数理统计答案整理

8、设总体X 具有连续的分布函数()F x ，12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，且

i EX μ=，定义随机变量

1, , (1,2,,)0, i i i X Y i n X μμ>?==?≤?

试确定统计量

1

n

i i Y =∑的分布.

解 由题意知(1,)i Y B p ，()1()1i i p P X P X μμμ=>=-≤=-， 1,2,,i n = .从而由二项分布定义知

1

(,)n

i i Y B n p =∑ .

19、设12,,,n X X X 是来自总体[,]X U a b 的样本，试求：

1)、(1)X 的密度函数;2)、()n X 的密度函数.

解 因为[,]X U a b ，所以X 的密度函数与分布函数分别为

1, [,],()0, [,],x a b f x b a

x a b ?∈?

=-????0, ,

(), ,1, .

x a x a F x a x b b a x b ≤??-?=<≤?-?>?? 因此所求的

(1)1()(1())()n f x n F x f x -=-

11(1), [,],0, [,],n x a n x a b b a b a

x a b --?

-

∈?=--????

1

(), [,],()0, [,],n n n b x x a b b a x a b -?-∈?

=-????

()1()(())()n n f x n F x f x -=

11

(

), [,],0, [,],n x a n x a b b a b a

x a b --?∈?=--????

1

(), [,],()0, [,].n n n x a x a b b a x a b -?-∈?

=-????

22、设总体X 服从正态分布2

(,)N μσ，12,,,n X X X 是来自总体X ，2S 为样本方

差，问样本容量n 取多大能满足22(1)32.670.95n S P σ??-≤= ???

？ 解 已知：

2

2

2

(1)(1)n S n χσ-- ，由所求的22

(1)32.670.95n S P σ??

-≤= ???

有： 0.95(1)32.67n χ-=.

查表得0.95(21)32.67χ=.故有121n -=即22n =.

23、从两个正态总体中分别抽取容量为20和15的两独立的样本，设总体方差相等，

2

21

2

,S S 分别为两样本方差，求2122 2.39S P S ??

> ???

.

解 由题意可得2

122

(19,14)S F S ，易得

221122222.391 2.39S S P P S S ????>=-≤ ? ?????

. 由上知2.39为(19,14)F 的分位数，即(19,14) 2.39p F =.查表得0.95(19,14) 2.39F =.

于是2122 2.390.95S P S ??

≤= ???

.故所求的

221122222.391 2.3910.950.05S S P P S S ????

>=-≤=-= ? ?????

()1

, a ,3);,0, x b f x a b a b b a ?≤≤?

=<-???未知；

其他，

解矩估计法：因为总体X 的数学期望为,2

a b

EX +=方差()2

12b a DX -=

所以 ()2

*2,2,12

a b

X b a M +?=??

?-?=??解得

11a X b X ?=??=+??. 最大似然估计法：因为该总体X 的密度函数为

()1

, a ,;,0, x b f x a b a b b a ?≤≤?

=<-???未知；

其他，

则该总体决定的似然函数为

()()()()

()121

1

, a ,1,2, ,,;,,;,0, n

i n n i i x b i n b a L a b L a b x x x f x a b =?≤≤=?

-==∏=???

其他， 因为似然方程

()()

1

ln ,0n L a b n

a

b a +?=

=?-，

()()

1

ln ,0n L a b n

b

b a +?-=

=?-，显然似然方程

关于,a b 无解.这时利用似然估计的定义，当()1,2, i a x b i n ≤≤= 时，有

()()()12n a x x x b ≤≤≤≤≤ ，则()()()

()()121

1

1

,,;,,n n

n

n

L a b L a b x x x b a x x ==

≤

-- ，

显然当 ()21a X =， ()

2n b X =时，可使似然函数取最大值，因此,a b 的最大似然估计为， ()211min i i n

a X X ≤≤==， ()

21max i n i n

b X X ≤≤==. ()()()

2

28);11,x f x x θθθ-=--其中2,3,,0 1.x θ=<<

解 矩估计法：因为总体X 的数学期望为

()()

2

22

2

11x x X x x θθθ

+∞

-==?--=

∑E ，

所以

2

X θ=，得到 1

2

X

θ=.

