高一物理竞赛讲义第6讲.教师版

高一物理竞赛讲义第6讲.教师版

第6讲

力的基本性质

温馨寄语

Congratulations, younglings! 我们今天开始学习静力学了，英文叫statics。一看就知道，我们研究的是静止，或者更加广泛的平衡情况下所满足的力学。在学习的过程中，我们可以掌握最基本的力学的物理量的描述和计算推演方法。这些当然也是后面学习其他知识的基础。

知识点睛

1．力是物体间的相互作用．

包括施力物体，受力物体，作用力与反作用力、大小、方向、作用点，作用效果这几方面的概念、单位：牛顿N

作用效果改变物体的运动效果（涉及动力学）改变物体的形状．

关于力的定义：很多种说法，比如用加速度来定义，用动量的变化率来定义，等等。

思考：如果我们用加速度来定义力，那么我们如何定

思考：如何确定两个力相等呢？

2．重力：由于地球吸引产生的力．

施力物体：地球． 大小：G mg =， 2

g 9.8/m s =

受力物体：在地球上的任何物体． 方向：竖直向下

反作用力：物体对地球的吸引力． 等效作用点：重心

质心和重心：质心是质量的等效中心．其计算方法：

∑

∑=i

i i c

m x m x ∑

∑=i

i i c

m y m y ∑

∑=i

i i c

m z m z

其中（c

x ，c

y ，c

z ）是质心的坐标，i

m 是系统中第i 个

质点的质量，（i x ，i y ，i

z ）是第i 个质点的坐标．注意质心不仅和物体几何形状有关，还与其质量分布相关．

重心是重力的等效作用点．当物体所在位置处的重力加速度g 是常量时，重心就是质心．若物体很大，以致各处的g 并不能认为相同，则重心不等同于质心．

另外，质心也有很多其他的用途，比如在研究惯性力的过程中，在研究动量的过程中等，我们后面会有学习

【例1】 求一块均匀三角板的重心位置，三边长a 、b 、

c ． 【解析】 在三条中线的交点上．证明方法：微元法，

把三角形分成无数个小条。每个小条都是重心是中点，都连起来就是中线。

【例2】 求由三根均匀杆构成的三角形的

重心位置，其中三杆长度为a ，b ，c ，其中2

2

2

a b c +=

【解析】 设密度为λ，并以直角边建立坐标系，把三

根棒可以看成三个质点

a 棒：02a a λ?

? ??

?， b

棒：02b b λ?? ???

， c

棒：22b a c λ?? ???

， 重心：201222c b b

a b c b bc x a b c a b c λλλλλλ?+?+?

+==?

++++

20122a a a b c a ac y λλλ?+?+?

+==?

例题精讲

思考如果，a 、b 、c 不能组成直角三角形呢？

重心将在三边中点组成的小三角形的内心上。证明略。

【例3】 求下面阴影的重心．

【解析】 设面密度为σ

解：假定大圆是实心，质心在O 点，质量为2

πR σ，小圆的质量为负的（即控去的）2

πr σ-，质量心在O '点，两质心相距l ，设O 点为原点． 2

:πO R σ，()00， 2

:πO r σ'-()0l -，

∴质心：()()22

2

2222

π0πππR r l r l

R r R r

σσσσ?+-?-=

-- 222

0r l R r ??

?-??

