第3章_刚体定轴转动
第三章刚体定轴转动
本章前言
◆本章学习目标
理解刚体定轴转动定律和角动量定理的内容及其综合应用。
◆本章教学内容
1、刚体绕固定轴的转动。
2、刚体的定轴转动定律。
3、刚体的角动量定理和角动量守恒定律。
◆本章重点
刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量；力矩计算、转动定律的应用；
刚体转动动能、转动时的角动量的计算。
◆本章难点
力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。
§3.1刚体及刚体运动
3.1.1 刚体的概念
物体的一些运动是与它的形状有关的，这时物体就不能看成质点了，其运动规律的讨论就必须考虑形状的因素。有形物体的一般性讨论也是一个非常复杂的问题，全面的分析和研究是力学专业课程学习的内容。在大学物理中，我们讨论有形物体的一种特殊的情况，那就是物体在运动时没有形变或形变可以忽略的情况。如果物体在运动时没有形变或其形变可以忽略，我们就能抽象出一个有形状而无形变的物体模型，这模型叫做刚体。刚体的更准确更定量的定义是：如果一个物体中任意的两个质点之间的距离在运动中都始终保持不变，则我们称之为刚体。被认为是刚体的物体在任何外力作用下都不会发生形变。实际物体在外力作用下总是有形变的，因此刚体是一个理想模型。它是对有形物体运动的一个重要简化。实际物体能否看成是刚体不是依据其材质是否坚硬，而是考察它在运动过程中是否有形变或其形变是否可以忽略。正如质点中所讨论的那样，刚体也就是一个质点系，而且是一个较为特殊的刚性的质点系，它的运动规律较之于一个质点相对位置分布可以随时改变的一般质点系而言，要简单得多。
3.1.2 刚体运动及其分类
刚体运动的基本形式有平动和转动，刚体任意的运动形式都可以看成是平动和转动的迭加。
一、刚体的平动
1、平动的定义
如果在一个运动过程中刚体内部任意两个质点之间的连线的方向都始终不发生改变，则我们称刚体的运动为平动。平动的示意图如下。电梯的上下运动，
缆车的运动都可看成刚体平动。
刚体的平动
2、平动的特点
刚体平动的一个明显特点是，在平动过程中刚体上每个质点的位移、速度和加速度相同。这意味着，如果我们要研究刚体的平动，只需要研究某一个质点，例如质心的运动就行了。因为这一个质点的运动规律就代表了刚体所有质点的运动规律，也即刚体的运动规律。在这个意义上我们可以说，刚体平动的运动学属于质点运动学，可以使用质点模型。刚体平动的动力学也可以使用质点模型，通过质点动力学来解决。这实际上并不是新问题，如牛顿运动定律的多数题目中出现的都是有形状的物体，但只要它是在平动，我们就仍可以用牛顿运动定律来正确地处理它们。实际上，这时我们用牛顿运动定律求出来的是质心的加速度，但是由于在平动中刚体上每个质点的加速度相同，所以质心的加速度也就代表了所有质点的加速度。综上所述我们知道，刚体平动可以使用质点模型，我们可以用前面质点力学中的知识去分析和处理它们。
二、刚体的定轴转动
1、转动的定义
如果在一个运动过程中，刚体上所有的质点均绕同一直线作圆周运动，则我们称刚体在转动，该直线称为转轴。如火车车轮的运动、飞机螺旋浆的运动都是
转动。如果转轴是固定不动的，则称为定轴转动，如车床齿轮的运动、吊扇扇页的运动均属于定轴转动。
转动是否是定轴的，取决于参照系的选择。
刚体的定轴转动
2、定轴转动的特点
定轴转动中刚体上的任一质点p都绕一个固定轴作圆周运动，见上图，习惯上常把转轴设为z轴，圆周所在平面M称为质点的转动平面，转动平面与转轴垂直。质点作圆周运动的圆心O叫做质点的转心，质点对于转心的位矢r叫做质点的矢径。定轴转动显著的特点是：转动过程中刚体上所有质点的角位移、角速度和角加速度相同，我们称之为刚体转动的角位移、角速度和角加速度。
3.1.3 描述刚体定轴转动的物理量
刚体定轴转动最佳的描写方法是角量描写。物体转动的角速度和角加速度是有方向的，我们常说某物体转动的角速度是逆时针方向或顺时针方向，就是在描述角速度的方向。对于刚体定轴转动，转动方向的描述与观察方向有关，在下图中逆着z轴从上向下看和沿着z轴从下向上看得到的结论正好相反。为了准确描述角速度和角加速度的方向，我们把角速度和角加速度定义为矢量。角速度和角加速度已经有了大小的定义，现在要赋予它们方向。
一、角速度矢量
我们规定，物体的角速度矢量的方向与直观的转动方向构成右手螺旋关系：当我们伸直大姆指并弯曲其余的四个手指，使四个手指指向直观的转动方向时，大姆指所指的方向即为角速度矢量的方向。在上图（a）中，刚体的转动是逆时针方向的，按右手螺旋法则，我们说它的角速度沿z轴向上；在上图（b）中，刚体的转动是顺时针方向的，我们说它的角速度向下。角速度矢量还可以使用如下的数学表达式来表示：
（1）
式中n表示转动方向，ω表示角速度的大小。
二、角加速度矢量
角加速度矢量定义为
（2）
显然，若角加速度矢量的方向与角速度矢量的方向相同，见下图（a），则角速度在增加；反之，若角加速度与角速度的方向相反，见下图（b），则角速度在减小。从图（a）、（b）中不难验证，角加速度矢量的方向与直观转动的加速方向也构成右手螺旋关系。既当四个手指指向直观的加速方向时，大姆指所指向的方向即为角加速度矢量的方向。
角加速度矢量
显然，在刚体的定轴转动中，角速度和角加速度矢量的方向只有沿着z轴和逆着z轴两个方向。可以把沿z轴的角速度叫做正角速度，逆着z轴的角速度叫做负角速度，这是角速度的标量表述。对角加速度也可作同样的标量表述，读者可自行推广。
三、定轴转动的线量
当刚体作定轴转动时，刚体上的各个质点都有速度和加速度。这些质点的速度和加速度与刚体的角速度和角加速度矢量有什么关系呢？在矢量描述中，刚体定轴转动的角量与线量的关系将包含方向之间的关系而表现得更加完整。若考察刚体上的一个质点对z轴的径矢为r，则其速度、切向加速度和法向加速度和角速度与角加速度的矢量关系为：
(3)
这个式子大家可以自己推导。其意义可以由下图看出。
刚体定轴转动中角量与线量的矢量关系
在后面的讨论中，角速度和角加速度的矢量表述和标量表述都会用到，这主要取决于具体问题中用什么描述方法更为方便。
§3.2转动定律
3.2.1 刚体转动惯量
转动是具有惯性的。例如，飞轮高速转动后要使其停下来就必须施加外力矩，静止的飞轮要转动起来也必须外力矩的作用。这说明了转动确实具有惯性。转动惯性的大小用什么物理量来描写呢？对定轴转动的刚体而言可以使用所谓的转动惯量来描写它转动惯性的大小。更复杂的刚体运动需要使用惯量张量来描写。
一、刚体转动惯量的定义
使用离散方法，刚体可以看成是由很多质点组成的，则刚体的转动惯量定义为：（1）式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。
【例1】如图所示，一正方形边长为l，它的四个顶点各有一个质量为m的质点，求此系统对（1）z1轴；（2）z2轴；（3）z3轴的转动惯量。
【解】
(1)对z1轴，四个质点的转动惯量均为，故
(2)对z2轴，a、d两质点的转动惯量为零，而b、c两质点的转动惯量均为ml2，故
(3)对z3轴
对于质量连续分布的物体，定义中的求和要通过积分来进行。可在刚体中取一质
元，若质元质量为dm，到转轴的距离为r，则质元对轴的转动惯量，而刚体的转动惯量应为各质元转动惯量之和即积分
(2)
积分域为刚体的全部质量。
质量分布通常用质量密度来描述，如果质量在空间构成体分布，则空间任一点的质量体密度定义为该点附近单位体积内的质量
如果式（2）中的质元的体积为，而该点的质量体密度为，则质元的质量
把此式代入（2）式，积分即为体积分。如果质量构成面分布，则质量面密度定义为该处单位面积内的质量
如果所取质元的面积为，而该点的质量面密度为，则质元的质量
把此式代入（2）式，积分为面积分。对于线分布，质量线密度定义为单位长度内的质量
如果质元的长度为，该点的质量面密度为，则质元的质量
把此式代入（2）式，积分为线积分。
【例2】有一匀质细杆长度为l，质量为m。求细杆对于与杆垂直的转轴的转动惯量，(1)轴在杆的一端；(2)轴在杆的中心。
【解】
