(解答)《随机过程》第二章习题
第二章 Markov 过程 习题解答
1、 设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为：
01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ
定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下：
??????
?=========----;
1,1,
3;0,1,2;
1,0,1;
0,0,01111n n
n n n n n n
n X ξξξξξξξξ ???===-;,1;
0,0,01其它n n n Y ξξ
试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。不是的话，请说明理由。 解：（1）显然，随机序列}2,{≥n X n 的状态空间为}3,2,1,0{=S 。
任意取S i i i j i n ∈-132,,,,, ，由于当i X n =给定时，即1,-n n ξξ的值给定时，就可以确定
1+n X 的概率特性，即我们有：
}{},,,,{12233111i X j X P i X i X i X i X j X P n n n n n n ========+--+
因此}2,{≥n X n 是齐次马氏链，其一步转移概率矩阵为：
?????
????
???=p q
p q p q p q
P 0
000000 由于01,0>-=>p q p ，画出状态转移图，可知各个状态都相通，且都是非周期的，因此此链是不可约的遍历链。（也可以利用02
>P 判定此链是不可约的遍历链）
（2）显然，}2,{≥n Y n 的状态空间为}1,0{=S ，由于：
}
1,1{}
1,1,0{}1,10{23234234======
===Y Y P Y Y Y P Y Y Y P
}
0,1{}
0,1,0{}0,10{23234234======
===Y Y P Y Y Y P Y Y Y P
由}2,{≥n Y n 的定义，可知
}
1,1,1{}1,1,0{}0,1,1{}0,1,0{}1,0,1{}1,1{12312312312312323===?===?===??
===?======ξξξξξξξξξξξξξξξY Y
}1,1,0,0{}0,1,0,0{}1,1,0{12341234234====?========ξξξξξξξξY Y Y
}0,0,1{}0,1{12323======ξξξY Y ， ?====}0,1,0{234Y Y Y
利用}1,{≥n n ξ是相互独立同分布的随机变量序列及其分布，我们有：
322233}1,1{q q p pq Y Y P ++=== 223234}1,1,0{q p pq Y Y Y P +==== 223}0,1{pq Y Y P ===
0}0,1,0{234====Y Y Y P
即有：
2
2222343}1,10{q p pq q
p pq Y Y Y P +++=
=== 0}0,10{234====Y Y Y P
由于01,0>-=>p q p ，因此有
}0,10{}1,10{234234===≠===Y Y Y P Y Y Y P
根据马氏链的定义可知}2,{≥n Y n 不是马氏链。
2、 天气预拨模型如下：今日是否下雨依赖于前三天是否有雨（即一连三天有雨；前两天有
雨，第三天是晴天；…），试将此问题归纳为马尔可夫链，并确定其状态空间。如果过去一连三天有雨，今天有雨的概率是0.8；过去三天连续为晴天，而今天有雨的概率为0.2；在其它天气情况时，今日的天气和昨日相同的概率为0.6。试求此马氏链的转移概率矩阵。
解：设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。记每一天天晴为0，下雨为1，则此链的状态可以由三位二进制数表示。如三天晴为000，为状态0；第一天晴，第二天晴，第三天雨为001，为状态1；第一天晴，第二天雨，第三天晴为010，为状态2；第一天晴，后两天阴为011，为状态3，等等。根据题目条件，得到一步转移矩阵如下：
???
???
???
?
??
?
?????????????=
8.02.0000000004.06.0000000006.04.0000000004.06.06.04.0000000004.06.0000000006.04.0000000002.08.0111110101100011010001000111
110101100011010001000P
3、 设}0;{≥n X n 是一齐次马氏链，状态空间为}2,1,0{=S ，它的初始状态的概率分布
为：4/1}0{0==X P ，2/1}1{0==X P ，4/1}2{0==X P ，它的一步转移转移概率矩阵为：
???????
?
?
?=434
1031313104341P （1） 计算概率：}1,1,0{210===X X X P ；
（2） 计算)3(12
)2(01,p p 。 解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：
{}{}{}{}16
1
414331001111,1,000112210=??=
=?==?====
===X P X X P X X P X X X P （2）由齐次马氏链的性质，有：
()
???????
?????
????==483148
1312
13613361636741167
1652
2P P 因此：()
16
7
201=
P ， 同理可求()
312P 。
4、 独立地连续抛掷一颗质地均匀的骰子，以n ξ表示前n 次抛掷出的最大点数，试证明
}1;{≥n n ξ是一马氏链，并求其n 步转移概率矩阵。
解：令k X 表示第k 此抛掷掷得的点数，1≥k ，则：
,2,1},{max 1==≤≤n X k n
k n ξ
易见状态空间为：}6,5,4,3,2,1{=S 。因为对于任意的正整数n 及状态空间中的状态：
i i i i n ≤≤≤≤-121 及j ，我们有：
ij
n n n n n n p i j P i j i j i i j i i i i j P ===
=?????????>=<==
=====+--+}{,61,6,0},,,,{11122111ξξξξξξξ
所以由定义可知}1;{≥n n ξ是一齐次马氏链，其一步转移概率矩阵为：
??
