三角函数在实际生活中地应用

三角函数在实际生活中的应用

目录

摘要： (1)

关键词： (2)

1引言 (3)

1.1三角函数起源 (3)

2三角函数的基础知识 (4)

2.1下列是关于三角函数的诱导公式 (4)

2.2两角和、差的正弦、余弦、正切公式 (6)

2.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 (6)

3.三角函数与生活 (6)

3.1火箭飞升问题 (6)

3.2电缆铺设问题 (7)

3.3救生员营救问题 (8)

3.4足球射门问题 (8)

3.5食品包装问题 (9)

3.6营救区域规划问题 (10)

3.7住宅问题 (10)

3.8最值问题 (12)

4 总结 (12)

Abstract

Trigonometric function in the course of historical development of continuous improvement, has formula, rich thoughts, flexible, permeability is strong and so on。The characteristic is not only an important part of scientific research, or in mathematics learning to key and difficult. In a word it in teaching and other fields has important role. In this paper, we will make a brief discussion about the application of trigonometric functions in solving practical problems.

Keywords：mathematics trigonometric function Application of trigonometric function

摘要：

三角函数在历史的发展过程中不断完善，具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点，不仅是科学研究的重要组成部分，还是数学学习中得重点难点，总之它在教学和其他领域中具有重要的作用。本文将对一些关于三角函数在解决实际问题中的应用做简单的讨论。

关键词：数学三角函数三角函数的应用

1引言

三角函数是高中学习的一类基本的、重要的函数，他是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型。三角函数是高中数学重要的基础知识之一，有着广泛的实际背景和应用空间．三角函数包括三角函数的概念及关系、诱导公式、三角函数的图象和性质、正弦型函数()Y

x Asin ω?+=的图象及应用、三角

恒等变换、解三角形．它不但在生活中的很多方面都有很广的应用，如：潮汐和港口水深、气象方面有气温的变化，天文学方面有白昼时间的变化，地理学方面有潮汐变化，物理方面有各种振动波，生理方面有人的情绪、智力、体力等．测量山高测量树高,确定航海行程问题,确定光照及房屋建造合理性等。

在数学的很多问题研究方面都有着广泛的应用。三角函数是对函数概念的深化，也是沟通代数，几何，与平面向量等的一种工具。其中三角函数在导数的应用也颇为广泛。

1.1三角函数起源

“三角学”，来自拉丁文 trigonometry 。现代三角学一词最初见於希腊文。最先使用trigonometry 这个词的是皮蒂斯楚斯

()

,15161613BartholomeoPitiscus -，他在1595年出版一本著作《三角学:解三角学的简明处理》，创造了这个新词。它是由τριγωυου(三角学)及 μετρειυ(测量)两字构成的，原意为三角形的测量，或者说解三角形。当时三角学还没有形成一门独立的科学，而是依附于天文学。因此解三角形构成了古代三角学的实用基础。

后来阿拉伯数学家专门的整理和研究三角学，但是他们并没有创立起一门独立的三角学。最后是德国数学家雷基奥蒙坦纳斯，真正把三角学作为数学的一个独立学科进行阐释。

“正三角函数包含于最早被称为三角学，“三角学”一词来自拉丁文Trigonometry ，原意是三角形。与其他科学一样，三角学也是解决实际问题中发展起来的。近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的。欧拉用小写的拉丁字母a 、b 、c 表示三角形的三边，进一步简化了三角公式。欧拉还引用sinz 、cosz 、tanz 等表示z 角的三角函数的简写符号，这是三角函数的现代形式。

由于上述数学家及19世纪许多数学家的努力，形成了现代的三角函数符号与手拿教学的完整理论。

2三角函数的基础知识

在直角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，∠C 为直角。则定义以下运算方式：

sin A=∠A 的对边长/斜边长，sin A 记为∠A 的正弦；sin A ＝a/c cos A=∠A 的邻边长/斜边长，cos A 记为∠A 的余弦；cos A ＝b/c

tan A=∠A 的对边长/∠A 的邻边长， tan A ＝sin A/cos A ＝a/ b tan A 记为∠A 的正切； 当∠A 为锐角时sin A 、cos A 、tan A 统称为“锐角三角函数”。 Sin A ＝cos B sin B ＝cos A