(1)细杆的质量线密度，如图所示，在距轴r处取一线元dr。线元的质量为，线元的转动惯量，故细杆的转动惯量为
(2)若轴在杆中心，可以把杆从中心分为两个部分，两个部分的转动惯量相等，而且每一部分的转动惯量都可以用问题（1）中的结论来表示。只是每部分的长度只有，质量也只有。
【例3】如下图所示，有一质量均匀分布的细圆环，半径为r，质量为m，求圆环对过圆心并与环面垂直的转轴的转动惯量。
【解】
在环上取一质量为dm的质元，它对轴的转动惯量，故圆环的转动惯量为
【例4】如下图所示，有一质量均匀分布的圆盘，半径为R，质量为m，求圆盘对过圆心并与圆盘垂直的转轴的转动惯量。
【解】
盘的质量面密度为，在盘上取一半径为r，宽度为dr的圆环，圆环面积，圆环的质量为，利用上一题的结论，圆环的转动惯量为
故圆盘的转动惯量为
二、常见刚体的转动惯量
常见刚体的转动惯量见下表。
常见刚体的转动惯量
三、转动惯量的讨论
在刚体对定轴的角动量的定义中出现一个新的物理量：转动惯量。按（1）
式，转动惯量定义为。它取决于刚体对轴的质量分布。对通常质量密度均匀的刚体，它取决于刚体的质量、形状和转轴位置三个因素。转动惯量的定义表明，一个质点对定轴的转动惯量是，而刚体的转动惯量就是刚体中
的所有质点转动惯量之和。这也意味着一个刚体整体的转动惯量应等于其各部分的转动惯量之和。
四、平行轴定理
平行轴定理常用于求转动惯量。如图所示，可以证明，若刚体对过质心C 的轴ZC的转动惯量为JC，则刚体对另一与ZC平行的轴Z的转动惯量为
平行轴定理
其中m为刚体的质量，d为两轴之间的距离。这就是平行轴定理，定理的证明读者可以参阅书后列出的有关参考书。
3.2.2 转动定律
一、对定轴的力矩
在力矩知识点中我们讨论了对定点的力矩，也简单介绍了对轴的力矩。在此处我们进一步详细讨论对定轴的力矩。如下图所示，一刚体绕定轴z转动（只画
出了刚体一部分），力F作用在刚体上p点，且力的方向在p点的转动平面M内。如果力不在转动平面内，可以把F分解为沿轴z方向的分力和在转动平面内的分力。轴向分力是要改变轴的方向，在定轴转动中会被定轴的支撑力矩抵消而不起作用，所以我们可以只考虑在转动平面内分力的作用，以后我们也只讨论力在转动平面内的情况。设p点的转心为O，径矢为r。通常把力F对定轴z的力矩定义为一个矢量
（1）
它的大小为
（2）
或
（3）
其中称为力F对轴的力臂，为力F的切向分量。由（5-3）式可知，力矩矢量的方向是矢径r和力F矢积的方向。图中的力矩矢量的方向向上。在刚体的定轴转动中，力矩矢量的方向只有沿着z轴和逆着z轴两个方向。我们把沿z轴的力矩叫做正力矩，逆着z轴的力矩叫做负力矩，这是力矩的标量表述。
对定轴的力矩
可以证明，力对定轴z的力矩不过是力对轴上任一定点的力矩在z轴方向的
分量，所以它们的讨论和表示方式才如此相似。若作用在p点的力不止一个，即是一个合力，则该点所受合力的力矩等于各分力力矩之和。简要证明如下：按（1）式，合力的力矩
(4)
其中为各分力的力矩，证毕。
由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出现。由于作用力与反用力的大小相等，方向相反且在同一直线上因而有相同的力臂，见下图，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向相反，其和为零。
(5)
作用力矩和反作用力矩
二、刚体对定轴的角动量
在刚体的定轴转动中，刚体对定轴的角动量是一个很重要的物理量，在很多问题的分析中都要用到这个概念，下面我们来讨论这个问题。
刚体绕定轴转动时，它的每一个质点都在与轴垂直的平面上运动。下面我们先分析质点对定轴的角动量，而且只考虑质点在轴的垂面上运动的情况。如下图所示，有一质点在z轴的垂面M内运动，质点的质量为m，对z轴（即对质点转心）的矢径为r，速度为v，动量p=mv。如同在角动量知识点中讨论的一样，我们定义质点对定轴的角动量为
(6)
它的大小为
(7)
其中称为动量臂。由（6）式可知，角动量的方向是矢径r和动量p矢积的方向。
质点对定轴的角动量
在刚体的定轴转动中，质点的角动量的方向只有沿着z轴和逆着z轴两个方向。我们把沿z轴的力矩叫做正角动量，逆着z轴的力矩叫做负角动量，这是角动量的标量表述。可以证明，质点对定轴z的角动量是质点对z轴上任一定点的角动量在z轴方向的分量。可以看出，质点对定轴的角动量的定义和力对定轴的力矩定义在结构上相同。
定轴转动刚体对轴的角动量定义为刚体各质点对轴的角动量的矢量和
其中Li为第i个质点的角动量。设第i个质点质量为mi，速度为vi，对z轴的
径矢为，则由于定轴转动时刚体中每一个质点都在进行圆运动，如图所示。质点的速度和矢径垂直，所以质点对z轴的角动量的大小为
其中ri是质点到轴的距离，为刚体转动的角速度。考虑到质点圆运动时角
动量矢量的方向和角速度矢量的方向始终相同，故有
把各质点的角动量相加得到刚体对定轴的角动量
根据转动惯量的定义，则刚体对定轴的角动量
（8）
即在刚体转动惯量已知的情况下，由上式可以很容易地计算出刚体对定轴的角动量。
三、刚体定轴转动的转动定律
刚体作为一个质点系，必然遵从质点系角动量定理：
其物理意义是，作用于刚体的合外力矩等于刚体的角动量对时间的变化率。这个结论无论是对定点或是对定轴均成立。把刚体对定轴的角动量带入上式，注意到刚体对定轴的转动惯量为一常量，有
注意到式中为刚体定轴转动的角加速度，可记作
（9）
此式即称为刚体定轴转动的转动定律，它表示在定轴转动中刚体角加速度的大小与合外力矩成正比而与刚体的转动惯量成反比，角加速度的方向与合外力矩的方向一致。如前所述，力矩和角加速度都可以用标量来描述，采用标量描述的转动定律为
。
从以上的简单推证中可以看出，刚体定轴转动的转动定律实际上就是角动量定理
的一个变形表示。由于刚体对定轴的角动量的形式十分简洁，而且转动惯量J又是一个常量，所以能很容易地得到这个很重要的定律。转动定律说明定轴转动中刚体角加速度与合外力矩的关系。转动定律的推导过程和物理意义都很像
从动量定理得到的牛顿第二定律：。注意到牛顿第二定律中的质量m和转动定律中的转动惯量J在定律中的地位是完全对应的，由此能够进一步理解转动惯量的物理意义。
在对定律的理解中应注意，定律中合外力矩M，转动惯量J，角加速度均是对同一定轴而言，请勿混淆。
3.2.3 转动定律的应用
刚体定轴转动定律的应用与牛顿运动定律的应用相似。牛顿运动定律应用的基础是受力分析，而对于转动定律的应用，则不仅要进行受力分析，还要进行力矩分析。按力矩分析可用转动定律列出刚体定轴转动的动力学方程并求解出结果。在刚体定轴转动定律的应用中还常常涉及到与牛顿运动定律的综合。题目的复杂性相对较大，这也是大家注意的问题。下面我们以具体的例子来给大家介绍刚体定轴转动定律的应用方法。
【例1】如图所示，一轻杆（不计质量）长度为2l，两端各固定一小球，A球质量为2m，B球质量为m，杆可绕过中心的水平轴O在铅垂面内自由转动，求杆与竖直方向成角时的角加速度。
【解】
轻杆连接两个小球构成一个简单的刚性质点系统。系统运动形式为绕O轴的转动，应该用转动定律求解
（1）
先分析系统所受的合外力矩。系统受外力有三个，即A、B受到的重力和轴的支撑作用力。轴的作用力对轴的力臂为零，故力矩为零，系统只受两个重力矩作用。以顺时针方向作为运动的正方向，则A球受力矩为正，B球受力矩为负，两个重力的力臂相等为，故合力矩
(2)
系统的转动惯量为两个小球（可看作质点）的转动惯量之和
(3)
将（2）（3）式代入（1）式
有
解得
【例2】如图所示，有一匀质细杆长度为l，质量为m，可绕其一端的水平轴O 在铅垂面内自由转动。当它自水平位置自由下摆到角位置时角加速度有多大？
【解】
杆受到两个力的作用，一个是重力，一个是O轴作用的支撑力。O轴的作用力的力臂为零，故只有重力提供力矩。重力是作用在物体的各个质点上的，但对于
刚体，可以看作是合力作用于重心。即杆的中心，力臂为。杆对O轴的转动惯量为。按转动定律
有
即
解得
