =0、x =2、y =0和曲线y =x 3所围成的图形绕x 周旋转一周,求所得旋转体的体积。 8.由曲线y =x 与直线x =1,x =4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周,求所得旋转体的体积
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分 (A) 1、求下列不定积分 1)?2 x dx 2) ? x x dx 2 3) dx x ?-2)2 ( 4) dx x x ? +2 2 1 5)??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 6) dx x x x ?2 2sin cos 2 cos 7) dx x e x) 3 2(?+ 8) dx x x x ) 1 1( 2 ?- 2、求下列不定积分(第一换元法) 1) dx x ?-3)2 3( 2) ? - 33 2x dx 3) dt t t ?sin 4) ? ) ln(ln ln x x x dx 5)? x x dx sin cos6) ?- +x x e e dx 7) dx x x) cos(2 ? 8) dx x x ? -4 3 1 3 9) dx x x ?3 cos sin 10) dx x x ? - - 2 4 9 1 11)? -1 22x dx 12) dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan
3、求下列不定积分(第二换元法) 1) dx x x ? +2 1 1 2) dx x ?sin 3) dx x x ?-4 2 4) ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x 5)? +3 2)1 (x dx 6) ? +x dx 2 1 7)? - +2 1x x dx 8) ? - +2 1 1x dx 4、求下列不定积分(分部积分法) 1) inxdx xs ? 2) ?xdx arcsin 3)?xdx x ln 2 4) dx x e x ?- 2 sin 2 5)?xdx x arctan 2 6) ?xdx x cos 2 7)?xdx 2 ln 8) dx x x 2 cos2 2 ? 5、求下列不定积分(有理函数积分) 1) dx x x ? +3 3 2)? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3)? +)1 (2x x dx (B) 1、一曲线通过点 )3, (2e,且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -,且当1 = x时函数值为 π 2 3 ,试求此函数。
不定积分_定积分复习题与答案
上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名: 学号: 班级: 成绩: 一、选择题:(每小格3分,共30分) 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数,且0a ≠,则()f ax dx a ?应等于( ) (A )3sin ax C a x +; (B )2sin ax C a x +; (C )sin ax C ax +; (D )sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +,则()F x =( ) (A )12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+;(B ),0()2,0x x e c x F x e c x -?+≥=?-++; (C ),0 ()2,0x x e x F x e x -?≥=?-+;(D ),0(),0 x x e x F x e x -?≥=?- 3、设0 1,0 ()0,0,()()1,0x x f x x F x f t dt x >?? ===??- ?,则( ) (A )()F x 在0x =点不连续; (B )()F x 在(,)-∞+∞内连续,在0x =点不可导; (C )()F x 在(,)-∞+∞内可导,且满足()()F x f x '=; (D )()F x 在(,)-∞+∞内可导,但不一定满足()()F x f x '=。 4、极限0 2 sin lim x x x t tdt t dt →?? =( ) (A )-1; (B )0; (C )1; (D )2 5、设在区间[,]a b 上()0,()0,()0f x f x f x '''><>。令1()b a s f x dx =?,2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-,则( ) (A )123s s s <<; (B )213s s s <<; (C )312s s s <<; (D )231s s s <<
不定积分-定积分复习题及答案-精品
不定积分-定积分复习题及答案-精品 不定积分、定积分 测验试卷 姓名: 学号: 班级: 成绩: 一、选择题:(每小格3分,共30分) 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数,且0a ≠,则() f ax dx a ?应等于( ) (A )3sin ax C a x +; (B )2sin ax C a x +; (C )sin ax C ax +; (D )sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +,则()F x =( ) (A )12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+;(B ),0 ()2,0x x e c x F x e c x -?+≥=?-++; (C ),0 ()2,0x x e x F x e x -?≥=?-+;(D ),0(),0x x e x F x e x -?≥=?- 3、设0 1,0 ()0,0,()()1,0x x f x x F x f t dt x >?? ===??- ?,则( ) (A )()F x 在0x =点不连续; (B )()F x 在(,)-∞+∞内连续,在0x =点不可导; (C )()F x 在(,)-∞+∞内可导,且满足()()F x f x '=; (D )()F x 在(,)-∞+∞内可导,但不一定满足()()F x f x '=。 4、极限0 2 sin lim x x x t tdt t dt →?? =( ) (A )-1; (B )0; (C )1; (D )2 5、设在区间[,]a b 上()0,()0,()0f x f x f x '''><>。令1()b a s f x dx = ? ,2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-,则( ) (A )123s s s <<; (B )213s s s <<; (C )312s s s <<; (D )231s s s << 二、填空题:(每小格3分,共30分)