在平面直角坐标系xOy 中，从点O 引出一条射线OP ，设旋转角为θ，设OP=r ，P 点的坐标为(x,y)。

该直角三角形中，θ对边为y 临边为x 斜边为r ，运算方法见表一

表1

基本函数 英文 表达式 语言描述

正弦函数 Sine sin θ=y/r 角θ的对边比斜边 余弦函数 Cosine cos θ=x/r 角θ的邻边比斜边 正切函数 Tangent tan θ=y/x 角θ的对边比邻边 余切函数 Cotangent cot θ=x/y 角θ的邻边比对边 正割函数 Secant sec θ=r/x 角θ的斜边比邻边 余割函数

Cosecant

csc θ=r/y

角θ的斜边比对边

2.1下列是关于三角函数的诱导公式

①终边相同的角的同一三角函数的值相等。由此可得到下列公式：

公式一：

sin(2)sin ,cos(2)cos ,

tan(2.)tan .k Z.

k k k πααπααπαα+=+=+=∈其中

②P （x ，y ），直线OP 的反向延长线OE 交圆O 于F 点，则F 点的坐标为F(－x, －y)由此可得到下列公式： 公式二：

sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .

πααπααπαα+=-+=-+= 公式三：

sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .

αααααα-=--=-=- 公式四：

sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .

πααπααπαα-=-=--=- ()~2,,a k k z παπααα+∈-±我们可以用下面的话来概括公式一四：

的三角函数，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。

公式五：

sin()cos ,

2cos()sin .2

π

ααπ

αα-=-= 由于

()22ππ

απα+=-- ，由公式四及公式五可得： 公式六：

sin(

)cos ,2

cos(

)sin .

2

π

ααπ

αα+=+=-

公式五、公式六可以概括如下：

2

π

α± 的正弦（余弦）函数值，分别等于α 的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α 看成锐角的符号。

2.2两角和、差的正弦、余弦、正切公式

sin()sin cos cos sin ,sin()sin cos cos sin ;cos()cos cos sin sin ,cos()cos cos sin sin ;

tan tan tan(),

1tan tan tan tan tan()1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ

αβαβαβ

αβαβ

+=+-=-+=--=++=-+=

-

2.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

2222222

sin 22sin cos ,cos 2cos sin 12sin 2cos 1,1cos 2sin ,

2

1cos 2cos 22tan tan 2,1tan ααααααααα

αα

αα

αα

==-=-=--=

+=

=-

3.三角函数与生活

实际生活中，三角函数可以用来模拟很多周期现象，如物理中简谐振动、生活中的潮汐现象，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题也可以转化为三角函数来解决，房地产、航海、测量、国防中都能找到三角函数的影子。因而三角函数解决实际问题应用极广，解决实际问题有一定的优越地位。

3.1火箭飞升问题

一枚运载火箭从地面O 处发射，当火箭到达A 点时，从地面C 处的雷达站测得AC 的距离是6km ，仰角是43．1s 后，火箭到达B 点，此时测得BC 的距离是6.13km ，仰角为45.54。

（1）火箭到达B 点时距离发射点有多远？ （2）火箭从A 点到B 点的平均速度是多少？

A

B O

C

解：（1）在Rt OCB △中，sin 45.54OB

CB

=

6.13sin 45.54 4.375OB =?≈（km ）

火箭到达B 点时距发射点约4.38km （2）在Rt OCA △中，sin 43OA

CA

=

（3）6sin 43 4.09(km)OA =?=

()(4.38 4.09)10.3(km/s)v OB OA t =-÷=-÷≈

答：火箭从A 点到B 点的平均速度约为0.3km/s

3.2电缆铺设问题

如图，一条河宽a 千米，两岸各有一座城市

A B A B 和，与的直线距离是b 千米，今需铺设一

条电缆连A 与B ，已知地下电缆的修建费是c 万元/千米，水下电缆的修建费是d 万元/千米，假定河岸是平行的直线（没有弯曲），问应如何铺设方可使总施工费用达到最少？

分析：设电缆为AD DB +时费用最少，因为河宽AC 为定值，为了表示AD BD 和的长，不妨设.CAD θ∠=

解：设0090CAD θθ∠=<<（），

2222sec ,,tan AD a CB b a BD b a a θθ==-=--

∴总费用为

22sec tan y ad c b a a θθ=+--（）

=22sin cos ad ac c b a θ

θ

-+-

问题转化为求sin cos ad ac u θ

θ

-=的最小值及相应的θ

值，而sin ?