【例3】如图所示，一固定光滑斜面上装有一匀质圆盘A作为定滑轮，轮上绕有轻绳（不计质量），绳上连接两重物B和C。已知A、B、C的质量均为m，轮半径为r，斜面倾角。若轮轴的摩擦可忽略，轮子和绳子之间无相对滑动，求装置启动后两重物的加速度及绳中的张力？
【解】
A、B、C构成一个连接体，A轮沿顺时针方向转动，B物体向下运动，C物体沿斜面向上运动。设A的角加速度为，B、C加速度的大小相等设为a，绳子中张力的大小在A、B间设为T1、（），在A、C间设为T2、（）。T1和T2不相等，否则轮A受合力矩将为零，就不可能随绳子运动了，这显然不符合题意。
对滑轮A，滑轮所受的重力的力心在轴上，轮轴的支撑力也在轴上，它们的力臂均为零，故力矩也为零，所以只有绳子的张力T1和T2提供力矩，按转动定律有
对重物B，按牛顿运动定律有
对重物C，按牛顿运动定律有
由于轮子和绳子之间无相对滑动，A轮边缘的切向加速度和B、C加速度的大小相等，，又按角量与线量关系有
【大学物理上册课后答案】第3章 刚体的定轴转动
第3章 刚体的定轴转动习题解答 3-1 一汽车发动机曲轴的转速在12s 内由每分钟1200转匀加速地增加到每分钟2700转，求：（1）角加速度；（2）在此时间内，曲轴转了多少转？ 解：（1）)/(401s rad πω= )/(902s rad πω= )/(1.13)/(6 2512 40902 21 2s rad s rad t ≈= -= ?-= ππ πωωβ 匀变速转动 （2）)(78022 1 22rad πβ ωωθ=-= )(3902圈== π θ n 3-2 一飞轮的转动惯量为J ,在0=t 时角速度为0ω，此后飞轮经历制动过程。阻力矩M 的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数0>K 。求：（1）当30ωω=时,飞轮的角加速度；（2）从开始制动到30ωω=所需要的时间。 解：（1）依题意 2 ωβK J M -== )/(92 2 02 s rad J K J K ωωβ- =- = （2）由J K dt d 2 ωωβ- == 得 ?? - = 3 2 00 ωω ω ωK Jd dt t ω K J t 2= 3-3 如图所示， 发电机的轮A 由蒸汽机的轮B 通过皮带带动。两轮半径A R =30cm ，=B R 75cm 。当蒸汽机开动后，其角加速度π8.0=B βrad/s 2 ，设轮与皮带之间没有滑动。求 （1）经过多少秒后发电机的转速达到A n =600rev/min ？（2）蒸汽机停止工作后一分钟内发电机转速降到300rev/min ，求其角加速度。 解：（1）t A A βω= t B B βω= 因为轮和皮带之间没有滑动，所以A 、B 两轮边缘的线速度相同，即 B B A A R R ωω= 又)/(2060 6002s rad A ππω=?= 联立得)(10s R R t B B A A == βω （2）)/(1060 3002s rad A ππω=?= )/(6 2 s rad t A A A π ωωβ= -'= 3-4 一个半径为=R 1.0m 的圆盘，可以绕过其盘心且垂直于盘面的转轴转动。一根轻
第5章 刚体的定轴转动
第5章刚体的定轴转动 ◆本章学习目标 理解：刚体、刚体转动、转动惯量的概念；刚体定轴转动定律及角动量守恒定律。 掌握：转动惯量，转动中的功和能的计算；用刚体定轴转动定律及角动量守恒定律求解定轴转动问题的基本方法。 ◆本章教学内容 1．刚体的运动 2．刚体定轴转动定律 3．转动惯量的计算 4．刚体定轴转动定律的应用 5．转动中的功和能 6．对定轴的角动量守恒 ◆本章重点 刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量； 力矩计算、转动定律的应用； 刚体转动动能、转动时的角动量的计算。 ◆本章难点 力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。 4.1 刚体的运动
一、刚体的概念 物体的一些运动是与它的形状有关的，这时物体就不能看成质点了，其运动规律的讨论就必须考虑形状的因素。有形物体的一般性讨论也是一个非常复杂的问题，全面的分析和研究是力学专业课程学习的内容。在大学物理中，我们讨论有形物体的一种特殊的情况，那就是物体在运动时没有形变或形变可以忽略的情况。如果物体在运动时没有形变或其形变可以忽略，我们就能抽象出一个有形状而无形变的物体模型，这模型叫做刚体。刚体的更准确更定量的定义是：如果一个物体中任意的两个质点之间的距离在运动中都始终保持不变，则我们称之为刚体。被认为是刚体的物体在任何外力作用下都不会发生形变。实际物体在外力作用下总是有形变的，因此刚体是一个理想模型。它是对有形物体运动的一个重要简化。实际物体能否看成是刚体不是依据其材质是否坚硬，而是考察它在运动过程中是否有形变或其形变是否可以忽略。正如质点中所讨论的那样，刚体也就是一个质点系，而且是一个较为特殊的刚性的质点系，它的运动规律较之于一个质点相对位置分布可以随时改变的一般质点系而言，要简单得多。 二、刚体的运动 刚体运动的基本形式有平动和转动，刚体任意的运动形式都可以看成是平动和转动的迭加。 1、刚体的平动 1）平动的定义 如果在一个运动过程中刚体内部任意两个质点之间的连线的方向都始终不发生改变，则我们称刚体的运动为平动。平动的示意图如下。电梯的上下运动，缆车的运动都可看成刚体平动。
大学物理上练习册 第2章《刚体定轴转动》答案-2013
第2章 刚体定轴转动 一、选择题 1(B)，2(B)，3(C)，4(C)，5(C) 二、填空题 (1). 62.5 1.67ｓ (2). 4.0 rad/ (3). 0.25 kg ·m 2 (4). mgl μ21参考解：M ＝?M d ＝()mgl r r l gm l μμ2 1 d /0=? (5). 2E 0 三、计算题 1. 如图所示，半径为r 1＝0.3 m 的A 轮通过皮带被半径为r 2＝0.75 m 的B 轮带动，B 轮以匀角加速度π rad /s 2由静止起动，轮与皮带间无滑动发生．试求A 轮达到转速3000 rev/min 所需要的时间． 解：设A 、B 轮的角加速度分别为βA 和βB ，由于两轮边缘的切向加速度相同， a t = βA r 1 = βB r 2 则 βA = βB r 2 / r 1 A 轮角速度达到ω所需时间为 ()75 .03.060/2300021?π?π?=== r r t B A βωβωs ＝40 s 2.一砂轮直径为1 m 质量为50 kg ，以 900 rev / min 的转速转动．撤去动力后，一工件以 200 N 的正压力作用在轮边缘上，使砂轮在11.8 s 内停止．求砂轮和工件间的摩擦系数．(砂轮轴的摩擦可忽略不计，砂轮绕轴的转动惯量为 2 1 mR 2，其中m 和R 分别为砂轮的质量和半径). 解：R = 0.5 m ，ω0 = 900 rev/min = 30π rad/s ， 根据转动定律 M = -J β ① 这里 M = -μNR ② μ为摩擦系数，N 为正压力，22 1 mR J = ． ③ 设在时刻t 砂轮开始停转，则有： 00=+=t t βωω 从而得 β＝-ω0 / t ④ 将②、③、④式代入①式，得 )/(2 1 02t mR NR ωμ-= - ∴ m =μR ω0 / (2Nt )≈0.5 r
第2章 刚体的定轴转动
第2章 刚体的定轴转动 习题 2.1 一个做匀变速转动的飞轮在10s 内转过16圈（r ），其末速度为 151-?s rad ，求角加速度的大小。 解：根据at -=ωω0和2021at t +=ωθ，有 ()2 2t t a θω-= 式中 ππθ322==n ，代入数据得 299.0-?=s rad a 习题 2.2 一转速为1800 r/min 的飞轮因受制动而均匀地减速，经过20s 停止转 动。求：（1）角加速度；（2）从制动开始到停止转动飞轮转过的圈 数；（3）制动开始后10s 时飞轮的角速度；（4）设飞轮半径为0.5m ， 求t = 10s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。 解：（1）s t s rad n 20.0,606018002210==?=??? ???==-ωπππω，所以 20 320 60-?-=-=-=s rad t a ππωω （2） 从制动开始转过的角位移θ及圈数N 为 rad at t πππωθ6002032 1206021220=??-?=+=