?
???
???
?
??
???
?????=1000006/16/500006/16/16/4000
6/16/16/16/3006/16/16/16/16/206/16/16/16/16/16/1P
求解上面矩阵的特征根及特征向量，我们有：6,5,4,3,2,1,6/==i i i λ，及
??
??
??
?
??
?
??????????-----=???
??????????????
???=????????????
???
?????=Λ-100000110000011000001100000110000011,1000
001100001110
001111001111101111
11,100000
06/50000006/4000
0006/30000006/20000006
/11H H
即有：1
-Λ=H H P ，因此有：
??
??????
?
?
??????????---------------==Λ=-10
)6/5(1)6/5(0000)6/5(1)6/4()6/5()6/4(000)6/5(1)6/4()6/5()6/3()6/4()6/3(00)6/5(1)6/4()6/5()6/3()6/4()6/2()6/3()6/2(0)6/5(1)6/4()6/5()6/3()6/4()6/2()6/3()6/1()6/2()6/1(1)(n n
n
n
n n
n n n n
n n
n n n n n n
n n
n n n n n n n n
n n
n n H H P
5、 设有一个三个状态}2,1,0{=S 的齐次马氏链，它的一步转移概率矩阵为：
????
? ??=33
2211
0p q q p q p P 试求：
（1） )
3(01)
2(01)
1(01)
3(00)
2(00)
1(00,,,,,f f f f f f ；
（2） 确定状态分类，哪些属于常返的，哪些属于非常返的。 解：（1）画出状态转移图，有：
.
,
,
;,
0,
1
21)3(01
11)2(01
1)1(01
321)
3(00)
2(001)
1(00)1(00q p f q p f
q f
q q q f f p p f =======
（2）由状态转移图可知所有状态都是相通的，每一个状态都是非周期状态。因为是有限状态马氏链，因此所有状态都是正常返状态，而且都是遍历状态。
6、 试确定下列齐次马氏链的状态分类，哪些属于常返的，哪些属于非常返的。已知该链的
一步转移矩阵为：
（1） ????
? ??=?????
??=02/12/12/102/12/12/102221
20
121110
020100p p p p p p p p p P ；
（2）
??
?????? ??=???????? ??=2/12/1000
2/12/1000002/102/1004/12/14/1002/102/14443
42
41
40
343332313024232221201413121110040302
0100p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p P ；
（3）
???????
?
??=???????? ??=0000103
/23/100001000002/12/10004/34/14443
42
41
40
3433323130242322212014131211100403020100
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p P 。 解：画出状态转移图，有： （1）由于三个状态都是相通的，所以三个状态都是正常返态。
（2）状态3、4无法和其他状态相通，组成一个闭集，且133=f ，所以状态3、4为常
返态；另外状态0、2相通组成一个闭集，且100=f ，故状态0、2是常返态；因为
)1(0,2/1)
(11)1(11>==n f f n ，故12/111<=f ，所以状态1为非常返态。
（3）0、1相通作成一闭集，且100=f ，故0、1为常返态；又)1(0,1)
(22)1(22>==n f f n ，
因此122=f ，故2为常返态；13/2,103344<=<=f f ，故3、4为非常返态。
7、 设具有三个状态的齐次马氏链的一步转移概率矩阵为：
????
? ??=????? ??=4/304/13/203/12/102/12221
20
1211
10
020100p p p p p p p p p P
（a ） 求3步首达概率)
3(02f ；
（b ） 写出三个状态的常返性、周期性；此链是否遍历？说明理由。
解：（a ）画出状态转移图，可知：8/1)
3(02=f ；
（b ）由状态转移图可知，状态0和2相通，并且
)
2(),4/1()
4/3)(2/1(,
),4/1)(4/3)(2/1(),4/1)(2/1(,2/12
)(00
)
3(00)2(00)1(00≥====-k f
f f f k k
因此：
1
])4/3()4/3(4/31)[8/1(2/1)4/1()4/3)(2/1()4/1)(4/3)(2/1()4/1)(2/1(2/13
200=+++++=+++++= k f
所以状态0和2是常返的。又因为，)1(,0)
(11
≥=k f k ，因此，1011<=f ，所以状
态1是非常返的。由于08/3,02/1)
2(0000>=>=p p ，因此状态0和2是非周期的，状态1也是非周期的。由于对于任意的正整数n ，我们有n
P 中的第二列元素均为0，因此此链不是遍历的。
8、 设},2,1,0;{ =n X n 是一齐次马氏链，其初始分布为
30201000}3{,}2{,}1{,}0{p X P p X P p X P p X P ========
一步转移概率矩阵为：
???
?
??
?