cos d c u ac θθ

-=－表示点0d P c （，）与点

cos ,sin Q θθ（）斜率-ac 倍0090θ<<（），有图可得Q 在

4

1

单位圆周上运动，当直线PQ 与圆弧切于点Q 时，u 取到最小值。然后通过三角函数的边角关系求出直线PQ 的斜率，再求出此时的最小值u 即可，可以根据实际问题带入求值。

A C D B

θ

3.3救生员营救问题

如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A 点处发现海中的B 点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A 点直接跳入海中；2号救生员沿岸边（岸边看成是直线）向前跑到C 点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B 点最近的D 点，再跳入海中．救生员在岸上跑的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．若45BAD ∠=，60BCD ∠=，三名救生员同时从A 点出发，请说明谁先到达营救地点B ． 解：（1）在ABD △中，4590300A D AD ∠=∠==，，．

3002

cos 45AD

AB ∴==．

tan 45300BD AD ==．

在BCD △中，6090BCD D ∠=∠=，， 300

2003

sin 603

2BD BC ∴===．

300

1003

sin 603BD CD ∴===

1号救生员到达B 点所用的时间为3002

15022102=≈（秒），

2号救生员到达B 点所用的时间为

300100320032503

50191.7623-+=+≈（秒），

3号救生员到达B 点所用的时间为30030020062+=（秒）

191.7200210<<，2∴号救生员先到达营救地点B ．

3.4足球射门问题

在训练课上，教练问左前锋，若你得球后，沿平行于边线GC 的直线EF 助攻到前场（如图，设球门宽AB a =米，球门柱B 到FE 的距离BF b =米），那么你推进到距底线CD 多少米时，为射门的最佳位置？（即射门角APB ∠最大时为射门的最佳位置）？请你帮助左前锋回答上述问题。 分析：此题关键在于求解射门时最大射门角，此时就是最佳位置。 若直接在非特殊APB 中利用边来求APB ∠的

G

E P

C

F

B

A

D A

B C

D

最值，显得比较繁琐，注意到APB APF BPF ∠=∠∠－，而后两者都在Rt 中，故可应用直角三角形的性质求解。

解：如图，设FP x APB BPF αβαβ=∠=∠=，，（、为锐角），()APF tg αβαβ∠=++=则，x b a +,tg β= x

b

, () [()]1()tg tg tg tg tg tg αββ

ααββαββ

+-=+=

++?－=

x

b b a x a

?++

)(。若令()a b b y x x +?=+，

则y ≥x

b b a x ?+?

)(2=b b a ?+)(2，当()a b b

x x +?=,即()x a b b =+?时，y 取到

最小值b b a ?+)(2，从而可知()x a b b =+?时，tg α取得最大值，即

2()a

tg a b b

α=

+?时，α有最大值。故当P 点距底线CD 为b b a ?+)(米时，为

射门的最佳位置。依图像知，在白天的9—15时这个时间段可供冲浪爱好者进行冲浪运动。

3.5食品包装问题

某糖果厂为了拓宽其产品的销售市场，决定对一种半径为1的糖果的外层包装进行设计。问能否设计出一个封闭的圆锥形状的外包装，其体积最小和所用材料达到最省？如果能，如何设计这个圆锥的底面半径和高？此时所用的外包装体积是多少？用料是多少？

分析：要求该圆锥的全面积和体积，需要知道它的下底面半径AC 、母线PA 及高PC ，这些变量之间的关系可以通过一个“角”把它们联系起来。

解：如图，设∠OAC=θ，则OC=1，下底面半径AC=R=cot θ,母线长l=θ

2cos R

，高h=Rtan2θ，θ∈（0，

4

π）。则S 锥=πRl+πR 2=πR(θ2cos R +R)=π

R 2(θ2cos 1+1) =πcot 2θ(2211tan 1tan θθ

-++1)=22

2tan (1tan )

πθθ?-; V=31πR 2h=31πR 2 ·Rtg2θ=31πR 3tg2θ=31πctg 3θθθ2

12tg tg -=31π)

1(2

22θθtg tg -

P A

B

C O

∴当且仅当tg 2θ=1－tg 2θ,即tg θ=

2

2

时，能使S 锥和V 同时取到最小值，此时R=2，h=2，即当圆锥的下底面半径和高分别为2、2时能同时满足条件，

外包装用料是8π，体积是π3

8

。

3.6营救区域规划问题

如图，在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口A ，一机艇以60千米/小时的速度从A 出发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后先按直线前进，以后又改成正东，但不知最初的方向和何时改变方向。如何去营救，用图示表示营救的区域。