30026002===π ππθN （3） t = 10 s 时飞轮边缘上一点的线速度为 103010360-?=?-=+=s rad at πππωω （4）t = 10 s 时飞轮边缘上一点的线速度为 11.47305.0-?=?==s m r v πω 相应的相切及法向加速度为 2171.45.15.03-?-=-=?-==s m ar a ππ ()2322221044.44505.030-??==?==s m r a ππω 习题 2.3 在边长为a 的正方形的顶点上，分别有质量为m 的4个质点，求此 系统绕下列转轴的转动惯量: (1)通过其中一质点A ，平行于对角线BD 的转轴，如题图2.3所示；（2）通过A 垂直于质点所在平面的转轴。 解：由转动惯量定义，可求得 （1）()22232222ma a m a m J =+??? ? ??= （2）()222422ma a m ma J =+= 习题 2.4 在题图2.4所示的系统中，1m = 50kg ，kg m 402=，圆盘形滑轮质量m = 16kg ，半径 r = 0.1m ，若斜面是光滑的，倾角为030，绳与滑轮间无相 对滑动，不计滑轮轴上的摩擦，求：（1）绳中的张力；（2）运动开始 时，2m 距地面高度为1m 时，需多少时间2m 到达地面？ 解：（1）对滑轮及1m 、2m 受力分析可知，1m 受重力1m g 及绳的拉力
大学物理刚体的定轴转动知识题及答案解析
第4章 刚体的定轴转动 习题及答案 1．刚体绕一定轴作匀变速转动，刚体上任一点是否有切向加速度？是否有法向加速度？切向和法向加速度的大小是否随时间变化？ 答：当刚体作匀变速转动时,角加速度β不变。刚体上任一点都作匀变速圆周运动，因此该点速率在均匀变化，v l ω=，所以一定有切向加速度t a l β=，其大小不变。又因该点速度的方向变化， 所以一定有法向加速度2 n a l ω=，由于角速度变化，所以法向加速度的大小也在变化。 2. 刚体绕定轴转动的转动定律和质点系的动量矩定理是什么关系？ 答：刚体是一个特殊的质点系，它应遵守质点系的动量矩定理，当刚体绕定轴Z 转动时，动量矩定理的形式为z z dL M dt = ，z M 表示刚体对Z 轴的合外力矩，z L 表示刚体对Z 轴的动量矩。()2z i i L m l I ωω==∑,其中()2i i I m l =∑，代表刚体对定轴的转动惯量，所以 ()z z dL d d M I I I dt dt dt ω ωβ= ===。既 z M I β=。 所以刚体定轴转动的转动定律是质点系的动量矩定理在刚体绕定轴转动时的具体表现形式，及质点系的动量矩定理用于刚体时在刚体转轴方向的分量表达式。 3．两个半径相同的轮子，质量相同，但一个轮子的质量聚集在边缘附近，另一个轮子的质量分布比较均匀，试问：（1）如果它们的角动量相同，哪个轮子转得快？（2）如果它们的角速度相同，哪个轮子的角动量大？ 答：(1)由于L I ω=，而转动惯量与质量分布有关，半径、质量均相同的轮子，质量聚集在边缘附近的轮子的转动惯量大，故角速度小，转得慢，质量分布比较均匀的轮子转得快； （2）如果它们的角速度相同，则质量聚集在边缘附近的轮子角动量大。 4．一圆形台面可绕中心轴无摩擦地转动，有一玩具车相对台面由静止启动，绕轴作圆周运动，问平台如何运动？如小汽车突然刹车，此过程角动量是否守恒？动量是否守恒？能量是否守恒？
大学物理同步训练第 版 刚体定轴转动详解
第三章 刚体定轴转动 一、选择题 1. 两个匀质圆盘A 和B 相对于过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为A J 和B J ，若B A J J >，但两圆盘的质量与厚度相同，如两盘的密度各为A ρ和B ρ，则 （A ）A B ρρ> （B ）B A ρρ> （C ）A B ρρ= （D ）不能确定A ρ和B ρ哪个大 答案：A 分析：22m m R R h h ρππρ=→=，221122m J mR h πρ==，故转动惯量小的密度大。 2. 有两个半径相同、质量相等的细圆环。1环的质量分布均匀，2环的质量分布不均匀。它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为1J 和2J ，则 （A ）12J J > （B ）12J J < （C ）12J J = （D ）不能确定1J 和2J 哪个大 答案：C 分析：22J R dm mR ==? ，与密度无关，故C 选项正确。 3. 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O 以角速度1ω按图1 所示方向转动。将两个大小相等、方向相反的力F 沿盘面同时作用到 圆盘上，则圆盘的角速度变为2ω，则 （A ）12ωω> （B ）12ωω= （C ）12ωω< （D ）不能确定如何变化 答案：C 分析：左边的力对应的力臂大，故产生的（顺时针）力矩大于右边的力所产生的力矩，即合外力距（及其所产生的角加速度）为顺时针方向，故圆盘加速，角速度变大。 4. 均匀细棒OA 的质量为M ，长为L ，可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图2所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述 说法哪一种是正确的？ （A ）合外力矩从大到小，角速度从小到大，角加速度从大到小 （B ）合外力矩从大到小，角速度从小到大，角加速度从小到大 （C ）合外力矩从大到小，角速度从大到小，角加速度从大到小 （D ）合外力矩从大到小，角速度从大到小，角加速度从小到大 答案：A 分析：（定性）由转动定律M I β=可知，角加速度与力矩成正比，故B 、D 错误；由机械
05刚体的定轴转动习题解答
第五章 刚体的定轴转动 一 选择题 1. 一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度为ω，角加速度为α，则其转动加快的依据是：（ ） A. α > 0 B. ω > 0，α > 0 C. ω < 0，α > 0 D. ω > 0，α < 0 解：答案是B 。 2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘，质量相等且具有相同的厚度，则它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。 （ ） A. 相等； B. 铅盘的大； C. 铁盘的大； D. 无法确定谁大谁小 解：答案是C 。 简要提示：铅的密度大，所以其半径小，圆盘的转动惯量为：2/2Mr J =。 3. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上，轮对轴的转动惯量为J ，一是以力F 向下拉绳使轮转动；二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动，若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2，则有： （ ） A. a 1 = a 2 B. a 1 > a 2 C. a 1< a 2 D. 无法确定 解：答案是B 。 简要提示：(1) 由定轴转动定律，1αJ Fr =和11αr a =，得：J Fr a /21= (2) 受力分析得：?? ???===-2222ααr a J Tr ma T mg ，其中m 为重物的质量，T 为绳子的张力。 得：)/(222mr J Fr a +=，所以a 1 > a 2。 4. 一半径为R ，质量为m 的圆柱体，在切向力F 作用下由静止开始绕轴线作定轴转动，则在2秒内F 对柱体所作功为： （ ） A. 4 F 2/ m B. 2 F 2 / m C. F 2 / m D. F 2 / 2 m 解：答案是A 。
