高考金钥匙数学解题技巧大揭秘3专题三不等式及线性规划问题

专题三不等式及线性规划问题

1．若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式恒成立的是( )． A ．a 2＋b 2＞2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b ＞2ab

D.b a ＋a

≥2 答案：D [对于A ：当a ＝b ＝1时满足ab ＞0，但a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错；对于B 、C ：当a ＝b ＝－1时满足ab ＞0，但a ＋b ＜0，1a ＋1b ＜0，而2ab ＞0，2

ab ＞0，显然B 、C 不对；

对于D ：当ab ＞0时，由基本不等式可得b a ＋a

≥2

b a ·a

＝2.] 2．若x ∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( )． A ．e x ≤1＋x ＋x 2 B.

11＋x

≤1－12x ＋1

4x 2

C ．cos x ≥1－1

x 2

D ．ln(1＋x )≥x －1

x 2

答案：C [正确命题要证明，错误命题只需举一个反例即可．如A ，因为e 3＞1＋3＋32，故A 不恒成立；同理，当x ＝13时，11＋x ＞1－12x ＋1

x 2，故B 不恒成立；因为????cos x ＋12x 2－1′＝－sin x ＋x ≥0(x ∈[0，＋∞))，且x ＝0时，y ＝cos x ＋12x 2－1＝0，所以y ＝cos x ＋1

2x 2－1≥0

恒成立，所以C 对；当x ＝4时，ln(1＋x )＜x －1

x 2，故D 不恒成立．]

3．设变量x ，y 满足约束条件?

x ＋2y ≥2，

2x ＋y ≤4，

4x －y ≥－1，

则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )．

A .????－3

2，6 B.????－3

2，－1 C ．[－1,6]

D.?

???－6，32 答案：A [

作出不等式组所表示的区域如图，由z ＝3x －y 得，y ＝3x －z ，平移直线y ＝3x ，由图象可知当直线经过点E (2，0)时，直线y ＝3x －z 的截距最小，此时z 最大为z ＝3×2－0＝6，

当直线经过C 点时，直线y ＝3x －z 的截距最大，此时z 最小，由?????

4x －y ＝－1，

2x ＋y ＝4，

解得

????

x ＝12，y ＝3，此时z ＝3x －y ＝32－3＝－3

，所以z ＝3x －y 的取值范围是????－32，6.] 4．若x ，y 满足约束条件? ?

x ≥0，

x ＋2y ≥3，

2x ＋y ≤3，

则x －y 的取值范围是________．

解析

记z＝x－y，则y＝x－z，所以z为直线y＝x－z在y轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC区域所示．结合图形可知，当直线经过点B(1,1)时，x－y取得最大值0，当直线经过点C(0,3)时，x－y取得最小值－3.

答案[－3,0]

本部分内容高考主要考查以下几方面：

(1)考查利用基本不等式求最值、证明不等式等，利用基本不等式解决实际问题．

(2)考查以线性目标函数的最值为重点，目标函数的求解常结合其代数式的几何意义(如斜率、截距、距离、面积等)来求解．

(3)一元二次不等式经常与函数、导数、数列、解析几何相结合考查参数的取值范围，

以考查一元二次不等式的解法为主，并兼顾二次方程的判别式、根的存在等．

不等式部分重点掌握一元二次不等式的解法，特别是含有字母参数的一元二次不等式的解法，基本不等式求最值，二元一次不等式组所表示的平面区域，包括平面区域的形状判断、面积以及与平面区域有关的最值问题，简单的线性规划模型在解决实际问题中的应用．对不等式的深入复习要结合数列、解析几何、导数进行.

