中考复习专题-二次函数题型 分类总结
数学辅导二次函数题型分类总结
二次函数的定义
(考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式)
1、下列函数中,是二次函数的是 .
①y=x2-4x+1;②y=2x2;③y=2x2+4x;④y=-3x;
⑤y=-2x-1;⑥y=mx2+nx+p;⑦y =错误!未定义书签。;
⑧y=-5x。
2、在一定条件下,若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t,则t=4秒时,该物体所经过的路程为。
3、若函数y=(m2+2m-7)x2+4x+5是关于x的二次函数,则m的取值范围为。
4、若函数y=(m-2)x m-2+5x+1是关于的二次函数,则m的值为
。
6、已知函数y=(m-1)+1+5x-3是二次函数,求m的值。
二次函数的对称轴、顶点、最值
(技法:如果解析式为顶点式y=a(x-h)2+k,则最值为k;如果解析式为一般式y=ax2+bx+c则对称轴最值)
1.抛物线y=2x2+4x+m2-m经过坐标原点,则m的值为。
2.抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为(1,3),则b=,c= .
3.抛物线y=x2+3x的顶点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.若抛物线y=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )
A. B. C. D.
5.若直线y=ax+b不经过二、四象限,则抛物线y=ax2+bx+c( )
A.开口向上,对称轴是y轴
B.开口向下,对称轴是y轴
C.开口向下,对称轴平行于y轴
D.开口向上,对称轴平行于y轴
6.已知抛物线y=x2+(m-1)x-的顶点的横坐标是2,则m的值是_ .
7.抛物线y=x2+2x-3的对称轴是。
8.若二次函数y=3x2+mx-3的对称轴是直线x=1,则m=。
9.当n=______,m=______时,函数y=(m+n)xn+(m-n)x的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口________.
10.已知二次函数y=x2-2ax+2a+3,当a= 时,该函数y的最小值为0.
11.已知二次函数y=mx2+(m-1)x+m-1有最小值为0,则m=
______ 。
12.已知二次函数y=x2-4x+m-3的最小值为3,则m=。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.抛物线y=x2+4x+9的对称轴是。
2.抛物线y=2x2-12x+25的开口方向是,顶点坐标是。3.试写出一个开口方向向上,对称轴为直线x=-2,且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式。
4.通过配方,写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标:
(1)y=x2-2x+1 ;(2)y=-3x2+8x-2;(3)y=-x2+x-4 5.把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,在向下平移2个单位,
所得图象的解析式是y=x2-3x+5,试求b、c的值。
6.把抛物线y=-2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,问所得的抛物线有没有最大值,若有,求出该最大值;若没有,说明理由。
7.某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元,可卖出400台,以每100元为一个价格单位,若将每台提高一个单位价格,则会少卖出50台,那么每台定价为多少元即可获得最大利润?最大利润是
多少元?
函数y=a(x-h)2的图象与性质1.填表:
抛物线开口方
向对称轴顶点坐
标
2.已知函数y=2x2,y=2(x-4)2,和y=2(x+1)2。
(1)分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。
(2)分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线y=2x2得到抛物线y=2(x -4)2和y=2(x+1)2?
3.试写出抛物线y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
(1)右移2个单位;(2)左移个单位;(3)先左移1个单位,再右移4个单位。
4.试说明函数y=(x-3)2 的图象特点及性质(开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值)。
5.二次函数y=a(x-h)2的图象如图:已知a=,OA=OC,
试求该抛物线的解析式。
二次函数的增减性
1.二次函数y=3x2-6x+5,当x>1时,y随x的增大而;当x<1时,y 随x的增大而;当x=1时,函数有最值是。
2.已知函数y=4x2-mx+5,当x> -2时,y随x的增大而增大;当x< -2时,y随x的增大而减少;则x=1时,y的值为。
3.已知二次函数y=x2-(m+1)x+1,当x≥1时,y随x的增大而增大,则m 的取值范围是 .