大学物理(清华)第3章刚体的定轴转动习题解答
习题 3-1 一汽车发动机曲轴的转速在12s 内由每分钟1200转匀加速地增加到每分钟2700转，求：（1）角加速度；（2）在此时间内，曲轴转了多少转？ 解：（1）)/(401s rad πω= )/(902s rad πω= )/(1.13)/(6 2512 40902 21 2s rad s rad t ≈= -= ?-= ππ πωωβ 匀变速转动 （2）)(78022 1 22rad πβ ωωθ=-= )(3902圈== π θ n 3-2 一飞轮的转动惯量为J ,在0=t 时角速度为0ω，此后飞轮经历制动过程。阻力矩M 的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数0>K 。求：（1）当30ωω=时,飞轮的角加速度；（2）从开始制动到30ωω=所需要的时间。 解：（1）依题意 2 ωβK J M -== )/(92 2 02 s rad J K J K ωωβ- =- = （2）由J K dt d 2 ωωβ- == 得 ?? - = 3 2 00 ωω ω ωK Jd dt t ω K J t 2= 3-3 如图所示， 发电机的轮A 由蒸汽机的轮B 通过皮带带动。两轮半径A R =30cm ，=B R 75cm 。当蒸汽机开动后，其角加速度π8.0=B βrad/s 2，设轮与皮带之间没有滑动。求（1）经过多少秒后发电机的转速达到A n =600rev/min ？（2）蒸汽机停止工作后一分钟内发电机转速降到 300rev/min ，求其角加速度。 解：（1）t A A βω= t B B βω= 因为轮和皮带之间没有滑动，所以A 、B 两轮边缘的线速度相同，即
05刚体的定轴转动习题解答
第五章刚体的定轴转动 一选择题 1. 一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度为ω，角加速度为α，则其转动加快的依据是：（） A. α > 0 B. ω > 0，α > 0 C. ω < 0，α > 0 D. ω > 0，α < 0 解：答案是B。 2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘，质量相等且具有相同的厚度，则它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。（） A. 相等； B. 铅盘的大； C. 铁盘的大； D. 无法确定谁大谁小 解：答案是C。
简要提示：铅的密度大，所以其半径小， 圆盘的转动惯量为：2/2Mr J =。 3. 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑 固定轴O 以角速度ω 按图示方向转动。若将 两个大小相等、方向相反但不在同一条直线的 力F 1和F 2沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘 的角速度ω的大小在刚作用后不久 （ ） A. 必然增大 B. 必然减少 C. 不会改变 D. 如何变化，不能确 定 解：答案是B 。 简要提示：力F 1和F 2的对转轴力矩之和 垂直于纸面向里，根据刚体定轴转动定律，角 加速度的方向也是垂直于纸面向里，与角速度 的方向（垂直于纸面向外）相反，故开始时一 选择题3图
定减速。 4. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上，轮对轴的转动惯量为J ，一是以力F 向下拉绳使轮转动；二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动，若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2，则有： （ ） A. a 1 = a 2 B. a 1 > a 2 C. a 1< a 2 D. 无法确定 解：答案是B 。 简要提示：(1) 由刚体定轴转动定律，1αJ Fr =和11αr a =，得：J Fr a /2 1= (2) 受力分析得：?????===-222 2ααr a J Tr ma T mg ，其中m 为重物的质量，T 为绳子的张力。得：
第三章 刚体得定轴转动
习题精解 3-1 某刚体绕定轴做匀速转动,对刚体上距转轴为r 处得任意质元得法向加速度为与切线加速度来正确得就是() A 、 ,大小均随时间变化 B 、 ,大小均保持不变 C 、 得大小变化,得大小保持不变 D 、 大小保持不变,得大小变化 解 刚体绕定轴做匀变速转动时,因为,而为恒量,所以,故。可见:得大小变化,得大小保持恒定,本题答案为C 、 3-2 一飞轮以得角速度转动,转动惯量为,现施加一恒定得制动力矩,使飞轮在2s 内停止转动,则该恒定制动力矩得大小为_________、 解 飞轮转动得角速度为所以该恒定制动力矩大小为。 3-3 一飞轮半径,以转速转动,受制动均匀减速,经后静止,试求:(1)角速度与从制动开始到静止这段时间飞轮转过得转数;(2)制动开始后时飞轮得角速度;(3)在时飞轮边缘上一点得速度与加速度。 解 (1)角加速度 ()20 1500 2 3.140260 3.145050n rad s t ωωπ β-?? --= = =-=-? 从制动开始到静止这段时间飞轮转过得转数 ()22 015001 12 3.1450 3.14506022 625222 3.14t t N ωβθπ π ?? ?-??+?= == =?圈 (2)制动开始后时飞轮得角速度 ()201500 22 3.14 3.142578.560 t n t rad s ωωβπβ-=+=+=?? -??=? (3)在就是飞轮边缘上一点得速度与加速度分别为 ()()()()()()2 232 78.51 3.14 6.1610 3.14n a a n a r n r n r n m s ττωβτττ -??=+=+=?+-?=?-??? r r r r r r r r r 3-4 有A 、B 两个半径相同、质量也相同得细圆环,其中A 环得质量分布均匀,而B 环得质量 分布不均匀。若两环对过环心且与环面垂直轴得转动惯量分别为与,则有() A 、 B 、 C 、 D 、无法确定与得相对大小。 解 因为转动惯量,对于细圆环而言,各质元到转轴得距离均为圆环得半径,即,所以。故A,B 两个半径相同、质量也相同得细圆环,不论其质量在圆环上如何分布,两环对过环心且与环面垂直轴得转动惯量,本题答案为C 。 3-5 刚体得转动惯量取决于______、________与____________等3各因素。_ 解 干体得转动惯量取决于:刚体得总质量、质量得分布与转轴得位置3个元素。 3-6 如图3、4所示,细棒得长为。设转轴通过棒上离中心距离为d 得一点并与棒垂直,求棒对此轴得转动惯量。试说明这一转动惯量与棒对过棒中心并与此轴平行得转轴得转动惯量之间得关系(此为平行轴定理)。 解 如图3、4所示,以过点垂直于棒得直线为轴,沿棒长方向为轴,原点在 处,在棒上取一原长度元,则 所以与之间得关系为
第五章 刚体的定轴转动