??=??????? ??=2/1002/11000010
02/102/103332
31
30
2322212013121110
03020100p p p p p p p p p p p p p p p p P
（1） 试求概率}1,1,0{210===X X X P ； （2） 计算)
2(01p ；
（3） 试求首达概率 ,3,2,1,)
(00=n f n ；
（4） 写出四个状态的常返性、周期性；此链是否遍历？说明理由。 解：（1）0}1,1,0{00111210=====p p p X X X P ； （2）0)
2(01=p ；
（3）画出状态转移图，可以求得：
4,2121,21,21,2
12
)(00
3
)3(00
2
)2(00
)1(00
≥??
? ??+??? ??=??
? ??=??
? ??==-n f
f
f
f
n n
n
（4）由状态转移图可知四个状态都是相通的，且都是非周期的，因此所有状态都为非周期的正常返状态，此链是遍历链。
9、 考虑三个状态的齐次马氏链，其转移概率矩阵为
????
? ??=????? ??=1000012221
20
121110
020100r q p p p p p p p p p p P
其中：1,0,,=++>r q p r q p ，
（a ） 假定过程从状态1出发，试求过程被状态0（或2）吸收的概率； （b ） 试求过程进入吸收态而永远停留在那里所需的平均时间。
解：（a ）状态集}0{0=C ，}2{2=C 为吸收状态集，状态1为非常返态，且状态2,1,0都为非周期状态。由：D i p
j C P p
i C P k
C j ij
D
j k
ij
k ∈=
-
∑∑∈∈,}{}{，可知
100110}1{}1{p C P p C P =-
122112}1{}1{p C P p C P =-
由此得：
q
r
C P q p C P -=-=
1}1{,1}1{20 （b ）由：D i p j T
E i T E D
j ij ∈=-
∑∈,1}{}{，可得：
1}1{}1{11=-p T E T E
由此可得：
q
T E -=
11
}1{ 10、
设齐次马氏链{}{
},4,3,2,1,0,=≥S n X n 一步转移概率矩阵如下： ????
??
? ??=002/12/10
02/12/12/12/1002/12/100P （1） 写出切普曼－柯尔莫哥洛夫方程（C －K 方程）；
（2） 求n 步转移概率矩阵；
（3） 试问此马氏链是平稳序列吗？ 为什么？ 解：（1）略； （2）?
?
?====偶数奇数
n P n P P n P n 2
)( （3）此链不具遍历性，不是平稳序列。 11、
某车间有两台独立工作的机器，每台机器有两种状态：正常工作和故障修理。已
知正常工作的机器在某天出故障的概率为a ，机器处于故障修理状态在某天恢复正常工作的概率为b ，其中1,0<
（3） 若车间里有m 台独立工作的机器，假设条件不变，问其平稳分布是什么？ 解：（1）由题意可知，随机序列n X 将来状态的分布只与目前的状态有关，因此是一齐次马氏链，状态空间为：}2,1,0{=S ，其一步转移概率矩阵为：
????
?
??-----+---=2222)1()1(2)1()1)(1()1()1(2)1(a a a a a b a b ab b a b b b b P
（2）由于1,0<P ，因此极限分布（平稳分布）存在，令极限分布为
),,(210p p p ，则由
),,(210p p p ???
?
? ??-----+---2222)1()1(2)1()1)(1()1()1(2)1(a a a a a b a b ab b a b b b b ＝),,(210p p p
及 1210=++p p p 解得：
220)(b a a p +=，21)(2b a ab p +=，2
2
2)
(b a b p += 令：b a b p +=
，b
a a
b a b p q +=+-=-=11，则有：
),,(),,(2
2212202210p C pq C q C p p p =
因此该马氏链的极限分布（平稳分布）是参数为b
a b
p +=
的二项分布。
（3）当有m 台机器时，由于机器之间是相互独立的，因此其平稳分布为：
m i b a a b a b C p i
m i
i m i ,,2,1,0, =??
?
??+??
? ??+=-
12、
设}0;{≥n X n 是一齐次马氏链，状态空间为S S S ?=0，其中:}
,,2,1{m S =为瞬时态集，}0{0=S 为吸收态集，且转移矩阵为?
?
??