4.已知二次函数y=-x2+3x+的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3 二次函数的平移 技法:只要两个函数的a 相同,就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式y=a(x-h)2+k,平移规律:左加右减,对x;上加下减,直接加减 1.抛物线y= -x2向左平移3个单位,再向下平移4个单位,所得到的抛物线的关系式为。 2.抛物线y= 2x2,,可以得到y=2(x+4}2-3。 3.将抛物线y=x2+1向左平移2个单位,再向下平移3个单位,所得到的抛物线的关系式为。 4.如果将抛物线y=2x2-1的图象向右平移3个单位,所得到的抛物线的关系式为。 5.将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位,再向右平移1个单位,得到 y=2x2-4x-1则a=,b=,c= . 6.将抛物线y=ax2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点(3,-1),那么移动后的抛物线的关系式为 _.函数的交点 1.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。 2.直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有个交点。 函数的的对称 3.抛物线y=2x2-4x关于y轴对称的抛物线的关系式为 。 4.抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线为y=2x2-4x+3, 则 a= b= c= 函数的图象特征与a、b、c的关系 1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示,则a、b、c的符号为 ( ) A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0 2.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象2如图所示,则下列结论正确 的是() A.a+b+c> 0 B.b> -2a C.a-b+c> 0 D.c< 0 3.抛物线y=ax2+bx+c中,b=4a,它的图象如图3,有以下 结论: ①c>0;②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0 ;其中正确的为() A.①② B.①④ C.①②③ D.①③⑤ 4.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是() 5.已知二次函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( ) 6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图5所示,那么abc,b2 -4ac, 2a+b,a+b+c 四个代数式中,值为正数的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 7.在同一坐标系中,函数y= ax2+c与y= (a A B C D 8.反比例函数y= 的图象在一、三象限,则二次函数y=kx2-k2x-1c的图象大致为图中的() A B C D 9.反比例函数y= 中,当x> 0时,y随x的增大而增大,则二次函数y= kx2+2kx的图象大致为图中的() A B C D 10.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当x=1和x=3时,函数值相同;③4a+b=0; ④ 当y=-2时,x的值只能取0;其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 11.已知二次函数y=ax2+bx+c经过一、三、四象限(不经过原点和第 二象限)则直线y=ax+bc不经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象 限 二次函数与x轴、y轴的交点(二次函数与一元二次方程的关 系) 如果二次函数y=x2+4x+c图象与x轴没有交点,其中c为整 数,则c=(写一个即可) 二次函数y=x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为 抛物线y=-3x2+2x-1的图象与x轴交点的个数是( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点 如图所示,二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点,交y 轴于 点C,则△ABC的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.1 已知抛物线y=5x2+(m-1)x+m与x轴的两个交点在y轴同侧,它们的 距离平方等于为,则m的值为( ) A.-2 B.12 C.24 D.48 若二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方,则m 的取 值范围是 已知抛物线y=x2-2x-8, (1)求证:该抛物线与x轴一定有两个交点; (2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,且它的顶点为P,求△ABP 的面积。 函数解析式的求法 一、已知抛物线上任意三点时,通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c,然后解三元方程组求解; 1.已知二次函数的图象经过A(0,3)、B(1,3)、C(-1,1)三点,求该二次函数的解析式。 2.已知抛物线过A(1,0)和B(4,0)两点,交y轴于C点且BC=5,求该二次函数的解析式。 二、已知抛物线的顶点坐标,或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时,通常设解析式为顶点式y=a(x-h)2+k求解。 3.已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-6),且经过点(2,-8),求该二次函数的解析式。 4.已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-3),且经过点P(2,0)点,求二次函数的解析式。