第五章刚体的定轴转动 到现在为止，我们主要用力学的基本概念和原理，如牛顿定理，冲量和动量，功和能等概念以及动量、角动量和能量守恒定理来研究质点及质点系的运动。本章将要介绍一种特殊的质点系—刚体，以及它所遵从的力学规律。其本质是前几章所讲的基本概念和原理在刚体上的应用。对于刚体，本章主要讨论定轴转动这种简单的情况以及它所涉及的一些重要物理概念和定理，如转动惯量、力矩、刚体的动能和角动量，转动定理，及包括刚体的系统守恒定理等。 §5-1 刚体运动的描述 一、刚体 所谓刚体就是其中各部分的相对位置保持不变的物体。实际上，任何物体都不是绝对坚硬的。但是，很多物体，诸如分子，钢梁，和行星等等是足够坚硬的，以致在很多问题中，可以忽略它们形状和体积变化，把它们当作刚体来处理。这就是说，刚体是受力时形状和体积变化可以忽略的理想物体。 二、刚体的运动 刚体是一种由大量质点组成，并且受力时不发生相对移动的特殊质点系。既然是质点系，所以以前讨论的关于质点系的基本定理都可以应用。 刚体的运动可分为平动和转动两种。而转动又可分为定轴转动和非定轴转动。若刚体中所有质点的运动轨迹都保持完全相同，或则说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线，如下图中的参考线，则刚体的这种运动叫做平动。因此，对刚体平动的研究，可归结为对质点的研究，通常都是用刚体质心的运动来代表平动刚体的运动。 B 当刚体中所有的点都绕着同一直线作圆周运动时，这种运动叫转动，（如下图所示）这条直线叫转轴。 如果转轴的位置或方向是随时间改变的，这个转轴为瞬时转轴。如果转轴的位置或方向是固定不动，这种转轴为固定转轴，此时刚体运动叫做刚体的定轴转动。刚体的一般运动
第3章刚体的转动
第3章 刚体的转动 一. 选择题 1. 飞轮绕定轴作匀速转动时, 飞轮边缘上任一点的 (A) 切向加速度为零, 法向加速度不为零 (B) 切向加速度不为零, 法向加速度为零 (C) 切向加速度和法向加速度均为零 (D) 切向加速度和法向加速度均不为零 [ ] 2. 一飞轮从静止开始作匀加速转动时, 飞轮边缘上一点的法向加速度n a 和切向加速度ιa 的值怎样 （A) n a 不变, ιa 为0 (B) n a 不变, ιa 不变 (C) n a 增大, ιa 为0 (D) n a 增大, ιa 不变 [ ] 3 关于刚体的转动惯量J , 下列说法中正确的是 [ ] (A) 轮子静止时其转动惯量为零 (B) 若m A ＞m B , 则J A ＞J B (C) 只要m 不变, 则J 一定不变 (D) 以上说法都不正确 4. 地球的质量为m , 太阳的质量为0m ，地心与太阳中心的距离为R , 引力常数为G , 地球绕太阳转动的轨道角动量的大小为 (A) R m G m 0 (B) R m m G 0 (C) R G m m 0 (D) R mm G 20 [ ] 5. 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 (A) 刚体不受外力矩作用 (B) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零 (C) 刚体所受合外力矩为零； (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变 [ ] 6. 绕定轴转动的刚体转动时, 如果它的角速度很大, 则 (A) 作用在刚体上的力一定很大 (B) 作用在刚体上的外力矩一定很大 (C) 作用在刚体上的力和力矩都很大 (D) 难以判断外力和力矩的大小 [ ] 7. 在外力矩为零的情况下, 将一个绕定轴转动的物体的转动惯量减小一半, 则物体的
第2章刚体定轴转动
第2章 刚体定轴转动 2.28 质量为M 的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为R 1和R 2，求对通过其中心轴的转动惯量． 解：设圆柱体的高为H ，其体积为V = π(R 22 – R 12)h ，体密度为ρ = M/V ．在圆柱体中取一面积为S = 2πRH ，厚度为d r 的薄圆壳，体积元为d V = S d r = 2πrH d r ，其质量为d m = ρd V ， 绕中心轴的转动惯量为d I = r 2d m = 2πρHr 3d r ， 总转动惯量为2 1 3 4 42112d ()2 R R I H r r H R R πρπρ==-? 22211()2m R R =+． 2.29 一矩形均匀薄板，边长为a 和b ，质量为M ，中心O 取为原点，坐标系OXYZ 如图所示．试证明： （1）薄板对OX 轴的转动惯量为21 12OX I Mb =； （2）薄板对OZ 轴的转动惯量为221 ()12 OZ I M a b =+． 证： 薄板的面积为S = ab ，质量面密度为σ = M/S ． （1）在板上取一长为a ，宽为d y 的矩形元，其面积为d S = a d y ， 其质量为d m =σd S ， 绕X 轴的转动惯量为d I OX = y 2d m = σay 2d y ， 积分得薄板对OX 轴的转动惯量为/2/2 2 3 /2 /2 1 d 3b b OX b b I a y y a y σσ--==?3211 1212 ab Mb σ= =． 同理可得薄板对OY 轴的转动惯量为21 12 OY I Ma = ． （2）方法一：平行轴定理．在板上取一长为b ，宽为d x 的矩形元，其面积为d S = b d x ，质量为d m = σd S ， 绕过质心的O`Z`轴的转动惯量等于绕OX 轴的转动惯量 d I O`Z` = b 2d m /12． 根据平行轴定理，矩形元对OZ 轴的转动惯量为 d I OZ = x 2d m + d I O`Z ` = σbx 2d x + b 2d m /12， 积分得薄板对OZ 轴的转动惯量为 /22 2/2 1 d d 12a M OZ a I b x x b m σ-=+??/2 3 2/2 11312 a a b x b M σ-=+ 221 ()12M a b =+． 方法二：垂直轴定理．在板上取一质量元d m ，绕OZ 轴的转动惯量为d I OZ = r 2d m ． 由于r 2 = x 2 + y 2，所以d I OZ = (x 2 + y 2)d m = d I OY + d I OX ， 因此板绕OZ 轴的转动惯量为221 ()12 OZ OY OX I I I M a b =+= +． 2.30 一半圆形细杆，半径为R ，质量为M ，求对过细杆二端AA `轴的转动惯量． 解：半圆的长度为C = πR ，质量的线密度为λ = M/C ．在半圆上取 图 2.28
大物B课后题03-第三章-刚体的定轴转动
习题 3-1 3-2 3-6 3-3 3-7 3-8 3-9 3-10 3-11 3-4 3-12 3-5 3-13 3-14 3-15 3-16 3-17 3-1 某刚体绕定轴做匀变速转动，对刚体上距转轴为r 处的任意质元的法向加速度为和切线加速度来正确的是（） A. n a ，a τ大小均随时间变化 B. n a ，a τ大小均保持不变 C. n a 的大小变化，a τ的大小保持不变 D. n a 大小保持不变，a τ的大小变化 解 刚体绕定轴做匀变速转动时，因为2,n a r a r τωβ==，而β为恒量，所以0t ωωβ=+， 故()2 0,n a r t a r τωββ=+=。可见：n a 的大小变化，a τ的大小保持恒定，本题答案为C. 3-2 一飞轮以的角速度转动1300min rad -?，转动惯量为2 5kg m ?，现施加一恒定的制动力矩，
使飞轮在2s 内停止转动，则该恒定制动力矩的大小为_________. 解 飞轮转动的角加速度为 ()20 001300 2.52260 rad s t ωωωβ---===-?=-?所以该恒定制动力矩大小为()5 2.512.5M J N m β==?=?。 3-3 刚体的转动惯量取决于______、________和____________等3各因素。_ 解 刚体的转动惯量取决于：刚体的总质量、质量的分布和转轴的位置3个元素。 3-4 如图 所示，质量为m ，长为l 的均匀细杆，可绕通过其一端O 的水平轴转动，杆的另一端与质量为m 的小球固连在一起，当该系统从水平位置有静止转动θ角时，系统的角速度ω=_________、动能k E =__________,此过程中力矩所做的功W =__________. 解 在任意位置时，受力分析如图3.8所示。系统所受的合外力矩为 3cos cos cos 22 l M mg mgl mgl θθθ=+= 则在此过程中合外力矩所做的功为 0033cos sin 22W Md mgl d mgl θθθθθθ??= == ????? 系统的转动惯量为 2221433 J ml ml ml =+= 于是刚体定轴转动的动能定理可写为 22314sin 223mgl ml θω??= ??? 所以系统的角速度为ω=213sin 22k E J mgl ωθ==