必备知识

一元二次不等式

(1)一元二次不等式的解集可以由一元二次方程的解结合二次函数的图象得来，不要死记硬背，二次函数的图象是联系“二次型”的纽带．

(2)对含参数的不等式，难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准(如最高次系数、判别式、根相等)，层次清楚地求解．

(3)与一元二次不等式有关的恒成立问题，通常转化为根的分布问题，求解时一定要借助二次函数的图象，一般考虑四个方面：开口方向、判别式的符号、对称轴的位置、区间端点函数值的符号．

基本不等式

(1)基本不等式a 2＋b 2≥2ab 取等号的条件是当且仅当a ＝b ；当且仅当x ＝y 时，x ＋y

2≥xy

(x ＞0，y ＞0)取等号．

(2)几个重要的不等式：①ab ≤????a ＋b 22

(a ，b ∈R )；

②

a 2＋

b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2ab

a ＋b

(a ＞0，b ＞0)； ③a ＋1

≥2(a ＞0，当a ＝1时等号成立)；

2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立)； |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.

(3)最值问题：设x ，y 都为正数，则有

①若x ＋y ＝s (和为定值)，则x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24；

②若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .

比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点．

解决线性规划问题的一般步骤 (1)确定线性约束条件； (2)确定线性目标函数； (3)画出可行域；

(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解；

(5)据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．

必备方法

1．解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)，可利用一元二次方程、一元二次不等式和二次函数间的关系．

2．使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时，基本的技巧是创造使用这些不等式的条件，如各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中要根据这个原则对求解目标进行适当的变换，使之达到能够使用这些不等式求解最值的

目的．在使用基本不等式求函数的最值、特别是求二元函数最值时一定要注意等号成立的条件，尽量避免二次使用基本不等式．

3．平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b 可知z b 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截

距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.

基本不等式的应用

常考查：①直接利用基本不等式求最值；②先利用配凑法等进行恒等变形，再利用基本

不等式求最值．近几年高考试题常考查实际应用题中基本不等式的应用，应引起我们的重视．

【例1】? (2010·重庆)已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )． A ．3 B ．4 C.92 D.11

[审题视点] [听课记录]

[审题视点] 将已知式改写成y 关于x 的表达式，再代入x ＋2y 消元，整理成应用基本不等式的形式求最值．

B [∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝

8－x

2x ＋2＞0，∴－1＜x ＜8，

∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9

x ＋1－2≥2

(x ＋1)·9

x ＋1

－2＝4，此时x ＝2，y ＝1，

故选B.]

当函数或代数式具有“和是定值”、

“积是定值”的结构特点时，常利用基本不等式求其最大、最小值．在具体题目中，一般很少考查基本不等式的直接应用，而是需要对式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式得出结果．

【突破训练1】已知a ＞0，b ＞0，且a ＋2b ＝1.则1a ＋1

b 的最小值为________．

解析 1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b

b ＝3＋????2b a ＋a b ≥3＋2

2b a ×a

＝3＋2 2. 即1a ＋1

b 的最小值为3＋2 2. 答案 3＋2 2 线性规划问题的解法

线性规划问题常考查有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是知最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围．同时，这也是高考的热点，主要以选择题、填空题的形式考查．

【例2】设x ，y 满足约束条件????

3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，

x ≥0，y ≥0.若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的

最大值为12，则3a ＋2

的最小值为( )．

A .256 B.83 C.11

3 D ．

4 [审题视点] [听课记录]

[审题视点] 先由已知结合线性规划知识可以求得a ，b 的关系式，再由基本不等式求解．

A [不等式表示的平面区域如图所示阴影部分．

当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6.

所以2a ＋3b ＝????2a ＋3b ·2a ＋3b 6＝136＋????b a ＋a b ≥136＋2＝256

线性规划的实质是把代数问题几何

化，即数形结合的思想．

需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错，比如上题中目标函数所对应直线的斜率－a

＜0；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．【突破训练2】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表

植面积(单位：亩)分别为( )．

A ．50,0

B ．30,20

C ．20,30

D ．0,50

答案：B [设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，总利润为z 万元，则目标函数为z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y .