，．

【例4】 （RDF 分班考试题）已经知道均匀分布质量

的圆板，切割成如图的太极形状的一半．实线通过它的重心。已经知道原来的圆板半径为R ，求圆中心到重心的水平方向的距离x （如图）。

【例5】已知一个质量为M的没有盖子的圆柱形的杯子。里面开始是空的，然后往里面慢慢的注水。

进入了杯子的水和杯子的总重心会发生变化。请

问重心如何变化？是否有最值？是多少？（已知

杯子底面积为S，水的密度为r,原来空杯子重心

高度为H）

【例6】（RDF分班考试题）已知一个均匀质量的圆球壳，半径为R，现在将球壳上端高度为h的部

分切下，然后粘贴在圆球的最下面，形成一个“杯

子”。求这个杯子的重心。

【例7】已知俄罗斯方块基础版中的图形是由四个完全一样的匀质正方形平板组成．进阶的有用五个板子组成的，请求出下列图形的重心（已知每个小正方形的边长为a）

3．弹力：

当相互接触的物体发生形变时所产生的恢复形变

的力称为弹性力，胡克定律表明，当物体形变不太大时，弹性力与形变成正比，弹簧的弹性力F 与弹簧相对于原长的形变（拉伸或压缩）x 成正比，方向指向平衡位置，即 F kx =-

式中比例系数k 称为弹簧的倔强系数，也叫劲度系数，负号表示弹性力与形变反方向． 对于弹性力须说明三点：

① 绳子的张力是一种弹性力．绳子和与之连接的物体之间有相互作用时，不仅绳子与物体知识点睛

牛顿和胡克

牛顿和胡克本来是学术交流的好哥们，相互通信，讨论问题。胡克对牛顿的最巨大的帮助就是纠正了牛顿关于天体运行的理解。牛顿开始时候认为天体的运行是在引力和离心力两个力作用下进行的（没错，牛顿不知道惯性力的概念，他

对形变而出现弹性力．这时，绳子上任一横截面两边互施作用力，这对作用力和反作用力称为绳子的张力，一般情况下，与绳子相应的比例系数k 很大，因而形变很小，可以忽略．所以绳子的张力不是由绳子的形变规律确定，而是由求解力学问题时确定．因而，在物理中，我们一般抽象出柔软不可伸长的轻绳．

② 在光滑面（平面或曲面）上运动的物体受到的支撑力也是一种弹性力．这种由物体与支撑面相互作用而发生形变产生的弹性力，也是一种使物体约束在该支撑面上运动的约束力，通常把物体所受到的约束力称为约束反力，约束反力的方向总是与支撑面垂直．与绳子的张力一样，由于相应的k 很大，因而形变很小，可以忽略，约束反力的大小由求解物体的运动来确定，若支撑面是粗糙的，则物体除受约束反力外，还要考虑该表面的摩擦力．

③ 弹簧串连：1

2

1111n

k k k k =+++L 串

当然这两个公式在实际解题中往往会变形，关键要抓住各弹簧是弹力一致还是形变量一定． 弹簧并连：1

2

n

k k k k =+++L 并

（形变量一定）

【例8】 如图所示，两根劲度系数分别为1

k 和2

k

的轻弹簧竖直悬挂，下端用光滑细绳连接，把一光滑的轻滑轮放在细绳上，求当滑轮下挂一重为G 的物体时，滑轮下降的距离多大？

【解析】 1222

2

G

k x k x ?=?= ∴下降，1

2

12112

4x x

G k k ??+

=

?+ ???

【例9】 如图所示的一个升降机，体重为

1

60kg P =的人在升降机中，手执一绳使自己平衡于空中，升降机底坐重2

30kg P =，求这人手中应使多大的力？

【解析】 座底：2413

P F F F +=+

人：134

P F F =+ 轮B ：13

2F F = 轮A ：21

2F F = ()312

1

22.5kg 4

F P P =+=

例题精讲

牛顿和胡克

然而“天下大事，分久必合，合久必分。”两个人的合作基本也就到此为止了。两个人同时宣布自己证明了平方反比力就是椭圆轨道的原因。然而两个人都没有提出材料证明自己的观点。后来，牛顿发表了《论运动》，也就是《自然哲学

知识点睛

4．摩擦力

摩擦力也是一种接触力，当相互接触的物体作相对运动或有相对运动趋势时，接触面间会产生一种阻碍相对运动或相对运动趋势的力，这种力称为摩擦力，前者称为滑动摩擦力，后者称为静摩擦力．