第三章 刚体定轴转动
第三章 刚体定轴转动 前面几章主要介绍了质点力学的基本概念和原理，以牛顿定律为基础，建立了质点和质点系的动量定理、动能定理和相应的守恒定律。对于机械运动的研究，只限于质点和质点系的情况是非常不够的。质点的运动规律事实上仅代表物体的平动。当我们考虑了物体的形状、大小后，物体可以作平动、转动，甚至更复杂的运动，而且在运动过程中物体的形状也可能发生改变。一般固体在外力的作用下，形状、大小都要发生变化，但变化并不显著。所以，研究物体运动的初步方法是把物体看成在外力的作用下保持其大小和形状都不变，这样的物体叫刚体。刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑形变，仍是一个理想模型。 本章主要在质点力学的基础上讨论刚体的定轴的转动及其运动规律，为进一步研究更复杂的机械运动奠定基础。 3.1 刚体的定轴转动的描述 3.1.1 刚体的基本运动形式 刚体是一种特殊的质点系统，它可以看成是由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点就在于无论它在多大外力的作用下，系统内任意两质元之间的相对位置始终保持不变。既然是一个质点系，所以以前讲过的关于质点系的基本定理就都可以应用。刚体的这个特点使刚体力学和一般质点系的力学相比，大为简化。因此，对于一般质点系的力学问题，求解往往很困难，而对于刚体的力学问题却有不少是能够求解的。 刚体的运动可分为两种基本形式：平动和转动。刚体的运动一般来说是比较复杂的，一般可分解为平动和绕瞬时轴的转动，比如行进中的自行车轮子，可以分解为车轮随着转 轴的平动和整个车轮绕转轴的转动。因此，研究刚体的平动和定轴转动是研究刚体复杂运动的基础。 下面分别介绍刚体的平动和刚体的定轴转动。 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定 的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动就 (b) (a) 图3-1 刚体的平动和定轴转动 A B
大学物理教程 第2章 刚体的定轴转动作业解答
第2章 刚体的定轴转动作业解答 2.3 在边长为a 的正方形的顶点上，分别有质量为m 的4个质点，求：此系统绕下列转轴的转动惯：（1）通过其中一质点A ，平行于对角线BD 的转轴，如题2.3图示；（2）通过点A 且垂直于质点所在平面的转轴。 2 22222 4)2(2)2(3)2()2 2( 2)1(ma a m ma J ma a m a m J =+==+= 可求得解：由转动惯量定义， 2.5 如题2.5图所示，质量为24kg 的鼓形轮，可绕水平轴转动，一绳绕于轮上，另一端通过质量为5kg 的圆盘形滑轮，悬有10kg 物体，设绳与滑轮间无相对滑动。当重物由静止开始下降了h ＝0.5m 时，求：（1）物体的速度；（2）绳中张力。 题2.5图 解：受力分析如题图2.5(b )，列方程 2.3图题 (a) (b)
121222(),,(1/2),,(1/2)r r r r r R R R R R mg T ma r T T J r a J m r T R J R a J m R αααα-=??-===??===? 解得 ()()12r R mg a m m m = ++ 2 224m s 02a v ha v -=?-==代入数据，得 因为加速度为常数，说明物体做匀加速直线运动，所以有 即()N 48N 5821s m 211 ＝； 代入数据，得 ＝； 绳中张力 代入数据得 ２１２T T a m T a g m T v R =-=?=- 2.6 在题2.6图所示的装置中，物体的质量为m l 、m 2，定滑轮的质量为'1m 、 ' 2 m ，半径为R 1、R 2，设绳长度不变，质量不计。滑轮为匀质分布，忽略轴处摩擦。求：物体的加速度及绳中张力。 解：设2m 的加速度a 向上，则1m 的加速度向下，也是a ，二滑轮角加速度分别为 11R a =α和22R a =α，列方程 a m T g m 111=- （1） a m g m T 222=- （2） ()1211111312 1 ααR m J R T T '==- （3） 1 1R a = α （4） ()22 2'2222 232 1ααR m J R T T = =- （5） ＝ ２2 R a α （6） 题2.6图
大学物理第3章 刚体定轴转动与角动量守恒
第3章 刚体定轴转动和角动量守恒定律 在前几章质点运动中，我们忽略了物体自身大小和形状，将物体视为质点，用质点的运动代替了整个物体的运动。但是在实际物体运动中，不仅物体在大小和形状千差，而且运动又有平动和转动之别。这时我们需要另一个突出主要特征，忽视其次要因素，既具有大小又具有形状的理想模型——刚体。在受力的作用时，其形状和体积都不发生任何变化的物体，称做刚体。本章将介绍刚体所遵从的力学规律，重点讨论刚体的定轴转动这种简单的情况。由于刚体转动的基本概念和原理与前几章质点运动的基本概念和原理相似，因此我们将刚体转动与质点运动对比学习一会事半功倍。 §3-1 刚体定轴转动 1. 刚体运动的形式 刚体的运动可以分为平动、转动及平动与转动的叠加。 平动的定义为，在刚体在运动过程中，刚体中任意两点的连线始终平行。如 图5-1所示。由于平动时刚体内各点的运动情况都是一样的，因此描述刚体平动 只需要描写刚体内一点的运动，也就是说刚体的平动只要用其中一个点的运动就 可以代表它整体的运动。 转动的定义为，刚体运动时，刚体中所有质点都绕同一条直线作圆周运动，这条直线称为转轴。转轴可以是固定的，也可以是变化的。若转轴固定，称为刚体定轴转动。若转轴不固定，运动比较复杂。刚体的一般运动可以看作是平动和转动的叠加。平动在前几章已经研究过，本章我们主要研究定轴转动。 2. 刚体的定轴转动 研究刚体绕定轴转动时，选与转轴垂直的圆周轨道所在平面为转动 平面。由于描述各质元运动的角量，如角位移、角速度和角加速度都是 一样的，因此描述刚体运动时用角量较为方便。因为刚体上各质元的半 径不同，所以各质元的速度和加速度不相等。 角速度和角加速度一般情况下是矢量，由于刚体定轴转动时角速度 和角加速度的方向沿转轴方向，因此可用带有“+、-”的标量表示角速 度和角加速度。这种方法我们并不陌生，质点作直线运动时我们也是用 带有“+、-”的标量表示速度和加速度。 角速度的大小为 dt d θω= （3-1） 它的方向规定为沿转轴的方向，其指向由右手螺旋法则确定。 角加速度为 22dt d dt d θωβ== （3-2） 它的方向规定为沿转轴的方向，其指向由右手螺旋法则确定。 离转轴的距离为r 的质元的线速度和刚体的角速度的关系为：ωr v = （3-3） 其加速度和刚体的角加速度的关系为： βr a t = （3-4） ωr a n = （3-5） 图3-1刚体的平动 图3-2 刚体定轴转动
第二章-刚体转动复习过程