最大似然估计法：因为总体X 的分布密度为

()()()

2

2;11,x f x x θθθ-=--其中2,3,,0 1.x θ=<<

则该总体决定的似然函数为

()()()()()2

2121

1

;,,;11i n

n

x n i i i i L L x x x f x x θθθθθ-====∏=∏-- ，

其中2,3,,0 1.i x θ=<<

当2,3,01i x θ=<< 时知()0L θ>，两边取对数得

()()()11ln ln 12ln 2ln 1n

n i i i i L x n x n θθθ==??

=-++-- ???

∑∑，

两边对θ求导得

()1ln 21

201n i i d L n x n d θθ

θθ=-??=+-= ?-??

∑ 令()ln 0d L d λλ

=，得到 2

2X

λ=.

12.设总体()

2,X N μσ ，12,,,n X X X 为其样本，

1)求常数k ，使 ()12211

1n i i i X X k σ-+==-∑为2σ的无偏估计量；

2)求常数k ，使 1

1n i i X X k σ==-∑为σ的无偏估计量. 解1) ()

()()()()()11222211111112n n i i i i i i i i E E x x E x E x E x E x k k σ--+++==????=-=-+ ??

???∑∑

()()()()()()122

1111

1[]2[]n i i i i i i i D x E x E x E x D x E x k -+++=??=+-++??∑ ()21222222

12112n i n k k

σσμμσμσ-=-??=+-++==??∑， 所以()21k n =-；

19.设总体X 具有如下密度函数：

1,01,

(;)(0)0, ,

x x f x θθθθ-?<<=>??其他，

12,,,n X X X 是来自于总体X 的样本，对可估计函数()1

g θθ

=，求()g θ的有效估计量

()g

θ，并确定C R -下界. 解 因为总体X 的分布密度为

1,01,

(;)(0)0, ,x x f x θθθθ-?<<=>??

其他，

则该总体决定的似然函数为

()()()1

1121

,01,

;,,;0, n n n

i i i n i i x x L L x x x f x θθθθθ-==?∏<

当()011

2,n i x i <<= ，，时，由0θ>知()0L θ>，两边取对数得 ()()1ln ln +-1ln n

i i L n x θθθ==∑，

两边对θ求导得

()11

ln 11+ln ln n

n

i i i i d L n

x n x d n θθ

θθ==??==--- ???∑∑， ()121

1,,ln n

n i i T X X X X n ==-∑ ，

1

1

1

ln ln ln i E X x x dx xdx θθθ-==??

1

11110

1

ln ln x x x x dx x x θ

θ

θθ

θ

θ

-=-=-

=-

?

所以1

ET θ

=

.

根据教材中定理2.3.2知()1211,,ln n n i i T X X X X n ==-∑ 是()1

g θθ

=的有效估计量.

C R -下界为()

()221

1g DT c n n θθθθ

-'===- .

20.设总体X 服从几何分布：{}()

()1

11,2,k P X k p p k -==-= ，对可估计函数

()1

g p p

=

，则 1)求()g p 的有效估计量()12,,n T X X X ； 2)求方差DT 和信息量()I p ； 3)验证T 的相合性.

解 1)因为总体X 的分布密度为

{}()

()1

11,2,k P X k p p k -==-=

则该总体决定的似然函数为

()()()()()

1121

1

;,,;11i n n

x nx n

n n i i i L p L p x x x f x p p p p p --====∏=∏-=- ，

当0,1,2,i x = 时，由0p >知()0L p >，两边取对数得

()()

()ln ln ln 1L p n p nx n p =+--，

两边对p 求导得

()ln 111d L p n nx n n x dp

p p p p ??-=

-=-- ?--??

所以()12,,n T X X X X =

()

()

1

1

1

1

1

11k k k k EX EX k p p p k p p

+∞

+∞

--====-=-=

∑∑ 所以()12,,n T X X X X = 为()1

g p p

=

的有效估计量. 2)由1)知()1n

c p p =-

-，()()()()211c p g p I p n p p '==-， ()

()()

2

1g p np DT c p p '==-.