已知抛物线与轴的交点的坐标时,通常设解析式为交点式y=a(x-x1)(x-x2)。 5.二次函数的图象经过A(-1,0),B(3,0),函数有最小值-8,求该二次函数的解析式。 6.已知x=1时,函数有最大值5,且图形经过点(0,-3),则该二次函数的解析式。 7.抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于(2,0)、(-3,0),则该二次函数的解析式。 8.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,3),且与y=2x2的开口大小相同,方向相反,则该二次函数的解析式。 9.抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于(-1,0)、(3,0),则b=,c=. 10.若抛物线与x 轴交于(2,0)、(3,0),与y轴交于(0,-4),则该二次函数的解析式。 11.根据下列条件求关于x的二次函数的解析式 当x=3时,y最小值=-1,且图象过(0,7) 图象过点(0,-2)(1,2)且对称轴为直线x= 图象经过(0,1)(1,0)(3,0) 当x=1时,y=0; x=0时,y= -2,x=2 时,y=3 抛物线顶点坐标为(-1,-2)且通过点(1,10) 12.当二次函数图象与x轴交点的横坐标分别是x1= -3,x2=1时,且与y轴交点为(0,-2),求这个二次函数的解析式 13.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于(2,0)、(4,0),顶点到x 轴的距离为3,求函数的解析式。 14.知二次函数图象顶点坐标(-3,)且图象过点(2,),求二次函数解析式及图象与y轴的交点坐标。 15.已知二次函数图象与x轴交点(2,0), (-1,0)与y轴交点是(0,-1)求解析式及顶点坐标。 16.若二次函数y=ax2+bx+c经过(1,0)且图象关于直线x= 对称,那么图象还必定经过哪一点? 17.y= -x2+2(k-1)x+2k-k2,它的图象经过原点,求①解析式②与x 轴交点O、A及顶点C组成的△OAC面积。 18.抛物线y= (k2-2)x2+m-4kx的对称轴是直线x=2,且它的最低点在直线y= - x+2上,求函数解析式。 二次函数应用 (一)经济策略性 1.某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格。经检验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件。假定每月销售件数y(件)是价格X的一次函数. (1)试求y与x的之间的关系式. (2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润,每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本) 2.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养最多只能活两天,如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去,假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是放养一天需各种费用支出400元,且平均每天还有10千克蟹死去,假定死蟹均于当天全部售出,售价都是每千克20元。 (1)设X天后每千克活蟹的市场价为P元,写出P关于X的函数关系式。(2)如果放养X天后将活蟹一次性出售,并记1000千克蟹的销售额为Q 元,写出Q关于X的函数关系式。 (2)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润=销售总额—收购成本—费用),最大利润是多少? 3.某商场批单价为25元的旅游鞋。为确定一个最佳的销售价格,在试销期采用多种价格进性销售,经试验发现:按每双30元的价格销售时,每天能卖出60双;按每双32元的价格销售时,每天能卖出52双,假定每天售出鞋的数量Y(双)是销售单位X的一次函数。 (1)求Y与X之间的函数关系式; (2)在鞋不积压,且不考虑其它因素的情况下,求出每天的销售利润W(元)与销售单价X之间的函数关系式; (3)销售价格定为多少元时,每天获得的销售利润最多?是多少? 反馈与巩固作业 二次函数的定义 1、若函数y=(m-2)xm -2+5x+1是关于的二次函数,则m的值为 。 二次函数的对称轴、顶点、最值 2.抛物线y=x2+2x-3的对称轴是。 3.已知二次函数y=x2-2ax+2a+3,当a= 时,该函数y的最小值为0. 4.已知二次函数y=mx2+(m-1)x+m-1有最小值为0,则m= ______二次函数的平移、增减性、图象 5.如果将抛物线y=2x2-1的图象向右平移3个单位,所得到的抛物线的关系式为。 6.将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位,再向右平移1个单位,得到 y=2x2-4x-1则a=,b=,c= . 7.将抛物线y=ax2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点(3,-1),那么移动后的抛物线的关系式为 _. 8.把抛物线y=-2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,问所得的抛物线有没有最大值,若有,求出该最大值;若没有,说明理由。 9.已知函数y=4x2-mx+5,当x> -2时,y随x的增大而增大;当x< -2时,y随x的增大而减少;则x=1时,y的值为。 10.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象2如图所示,则下列结论正 确的是() A.a+b+c> 0 B.b> -2a C.a-b+c> 0 D.c< 0 二次函数与x轴、y轴的交点 11、已知抛物线y=x2-2x-8, (1)求证:该抛物线与x轴一定有两个交点; (2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,且它的顶点为P,求△ABP 的面积。 函数解析式的求法 12.已知抛物线过A(1,0)和B(4,0)两点,交y轴于C点且BC=5,求该二次函数的解析式。 13.已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-3),且经过点P(2, 0)点,求二次函数的解析式。 14.抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于(2,0)、(-3,0),则该二次函数的解析式。 15.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,3),且与y=2x2的开口大小相同,方向相反,则该二次函数的解析式。 16.抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于(-1,0)、(3,0),则b=,c=. 二次函数应用 1.某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元,可卖出400台,以每100元为一个价格单位,若将每台提高一个单位价格,则会少卖出50台,那么每台定价为多少元即可获得最大利润?最大利润是多少元? 2.某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时,每月能卖出500个.商场想了两个方案来增加利润: 方案一:提高价格,但这种商品每个售价涨价1元,销售量就减少10个; 方案二:售价不变,但发资料做广告。已知这种商品每月的广告费用m(千元)与销售量倍数p关系为p = ; 试通过计算,请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案?请说明你判断的理由 3.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养最多只能活两天,如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去,假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是放养一天需各种费用支出400元,且平均每天还有10千克蟹死去,假定死蟹均于当天全部售出,售价都是每千克20元。 (1)设X天后每千克活蟹的市场价为P元,写出P关于X的函数关系式。(2)如果放养X天后将活蟹一次性出售,并记1000千克蟹的销售额为Q 元,写出Q关于X的函数关系式。 (2)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润=销售总额—收购成本—费用),最大利润是多少? 二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结 (一)二次函数知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数, 叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位, c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位, c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即 22424b ac b y a x a a -??=++ ???,其中2424b ac b h k a a -=-=,. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为 2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???,. 当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当 2b x a =-时,y 有最小值2 44ac b a -. 2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时, y 有最大值2 44ac b a -. 中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数:①y=﹣3x+2;②y= ;③y=2x2;④y=3x,上述函数中符合条作“当x>1时,函数值y随自变量x增大而增大“的是() A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是 () A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数,下列说法正确的是() A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时,的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示,下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点() A. (-3,-6) B. (-3,0) C. (-3,-5) D. (-3,-1) 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=﹣t2+24t+1.则下列说法中正确的是() A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),则①二次函数的最大值为a+b+c;②a﹣b+c<0;③b2﹣4ac<0;④当y>0时,﹣1<x<3,其中正确的个数是() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数(,,是常数,)图象的一部分,与轴的交点在点 和之间,对称轴是.对于下列说法:①;②;③;④ (为实数);⑤当时,,其中正确的是() A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A 二次函数复习课教学设计 和平中学任广香 一、教材分析 1.地位和作用: (1)二次函数是初中数学中最基本的概念之一,贯穿于整个初中数学体系之中,也是实际生活中数学建模的重要工具之一,二次函数在初中函数的教学中有重要地位,它不仅是初中代数内容的引申,也是初中数学教学的重点和难点之一,更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。在历届中考试题中,二次函数都是不可缺少的内容。 (2)二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想,对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用。 (3)二次函数与一元二次方程知识的联系,使学生能更好地将所学知识融会贯通。 2.课标要求: ①通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式,并体会二次函数的意义。 ②会用描点法画出二次函数的图象,能从图象上认识二次函数的性质。 ③会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴,平移,并能解决简单的实际问题。 ④会利用二次函数的图象求与x、y轴的交点坐标。 3.学情分析 (1)九年级学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识。 (2)学生的分析、理解能力、学习新课时有明显提高。 (3)学生学习数学的热情很高,思维敏捷,具有一定的自主探究和合作学习的能力。 (4)学生能力差异较大,两极分化明显。 4.教学目标 认知目标: (1)掌握二次函数y=ax2+bx+c图像与系数符号之间的关系。 (2)通过复习,掌握各类形式的二次函数解析式求解方法和思路,能够一题多解,发散提高学生的创造思维能力. 能力目标:提高学生对知识的整体合作能力和分析能力。 情感目标:制作动画增加直观效果,激发学生兴趣,感受数学之美.在教学中渗透美的教育,渗透数形结合的思想,让学生在数学活动中学会与人相处,感受探索与创造,体验成功的喜悦。 5.教学重点与难点: 重点:(!)掌握二次函数y=ax2+bx+c图像与系数符号之间的关系。 (2) 各类形式的二次函数解析式的求解方法和思路. 难点:(1)已知二次函数的解析式说出函数性质 (2)运用数形结合思想,选用恰当的数学关系式解决问题. 二、教学方法: 1.师生互动探究式教学,以课标为依据,渗透新的教育理念,遵循教师为 二次函数专项复习经典试题集锦(含答案) 一、选择题: 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是( ) A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图,则点 ),(a c b M 在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2,且0+-c b a ,则一定有( ) A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式 是532+-=x x y ,则有( ) A. 3=b ,7=c B. 9-=b ,15-=c C. 3=b ,3=c D. 9-=b ,21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系,二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( ) B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线( ) A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是( ) A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,若 c b a M ++=24c b a N +-=,b a P -=4,则( ) A. 0>M ,0>N ,0>P B. 0 x 时,求使y ≥2的x 的取值围. 【二次函数的定义】 (考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式) 1、下列函数中,是二次函数的是 . ①y=x2-4x+1;②y=2x2;③y=2x2+4x;④y=-3x; ⑤y=-2x-1;⑥y=mx2+nx+p;⑦y =(4,x) ;⑧y=-5x。 2、在一定条件下,若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t,则t=4 秒时,该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m-7)x2+4x+5是关于x的二次函数,则m的取值范围为。 4、若函数y=(m-2)x m -2+5x+1是关于x的二次函数,则m的值为。 6、已知函数y=(m-1)x m2 +1+5x-3是二次函数,求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 (技法:如果解析式为顶点式y=a(x-h)2+k,则最值为k; 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c,则最值为4ac-b2 4a 1.抛物线y=2x2+4x+m2-m经过坐标原点,则m的值为。 2.抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为(1,3),则b=,c= . 3.抛物线y=x2+3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若抛物线y=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5.若直线y=ax+b不经过二、四象限,则抛物线y=ax2+bx+c( ) A.开口向上,对称轴是y轴 B.开口向下,对称轴是y轴 C.开口向下,对称轴平行于y轴 D.开口向上,对称轴平行于y轴 6.已知抛物线y=x2+(m-1)x-1 4 的顶点的横坐标是2,则m的值是_ . 7.抛物线y=x2+2x-3的对称轴是。 8.若二次函数y=3x2+mx-3的对称轴是直线x=1,则m=。 9.当n=______,m=______时,函数y=(m+n)x n+(m-n)x的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口________. 二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题(难) 1.如图,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(1,0)和点B(3,0),交y轴于点C,抛物线上一点D的坐标为(4,3) (1)求该二次函数所对应的函数解析式; (2)如图1,点P是直线BC下方抛物线上的一个动点,PE//x轴,PF//y轴,求线段EF的最大值; (3)如图2,点M是线段CD上的一个动点,过点M作x轴的垂线,交抛物线于点N,当△CBN是直角三角形时,请直接写出所有满足条件的点M的坐标. 【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)EF的最大值为 2 4 ;(3)M点坐标为可以为(2, 3),(55 2 + ,3),( 55 2 - ,3). 