定积分计算例题
第5章 定积分及其应用 (一)、单项选择题 1.函数()x f 在区间[a ,b]上连续是()x f 在[a ,b]上可积的( )。 A .必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2.下列等式不正确的是( )。 A . ()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3.? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4.设x x x f +=3 )(,则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于( )。 A .0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5.设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛,则必定有( )。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6.求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时,若选择x为积分变量,则积分区间为( )。 A.[0,2e ] B.[0,2] C.[1,2] D.[0,1] 7.由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为( )。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8.由直线1,+-==x y x y ,及x轴围成平面图形的面积为( )。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B. ()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9.由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形,用微法求解时,若选x为积分变量,面积微元为 ( )。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10.由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为( )。 A. ? -1 1 2dx x B. ? 1 2dx x C. ? 1 dy y D.? 1 2 dy y
不定积分练习题及答案
不定积分练习题 一、选择题、填空题: 1、 ((1—sin 2 X )dx = 2 ------------- 2、 若 e x 是f (x)的原函数,贝x 2f(lnx)dx = ________ 3、sin (I n x)dx 二 __ 12、若 F '(x)工 f(x), ? '(x)工 f (x),则 f(x)dx = _______________________________________________ (A)F(x) (B) : (x) (C) : (x) - c (D)F(x) (x) c 13、下列各式中正确的是: (A) d[ f(x)dx]二 f(x) (B) —[ f(x)dxp f(x)dx dx L (C) df(x)二 f(x) (D) df(x)二 f(x) c 14、设 f(x)=e :则: f(lnx) dx = _____________ 2 已知e 公是f (x)的一个原函数,贝V f (tan x)sec xdx 二__ 在积分曲线族(卑中,过(1,1点的积分曲线是y=_ 'x\!x F'(x)= f (x),贝》J f'(ax+b)dx = ________ ; 设 [f (x)dx =丄 + c ,贝叮 "号)dx = _________ ; e 「dx= ____ ; "f(x) f '(ln x) =1 x,则f (x)二 ______ ; 10、 若 f (x)在(a, b)内连续,则在(a, b)内 f (x) ___ ; (A)必有导函数 (B)必有原函数 (C)必有界(D)必有极限 11、 ______________________________________________ 若 Jxf (x)dx = xs in x — [sin xdx,贝 V f (x) = ________ ; 4、 5、 6、 7、 9、 设 xf (x)dx =arcsin x c,贝V
不定积分习题与答案
不定积分 (A) 1、求下列不定积分 1)?2 x dx 2) ?x x dx 2 3)dx x ?-2)2( 4)dx x x ?+22 1 5)??-?dx x x x 32532 6)dx x x x ?22sin cos 2cos 7)dx x e x )32(?+ 8) dx x x x )1 1(2?- 2、求下列不定积分(第一换元法) 1)dx x ?-3 )23( 2) ? -3 32x dx 3) dt t t ? sin 4)? )ln(ln ln x x x dx 5)?x x dx sin cos 6)?-+x x e e dx 7)dx x x )cos(2? 8)dx x x ?-43 13 9)dx x x ?3cos sin 10)dx x x ?--2491 11)?-122 x dx 12)dx x ? 3 cos 13)?xdx x 3cos 2sin 14)? xdx x sec tan 3 15) dx x x ?+239 16)dx x x ?+22sin 4cos 31
17)dx x x ? -2 arccos 2110 18) dx x x x ? +) 1(arctan 3、求下列不定积分(第二换元法) 1)dx x x ?+2 11 2)dx x ? sin 3)dx x x ? -42 4)?>-)0(,2 22 a dx x a x 5)? +3 2)1(x dx 6)?+ x dx 21 7) ?-+2 1x x dx 8) ?-+ 2 11x dx 4、求下列不定积分(分部积分法) 1)inxdx xs ? 2)? xdx arcsin 3)?xdx x ln 2 4) dx x e x ?-2sin 2 5)? xdx x arctan 2 6)? xdx x cos 2 7)? xdx 2 ln 8) dx x x 2cos 2 2? 5、求下列不定积分(有理函数积分) 1)dx x x ?+33 2)?-++dx x x x 1033 22 3)?+)1(2x x dx (B)