分析：1、要表示出一个区域，一般可在直角坐标系中表示，所以应首先建立直角坐标系；

2、题中涉及到方向问题，所以不妨用方向角θ作为变量来求解。

解：以A 为原点，过A 的南北方向直线为y 轴建立直角坐标系，如图：设机艇的最初航向的方位角为θ，设OP 方向前进m 到达点P ，然后向东前

进n 到达点Q 发生故障而抛锚。则30m n +=,令点Q 的坐标为（x,y ），

则???=+=θθcos sin m y n m x θ∈[0，2π]。

∴

2222222222900AQ x y m n mnsin m n mn m n θ=+=++≤++=+=（） ∵机艇中途东拐，22900x y ∴+<。…………① 又∵x+y=m(sin θ+cos θ)+n=2msin(θ+

4

π

)+n ≥m+n=30, ∴x+y ≥30…………②

满足不等式组①和②的点Q （x,y ）所在的区域，按对称性知上图阴影区域所示。

3.7住宅问题

在某小区内，有一块地，这块地有这样三种情况： （1）是半径为10米的半圆；

（2）是半径为10米，圆心角为60的扇形； （3）是半径为10米，圆心角为120的扇形；

在这块地里种块矩形的草皮，具体见下图，应如何设计，使得此面积最大？面积

的最大值是多少。

分析1：第一种情况，如图所示：连结OC ， 设BOC θ∠=，则10sin BC θ=，10s OB co θ=，

220c o s A B O B

θ== 200sin cos 100sin 2S AB BC θθθ

=?==矩形

sin 2 1 S 100

θ≤∴≤矩形

29045θθ==即，

这时10cos 4552,52BO AO BC ====

此时，点A 、D 分别位于点O 的左右方52处时S 取得最大值100。 分析2：第二种情况，连结OC ，

设BOC θ∠=，则10sin BC θ=，10s OB co θ=， 103

cot 60sin 3OA BC θ==

()103

(10cos sin )10sin 3S AB BC OB OA BC θθθ=?=-?=-

?矩形

2

1003100sin cos sin 3

503

50sin 2(1cos 2)3θθθθθ=-=--

1003503

sin(2)363πθ=

+-

当且仅当sin(2)16πθ+=时，即6πθ=时，2

max 5033S m

= 分析3：如图所示：连结OB,

设AOB θ∠=，则10sin AB θ=，10s OA co θ=， 100sin cos 50sin 2S OA AB θθθ

=?==矩形

A

θ

D B F

E C

O

θ

A

D

B F

E

C

O

A θ

D

B

E

C

O

当且仅当sin 21θ=时，即4π

θ=

时，max 50S =

3.8最值问题

如图，ABCD 是一块边长为100m 的正方形地皮， 其中

AST 是一半径为90AT m =的扇形小山，其余部分都是平地。

一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点 P 在弧ST 上，相邻两边CQ CR ，落在正方形的边BC CD ，上， 求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值。 解：设θ=∠PAB , )900(00≤≤θ,延长RP 交AB 于M ， 易得PQ=MB=AB —AM=100—90θcos ，RP=RM —PM=100—90θsin ，

从而θθθθθθcos sin 8100)cos (sin 900010000)sin 90100)(cos 90100(++-=--=PQCR S 矩形令

θθcos sin +=t ，)21(≤≤t ，

则2

181009000100002-?

+-=t t S PQCR

矩形-=t (4050950)9102+，故当910=t 时，PQCR S 矩形有最小值2950m ；当2=t 时，PQCR S 矩形有最大值2)2900014050(m -

涉及到角与边之间的相互关系，可以用边为变量建立函数关系，求解过程一

般可以利用三角函数的相关知识，如正弦、余弦定理、数形结合、三角函数的有界性、基本不等式、函数单调性等。

4 总结

三角函数的发展已经趋于完善，虽然一些不常用的函数接近舍弃，但其余的三角函数仍然在实际生活中发挥着重要的作用。国防、铁路建设、房地产建设、竞技比赛以及安全问题上都可以广泛应用，极大地方便了我们的日常生活。

参考文献

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