3)()2

10,DX p

DT DX n n np -==

=→→+∞，()12,,n T X X X X = 是相合估计量. 28.假设0.5,1.25,0.8,2.0是总体X 的简单随机样本.已知()ln ,1Y X N μ= .

1)求参数μ的置信度为0.95的置信区间； 2)求EX 的置信度为0.95的置信区间.

解 1)由题意可得4

1

1ln 0,44i i y x n ====∑，

0.9750.05,10.975, 1.962

u α

α=-

==，1σ=，

0.975

0.975110 1.960.98,+0 1.960.9822a y u b y u =-=-?

=-==+?=， 所以参数μ的置信度为0.95的置信区间为[]0.98,0.98-.

2)由()ln ,1Y X N μ= 得Y X e =且(

)()2

2

,y Y f y y R μ--

=

∈.

()(

)()2

1

2

2

y Y

Y

y

Y EX E e

e f y dy e

dy e

μμ-+∞

+∞

-

+

-∞

-∞

====?

?，

因为,Y

X e y R =∈是严格递增函数，参数μ的置信度为0.95的置信区间为[]0.98,0.98-，

所以EX 的置信度为0.95的置信区间为0.48 1.48,e e -????.

32.在105次设计中，有60次命中目标，试求命中率的置信度为95%的置信区间. 解 60

470.5714,0.05105

p X α=====，

0.4763,0.6665a X u b X u =-==+=，

命中率的置信度为95%的置信区间为[]0.4763,0.6665.

1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量()

24.55,0.108X N .现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化()0.05α=？

解 由题意知，()2

4.55,0.108X N ，5n =，5

1

1 4.3645i i x x ===∑，0.05α=，

()52

2

01

10.095265i i s x μ==-=∑.

1)当00.108σ=已知时，

①设统计假设0010: 4.55,: 4.55H H μμμμ==≠=. ②当0.05α=时，0.97512

1.96u

u α

-

=

=

，临界值12

1.960.0947c α-

=

=

=， 拒绝域为000{}{0.0947}K x c x μμ=->=->.

③004.364 4.550.186x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化.

2)当0 4.55μ=已知时，

①设统计假设222222

0010:0.108,:0.108H H σσσσ==≠=.

②当0.05α=时，临界值

()()()()222210.02520.975122

111150.1662,5 2.566655c n c n n n ααχχχχ-=

=====， 拒绝域为22220212

2

2

2

{

}{

2.56660.1662}s

s

s

s

K c c σσσσ=><=><或

或

.

③

2

02

2

00.09526

8.16700.108s

K σ=

=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即均值没有改变时，总体方差

有显著变化.

2.一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽取25件，得其均值950x h =.已知该种元件寿命()

2,100X N μ ，问这批元件是否合格()0.05α=？

解 由题意知，()

2

,100X N μ ，25n =，950x =，0.05α=，0100σ=.

①设统计假设0010:1000,:1000H H μμμμ≥=<=. ②当0.05α=时，0.05 1.65u u α==-

，临界值()1.6533c α==

-=-， 拒绝域为000{}{33}K x c x μμ=-<=-<-.

③00950100050x K μ-=-=-∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为这批元件不合格. 3.某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准质量为500g ，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其质量分别为510,505,498,503,492,502,497,506,495（单位：g ），假定罐头质量服从正态分布.问

1)机器工作是否正常()0.05α=？

2)能否认为这批罐头质量的方差为25.5()0.05α=？

解 设X 表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量（单位：g ）.由题意知

()2

500,X N σ ，方差2

σ未知.9n =，9

1

1500.88899i i x x ===∑，0.05α=，

()

()

2

2

2

1

1

1133.6111118n n

i i i i s x x

x x n ===-=-=-∑∑，()52

2

01

130.66679i i s x μ==-=∑

1)①设统计假设0010:500,:500H H μμμμ==≠=.

②()()0.97512

18 2.306t

n t α--==

，临界值(

)121 2.306 4.4564c n α-=-==，

拒绝域为000{}{ 4.4564}K x c x μμ=->=->.

