三角函数实际应用题 答案解析版本

三角函数的实际应用

知识：

直角三角形中其他重要概念

⑴ 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．

⑵ 坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表

示为h i l =，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan h

i l

α==．坡度越大，坡

面就越陡．如图⑵． ⑶ 方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度.如图⑶．

图(3)

图(2)

图(1)

俯角

仰角视线

视线

水平线

铅垂线

2. 解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：

⑴ 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；

⑵ 找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）； ⑶ 根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形； ⑷ 按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位 3. 0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)

典型例题

类型一.所求线段由两段和差组成。

例题1.（2018成都） 由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛C 位于它的北偏东70?方向，且于航母相距80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛C 位于它的北偏东37?方向.如果航母继续航行至小岛C 的正南方向的D 处，求还需航行的距离BD 的长.（参考数据：sin700.94?≈，cos700.34?≈，tan70 2.75?≈，sin370.6?≈，

cos370.80?≈，tan370.75?≈）

.解：由题知：70ACD ∠=?，37BCD ∠=?，80AC =.

在Rt ACD ?中，cos CD ACD AC ∠=

，0.3480CD

=∴，27.2CD =∴（海里）. 在Rt BCD ?中，tan BD BCD CD ∠=，0.7527.2

BD

=∴，20.4BD =∴（海里）.

答：还需要航行的距离BD 的长为20.4海里.

变式1.为了减轻二环高架上汽车的噪音污染，成都市政府计划在高架上的一些路段的护栏上方增加隔音屏．如图，工程人员在高架上的车道 M 处测得某居民楼顶的仰角∠ABC 的度数是 20°，仪器 BM 的高是 0.8m ，点M 到护栏的距离 MD 的长为 11m ，求需要安装的隔音屏的顶部到桥面的距离 ED 的长（结果保留到 0.1m ，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）

解：由题意：CD ＝BM ＝0.8m ，BC ＝MD ＝11m ， 在Rt △ECB 中，EC ＝BC ?tan20°＝11×0.36≈3.96（m ）， ∴ED ＝CD +EC ＝3.96+0.8≈4.8（m ），

答：需要安装的隔音屏的顶部到桥面的距离 ED 的长4.8m

2.如图，登山缆车从点A 出发，途径点B 后到达终点C 。其中AB 段与BC 段的运行路程为m 200，且AB 段的运行路线与水平面的夹角为?30，BC 段的运行路线与水平面的夹角为

?42，求缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离。

（参考数据：67.042sin ≈?，74.042cos ≈?，90.042tan ≈?）

答案：234米

3.（成华二诊）如图，大楼沿右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为?30，测得大楼顶端A 的仰角为?45（点E C B ,,在同一水平直线上）。已知m AB 80=，m DE 10=，求障碍物C B ,两点间的距离。（结果精确到m 1.0，参考数据： 1.73231.4142==，）

解：如图，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，过点C 作CH ⊥DF 于点H ． 则DE ＝BF ＝CH ＝10m ，

在直角△ADF 中，∵AF ＝80m ﹣10m ＝70m ，∠ADF ＝45°，

∴DF＝AF＝70m．

在直角△CDE中，∵DE＝10m，∠DCE＝30°，

∴CE＝＝＝10（m），

∴BC＝BE﹣CE＝70﹣10≈70﹣17.32≈52.7（m）．

答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．

类型二：辅助线技巧

例题1（2017成都）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行。如图，小明一家自驾

60方向行驶4千米至B地，再沿到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西?

45方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求北偏东?

C

B,两地的距离。

解：过B作BD⊥AC于点D．

在Rt△ABD中，AD=AB?cos∠BAD=4cos60°=4×=2（千米），

BD=AB?sin∠BAD=4×=2（千米），

∵△BCD中，∠CBD=45°，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴CD=BD=2（千米），

∴BC=BD=2（千米）．

答：B，C两地的距离是2千米．

变式1如图，南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，

当渔船航行至海面B处时，测得该岛位于正北方向

()3

1

20+海里的C处，为了防止某国海

巡警干扰，就请求我A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东?

45方向上，A 位于B的北偏西?

30的方向上，求A、C之间的距离。

解：如图，作AD⊥BC，垂足为D，

由题意得，∠ACD＝45°，∠ABD＝30°．

设CD＝x，在Rt△ACD中，可得AD＝x，

在Rt△ABD中，可得BD＝x，

又∵BC＝20（1+），CD+BD＝BC，

即x+x＝20（1+），

解得：x＝20，

∴AC＝x＝20（海里）．

答：A、C之间的距离为20海里．

2.（2017武侯二诊）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB ，如图，在山外一点C 测得BC 距离为m 200，?=∠45CAB ，?=∠30CBA ，求隧道AB 的长。

解：过点C 作CD ⊥AB 于D ，

∵BC ＝800m ，∠CBA ＝30°，

∴在Rt △BCD 中，CD ＝BC ＝400m ，BD ＝BC ?cos30°＝800×＝400

≈693（m ），

∵∠CAB ＝54°， 在Rt △ACD 中，AD ＝

≈

≈231（m ），

∴AB ＝AD +BD ≈693+231≈924（m ）． 答：隧道AB 的长为924m ．

3.渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60?方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到B 处.在B 处看见灯塔M 在北偏东15?方向，求此时灯塔M 与渔船的距离.