??=10~
0P P P ，其中e P I P
?-=)(0，τ)1,1,1(
=e 。定义从瞬时态集到吸收态集的首达时间为：
},0:inf{0S X n n n ∈≥=τ。
令：),,,()0(10m αααπ =为马氏链的初始分布，记：),,(1m ααα
=，且满足：
),,1,0(0m k k =≥α，10
=∑=m
k k α。
令：}{k P g k ==τ（称为Phase-Type 分布），∑+∞
===0
}{)(k k k
g
E G λλλτ
。
试证明：
（a ） 对于任意N k ∈，有：00α=g ，e P I P P P g k k k
)(1
01-==--αα；
（b ） 对于任意10≤≤λ，有：e P I P I G
)()()(1
0--+=-λαλαλ。 证明：（a ）用数学归纳法证明
当0=k 时，000}0{}0{ατ=====X P P g ； 当1=k 时，00101}0,{}1{P p X S X P P g S
i i i αατ
===∈===∑∈；
当2=k 时，
01202102102}0,,{}0,,{}2{P P p p X j X i X P X S X S X P P g S i S
j j ij i S i S
j -∈∈∈∈=======
=∈∈===∑∑∑∑αατ
假设当n k =时结论成立，即e P I P P P
g n n n
)(101
-==--αα，则当1+=n k 时，作如
下分解，（1）从初始状态i 转移一步到状态j ；（2）以j 作为初始状态转移n 步被吸收，结合归纳假设，我们有：
01)1(011}1{P P P P P n P g n n n -+-+=?=+==αατ
即当1+=n k 时结论成立。
因此，对于任意N k ∈，有：00α=g ，e P I P P P g k k k
)(101
-==--αα。
（b ）注意到S 为瞬时态集，因此有
0lim =+∞
→n n P
因此，当n 充分大时，有：0)det(≠-=-n
n
P I P I 。
由于：
n n P I P P P I P I -=++++--))((1
2 （A ）
因此当n 充分大时，有
012≠++++?--n P P P I P I
于是0≠-P I ，即1
)(--P I 存在，在（A ）式中左右两边乘以1
)(--P I ，令+∞→n ，则有
∑∞
=-=-0
1
)
(k k P P I
将k g 的表达式代入，利用上面的结论，有
e
P I P I P P I P P P P
g E G k k k k
k k k
k
)()()(])([}{)(100100
1
101
01
00
--+=-+=+=+===--+∞
=-+∞
=-+∞=∑∑∑λαλαλαλαλαλαλααλλλτ
13、
设有一生灭过程}0);({≥t t ξ，其中参数μμλλn n n ==,，λ和μ均为大于零的
常数，其起始状态为0)0(=ξ。试求： （a ） 该过程的Q 矩阵；
（b ） 列出福克－普朗克微分方程； （c ） 其均值函数)}({)(t E t M ξξ=； （d ） 证明}/exp{)(lim 0μλ-=∞
→t p t 。
解：（a ）根据题意得到Q 矩阵为：
??
?
???
???
?
?????
?????+-+-+--=
λλμμλλμμλλμμλλ
)(0)
2(2000)(00
n n Q
（b ）由福克－普朗克方程得：
?????≥+++-=+-=+-)1()()1()()()()
()
()()
(11100n t p n t p n t p dt
t dp t p t p dt t dp n n n n μμλλμλ （c ）计算均值函数为
)1()1()]1([!1)1()]1([)!1(1)]1([!1)()()
1()
1(0)1(1)1(1
)
1(1
t e t e n n t t e n n t e n n t e n n e e e e
e n e e e n e e n ne
t np t M t
t t t t μμ
λ
μμ
λ
μμμ
λ
μμ
λ
μμ
λξμ
λ
μ
λμ
λ
μλμλ
μλμμμμμ-----∞
=----∞=---∞
=---∞=-=
?-?=-?-?
=--=?
?????-==-----∑∑∑∑
（d ）计算得：
μ
λμ
λμ-
--→∞
→∞
==-e
e
t p t e t t )
1(0lim )(lim
14、
有一个细菌群体，在一段时间内假定可以通过分裂等方式产生新的细菌，并不会
死去。假设在长为t ?的一段时间内，一个细菌分裂为两个，即产生新细菌的概率为
)(t o t ?+?λ，令)(t X 表示时刻t 的细菌群体的大小。
（a ） 试说明}0),({≥t t X 是生灭过程；
（b ） 试证λλi i =，0=i μ，并列出其前进方程和后退方程； （c ） 验证k j t k t
k
j j j k e e
C t p ------=)1()()(1λλ，1≥≥k j 是上述方程的解，并计算
})()()({m s X s X t s X E =-+。
解：（a ）由题意，}0),({≥t t X 是生灭过程是显然的，其Q 矩阵为
??
????
?
?
?
?---= λλλλ
λ
λ
3322Q
（b ）λλi i =，0=i μ，显然； （c ）由前进方程，有
)()()()1()(),
()(1,/
/k j t p j t p j t p t p k t p kj j k kj kk kk >--=-=-λλλ
将k
j t k t k j j j k e e C t p ------=)1()()(1
λλ，1≥≥k j ，代入前进方程中，可以验证两边相等。同理可以验证后退方程。
记：)(})()()({t h m s X s X t s X E ==-+，先令：
})()()({})()({)(,m s X n s X t s X P m s X m n t s X P t p m n m ==-+==+=+=+
于是
∑∑∞
=---+∞
=+-==
==-+=010
,)1()()(})()()({)(n n
t m t n m n n m n m e e nC t np m s X s X t s X E t h λλ
注意到
∑∑∑∑∞
=---+∞
=+∞
=∞
=-====0
10
,0
)1()()()()(1n n t m
t n m n n m n m m
j mj j mj e e
C t p t p t p λλ 将上式两边对t 求导数，得
λ
λλλλλλλλλλm t h e e
e e m C e
e
e
n C
t
t
n n
t mt n m n t
n n t
m t
n
m n --=
=--+-=--∞
=---+-∞
=----+∑∑)(1)1()()
1()(00
10
1
1
由此得到
)1()(})()()({-===-+t e m t h m s X s X t s X E λ
15、
在一个线性生灭过程中，假定人口中每个人在间隔),(t t t ?+内以概率
)(t o t ?+?λ生一个儿女，假定这些人是统计独立的，则如果在时刻t 人口中有n 个人，
在),(t t t ?+中出生的概率是)(t o t n ?+?λ。同样地，如果在),(t t t ?+内一个人死亡的概率是)(t o t ?+?μ，则如果在t 时刻有n 个人活着，在),(t t t ?+内死亡的概率是
)(t o t n ?+?μ，)(t X 表示t 时刻人口的数目，且已知0)0(n X =，则)(t X 是一马氏过
程。
（a ） 试写出过程的状态空间及Q 矩阵，求})({)(n t X P t p n ==满足的微分方程； （b ） 试导出)}({)(t X E t m X =满足的微分方程； （c ） 求解)(t m X 。 解：（a ）当 )0,,(,>=+=a n a n n n μλμ
μλλ 时，
可以得到此过程的Q 矩阵：
??????
