《高等数学》 各章知识点总结——第1章

第1章 函数与极限总结

1、极限的概念

（1）数列极限的定义

给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切n , 恒有

|x n -a |<ε 则称a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为

a x n n =∞

→lim 或xn →a (n →∞).

（2）函数极限的定义

设函数f (x )在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>）有定义，如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正数δ,（或存在X ） 使得当x 满足不等式0<|x -x 0|<δ 时,（或当x X >时） 恒有 |f (x )-A |<ε ,

那么常数A 就叫做函数f (x )当0x x →（或x →∞）时的极限, 记为

A x f x x =→)(lim 0

或f (x )→A (当x →x 0).（ 或lim ()x f x A →∞

=）

类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<（00x x x δ<<-）时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限（或右极限）记作

00

lim ()(lim ())x x x x f x A f x A -

+→→==或

显然有0

lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?==

如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞）时的极限 记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞

→+∞

==或

显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞

→-∞

→+∞

=?==

2、极限的性质 （1）唯一性

若a x n n =∞

→lim ，lim n n x b →∞

=，则a b =

若0()

lim ()x x x f x A →∞→=0()

lim ()x x x f x B →∞→=，则A B =

（2）有界性

（i ）若a x n n =∞

→lim ，则0M ?>使得对,n N

+

?∈恒有n x M ≤

（ii ）若0

lim ()x x f x A →=，则0M ?>当0:0x x x δ<-<时，有()f x M ≤

（iii ）若lim ()x f x A →∞

=，则0,0M X ?>>当x X >时，有()f x M ≤

（3）局部保号性

（i ）若a x n n =∞

→lim 且0(0)a a ><或则N N +?∈，当n N >时，恒有0(0)n n x x ><或

（ii ）若0

lim ()x x f x

A →=，且0(0)A A ><或，则0δ?>当0:0x x x δ<-<时，有 ()0(()0)f x f x ><或

3、极限存在的准则 （i ）夹逼准则 给定数列{},{},{}n n n x y z

若①0,n N +

?∈当0n n >时有n n n y x z ≤≤ ②lim lim n n n n y z a →∞

→∞

==，

则lim n n x a →∞

=

给定函数(),(),()f x g x h x ，

若①当0

0(,)x U x r ∈（或x X >）时，有()()()g x f x h x ≤≤ ②00()

()

lim ()lim ()x x x x x x g x h x A →∞→∞→→==，

则0()

lim ()x x x f x A →∞→=

（ii ）单调有界准则

给定数列{}n x ，若①对n N +?∈有11()n n n n x x x x ++≤≥或②()M m ?使对

n N +?∈有()n n x M x m ≤≥或则lim n n x →∞

存在

若()f x 在点0x 的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则0

lim ()x x f x -→（或0

lim ()x x f x +→）

存在

4、极限的运算法则

（1）若0()

lim ()x x x f x A →∞→=，0()

lim ()x x x g x B →∞→=

则(i)0()

lim [()()]x x x f x g x A B →∞→±=±

(ii)0()

lim [()()]x x x f x g x A B →∞→?=?

(iii)0()

()lim

()x x x f x A

g x B

→∞→=?（0B ≠） （2）设（i ）0

0()lim ()x x u g x g x u →==且（ii ）当0

0(,)x U x δ∈时0()g x u ≠

（iii ）0

lim ()u u f u A →=

则0

lim [()]lim ()x x u u f g x f u A →→==

5、两个重要极限

（1）

0sin lim

1

x x

x →=()0sin ()

lim

1()u x u x u x →=

sin lim

0x x x ∞→=，1lim sin 1x x x →∞=，01

lim sin 0x x x

→=

（2）1lim 1x

x e x →∞?

?+= ???)

()(1lim 1;()x u u x e u x →∞??+= ??

?

1

lim(1)x

x x e

→+=()

()0

1()

lim 1();v x x v v x e →+=

6、无穷小量与无穷大量的概念

（1）

若0()

lim ()0x x x x α→∞→=，即对0,0,εδ?>?>当0:0x x x δ<-<（或

x X >）时有()x αε<，则称当0()()x x x x α→→∞或，无穷小量

（2）

若0()

lim ()x x x f x →∞

→=∞即对0,0(0),M X δ?>?>>或当0:0x x x δ

<-<（或x X >）时有()f x M >则称当0()()x x x f x →→∞或，无穷大量

7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则 （1）00()

()

lim ()()(),lim

()0x x x x x x f x A f x A x x αα→∞

→∞→→=?=+=其中

（2）00()

()

1

lim ()0

()0lim ()

x x x x x x f x f x f x →∞

→∞→→=≠?=∞（） （3）00

()

()

1

lim ()lim

0()x x x x x x g x g x →∞→∞→→=∞?= （4）0()

lim ()0,x x x f x M →∞

→=∞?>且当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()g x M ≤，

则0()

lim [()()]x x x f x g x →∞→+=∞

（5）0()

lim ()00,x x x f x M →∞→=?>且当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()g x M ≤，

则0()

lim [()()]0x x x f x g x →∞→?=

（6）0()

lim ()0(1,2,,)k x x x f x k n →∞→== 则01

()lim

()0,n

k

x k x x f

x →∞

=→=∑01

()lim

()0,n

k

x k x x f

x →∞

=→=∏

8、无穷小量的比较

000()