线性约束条件为

?????

x ＋y ≤50，

1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0，

即?????

x ＋y ≤50，

4x ＋3y ≤180，

x ≥0，y ≥0.

画出可行域，如图所示．

作出直线l 0：x ＋0.9y ＝0，向上平移至过点B 时，z 取得最大值，由?????

x ＋y ＝50，

4x ＋3y ＝180，

求

得B (30，20)．]

不等式解法的考查

常考查：①含参不等式的求解；②已知含参不等式恒成立，求参数的取值范围，尤其是一元二次不等式的求解是高考重点考查的知识点之一，几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，要注意解题的灵活性．

【例3】? 若不等式x 2－ax ＋1≥0对于一切x ∈(0,2]成立，求a 的取值范围． (1)若题中区间改为x ∈[－2,2]，求a 的取值范围； (2)若题中区间改为a ∈[－2,2]，求x 的取值范围． [审题视点] [听课记录]

[审题视点] 原题可利用分离法求解；(1)分离参数后，需分x ＝0，x ∈(0,2]，x ∈[－2,0)讨论；(2)利用变换主元法求解．

解原不等式可化为a ≤x 2＋1x ，而x 2＋1x ≥2x

x ＝2，

所以a 的取值范围是(－∞，2]．

(1)因为x ∈[－2,2]，而当x ＝0时，原式为02－a ·0＋1≥0恒成立，此时a ∈R ；当x ≠0时，令f (x )＝x 2＋1x ＝x ＋1

，

则当x ∈(0,2]时，知a ∈(－∞，2]，所以当x ∈[－2,0)时，因为a ≥x 2＋1x ，令f (x )＝x 2＋1x ＝x ＋1

x ，

由函数的单调性可知，

所以f (x )m ax ＝f (－1)＝－2，所以a ∈[－2，＋∞)，综上可知，a 的取值范围是[－2,2]．

(2)因为a ∈[－2,2]，则可把原式看作关于a 的函数，即g (a )＝－xa ＋x 2＋1≥0，由题意可知，

????

g (－2)＝x 2＋2x ＋1≥0，

g (2)＝x 2－2x ＋1≥0，解之得x ∈R ，所以x 的取值范围是(－∞，＋∞)．

本题考查了不等式恒成立问题，在给定自变量的取值范围时，解有关不等式问题时，往往采用分离变量或适当变形，或变换主元，或构造函数，再利用函数的单调性或基本不等式进行求解，在解答时，一定要注意观察所给不等式的形式和结构，选取合适的方法去解答．

【突破训练3】已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．

解

设F(x)＝x2－2ax＋2－a，则问题的条件变为当x∈[－1，＋∞)时，F(x)≥0恒成立．∵当Δ＝(－2a)2－4(2－a)＝4(a＋2)·(a－1)≤0，即－2≤a≤1时，F(x)≥0恒成立．又当Δ＞0时，F(x)≥0在[－1，＋∞)上恒成立的充要条件是

?????

Δ＞0，F (－1)≥0，－－2a 2≤－1

?????

a ＞1或a ＜－2，a ≥－3，a ≤－1

?－3≤a ＜－2.

故a 的取值范围是[－3,1]．不等式的综合应用

不等式的综合应用主要体现在不等式与函数、方程、导数、数列等其它知识的综合应用．不等式作为一种工具经常与函数、方程结合在一起，用其研究函数和方程的有关题目；

再就是利用函数和方程的理论研究不等式．题目难度较大．

【例4】? 设函数f (x )＝x 2＋a ln(1＋x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2. (1)求a 的取值范围，并讨论f (x )的单调性； (2)证明：f (x 2)＞1－2ln 2

[审题视点] [听课记录]

[审题视点] 第(1)问基础常规，第(2)问要证明不等式，常规方法很难见效，转而构造函数，反复利用导数作工具研究函数的单调性，其中需要一定的探究能力．

(1)解 f ′(x )＝2x ＋a

1＋x ＝2x 2＋2x ＋a 1＋x (x ＞－1)．

令g (x )＝2x 2＋2x ＋a ，其对称轴为x ＝－1

由题意知x 1、x 2是方程g (x )＝0的两个均大于－1的不相等的实根，且x 1＝－1－1－2a

2，

x 2＝－1＋1－2a 2

，

其充要条件为?????