??
?
?
?
?+++-+++-+++--=
a n a n n a
a a
a a a Q λμλμ
λμλμ
λμλμ]
)([02)
22(2000)
(0
00 令：
})({)(j t P t p j ==ξ
),)(,),(),(),(()(210
t p t p t p t p t p n =
写出福克－普朗克方程：
?
??????
?????
???+++++-+-=+++-+=+++-=+-=+- )()1()(])([)(])1[()
()
(3)(])(2[)()()
()
(2)(])[()()()()()
(1132122
101100t p n t p a n t p a n t d t p d t p t p a t p a t
d t p d t p t p a t p a t d t p d t p t p a t d t p d n n n n μμλλμμλλμμλμ 初始条件：)(0)0(,1)0(00n j p p j n ≠==。
（b ）由数学期望的定义：∑∑∞
=∞
===
=1
)()()(?)}({n n n n
t p n t p
n t M t E ξξ，由此，我们有：
{}[]
[]
)
()()()()()1()()()()1()()()1()()()()1()()()()1()(])([)(])1[()()()(1
1
110
1
1111
11111
1t M a t p n a t p n t p n t p n n t p a t p n t p n t p n n t p na t p na t p n t p a n t p a n n t d t p d n t p n t d d t
d t M d n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ξξμλμλμμλλμμλλμμλλ-+=-+=+++--+=+++--++
-=++++-+-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑∞
=∞
=+-∞=∞
=+-∞
=∞
=-∞=+-∞
=∞
=
即可得到描写)(t M ξ的微分方程：
??
?
??=-+=0)0()()()
(n M t M a t
d t M d ξξξμλ
（c ）解上面的微分方程，我们有：
[]
t t e a
e n t M )()(01)(μλμλξλ
μ----+
= 以上得求解当0=a 时即是所要得解。
16、
一条电路供给m 个焊工用电，每个焊工均是间断地用电。现假设（1）若一焊工在
t 时刻用电，而在),(t t t ?+内停止用电的概率为)(t o t ?+?μ；
（2）若一焊工在t 时刻没有用电，而在),(t t t ?+内用电的概率为)(t o t ?+?λ。每一焊工的工作情况是相互独立的。设)(t ξ表示在t 时刻正在用电的焊工数。 （a ） 试写出此过程的状态空间及Q 矩阵； （b ） 设0)0(=ξ，写出福克－普朗克方程； （c ） 当+∞→t 时，求极限分布n P 。
解：（a ）令)(t ξ表示t 时刻系统中正在用电的焊工数，则}0),({≥t t ξ是一马氏过程，其状态空间为：},,2,1,0{m S =。
Q 矩阵为：
???????
? ?
?---+---+--=μμ
λ
λμμλλμμλλ
m m m m m m m m Q 0
00)2(])2(2[20
00)1(]
)1([000
（b ）令：})({)(j t P t p j ==ξ
)0,,0,0,1()0(,))(,),(),(),(()(210
==p t p t p t p t p t p m
写出福克－普朗克方程：
???
??==+?)
1(1)0,,0,0,1()0()()(m p Q t p t d t p d
（c ）画出状态转移率图，可得∞→t 时的平衡方程：
?????
???
??
??
?==+++-=+-+=+-=∑=-+-1)1()1(])[(2])1[(0
1
1
12011
0m n n m
m n n n p p
m p p n p n m p n n m p
p m p m p p m μλμλμλμλμλμλ 由此可得：
)1()1()(1011=-=
=-+-=+---+p p m p n p n m p n p n m n n n n μλμλμλ
即有：
0)1()(1=+--+n n p n p n m μλ
m n p n n m p n n ,,2,1,0,)1()(1 =??+-=
+μ
λ
由此可以求得：
m n p C p m n n m n n m p n
n m n n ,,1,0,11)()1(00 =???