【解析】 【分析】 (1)根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上,设二次函数解析式的交点式,将D点坐标代入求出a的值,最后将二次函数的交点式转化成一般式形式. (2)由题意可知点P在二次函数图象上,坐标为(p,p2﹣4p+3).又因为PF//y轴,点F 在直线BC上,P的坐标为(p,﹣p+3),在Rt△FPE中,可得FE2PF,用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值. (3)根据题意求△CBN是直角三角形,分为∠CBN=90°和∠CNB=90°两类情况计算,利用三角形相似知识进行分析求解. 【详解】 解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x﹣b)(x﹣c), ∵y=ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为(1,0)和(3,0), ∴二次函数解析式:y=a(x﹣1)(x﹣3). 又∵点D(4,3)在二次函数上, ∴(4﹣3)×(4﹣1)a=3, ∴解得:a=1. ∴二次函数的解析式:y=(x﹣1)(x﹣3),即y=x2﹣4x+3. 《二次函数复习》教学案 班级:初三 18 班年级:九设计者:李玲时间: 2015 年 10 月 16 日课题二次函数课型复习课 知识技能掌握二次函数的图象及其性质,能灵活运用数形结合知识解一些实际问题. 数学思考通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力. 教学目标 解决问题学生亲自经历巩固二次函数相关知识点的过程,体会利用数形结合线索解决问题策略的多样性. 经历探索二次函数相关题目的过程,体会数形结合思想、化归思想 情感态度在数学中的广泛应用,同时感受数学知识来源于实际生活,反之,又服务于实际生活. 教学重点教学难点二次函数图象及其性质,应用二次函数分析和解决简单的实际问题.二次函数性质的灵活运用,能把相关应用问题转化为数学问题. 课前准备 (教具、活制作课件 动准备等) 教学过程 教学步骤师生活动设计意图 如图是抛物线y ax2bx c a 0 的图像,通过一个具体二次函数, 请尽可能多的说出一些结论。请学生说出尽可能多的结论,主要让学生回忆二次函数有 基础知识之 关基础知识.同学们之间可以自我构建 相互补充,体现团结协作精 神.同时发展了学生的探究意 识,培养了学生思维的广阔 性. 二次函数是生活中最常 见的一类函数,它有着自己固 有的性质,反映的是轴对称性 和增减性; 我们要突出反映二次函数的 轴对称性、顶点坐标,我们就基础知识之可以把一般式改写成顶点式;基础演练如果想知道抛物线与 x 轴两 个交点的情况,我们可以把一 般式写出交点式; 刚刚我们回顾了二次函数的 性质,我们发现二次函数的图 像能够直观地反映函数的特 性,而数又能细致刻画函数图 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1- 1 中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式:()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标:线段AB 的中点C 的坐标为:?? ? ??++22B A B A y y x x , 直线11b x k y +=(01≠k )与22b x k y +=(02≠k )的位置关系: (1)两直线平行?21k k =且21b b ≠ (2)两直线相交?21k k ≠ (3)两直线重合?21k k =且21b b = (4)两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题,解题步骤如下: ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围; ② 解方程,求出方程的根;(两种形式:分式、二次根式) ③ 分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。 例:关于x 的一元二次方程()0122 2 =-m x m x ++有两个整数根,5<m 且m 为整数,求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。(方法同上) 例:若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点,且m 为正整数,试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下: 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=(m 为实数),求证:无论m 为何值,方程总有一个固定的根。 解:当0=m 时,1=x ; 当0≠m 时,()032 ≥-=?m ,()m m x 213?±-= ,m x 3 21-=、12=x ; 综上所述:无论m 为何值,方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题,举例如下: 已知抛物线22 -+-=m mx x y (m 是常数),求证:不论m 为何值,该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。 解:把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ; ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ,解得:???=-=1 1 x y ; ∴ 抛物线总经过一个固定的点(1,-1)。 (题目要求等价于:关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值,方程恒成立) 1.如图,抛物线y=x 2+bx+c 与直线y=x ﹣3交于A 、B 两点,其中点A 在y 轴上,点B 坐标为(﹣4,﹣5),点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点,过点P 作PC ⊥x 轴于点C ,交AB 于点D .(1)求抛物线的解析式;(2)以O ,A ,P ,D 为顶点的平行四边形是否存在?如存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由.