()

()

lim ()0,lim ()0,lim ()0→∞→∞→∞→→→===x x x x x x x x x f x g x x α

若（1）0()

()

lim 0,()

x x x f x C g x →∞→=≠，则称当0()x x x →→∞或时，()f x 与()g x 是同阶无穷小。 （2）0()

()

lim

1()

x x x f x g x →∞→=，则称当0()x x x →→∞或时，()f x 与()g x 是等价无穷小，记作()()f x g x （0()x x x →→∞或）。 （3）0()

()

lim

0()

x x x f x g x →∞

→=，则称当0()x x x →→∞或时，()f x 是()g x 是高阶无穷小，记作()(())f x o g x =（0()x x x →→∞或）

。 （4）0M ?>0

0(,)x U x δ?∈（或x X >），有()

()

f x M

g x ≤，则记()(())f x O g x =（0()x x x →→∞或） （5）0

()

()

lim

0(0)[()]k

x x x f x C k x α→∞→=≠>，则称当0()x x x →→∞或时，()f x 是()x α是k 阶无穷小，

9、常用的等价无穷小

当0x →时，有（1）sin ~~arcsin ~tan ~arctan ~ln(1)~1,+-x

x x x x x x e （2）2

11cos ~

.2

x x -（3）1~ln (01),x a x a a -<≠（4）(1)1~+-x x αα 10、函数连续的概念 （1） 函数连续的定义

设()y f x =在点0x 及其邻域()U x 内有定义，若 （i ）000

lim lim[()()]0x x y f x x f x ?→?→?=+?-=

或（ii ）0

0lim ()()x x f x f x →=

或（iii ）0,0,εδ?>?>当0:x x x δ-<时，有0()().f x f x ε-< 则称函数()y f x =在点0x 处连续

设()y f x =在点00(,]x x δ-内有定义，若0

0lim ()()x x f x f x -→=，则称函数()y f x =在点

0x 处左连续，

设()y f x =在点00[,)x x δ+内有定义，若0

0lim ()()x x f x f x +→=，则称函数()y f x =在点

0x 处右连续

若函数()y f x =在(,)a b 内每点都连续，则称函数()y f x =在(,)a b 内连续

若函数()y f x =在(,)a b 内每点都连续，且lim ()()x a

f x f a +

→=，lim ()()x b

f x f b -→=，则称函数()y f x =在[,]a b 上连续，记作()[,]f x C a b ∈ （2） 函数的间断点

设()y f x =在点0x 的某去心邻域()o

U x 内有定义 若函数()y f x =： （i ）在点0x 处没有定义

（ii ）虽然在0x 有定义, 但0

lim x x →f (x )不存在;

(3)虽然在0x 有定义且0

lim x x →f (x )存在, 但0

lim x x →f (x )≠f (0x );

则函数f (x )在点0x 为不连续, 而点0x 称为函数f (x )的不连续点或间断点。 设点0x 为()y f x =的间断点，

（1）0

0lim ()lim ()()x x x x f x f x f x +-→→?≠，则称点0x 为()y f x =的可去间断点，若（2）

00

lim ()lim ()x x x x f x f x +

-?

→→≠，则称点0x 为()y f x =的跳跃间断点，

可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点

（3）0

lim ()lim ()x x x x f x f x +-→→=∞=∞或则称点0x 为()y f x =的无穷型间断点，

（4）若0

lim ()lim ()x x x x f x f x +-→→或不存在且都不是无穷大，则称点0x 为()y f x =的振荡型

间断点，

无穷间断点和振荡间断点统称为第二类间断点 11、连续函数的运算

（1） 连续函数的四则运算 若函数()f x ()g x 在点0x 处连续 则0()

()(),()(),(()0)()

f x f x

g x f x g x g x g x ±?≠在点0x 处也连续 （2） 反函数的连续性，

若函数()y f x =在区间x I 上单调增加（或单调减少）且连续，则其反函数1

()x f y -=在

其对应的区间{(),}y x I y y f x x I ==∈上也单调增加（或单调减少）且连续。 （3） 复合函数的连续性

设函数[()]y f g x =由函数(),()y f u u g x ==复合而成，0()f g U x D ? ， 若（1）0

000lim ()(lim ()())x x x x g x u g x g x u →→===或

（2）0

0lim ()()u u f u f u →=则0

0lim [()][lim ()]()x x x x f g x f g x f u →→==

（或0

00lim [()][lim ()][()]()x x x x f g x f g x f g x f u →→===）

（4） 初等函数的连续性

一切初等函数在其定义区间内都是连续的 （5） 闭区间上连续函数的性质

（ i ）有界性 若()[,]f x C a b ∈，则()y f x =在[,]a b 上有界

（ii ）最大值、最小值定理，若()[,]f x C a b ∈，则()y f x =在[,]a b 上一定有最大值和最小值

（iii ）零点性 若()[,]f x C a b ∈，且()()0f a f b <则至少存在一点(,)a b ξ∈使得

()0f ξ=

（iv ）介值性 若()[,]f x C a b ∈，且()()f a f b ≠，μ是介于(),()f a f b 之间的任一值，则至少存在一点(,)a b ξ∈使得()f ξμ=