? ??=????? ?????--?+-=μλμλ 由
10
=∑=m
n n
p
，即可确定0p ，最终得到所要的结果。
最新随机过程考试试题及答案详解1
随机过程考试试题及答案详解 1、（15分）设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）? ∞ -= x dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数； （2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ，分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b a x E += ，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ，分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21 )(λ=x D ； （4）2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ， 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 （1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知， )(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ，一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(；
中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案
（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。 （3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程， 且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？ 解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-
随机过程试题带答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 《随机过程》课程教学大纲 课程编号：02200021 课程名称：随机过程 英文名称：Stochastic Processes 课程类别：选修课 总学时：72 讲课学时：68 习题课学时：4 学分: 4 适用对象：数学与应用数学、信息与计算科学专业 先修课程：数学分析、高等代数、概率论与数理统计 一、课程简介 随机过程是研究客观世界中随机演变过程规律性的学科，它的基本知识和方法不仅为数学、概率统计专业所必需，也为工程技术、生物信息及经济领域的应用和研究所需要。本课程介绍随 机过程研究领域的一些基础而重要的知识和技能。 二、课程性质、目的和任务 随机过程是概率论的后续课程，具有比概率理论更加实用的应用方面，处理问题也更加贴近实际情况。通过这门课程的学习，使学生了解随机过程的基本概念，掌握最常见而又有重要应用 价值的诸如Poisson过程、更新过程、Markov过程、Brown运动的基本性质，能够处理基本的随 机算法。提高学生利用概率理论数学模型解决随机问题的能力。通过本课程的学习，可以让数学 专业的学生很方便地转向在金融管理、电子通讯等应用领域的研究。 三、课程基本要求 通过本课程的学习，要求学生掌握随机过程的一般概念，知道常见的几类随机过程的定义、背景和性质；掌握泊松过程的定义与基本性质，了解它的实际背景，熟悉它的若干推广；掌握更 新过程的定义与基本性质、更新函数、更新方程，了解更新定理及其应用，知道更新过程的若干 推广；掌握离散时间的马尔可夫链的基本概念，熟练掌握转移概率、状态分类与性质，熟悉极限 分布、平稳分布与状态空间的分解，了解分枝过程；掌握连续时间的马尔可夫链的定义、柯尔莫 哥洛夫方程；掌握布朗运动的定义与基本性质，熟悉随机积分的定义与基本性质，了解扩散过程 与伊藤公式，会求解一些简单的随机微分方程。 四、教学内容及要求 第一章预备知识 §1.概率空间；§2.随机变量和分布函数；§3.数字特征、矩母函数和特征函数；§4. 条件概率、条件期望和独立性；§5.收敛性 教学要求：本章主要是对概率论课程的复习和巩固，为后续学习做准备。 第二章随机过程的基本概念和类型 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平）？050.=α解：这是单个正态总体),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0μ-=已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ，计算得n s x T /0μ-=31.328/88580=-=查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值.052.2)27(025.0=t 由于，故拒绝0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语 052.2>T 2622.2>成绩为85分.二、某图书馆每分钟借出的图书数有如下记录:借出图书数 k 0 1 2 3 4 5 6≥7频数 f 8 16 17 10 6 2 1 0试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布? （取显著性水平） 050.=α解：由极大似然估计得.2?==x λ在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。则有估计 }{k X P ==i p ? ,7,0,!2}{?2===-k k e k X P k =0?p 三、某公司在为期10年内的年利润表如下： 年份 1 2 3 4 5 6 7 8910利润 1.89 2.19 2.06 2.31 2.26 2.39 2.61 2.58 2.82 2.9 通过管线敷设技术，不仅可以解决有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机 随机过程 随机过程的定义 引言 在许多实际问题中，不仅需要对随机现象对特定时间点上的一次观察，而且需要做多次的连续不断的观察，以观察研究对像随时间推移的演变过程。 首先我们观察的对象与通常意义上的函数()f t 是不同的， 观察研究的对象本身是一个随机变量X ，这个随机变量随时间的变化过程就是一个随机过程()X t ，通俗的理解。随机变量X 的所有可能取值。另一种解释是，随机过程是随机变量的函数。 随机两字的含义包含着随机过程()X t 的在某一时刻，如i t 时刻的取值， () ()i t t i i X t X t X ===仍然为一随机变量，随机变量i X 取值的样本空间Ω，样本空间中样 本值可以是连续的，也可以是离散的。如{}12,,,n x x x ，意味着在i t 时刻，随机变量i X 的 取某一样本空间的某一元素的概率是确定的（做无穷多次实验的统计规律），在该时刻，所有样本空间元素的概率之和为1。 例如，随机相位正弦波信号。()()sin X t a wt =+Θ 其中Θ服从均匀分布，则固定一个时刻i t 时，显然可求得i t 随机变量()i X t 的分布函数与概率密度。可见其随机过程的概密度是时间参数t 与随机变量Θ的二元函数。 另一种理解是，对随机信号作一次观测相当于做一次随机实验，每次随机实验所得到的观测记录结果()i x t ，是一个确定函数，称为样本函数，所有样本函数的全体构成了随机过程。 随机过程的标准定义 定义：设(?, Σ, P) 是一概率空间，对每一个参数t ∈T ， X (t,ω) 是一定义在概率空间(?, Σ, P) 上的随机变量，则称随机变量族 X T ={X (t ，ω); t ∈T}为该概率空间上的一随机过程。其中T ? R 是一实数集，称为指标集或参数集。X (t,ω)通常简写为()X t 。 随机过程{X (t ); t ∈T }可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作 S 。 第十讲 几种常用的随机过程 10.1 马尔可夫过程 10.1.1马尔可夫序列 马尔可夫序列是指时间参数离散，状态连续的马尔可夫过程。 