Δ＝4－8a ＞0，g (－1)＝a ＞0，

得0＜a ＜1

①当x ∈(－1，x 1)时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(－1，x 1)内为增函数； ②当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在(x 1，x 2)内为减函数； ③当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(x 2，＋∞)内为增函数．

(2)证明当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0， ∴－1

＜x 2＜0.a ＝－(2x 22＋2x 2)． ∴f (x 2)＝x 22＋a ln(1＋x 2)＝x 22－(2x 22＋2x 2)ln(1＋x 2)．

设h (x )＝x 2－(2x 2＋2x )ln(1＋x )?

???x ＞－1

2，则h ′(x )＝2x －2(2x ＋1)ln(1＋x )－2x ＝－2(2x ＋1)ln(1＋x )． ①当x ∈????－1

2，0时，h ′(x )＞0， ∴h (x )在????－1

2，0上单调递增； ②当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )＜0， h (x )在(0，＋∞)上单调递减．

∴当x ∈????－12，0时，h (x )＞h ????－12＝1－2ln 24. 故f (x 2)＝h (x 2)＞1－2ln 2

在确定函数的单调区间时，往往需要

对所求出的导数中的参数进行分类讨论来解决，不等式的证明常常借助构造函数，利用函数的单调性进行证明，从而使问题的解决变得简单、明快．

【突破训练4】已知函数f (x )＝x 3－3ax 2－9a 2x ＋a 3.若a ＞1

4，且当x ∈[1,4a ]时，

|f ′(x )|≤12a 恒成立，试确定a 的取值范围．

解 f ′(x )＝3x 2－6ax －9a 2的图象是一条开口向上的抛物线，关于x ＝a 对称． ①若1

＜a ≤1，则f ′(x )在[1,4a ]上是增函数，从而f ′(x )在[1,4a ]上的最小值是f ′(1)＝3

－6a －9a 2，最大值是f ′(4a )＝15a 2.

由|f ′(x )|≤12a ，得－12a ≤3x 2－6ax －9a 2≤12a ，

于是有f ′(1)＝3－6a －9a 2≥－12a ，且f ′(4a )＝15a 2≤12a . 由f ′(1)≥－12a ，得－13≤a ≤1，由f ′(4a )≤12a ，得0≤a ≤4

所以a ∈????14，1∩????－13，1∩????0，45，即a ∈????14，4

5. ②若a ＞1，则|f ′(a )|＝12a 2＞12a . 故当x ∈[1,4a ]时，|f ′(x )|≤12a 不恒成立．

所以使|f ′(x )|≤12a (x ∈[1,4a ])恒成立的a 的取值范围是????

14，45.

把握好含参二次不等式的分类标准的四个“讨论点”

含参数的二次不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题，如何选择讨论标准是学生不易掌握的地方．实际上，只要把握好下面的四个“讨论点”，一切便迎刃而解．

分类标准一：二次项系数是否为零，目的是讨论不等式是否为二次不等式；分类标准二：二次项系数的正负，目的是讨论二次函数图象的开口方向；分类标准三：判别式的正负，目的是讨论二次方程是否有解；分类标准四：两根差的正负，目的是比较根的大小．

【示例】? (2012·汕头调研)已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ＞0)的图象在点(1，f (1))处的切线

方程为y ＝x －1.

(1)用a 表示出b ，c ；

(2)若f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围． [满分解答] (1)f ′(x )＝a －b

2，

则有?????

f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，f ′(1)＝a －b ＝1，

解得?

????

b ＝a －1，

c ＝1－2a .(4分)

(2)由(1)知，f (x )＝ax ＋a －1x

＋1－2a .