《大学物理》综合练习(二) ——刚体定轴转动 班级学号： 姓 名： 日 期： 一、选择题(把正确答案的序号填入括号内) 1．两个小球质量分别为m 和m 3，用一轻的刚性细杆相连。对于通过细杆并与之垂直的轴来说，轴应在图中什么位置处物体系对该轴转动惯量最小? (A)cm 10=x 处； (B)cm 20=x 处； (C)cm 5.22=x 处； (D)cm 25=x 处。 [ C ] 2．一匀质杆质量为m ，长为l ，绕通过一端并与杆成θ角的轴的转动惯量为 (A)3/2ml ； (B) 12/2ml ； (C) 3/sin 22θml ； (D) 2/cos 22θml 。 [ C ] 3．一正方形均匀薄板，已知它对通过中心并与板面垂直的轴的转动惯量为J 。若以其一条对角线为轴，它的转动惯量为 (A)3/2J ； (B)2/J ； (C)J ； (D)不能判定。 [ B ] 4．如图所示，A 、B 为两个相同的定滑轮，A 滑轮挂一质量为m 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且mg F =，设A 、B 两滑轮的角加速度分别为A β和B β，不计滑轮轴的摩擦，这两个滑轮的角 加速度的大小比较是 (A)B A ββ=； (B)B A ββ>； (C)B A ββ<； (D)无法比较。 [ C ] 5．关于力距有以下几种说法： (1)内力矩不会改变刚体对某个定轴的角动量； B 题1图 题4图
(2)作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零； (3)质量相等形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩作用下，它们的角加速度一定相等。 在上述说法中: (A)只有(2)是正确的； (B)(1)、(2)是正确的； (C)(2)、(3)是正确的； (D)(1)、(2)、(3)都是正确的。 [ B ] 6．一水平圆盘可绕固定的铅直中心轴转动，盘上站着一个人，初始时整个系统处于静止状 态，忽略轴的摩擦，当此人在盘上随意走动时，此系统 (A)动量守恒； (B)机械能守恒； (C)对中心轴的角动量守恒； (D)动量、机械能和角动量都守恒； (E)动量、机械能和角动量都不守恒。 [ C ] 7．一质量为kg 60的人站在一质量为kg 60、半径为1ｍ的均匀圆盘的边缘，圆盘可绕与盘面相垂直的中心竖直轴无摩擦地转动，系统原来是静止的。后来人沿圆盘边缘走动，当他相对圆盘的走动速度为m /s 2时，圆盘角速度为 (A)rad/s 1； (B)rad/s 2； (C)rad/s 3/2； (D)rad/s 3/4。 [ B ] 8．水平刚性轻细杆上对称地串着两个质量均匀为m 的小球，如图所示。在外力作用下细杆绕通过中心的竖直轴转动，当转速达到0ω时两球开始向杆的两端滑动，此时使撤去外力任杆自行转动(不考虑转轴和空气的摩擦)。 (1)此后过程中球、杆系统 E (A)动能和动量守恒； (B)动能和角动量守恒； (C)只有动量守恒； (D)只有角动量守恒； (E)动量和角动量守恒。 (2)当两球都滑至杆端时系统的角速度为 (A)0ω； (B)02ω； (C)016.0ω； (D) 二、填充题(单位制为SI ) 1．当一汽车发动机以1800转/分的角速率转动时，它输出的功率是100马力(4105.7? 瓦)，则其输出的力矩为m N 1098.32??。 cm 4=d cm 20=l 题8图
大学物理03章试题库刚体的定轴转动
《大学物理》试题库管理系统内容 第三章 刚体的定轴转动 1 题号：03001 第03章 题型：选择题 难易程度：较难 试题: 某刚体绕定轴作匀变速转动，对刚体上距转轴为r 处的任一质元的法向加速度 n a 和切向加速度τa 来说正确的是（ ）． A.n a 的大小变化，τa 的大小保持恒定 B.n a 的大小保持恒定，τa 的大小变化 C.n a 、τa 的大小均随时间变化 D.n a 、τa 的大小均保持不变 答案: A 2 题号：03002 第03章 题型：选择题 难易程度：适中 试题: 有A 、B 两个半径相同、质量也相同的细环，其中A 环的质量分布均匀，而B 环的质量分布不均匀．若两环对过环心且与环面垂直轴的转动惯量分别为B A J J 和，则（ ）． A. B A J J = B. B A J J > C. B A J J < D. 无法确定B A J J 和的相对大小 答案: A 3 题号：03003 第03章 题型：选择题 难易程度：适中 试题: 一轻绳绕在具有水平转轴的定滑轮上，绳下端挂一物体，物体的质量为m ，此时滑轮的角加速度为β，若将物体取下，而用大小等于mg 、方向向下的力拉绳子，则滑轮的角加速度将（ ）． A.变大 B.不变 C.变小 D.无法确定 答案: A
试题: 一人张开双臂手握哑铃坐在转椅上，让转椅转动起来，若此后无外力矩作用，则当此人收回双臂时，人和转椅这一系统的（ ）． A.系统的角动量保持不变 B.角动量加大 C.转速和转动动能变化不清楚 D.转速加大，转动动能不变 答案: A 5 题号：03005 第03章 题型：选择题 难易程度：较难 试题: 某力学系统由两个质点组成，它们之间仅有引力作用．若两质点所受外力的矢量和为零，则此力学系统（ ）． A.动量守恒，但机械能和角动量是否守恒不能确定 B.动量和角动量守恒，但机械能是否守恒不能确定 C.动量、机械能守恒，但角动量是否守恒不能确定 D.动量、机械能以及对某一转轴的角动量一定守恒 答案: A 6 题号：03006 第03章 题型：选择题 难易程度：较难 试题: 如图所示，两个质量均为m 、半径均为R 的匀质圆盘形滑轮的两端，用轻绳分别系着质量为m 和2m 的小物块．若系统从静止释放，则释放后两滑轮之间绳内的张力为（ ）． A. mg 811 B.mg 2 3 C.mg 2 1 D.mg 答案: A
第2章 刚体的定轴转动2013.3.20
第2章 刚体的定轴转动 一. 基本要求 1. 理解角动量（动量矩）的概念，能用角动量定理计算相关问题。 2. 理解角动量守恒定律及其适用条件，能用角动量守恒条件来分析处理有关问题。 3. 理解转动惯量的概念，会计算一些简单规则匀质刚体对定轴的转动惯量。 4. 掌握刚体定轴转动的转动定律，能熟练地应用转动定律来分析、计算一些简单情况下刚体绕定轴的转动问题。 5. 会计算力矩的功及刚体定轴转动的动能。 二. 内容提要 1. 力矩 力的大小F 与力臂d 的乘积称为力对转轴的力矩，用M 表示，即 M=Fd 力矩是矢量，其矢量M 可用矢径r 与力F 的叉积，即 F r M ?= M 的大小为M=Frsinθ 2 转动惯量 刚体上各质元的质量i m ?与该质元到转轴的距离的平方2i r 的乘积之和。 质点对转轴的转动惯量为2mr J = 对于质量连续分布的刚体，其转动惯量为? =dm r J 2。 转动惯量是刚体对轴转动惯性大小的量度。 3. 转动定律 刚体获得的角加速度β 与作用在刚体上的合外力矩M 成正比，与刚 体转动惯量J 成反比，即 β J M = 4. 转动动能定理 刚体定轴转动动能的增量等于作用在刚体上的合外力矩作功的总和，其数学表达式为 21222 1212 1ωωθθθJ J M ?-=d 5. 角动量 质点角动量为位矢对质点动量的叉积，用L 表示，即 v m r L ?= 对于刚体，其角动量的大小为它的转动惯量J 与角速度ω的乘积，即
ωJ L = 6. 角动量定理 质点角动量的增量等于作用在质点上的冲量矩（力矩对时间的累积），即 1221L L t M t t -=?? d 对于刚体，其角动量的增量等于作用在刚体上的冲量矩，即 121221ωω J J L L t M t t -=-=??d 7. 角动量守恒定律 当作用在质点或刚体上的合外力矩为零时，质点或刚体的角动量不变，即 常量==12L L 习 题 2-1 一个以恒定角加速度转动的圆盘，如果在某一时刻的角速度ω1=20πrad/s ，再转60转后角速度为ω2=30πrad/s ，则角加速度β= ，转过上述60转所需的时间Δt= . 2-5 一飞轮以等角加速度2 rad/s 2转动，在某时刻以后的5s 内飞轮转了100rad 。若此飞轮是由静止开始转动的，问在上述的某时刻以前飞轮转动了多少时间？ 2-9 花样滑冰运动员绕过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J 0，角速度为0ω。然后她将两臂收回，使转动惯量减少为03 1J ，这时她转动的角速度变为 (A) 031ω (B) 03 1ω. (C) 03ω. (D) 03ω. [ ] 2v 俯视图 v 题2-12图 v 俯视图 题2-11图