一个随机变量序列x n （n=1,2,…）,若对于任意的n 有 )|(),...,,|(112 1 x x F x x x x F n n X n n n X ---= （10.1） 或 )|(),...,,|(112 1 x x f x x x x f n n X n n n X ---= （10.2） 则称x n 为马尔可夫序列。x n 的联合概率密度为 ) ()|( ) |()|(),...,,(1 1 2 2 11 2 1 x f x x f x x f x x f x x x f X X n n X n n X n X ??---= （10.3） 马尔可夫序列有如下性质： （1） 一个马尔可夫序列的子序列仍为马尔 可夫序列。 （2） ) |(),...,,|(1 21x x f x x x x f n n X k n n n n X -+++= （10.4） （3） )|(),...,|(111x X x x X n n n n E E --= （10.5） （4） 在一个马尔可夫序列中，若已知现在， 则未来与过去相互独立。即 ) |() |()|,(1 x x f x x f x x x f r s X n n X r s n X -= ，n>r>s （10.6） （5） 若条件概率密度)|(1 x x f n n X -与n 无关， 则称马尔可夫序列是齐次的。 （6） 若一个马尔可夫序列是齐次的，且所 有的随机变量X n 具有同样的概率密度，则称该马尔可夫序列为平稳的。 （7） 马尔可夫序列的转移概率满足切普曼 —柯尔莫哥洛夫方程，即 ) |()| ()|(x x f x x f x x f s r X r n X s n X ? ∞ ∞ -= ， n>r>s (10.7) 10.1.2马尔可夫链 马尔可夫链是指时间参数，状态方程皆 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？ 解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分. 050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p 2016随机过程（A ）解答 1、（15分）设随机过程V t U t X +?=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。 1) 求)(t X 的一维概率密度函数； 2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解： 由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +?=)(也服从正态分布， 且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==?+=?+=+ {}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==?+=+=+ 故： (1) )(t X 的一维概率密度函数为：()2 22218(1) (),x t t t f x e x --- += -∞≤≤∞ (2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为： {}{} (,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =?=?+??+ {}{}{} 22()13()413 st E U s t E U V E V st s t =?++??+=?++?+ 协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-?=+ （3）相关系数： (,)s t ρρ== == )(t X 的二维概率密度函数为： 2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x e ρ????-----?? +????-++???????? = 2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的 平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？ 解： 到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。 将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为： 419,04 ()80,47t t t t λ+≤≤?=? <≤? 在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布，其均值： 6 4 6 2 2 4 (6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=??? 第一章随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 1．随机变量，分布函数 离散型随机变量的概率分布用分布列分布函数 连续型随机变量的概率分布用概率密度分布函数 2．n维随机变量 其联合分布函数 离散型联合分布列连续型联合概率密度 ３．随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量连续型随机变量 方差：反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量）： 相关系数（两个随机变量）：若，则称不相关。 独立不相关 ４．特征函数离散连续 重要性质：，，， ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布 泊松分布均匀分布略 正态分布 指数分布 ６．Ｎ维正态随机变量的联合概率密度 ，，正定协方差阵 二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义 设是概率空间，是给定的参数集，若对每个，都有一个随机变量与之对应，则称随机变量族是上的随机过程。简记为。 含义：随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性。另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。 当固定时，是随机变量。当固定时，时普通函数，称为随机过程的一个样本函数或轨道。 分类：根据参数集和状态空间是否可列，分四类。也可以根据之间的概率关系分类，如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。 ２．随机过程的分布律和数字特征 用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。随机过程的一维分布，二维分布，…，维分布的全体称为有限维分布函数族。随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述。在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些统计特征来取代。（１）均值函数表示随机过程在时刻的平均值。 （２）方差函数表示随机过程在时刻对均值的偏离程度。 （３）协方差函数且有 （４）相关函数(3)和(4)表示随机过程在时刻，时的线性相关程度。 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ?????? ?? ????????? ?=434 103 13131043 411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P ???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2 北京工业大学2007-2008学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试题 标准答案（仅供参考） 一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布 ),(254σN ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下： 54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 问：该日生产的零件的平均重量是否正常（取显著性水平050.