(3)当点P 运动到直线AB 下方某一处时,过点P 作PM ⊥AB ,垂足为M ,连接PA 使△PAM 为等腰直角三角形,请直接写出此时点P 的坐标. 2. 在直角坐标系xoy 中,(0,2)A 、(1,0)B -,将ABO ?经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD ?. (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式;(2)连结AC ,点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点, 若直线PC 将ABC ?的面积分成1:3两部分,求此时点P 的坐标;(3)现将ABO ?、BCD ?分别向下、向左以1:2的速度同时平移,求出在此运动过程中ABO ?与BCD ?重叠部分面积的最大值. 3. 如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为直线x =-1,且经过A (1,0),C (0,3)两点,与x 轴的另一个交点为B .⑴若直线y =mx +n 经过B ,C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴x =-1上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求点M 的坐标;⑶设点P 为抛物线的 图15.1 C D O B A x y 对称轴x =-1上的一个动点,求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标. 4. 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,直线l 经过坐标原点O ,与抛物线的一个交点为D ,与抛物线的对称轴交于点E ,连接CE ,已知点A ,D 的坐标分别为 (-2,0),(6,-8).(1)求抛物线的函数表达式,并分别求出点B 和点E 的坐标;(2 )试探究抛物线上是 第25题图 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2),与x轴交于A B两点,与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式; (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2;存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9,-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析:(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2,然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值,即可得解; (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标,再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标,从而得 到OA OC AD的长度,根据勾股定理列式求出AC的长度,然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值,再分① AD=QD时,过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度,根据/ OAC勺余弦求出AE的长度,然后求出OE,从而得到点Q的坐标;②AD=AQ时,过Q作QE2丄x轴于点E>,利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度,根据/ OAC勺余弦求出AE的长度,然后求出OE,从而得到点Q的坐标;③AQ=DQ时,过Q作QE3丄x轴于点已,根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度,然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度,从而得到点Q 的坐标. 试题解析:(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形?若存在,请求出符合条件的点 人教版九年级下册数学 二次函数知识点总结教案 主讲人:李霜霜 一、教学目标: (1)了解二次函数的意义,掌握二次函数的图象特征和性质,能确定函数解析式,并能解决简单的实际问题. (2)通过练习及提问,复习二次函数的基础知识;通过对典型例题的分析,培养学生分析问题、解决问题、综合运用数学知识的能力;继续渗透数学思想. 二、教学重点、难点 教学重点:二次函数的图像,性质和应用 教学难点:运用二次函数知识解决较综合性的数学问题. 三、教学过程 复习巩固 (一)二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. (二)二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: (三)二次函数图象的平移 1. 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k , ; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 第二十六章 二次函数 【知识梳理】 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成:()k h x a y +-=2 的形式,其中 a b a c k a b h 4422 -=-=,. 3.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0二次函数知识点总结及中考题型总结
2018年中考数学真题汇编:二次函数(含答案)
(完整版)二次函数复习课教学设计
二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)
中考复习:二次函数题型分类总结
二次函数中考真题汇编[解析版]
完整版公开课一等奖二次函数复习课教案.doc
(完整版)初三数学二次函数所有经典题型
中考数学二次函数压轴题题型归纳
2017中考二次函数专题(含答案)
二次函数经典例题及答案
初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案77699
(完整)初三中考二次函数专题复习