③00500.88895000.8889x K μ-=-=?，所以接受0H ，拒绝1H ，即认为机器工作正常.

2)当0500μ=已知时，

①设统计假设2222220010: 5.5,: 5.5H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时，临界值

()()()()2222

10.02520.975122

111190.3,9 2.113399c n c n n n ααχχχχ-=

=====， 拒绝域为22220212

2

2

2

{

}{

2.11330.3}s

s

s

s

K c c σσσσ=><=><或

或

.

③

2

02

2

030.6667

1.013785.5

s

K σ=

=?，所以接受0H ，拒绝1H ，即为这批罐头质量的方差为25.5.

14.从甲乙两煤矿各取若干个样品，得其含灰率()%为 甲：24.3,20.8,23.7,21.3,17.4， 乙：18.2,16.9,20.2,16.7

假定含灰率均服从正态分布且22

12σσ=.问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异

()0.05α=？

解 设,X Y 分别表示甲乙两煤矿的含灰率.由题意知：2212(,),(,)X N Y N μσμσ .

5,4,21.5,18n m x y ====，22127.505, 2.59333s s ==.问甲、乙两煤矿的含灰率有无显

著差异，因此，可进行以下假设检验。 ①

统

计

假

设

012012

:,:H H μμμμ=≠ ②当

0.05

α=时，

(

)()0

.975

12

272.365

t

n

m t

α-

+-==临界值为 (

12

2c t

n m α-

=+-

2.365

3.68667==

拒绝域为0{ 3.68667}.K x y c =->=

③由于021.518 3.5x y K -=-=?所以，接受0H ，即认为甲、乙两煤矿的含灰率无显著差异.

15.设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低。通过试验获得他们的抗拉强度分别为()

2/kg cm 单位：： 甲：88,87,92,90,91 乙：89,89,90,84,88

假定两种零件的抗拉强度均服从正态分布且22

12σσ=.问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的

高()0.05α=？

解设,X Y 分别表示甲乙两种零件的抗拉强度()

2/kg cm 单位：.由题意知：

2212(,),(,)X N Y N μσμσ ，5,5,89.6,88n m x y ====，22124.3, 5.5s s ==.问甲种

零件的抗拉强度是否比乙种的高，因此，可进行以下假设检验。 ①统计假设012112H H μμμμ≥<:,:，

②当0.05α=时，()()0.0528 1.86t n m t α+-==-临界值为

(2c t n m α=+-

1.86

2.604=-=-

拒绝域为0{ 2.604}.K x y c =-<=-

③由于089.688 1.6x y K -=-=?所以，接受0H ，即认为甲种零件的抗拉强度比乙种的高.

17.要比较甲、乙两种轮胎的耐磨性，现从甲、乙两种轮胎中各取8个，各取一个组成一对，现再随机地选取8架飞机，将8对轮胎磨损量()

单位：mg 数据列表如下：

试问对这两种轮胎的耐磨性有无显著差异()0.05α=？假定甲、乙两种轮胎的磨损量分别

满足()

211,X N μσ ，()

2

22,Y N μσ ，且两个样本相互独立.

解设甲乙两种轮胎的磨损量分别为,X Y ，()

单位：mg .由题意知：211~(,)X N μσ，

2

22~(,)Y N μσ，2212

6145,5825,1867314.2,1204428.5,8,8x y s s n m ======.此题假设检验问题是比较两总体的均值与方差.

()1首先对两总体的方差进行检验：

①统计假设2222

012112

:,:H H σσσσ=≠， ②由于未知总体的均值12,μμ，所以当0.05α=时，拒绝域为

21010.025220.97511{(7,7)0.2004}(7,7) 4.99

s K c F s F =<====?

2

120.97522

{(7,7) 4.99}s c F s >== ③210221867314.2 1.55041204428.5

s F K s ===?，落在接受域内，所以接受原假设，即22

12,σσ无明

显差异.