=α）？ 解：按题意，要检验的假设是 54:0=μH ，因2σ未知，故用-t 检验法，由05.0=α，查t 分布表得临界 值2622290250.)(.=t ，由样本值算得 382514654.,.==t x 因为26222. 1255804101145701312680122222222 9 2 2 .)()(==++++++++= -=∑ =i i i i np np f χ 查表得919160502 9.).(=χ 因为9191612552..<=χ, 所以接受0H ，认为X 服从 等概率分布. 三、（15分）下表给出了在悬挂不同重量（单位：克）时弹簧的长度（单位：厘米） 求y 关于x 的一元线性回归方程，并进行显著性检验. 取显著性水平050.=α， 计算结果保留三位小数. 346.9,857.16==y x 根据计算结果可得： （1） 回归方程：X Y 1845.0244.6+=∧ ?????? ???? ??? =??-?=-=====??-==?-=244.61845.01187142.6571??1845.0857.454906.83?906.8342.65118717.1186857.4541187 124442x b y a S S b S S xx xy xy xx 于是得 第二章 随机过程分析 1.1 学习指导 1.1.1 要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数 如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1) 如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为 1111111 (,) (, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x 对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率 {}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤ 称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。如果 2212122121212 (,;,) (,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=??? 存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。 对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5) =≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。如果 n n 12n 12n n 12n 12n 12n (x ) () (2 - 6)?=???F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，， 存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。 随机过程ξ (t )在任意给定时刻t 的取值ξ (t )是一个随机变量，其均值为 []1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞ -∞ =? 2 0 — 1分布 P(X 1) P,P(X 0) q EX DX pq 二项分布 P(X k) C ： EX np DX npq 泊松分布 P(X k) k! EX DX 均匀分布略 正态分布 N(a, 2) f(x) (X a)2 2 2 EX DX 第一章随机过程的基本概念与基本类型 一.随机变量及其分布 1 .随机变量X ,分布函数F(x) P(X X) 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 P k P(X x k )分布函数 F(x) P k 连续型随机变量 X 的概率分布用概率密度 f(x) 分布函数F(x) X f(t)dt 2. n 维随机变量 X (X 1,X 2, ,X n ) 其联合分布函数 F (X ) F (X 1,X 2, , X n ) P(X 1 X [ , X 2 X 2 , , X n X n ,) 离散型 联合分布列 连续型联合概率密度 3 .随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量 X EX X k P k 连续型随机变量 X EX xf (x)dx 2 2 2 方差：DX E(X EX) EX (EX) 反映随机变量取值的离散程度 协方差(两个随机变量 X,Y )： B XY E[(X EX )(Y 相关系数(两个随机变量 X, Y ) : XY t _ ____________________________________ VDX v'DY 独立 不相关 5 ?常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 B XY EY)] E(XY) EX EY 则称X,Y 不相关。 4 ?特征函数 g(t) E(e ItX ) 离散 g(t) e ItX k p k 连续 g(t) e ltx f (x)dx 重要性质：g(0) 1 , g(t) 1 , g( t) g(t) , g (0) EX k 第一章 随机过程的基本概念 1．设随机过程 +∞<<-∞=t t X t X ,cos )(0ω，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求X （t ）的一维概率分布 解：∵ 当0cos 0=t ω 即 πω)2 1 (0+ =k t 即 πω)21(10+=k t 时 {}10)(==t x p 若 0cos 0≠t ω 即 πω)2 1 (1 0+≠ k t 时 {}{}x t X P x x X P t x F ≤=≤=0cos )(),(ω 当 0cos 0>t ω时 ξπ ωωξd e t x X P t x F t x ? - = ??? ? ??≤=02 cos 0 2 021cos ),( · 此时 ()t e x t x F t x f t x 0cos 2cos 1 21,),(022ωπ ω? =??= - 若 0cos 0 ?? ?= ,2 ,cos )(出现反面出现正面t t t X π 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为21。试确定)(t X 的一维分布函数)2 1 ,(x F 和)1,(x F ，以及二维分布函数)1,2 1;,(21x x F ] 解：（1）先求)21 ,(x F 显然???=?? ???-=??? ??出现反面出现正面 出现反面出现正面10,212,2cos 21π X 随机变量?? ? ??21X 的可能取值只有0，1两种可能，于是 21 021= ??????=?? ? ??X P 2 1121=??????=??? ??X P 所以 ?????≥<≤<=??? ?? 11102 1 0021,x x x x F 再求F （x ,1） 显然???-=?? ?=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1 2 cos (1)πX {}{}2 1 2)1(-1 (1)====X p X p ? 所以 ???? ???≥<≤<=2 121- 2 1-1 0,1)(x x x x F (2) 计算)1,2 1 ;,(21x x F ???-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1)1(, 1 0)2 1 ( X X期末随机过程试题及标准答案
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学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)
随机过程试题及解答
随机过程知识点汇总
随机过程复习试题及答案
随机过程复习题(含答案)
2007-2008第一学期数理统计与随机过程(研)试题(解答)
第2章 随机过程习题及答案
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第1章 随机过程的基本概念习题答案