令g (x )＝f (x )－ln x

＝ax ＋a －1x ＋1－2a －ln x ，x ∈[1，＋∞)，

则g (1)＝0， g ′(x )＝a －a －1x 2－1

＝ax 2－x －(a －1)x 2＝a (x －1)x －1－a

a x 2.(8分)

①当0＜a ＜1

2时，1－a a

＞1.

若1＜x ＜1－a

a ，则g ′(x )＜0，g (x )是减函数，所以g (x )＜g (1)＝0，即f (x )＜ln x ．故f (x )≥ln

x 在[1，＋∞)上不恒成立．(10分)

②当a ≥1

2时，1－a a

≤1.

若x ＞1，则g ′(x )＞0，g (x )是增函数，所以g (x )＞g (1)＝0，即f (x )＞ln x ，故当x ≥1时，f (x )≥ln x .

综上所述，所求a 的取值范围为1

，＋∞.(12分)

老师叮咛：对不确定的根的大小关系不加区分，整体表现为不能有序地进行分类讨论，对于分类讨论的题目没有结论，这都是造成失分的原因，切记！

【试一试】 (高考题改编)解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0. 解不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0，即(ax －1)(x －2)＜0.

(1)当a ＞0时，不等式可以化为????x －1

a (x －2)＜0. ①若0＜a ＜12，则1

a ＞2，

此时不等式的解集为???

?2，1

a ； ②若a ＝1

，则不等式为(x －2)2＜0，不等式的解集为?；

③若a ＞12，则1

a ＜2，此时不等式的解集为????1a ，2. (2)当a ＝0时，不等式即－x ＋2＜0，此时不等式的解集为(2，＋∞)．

(3)当a ＜0时，不等式可以化为????x －1

a (x －2)＞0. 由于1

＜2，故不等式的解集为????－∞，1a ∪(2，＋∞)．综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为????－∞，1

a ∪(2，＋∞)；当a ＝0时，不等式的解集为(2，＋∞)；当0＜a ＜1

2时，不等式的解集为????2，1a ；当a ＝1

2时，不等式的解集为?；

当a ＞1

2时，不等式的解集为????1a ，2.

基本不等式与线性规划

不等式(二) 一.基本不等式(ab b a 2 ≥+一正:两个数或式子必须都为正数. 二定;必须有和定或积定三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等) 积定,和有最小( 1.设41 4,4-+-=>x x y x 2.设 4 1 ,4-+ =>x x y x 3.1,1>>b a ,则a b b a log log +的最小为．4.下列函数中，最小值为22的是（） A ．x x y 2+= B ．)0(sin 2 sin π<<+=x x x y C ．x x e e y -+=2 D ．2 log 2log 2 x x y += 5.下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．y=x ＋x 1 B ．y= sinx ＋x sin 1 ,x ∈(0,2π) C ．y= 2 32 2++x x D ．y= x x 1 +

6.若lg x ＋lg y ＝2，则x 1＋y 1 的最小值为( ) A ．201 B ．51 C ．2 1 D ．2 7.(10.重庆)已知0>t ,则函数t t t y 142+-= 的最小值为． 8.若1>=+y x y x 则y x 2 1+的最小． (09.天津)设0,0>>b a ,若3是a 3与b 3的等比中项,则b a 1 1+的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．4 1 已知312,0,0=+>>y x y x ,则y x 11+的最小．若实数a 、b 满足的最小值是则b a b a 22,2+=+ （） A ．8 B ．4 C ．22 D ．4 22 和定,积有最大(和定的判断依据:相反符号) 1.设 , 20<

巧解高考数学选择题专题(绝版)