()2再对两种体的均值进行检验

① 设立统计假设012112:,:H H μμμμ=≠，

② 由于22

12σσ=，所以当0.05α=时，

2

0.97512

71867314.271204428.5

(2)(14) 2.145,1535871.414

t

m n t s αω-

?+?+-====

临界值12

(2) 2.1451239.30271420.9235c t

m n s α-

=+-=?， 拒绝域为0{1420.9235}K x y c =->=.

③由于061455825320x y K -=-=?，所以接受0H ，可以接受这两种轮胎磨损量无显著差异的结论.

问能否认为通过的汽车数量服从Poisson 分布()0.10α=？

解 设X 表示每次观察时通过的汽车数量，分布函数为()F x ，统计假设是

01:()(),:()()H F x P H F x P λλ=≠ . ①选择检验统计量22

1?()??m

i i i i

np

np νχ=-=∑；

②将X 的取值划分为若干区间，

{}12345{0},{1},{2},{3},4A X A X A X A X A X =========≥；

③ 在0H 成立的条件下，计算参数λ的最大似然估计值 λ

，通过计算得 0.805λ=； ④ 在0H 成立的条件下，(1,2,3,4,5)i A i =的概率理论估计值为

1?(0)0.449329p

P X ===，2?(1)0.359463p P X ===， 3?(2)0.143785p

P X ===，4?(3)0.038343p P X ===， 5?(4)0.00908p

P X =≥=； ⑤ 拒绝域为22

0.90

{(3) 6.25}χχ>=； ⑥ 计算的样本值2

?χ

，计算过程见表3.3.4. i

i A i ν

?i p

?i np

2?()?i i i np

np

ν- 1 {0}X = 92 0.449329 89.8658 0.0506845 2 {1}X = 68 0.359463 71.8926 0.2107634 3 {2}X = 28 0.143785 28.77 0.0206082 4 {3}X = 11 0.038343 7.6686 1.4472296 5 {4}X ≥

1 0.00908 1.816 0.3666607

∑

200

1.0000

200

2.0959

由于2

?χ样本值为2.0959落在接受域内，因而接受0H ，所以通过的汽车数量服从()

0.805P

分布.

试检验螺栓口径的检验值X 的分布是否为正态分布()0.05α=. 解 设X 表示某厂生产的汽缸螺栓口径，分布函数为()F x ，统计假设是

01:()(

),:()(

)x x H F x H F x μ

μ

σ

σ

--=Φ≠Φ.

①选择检验统计量22

1

?()??m

i i i i np

np νχ=-=∑；

②将X 的取值划分为若干区间，

123{10.9310.97},{10.9710.99},{10.9911.01}A X A X A X =≤≤=≤≤=≤≤，

{}{}456{11.0111.03},11.0311.05,11.0511.09A X A X A X =≤≤=≤≤=≤≤；

③ 在0H 成立的条件下，计算参数2

,μσ的最大似然估计值 2

,μσ，通过计算得

11.0024μ=， 2

0.0010181σ=；

④ 在0H 成立的条件下，(1,2,3,4,5,6)i A i =的概率理论估计值为

1?((10.9711.0024)/0.0319076)((10.9311.0024)/0.0319076)p

=Φ--Φ- ()()1.015432 2.26905180.1446=Φ--Φ-=

2?((10.9911.0024)/0.0319076)((10.9711.0024)/0.0319076)p

=Φ--Φ- ()()0.3886221 1.0154320.1921=Φ--Φ-=

3?((11.0111.0024)/0.0319076)((10.9911.0024)/0.0319076)p

=Φ--Φ- ()()0.23818770.38862210.2465=Φ-Φ-=

4?((11.0311.0024)/0.0319076)((11.0111.0024)/0.0319076)p

=Φ--Φ- ()()0.86499760.23818770.2113=Φ-Φ=

5?((11.0511.0024)/0.0319076)((11.0311.0024)/0.0319076)p

=Φ--Φ-

()()1.49180750.86499760.1259=Φ-Φ=

6?((11.0911.0024)/0.0319076)((11.0511.0024)/0.0319076)p

=Φ--Φ- ()()2.7454274 1.49180750.0796=Φ-Φ=

⑤ 拒绝域为220.95{(3)7.81}χχ>=；

⑥ 计算的样本值2

?χ

，计算过程见表3.3.4. i

i A

i ν

?i p

?i np

2?()?i i i

np

np ν- 1

13 0.1446 14.46 0.1474135 2 {0}X =

20 0.1921 19.21 0.0324882 3 {1}X = 34 0.2465 24.65 3.5465517 4 {2}X = 17 0.2113 21.13 0.8072361 5 {3}X = 6 0.1259 12.59 3.4494122 6 {4}X ≥