北

东

北

15?60?M

B

A

BM=27

例题2（锦江二诊）如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CE D=60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长

CE=4+3

变式1如图，某中学在主楼的顶部D和大门A的上方之间挂一些彩旗，经测量，大门距主楼的距离BC＝90m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时测倾器离地面BE＝

1.5m．求：学校主楼CD的高度（结果精确到0.01m）

解：（1）作EF∥BC交DC于点F，

∵BC＝45m，

∴EF＝45m，

∵∠DEF＝30°，∠DFE＝90°，

∴tan30°＝，

∴，

解得，DE＝15，

∵EB＝m，

∴DC＝15＝16m，

即学校主楼的高度是16m；

（2）作AG∥BC交DC于点G，

∵BC＝AG＝45m，AB＝m，DC＝16m，

∴GC＝AB＝3m，

∴DG＝16﹣3＝13m，

∵∠AGD＝90°，

∴AD＝＝2m，

即大门上方A与主楼顶部D的距离是2m．

2如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？

（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）

解：由题意得：AD⊥CE，过点B作BM⊥CE，BF⊥EA，

∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，

∵CM⊥MB，即三角形CMB为直角三角形，

∴sin30°＝＝，

∴CM＝15cm，

在直角三角形ABF中，sin60°＝，

∴＝，

解得：BF＝20，

又∠ADC＝∠BMD＝∠BFD＝90°，

∴四边形BFDM为矩形，

∴MD＝BF，

∴CE＝CM+MD+DE＝CM+BF+ED＝15+20+2≈51.6cm．

答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是51.6cm．

3如图，要在宽为22米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求路灯的灯柱BC高度．

解：如图，延长OD，BC交于点P．

∵∠ODC＝∠B＝90°，∠P＝30°，OB＝11米，CD＝2米，

∴在直角△CPD中，DP＝DC?cos30°＝m，PC＝CD÷（sin30°）＝4米，

∵∠P＝∠P，∠PDC＝∠B＝90°，

∴△PDC∽△PBO，

∴

∴PB＝＝＝11米，

∴BC＝PB﹣PC＝（11﹣4）米．

类型三.双直角三角形与方程思想

例题 1.如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A ，又在河的另一岸边取两点C B ,,测得?=∠30α,?=∠45β，量得BC 长为100米，求河的宽度（结果保留根号）。

解答:503+50

变式1如图，小明在一块平地上测山高，先在B 处测得山顶A 的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C 处，再测得山顶A 的仰角为45°，那么山高AD 为多少米？（结果保留整数，测角仪忽略不计，2≈1.414，3≈1.732）

解：如图，∠ABD ＝30°，∠ACD ＝45°，BC ＝100m ，

设AD ＝xm ，

在Rt △ACD 中，∵tan ∠ACD ＝AD

CD

，∴CD ＝AD ＝x ，

∴BD ＝BC +CD ＝x +100， ……4分

在Rt △ABD 中，∵tan ∠ABD ＝AD BD ，∴x ＝3

3（x +100），

∴x ＝50（3+1≈137

即山高AD 为137米．

A

B

C D

30°

45°

2.如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：2 =1.414，3 =1.732）

3.为了测量白塔的高度AB，在D处用高为1.5米的测角仪CD，测得塔顶A的仰角为42°，

再向白塔方向前进12米，又测得白塔的顶端A的仰角为61°，求白塔的高度AB．（参考数据sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80，结果保留整数）

解：设AE ＝x ， 在Rt △ACE 中，CE ＝＝1.1x ， 在Rt △AFE 中，FE ＝

＝0.55x ，

由题意得，CF ＝CE ﹣FE ＝1.1x ﹣0.55x ＝12， 解得：x ＝

，

故AB ＝AE +BE ＝

+1.5≈23米．

答：这个电视塔的高度AB 为23米．

例题2（2014成都）如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是45°，向前走6m 到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30°。 （1）求∠BPQ 的度数；

（2）求该电线杆PQ 的高度（结果精确到1m ）。

备用数据：7.13≈，4.12≈

30度，9米

变式1.如图：某电信部门计划修建一条连结B 、C 两地的电缆，测量人员在山脚A 点测得B 、C 两地的仰角分别为?30、?45，在B 地测得C 地的仰角为?60，已知C 地比A 地高

200，电缆BC要多少米？（结果保留根号）

m

2.数学兴趣小组向利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝2m，经测量，得到其它数据如图所示，其中∠CAH＝30°，∠DBH＝60°，AB＝10m，请你根据以上数据计算GH 的长（要求计算结果保留根号，不取近似值）