神奇巧解高考数学选择题专题前言高考数学选择题，知识覆盖面宽，概括性强，小巧灵活，有一定深度与综合性，而且分值大，能否迅速、准确地解答出来，成为全卷得分的关键。解选择题常见的方法包括数形结合、特值代验、逻辑排除、逐一验证、等价转化、巧用定义、直觉判断、趋势判断、估计判断、退化判断、直接解答、现场操作，等等。考生应该有意识地积累一些经典题型，分门别类，经常玩味，以提高自己在这方面的能力。下面主要就间接法分别举例说明之，并配备足够的对应练习题，每题至少提供有一种解法。例题与题组一、数形结合画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。【例题】、（07江苏6）设函数()f x 定义在实数集上，它的图象关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，则有（）。 A 、132()()()323f f f p p B 、231 ()()()323 f f f p p C 、213()()()332f f f p p D ．321()()()233f f f p p 【解析】、当1x ≥时，()31x f x =-，()f x 图象关于直线1x =()|1|f x x =-的图象代替它也可以。由图知，符合要求的选项是B ，

【练习1】、若P （2，-1）为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（） A 、30x y --= B 、230x y +-= C 、10x y +-= D 、250x y --= （提示：画出圆和过点P 的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A ）【练习2】、（07辽宁）已知变量x 、y 满足约束条件20170x y x x y -+≤??≥??+-≤?，则y x 的取值范围是（） A 、9,65?????? B 、[)9 ,6,5??-∞+∞ ???U C 、(][),36,-∞+∞U D 、[]3,6 （提示：把y x 看作可行域内的点与原点所在直线的斜率，不难求得答案，选A 。）【练习3】、曲线[]12,2)y x =+∈- 与直线(2)4y k x =-+有两个公共点时， k 的取值范围是（） A 、5(0,)12 B 、11 (,)43 C 、5(,)12+∞ D 、53(,)124 （提示：事实上不难看出，曲线方程[]12,2)y x =∈-的图象为22(1)4(22,13)x y x y +-=-≤≤≤≤，表示以（1，0）为圆心，2为半径的上半圆，如图。直线(2)4y k x =-+过定点（2，4），那么斜率的范围就清楚了，选D ）] 【练习4】、函数)1(||x x y -=在区间 A 上是增函数，则区间A 是（） A 、(]0,∞- B 、?? ????21,0

高考数学线性规划专题练习

高考数学线性规划专题练习 1. “截距”型考题在线性约束条件下，求形如(,)z ax by a b R =+∈的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在y 轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差. 1.【20xx 年高考·广东卷理5】已知变量满足约束条件，则的最大值为( ) 2. (20xx 年高考·辽宁卷理8)设变量满足，则的最大值为 A ．20 B ．35 C ．45 D ．55 3.(20xx 年高考·全国大纲卷理13) 若满足约束条件，则的最小值为。 4.【20xx 年高考·陕西卷理14】设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为． 5.【20xx 年高考·江西卷理8】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 ,x y 241y x y x y ≤?? +≥??-≤? 3z x y =+()A 12()B 11()C 3()D -1,x y -100+20015x y x y y ≤?? ≤≤??≤≤? 2+3x y ,x y 1030330 x y x y x y -+≥??? +-≤??+-≥??3z x y =-ln ,0 ()21,0x x f x x x >?=?--≤?D x ()y f x =(1,0)2z x y =-D

和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（） A ．50，0 B ．30，20 C ．20，30 D ．0，50 6. (20xx 年高考·四川卷理9 ) 某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克. 每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（） A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、 3100元 7. (20xx 年高考·安徽卷理11) 若满足约束条件：；则的取值范围为. 8．(20xx 年高考·山东卷理5)的约束条件24 41x y x y +≤??-≥-?，则目标函数z=3x －y 的取值范围是 A ． [32-，6] B ．[3 2 -，－1] C ．[－1，6] D ．[－6， 3 2 ] 9．(20xx 年高考·新课标卷理14) 设满足约束条件：；则的取值范围为 . 2 . “距离”型考题 10.【2010年高考·福建卷理8】设不等式组x 1x-2y+30y x ≥?? ≥??≥?所表示的平面区域是 1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于( ) A. 285 B.4 C. 12 5 D.2 11.( 20xx 年高考·北京卷理2) 设不等式组，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 A B A B A B ,x y 02323x x y x y ≥?? +≥??+≤? x y -_____,x y ,013x y x y x y ≥?? -≥-??+≤? 2z x y =-???≤≤≤≤20, 20y x