10 0.0796 7.96 0.522814

∑

100

1.0000

100

8.5059157

由于2

?χ

样本值为8.5059157落在拒绝域内，因而拒绝0H ，所以螺栓口径的检验值X 的分布不为正态分布.

22.检查产品质量时，每次抽取

个产品检验，共抽取次，得下表： 问次品数是否服从二项分布()0.05α=？

解 设X 表示每次检查产品时的次品数，分布函数为()F x ，统计假设是

()01:()(10,),:()10,H F x B p H F x B p =≠ . ①选择检验统计量22

1

?()??m

i i i i np

np νχ=-=∑；

②将X 的取值划分为若干区间，

1234{0},{1},{2},{3}A X A X A X A X =======≥；

⑦ 在0H 成立的条件下，计算参数p 的最大似然估计值

p ，通过计算得 0.1p =； ⑧ 在0H 成立的条件下，(1,2,3,4)i A i =的概率理论估计值为

1?(0)0.3486783p

P X ===，2?(1)0.3874204p P X ===， 3?(2)0.1937102p

P X ===，4?(3)0.0701911p P X =≥=； ⑨ 拒绝域为22

0.95{(2) 5.99}χχ>=；

⑩ 计算的样本值2

?χ

，计算过程见表3.3.4. i

i A i ν

?i p

?i np

2?()?i i i np

np

ν- 1 {0}X = 35 0.3486783 34.86783 0.000501 2 {1}X = 40 0.3874204 38.74204 0.0408461 3 {2}X = 18 0.1937102 19.37102 0.09703649 4 {3}X ≥

7 0.0701911 7.01911 0.000052

∑

100

1.0000

100

0.1384355

由于2

?χ样本值为0.1384355落在接受域内，因而接受0H ，所以每次检查时次品数服从 (10,0.1)B .

24.为比较两车间（生产同一种产品）的产品某项指标的波动情况，各依次抽取12件产品进

问这两车间所生产的产品的该项指标分布是否相同()0.05α=？

解 设X 表示甲车间生产的产品的某项指标的波动，Y 表示乙车间生产的产品的某项指标的波动.用符号检验法：

由题意知 00521012n n n n n α+-+-====+=.,,,， ①01X Y X Y H F x F x H F x F x =≠:()(),:()()，

②当005122s n s α==.()()时，拒绝域为{}02K s s n α=≤=()，

③22s n n +-==≤min(,)，落入拒绝域内，故拒绝0H ，即认为两车间所生产的产品的该

项指标分布显著不同.

问两班组劳动生产率是否相同()0.05α=？

解 设X 表示第1班组的劳动生产率，Y 表示第2班组的劳动生产率. 1)用符号检验法：

由题意知005099n n n n n α+-+-====+=.,,,， ①01X Y X Y H F x F x H F x F x =≠:()(),:()()， ②当00591s n s α==.()()时，{}01K s s n α=<=()，

③01s n n +-==

①01X Y X Y H F x F x H F x F x =≠:()(),:()()，

②当12996699105t t ==(,),(,)时，{}{}01266105K T t T t =<=>= ， ③073T K =∈，落入接受域内，故接受0H ，即认为两组劳动生产率相同.

问这两样本是否来自同一总体()0.05α=？ 解 设X 表示第Ⅰ组样本值，Y 表示第Ⅱ组样本值.

用秩和检验法：由题意知00586n m α===.,,，数据的秩见下表.

①01X Y X Y H F x F x H F x F x =≠:()(),:()()，

②当1268326858t t ==(,),(,)时，{}{}0123258K T t T t =<=>= ，

③049T K =∈，落入接受域内，故接受0H ，即认为这两样本是否来自同一总体.