摩擦定律指出：

①滑动摩擦力与正压力成正比，与两物体的接触

面积无关

②当相对速度不太大时，滑动摩擦力与速度无关 ③静摩擦力的大小为0与最大值（称为最大静摩擦力）之间的某一值，此值由相对运动趋势的程度而定，最大静摩擦力也与正压力成正比． 摩擦定律可 f N μ=滑 0

max f N μ=静

式中μ和0

μ分别称为滑动摩擦系数和静摩擦系数，

0μ与μ近似相等，一般情况下，可认为0

μ与μ相等，统称为摩擦系数．

从另一个角度来说，力也可以分成两种：

第一类叫做主动力。例如重力、弹簧的弹力、滑

动摩擦力等。这些力的特点是，受力由当前系统的位置或者外界条件直接给定。

第二类叫做约束力。这些力是由约束条件引起的，不由外界条件直接确定，只能通过体系内部的平衡方程解得。例如支持力、静摩擦力、铰链对杆的作用力、绳子的拉力等。每个约束都会使得描述约束力的变量加1。

例如支持力带来一个约束，描述支持力需要一个参数：支持力的大小（因为支持力的方向垂直于接触面）；静摩擦力带来一个约束，描述静摩擦力需要一

个参数；二维空间里的铰链带来两个约束，描述铰链的作用需要两个参数（Fx，Fy）。滑动摩擦不带来约束，所以滑动摩擦力不作为约束力处理，其大小由正压力和摩擦系数决定，一定意义上是“由外界条件直接给定”，所以滑动摩擦力被当作主动力。如果绳子一端是用手拉着，那么相当于没有约束，拉力大小由手决定，这种情况绳子的拉力就被当作主动力。

例题精讲

【例10】如图所示，木板A质量为M，以相对地面的速度v在水平面上向北运动，木板上放一

质量为m的板B，各接触面间滑动摩擦因

数均为 ，当木块B也有相对地面向东的

速度v时，试分析木块B的受摩擦力的情

况．

【解析】B相对于A有速度2v 向东南方向

所以B受A对B的摩擦力向西北方向

摩擦力阻碍的是相对运动．

1．力作为矢量和速度一样，可以作矢量的合成与分

解．

三角形法则：1

2

F F F +=u u r u u r u u u r

合

，如图

平行四边形法则：1

2

F F F +=u u r u u r u u u r

合

，如图

特别注意力的正交分解，建立直角坐标系()x y ，，可

以把任意一个力分解到x 、y 方向．

【例11】 如图所示，有五个力1

F 、2

F 、3

F 、4

F 、5

F 作用于

一点O ，松成一个正六边形的两邻边和三条对角

例题精讲

知识点睛

摩擦力产生的原因

所有的表面，即使是看起来很光滑的表面，从微观上看都是粗糙的。如果你通过扫描隧道显微镜看放大的石墨晶体的照片，那么在原子层次上晶体表面的不规则性就会暴露无遗。当两个表面接触的时候，每个表面上的突出点就会碰到并

线.设3

10N F =，试求这五个力的合力.

【解析】依据正六边形的几何性质及平行

四边形定则，不难看出1

F 和4

F 这两个力的合力一定与3

F 重合，2

F 和5

F 这两个力的合力也与3

F 重合，如

图.这样，所求五个力的合力，就等效为求三个方向相同、大小相等且同一直线上的三个力的合力，即五个力的合力大小为3

330N F =，方向与3

F 相同.