解：延长CD交AH于点E，

设DE＝x，则BE＝x，

∵∠A＝30°，

∴＝，

∴x＝5﹣3，

∴GH＝EC＝5﹣1（m）

答：GH的长为＝（5﹣1）m．

3某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN 的长），直线MN 垂直于地面，垂足为点P ．在地面A 处测得点M 的仰角为58°、点N 的仰角为45°，在B 处测得点M 的仰角为31°，AB ＝5米，且A 、B 、P 三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN 的长．

（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．）

解：在Rt △APN 中，∠NAP ＝45°， ∴P A ＝PN ，

在Rt △APM 中，tan ∠MAP ＝，

设P A ＝PN ＝x ， ∵∠MAP ＝58°，

∴MP ＝AP ?tan ∠MAP ＝1.6x ， 在Rt △BPM 中，tan ∠MBP ＝， ∵∠MBP ＝31°，AB ＝5， ∴0.6＝，

∴x ＝3，

∴MN ＝MP ﹣NP ＝0.6x ＝1.8（米）， 答：广告牌的宽MN 的长为1.8米．

课后练习：

1. （2016成都）在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动。如图，在测点A 处安置测倾器，量出高度m AB 5.1=，测得旗杆顶端D 的仰角?=∠32DBE ，量出测点A 到旗杆底部C 的水平距离m AC 20=，根据测量数据，求旗杆CD 的高度。（参考数据：53.032sin ≈?，85.032cos ≈?，6

2.032tan ≈?）

2.如图，海面上以点A为中心的4海里内有暗礁，在海面上点B处有一艘海监船，欲到C

处去执行任务，若∠ABC＝45°，∠ACB＝37°，B，C两点相距10海里，如果这艘海监船沿BC直接航行，会有触礁的危险吗？请说明理由．

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

】解：如果这艘海监船沿BC直接航行，不会有触礁的危险；理由如下：

作AM⊥BC于M，如图所示：

∵∠ABC＝45°，

∴△ABM是等腰直角三角形，

∴AM＝BM，设AM＝BM＝x海里，则CM＝10﹣x（海里），

在Rt△ACM中，＝tan∠ACB＝tan37°≈0.75，

∴，

解得：x＝，

经检验，x＝是方程的根，

∴AM＝海里＞4海里，

∴如果这艘海监船沿BC直接航行，不会有触礁的危险．

3.某海域有A,B 两个岛屿,B 岛屿在A 岛屿北偏西30°方向上,距A 岛120海里,有一艘船从A 岛出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B 岛屿南偏东75°方向的C 处,求出该船与B 岛之间的距离CB 的长(结果保留根号).

4.一艘轮船位于灯塔P 南偏西?60方向的A 处，它向东航行20海里到达灯塔P 南偏西?45方向上的B 处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行图中与灯塔P 的最短距离。（结果保留根号）

5.如图，已知楼房AB 高40米，铁塔CD 塔基中心C 到AB 楼房房基B 点的水平距离BC 为50米，从A 望D 的仰角为2

6.6°，求塔CD 的高．（参考数据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.50）

解：

过A作AE⊥CD于E，

则AE＝BC＝50米，AB＝CE＝40米，

∵在Rt△AED中，∠DAE＝26.6°，tan∠DAE＝，

∴DE＝AE×tan∠DAE＝50×tan26.6≈50×0.50＝25，

CD＝CE+DE＝40米+25米＝65米，

即塔CD的高约为65米．

6.如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位

于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数）

（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73）

解：过点B作BD⊥AC于点D，

∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，

∴∠ABD＝67°，

∴AD＝AB?sin67°＝520×＝＝480km，

BD＝AB?cos67°＝520×＝＝200km．

∵C地位于B地南偏东30°方向，

∴∠CBD＝30°，

∴CD＝BD?tan30°＝200×＝，

∴AC＝AD+CD＝480+≈480+115＝595（km）．

答：A地到C地之间高铁线路的长为595km．

7.如图，一辆滴滴快车在笔直公路上由西向东行驶，行驶至A处时接到正东方B处乘客订单，

但师傅发现油量不足，马上左拐30°，沿AC行驶1200米到达加油站C处加油，加油用时5分钟，加油后再沿CB行驶1000米到B处接到乘客，假设滴滴快车的平均速度是每分钟360米，其他情况忽略不计，滴滴快车让乘客多等了多少时间？（结果保留整数≈1.414，≈1.732，≈2.236）

解：如图作CH⊥AB于H．

在Rt△ACH中，AC＝1200，∠A＝30°，

∴CH＝AC＝600，AH＝CH≈1039.2，

在Rt△BCH中，BH＝＝＝800，

∴AB＝1893，AC+BC＝2200，

∴滴滴快车让乘客多等的时间＝5+≈6（分钟），

8．（8分）如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）

【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，

设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝CH cot68°＝0.4x，

由AB＝49知x+0.4x＝49，

解得：x＝35，

∵BE＝4，

∴EF＝BE sin68°＝3.72，

则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+3.72≈66.7（cm），答：点E到地面的距离约为66.7cm．