基本不等式与线性规划

不等式(二) 一.基本不等式(ab b a 2≥+一正:两个数或式子必须都为正数. 二定;必须有和定或积定三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等) 积定,和有最小(积定的判断依据:互为倒数关系) 1.设4 1 4,4-+-=>x x y x 的最小值为． 2.设4 1 ,4-+ =>x x y x 的最小值为． 3.1,1>>b a ,则a b b a log log +的最小为． 4.下列函数中，最小值为22的是（） A ．x x y 2+ = B ．)0(sin 2 sin π<<+ =x x x y C ．x x e e y -+=2 D ．2log 2log 2x x y += 5.下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．y=x ＋ x 1 B ．y= sinx ＋x sin 1,x ∈(0,2 π) C ．y= 2 322++x x D ．y=x x 1 + 6.若lg x ＋lg y ＝2，则 x 1 ＋y 1的最小值为( ) A ． 20 1 B ． 5 1 C ． 2 1 D ．2 7.(10.重庆)已知0>t ,则函数t t t y 1 42+-=的最小值为． 8.若1>=+y x y x 则 y x 2 1+的最小． (09.天津)设0,0>>b a ,若3是a 3与b 3的等比中项,则b a 1 1+的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．4 1 总结:常见倒数关系 x x a a -与 a b b a log log 与

2013—2017高考全国卷线性规划真题(含答案)

2013—2017高考全国卷线性规划真题 1.【2017全国1，文7】设x ，y 满足约束条件33,1, 0,x y x y y +≤??-≥??≥?则z =x +y 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2.【2017全国2，文7】设,x y 满足约束条件2+330 233030x y x y y -≤??-+≥??+≥? ,则2z x y =+的最小值是 A.15- B.9- C.1 D 9 3.【2017全国3，文5】设x ，y 满足约束条件3260 0x y x y +-≤??≥??≥? ，则z x y =-的取值范围是 A ．[–3,0] B ．[–3,2] C ．[0,2] D ．[0,3] 4．(2016全国1，文16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 5．(2016全国2，文14)若x ，y 满足约束条件?????x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________． 6．(2016全国3，文13)设x ，y 满足约束条件?????2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为_____． 7.（2015全国1，文15）若x ,y 满足约束条件20 210220x y x y x y +-≤??-+≤??-+≥? ,则z =3x +y 的最大值为． 8.（2015全国2，文14）设x ，y 满足约束条件50 210210x y x y x y +-≤??--≥??-+≤?，则2 z x y =+的最大值为__________. 9.（2014全国1，文11）设x ，y 满足约束条件, 1,x y a x y +≥??-≤-?且z x a y =+的最小值为7，则a = A ．-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3

高考数学二轮复习专题突破训练一第2讲不等式与线性规划理含2014年高考真题

第2讲不等式与线性规划考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2 ＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f x g x >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； ②变形? f x g x ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x ) >a g (x ) ?f (x )>g (x )； ②当0a g (x ) ?f (x )1时，log a f (x )>log a g (x )?f (x )>g (x )且f (x )>0，g (x )>0； ②当0 log a g (x )?f (x )0，g (x )>0. 2．五个重要不等式 (1)|a |≥0，a 2 ≥0(a ∈R )． (2)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a 、b ∈R )． (3) a ＋b 2 ≥ab (a >0，b >0)． (4)ab ≤(a ＋b 2)2 (a ，b ∈R )． (5) a 2＋ b 22 ≥ a ＋b 2 ≥ab ≥ 2ab a ＋b (a >0，b >0)． 3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．