【例12】 求挡板在何角度时对

小球的支持力最小．

【解析】 此时支持力最小，90θ=?时

2．力合成分解应用

摩擦角：滑动摩擦角定义为arctan f N ?=滑

．把支持

力和滑动摩擦力考虑成一个力（即全反力），则F f N =+u u u r u u u r u u r 合

滑

，由于f N μ=滑

．∴F u u u r 合

与N u u r

夹角arctg θμ= 这个角度的特点是大小保持不变，虽然这个“全反力”的大小可能根据情况的变化而变化

【例13】 筷子夹鸡蛋，摩擦紧锁问题，设筷子与鸡蛋

的摩擦系数为μ，求筷子多大角度时在不平桌面上始终不会把鸡蛋滑出． 【解析】 筷子夹住鸡蛋给鸡蛋两个

力，支持力和摩擦力、用全反

例题精讲

知识点睛

牛顿和胡克

后来矛盾加剧，牛顿发表了《自然哲学的数学原理》。把各种前人的成果总结起来，运用微积分，建立了经典力学。胡克因为没有领会微积分这个工具，尝试运用平面几何，虽然方法巧妙，但是逐渐被人们遗忘了。后来《原理》卖的太好了，

力考虑，此时鸡蛋仅受两个全反力，F 与N 夹角为arctg μ，N 与y 轴夹角为α，若arctg μα>，则两全反力的合力始终指向x -方向，则鸡蛋不会滑出，筷子夹2arctg μ时，鸡蛋始终不会滑出．

【例14】 木箱重为G ，与地面间的动摩擦因数为μ，用

斜向上的力F 拉木箱使之沿水平地面匀速前进，如图所示，问角α为何值时拉力F 最小?这个最小值为多大?

F

α

【解析】这个题目可以讲解的非常精彩！

方法1三角函数公式法：

对木箱进行受力分析如图所示，由物体做匀速直线运动的平衡条件有：

cos N

F F αμ=………………①

sin N

F F

G α+=……………② ①②联立得：cos sin F F G αμαμ+=，G

μ F f F

α

F N

令tan μ?=（摩擦角）代入得：

tan sin tan sin cos cos()G G

F ???αα?α==

+- 当tan arc α?μ==时，F 有最小值min

2

sin 1F

G ?μ

==

+．

方法2二次方程法：

设这个力的水平分量为x

F ，竖直分量为y

F

则有：

222x y x y F N F N G F F F

μ?=??

+=??+=??由前两个方程消掉N 得到：

x y F G F μ=(-)

带入第三个方程后

我们得到关于y

F 的一元二次方程：

22

2

2()y

y

G F F F μ-+=化简得到：2

22222

(1)20

y y

F G F G F μμμ+-+-=

一定有解，则有：242

222

4(1)()0G G F μμμ?=4-+-≥

解得22

2

21G F μμ

≥+因此有min

2

1F μ=+

方法3二次函数法： 前面同方法2，得到2

2

2

2

2

2

(1)2y

y

F F

G F G μμμ=+-+把这个当

成关于y

F 的二次函数，显然它在2

2

2(1)

y b G F a μ

μ=-=+时候有极值

2

22

22222

min

22

24222222

2(1)2(1)(1)(1)(1)(1)

G G F G G G G G μμμμμμμμμμμμμ??=+-+ ?++??

-++==++

因此得到min

2

1F

μ

=

+

方法4微元扰动法：

在极值附近的一个角度α变化一个很小合适的角度α?一定可以满足()()F F ααα=+?

由于sin cos G

F μμαα=+所以只要分母保持不变即可 因此有

sin cos sin()cos()

sin cos sin cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin tan μααμααααμααμααμααααααμαααα

μα

+=+?++?+=?+?+?-??=?=

代入回原来的式子得到：min

2

1F

G

μ

μ

=

+

方法5矢量分析法：

把支持力和摩擦力合成成一个力，则这个力的大小未知，但是方向确定，和竖直方向成夹角

arctan ?μ=

因此原来的问题就转化成三力平衡问题

显然当支持力和摩擦力的合力与拉力互相垂直的时候拉力最小，并且最小值为：

min 2

sin 1G

F G μ?μ

==

+

由此可见，数学方法和物理方向相比起来，繁琐

?

G

min

F