5章_圆柱坐标系下的分离变量法(07.12.28)
5．圆柱坐标系下的分离变量法
5．1极坐标系下的拉普拉斯方程
考虑半径为a 的一个薄圆盘，已知圆盘内部无热源，边界温度给定，且温度分布(,)u x t 随时间演化已趋于稳定，试求此时的温度分布(,)u x y 。上述定解问题可表述为
20
u x y x y D ?=∈(,)(,) （5.1.1a ）
222
x y a u x y g x y x y +==∈∑(,)
(,)
(,) (5.1.1b)
其中，∑表示圆盘的边界，即222x y a +=，D 表示∑围成的内域。
对于二维平面场问题，即物理量的空间分布与z 无关，当物体边界为矩形时，采用直角坐标系比较方便。因为边界方程可方便地用直角坐标表示出来，如
0x =，x a =，0y =，y b =
但当物体边界为圆形时采用极坐标系可大为简化边界方程，从而给问题的求解带来方便。而在极坐标系下，拉普拉斯方程表示为
2
2
22
11()r r x x r ?
????=+??? （5.1.2） 从而（5.1.1）定解问题可改写成
222
110u u
r r D r x x r ??
???+=∈???()(,) (5.1.3a)
r a
u r g r ???==∈∑(,)
()
(,) (5.1.3b)
注意到定解问题（5.1.3）中的边界条件属于第Ⅰ类，通常称之为狄里克莱
()Dirichlet 问题，也称第I 边值问题。若（5.1.3）中的边界条件是第Ⅱ类的，则
称相应的定解问题为牛曼()Newman 问题，也称第Ⅱ边值条件。若（5.1.3）中的边界条件是第Ⅲ类的，则称相应的定解问题为罗宾()Robin 问题。此外，本题研究内域D 中的温度，通常称为内问题。实际应用中，可能遇到求圆形孔洞外围的
温度场或电势场分布问题，通常称为外问题。
现在回到求解形如（5.1.3）的定解问题上来。我们沿用在直角坐标系下求解偏微分方程定解问题的思想，设
(,)()()u r R r ??=Φ （5.1.4） 代入（5.1.3a ）得
222
110()d dR d r R r dr dr r ?
Φ
Φ+=? 两边同除以
2R r
Φ
（u R =Φ为非零解）得 22
1()r d dR d r R dr dr ?Φ
-=Φ? 由于等式左边是关于r 的函数，右边是关于?的函数，从而只能有 左边=右边=常数 设这个常数为λ-，则得到两个常微分方程
0()()?λ?''Φ+Φ= （5.1.5） 和
0(())()r rR r R r λ''-= （5.1.6a ）
或者
20()()()r R r rR r R r λ'''+-= （5.1.6b ）
如同在直角坐标系下求解偏微分方程定解问题一样，我们将首先构造与定解问题相应的特征值问题，通过求解特征值问题得到平方可积函数空间2L 中的一组完备正交函数系，再将解按完备正交函数系展开，最终得到级数形式的解表达式。 为此，首先考虑方程（5.1.6b ）附加特定边界条件构成特征值问题的可能性。方程（5.1.6b ）为2阶欧拉方程，定解条件需要2个，但(5.1.3)中仅提供1个。考虑到温度在D 内0r =处应为有限值，补充定解条件如下
0(,)u ?<+∞ (5.1.7) 从而可分离出
0()R <+∞ (5.1.8)
但从r a =处的边界条件中无法分离出关于()R r 的边界条件。从而无法由方程（5.1.6b ）构造特征值问题。现在转而考虑由方程（5.1.5）构造特征值问题。方程（5.1.5）是2阶常微分方程，其定解问题也需要2个，但（5.1.3）中并没有提供关于()?Φ的任何信息，但深入考虑本问题的特点后，应该有
2(,)(,)u r u r ??π=+ （5.1.9a ） 2(,)(,)u r u r ????π=+ （5.1.9b ） 因为(,)r ?和2(,)r ?π+表示同一点。形如（5.1.9）的条件称为周期性条件。有界性条件（5.1.7）和周期性条件（5.1.9）在原定解问题（5.1.3）中都没有被明确提出。但原定解问题（5.1.3）是关于r 和?的2阶偏微分方程定解问题，其定解条件应该有4个。除r a =处的边界条件外，还应该有3个定解条件。有界性条件（5.1.7）和周期性条件（5.1.9）正好是在原定解问题中没有被明确提出的3个定解条件，他们或者由问题的物理性质决定，或者由区域D 的几何性质决定。像这样由问题的物理性质决定，或者由区域D 的几何性质决定，而无需在定解问题中明确提出的边界条件，通常称为自然边界条件。自然边界条件是隐含在定解问题本身之中的边界条件。
由周期性条件（5.1.9）可进一步分离出
2()()??πΦ=Φ+ (5.1.10a) 2()()??π''Φ=Φ+ (5.1.10b) 它们与方程(5.1.5)一起构成特征值问题。方程(5.1.5)的通解为
()sin C D ?Φ=+ (5.1.11) 注意到(5.1.10)中()?Φ的周期为2π，故
012,,,=±±???
即特征值 2
012(,,,)n n λ==??? (5.1.12)
相应的非平凡解为 ()cos sin n n n C n D n ???Φ=+ (5.1.13) 由于cos n ?和sin n ?是线性无关的，所以特征值是2重简并的（除0λ=外），即
每一个特征值(1)n n λ≥对应有2个线性无关的特征函数123n n ?=???cos (,,,)和
123n n ?=???sin (,,,)。所有正交函数组成函数空间202(,)L π完备正交函数系。
{}{}1123n n n n ???Φ==???(),cos ,sin ,
(,,,)
现在将2n n λ=代入（5.1.6b ），求解欧拉()Euler 方程 2200r R r rR r n R r r a '''+-=<<()()()() （5.1.15）
（1） 当0n =时，
1
()()R r R r r
''=-' ln ()ln R r r c '=-+ 1()R r Dr -'=
00()ln R r A B r =+ （5.1.16） （2）当0n ≠时， 令t r e = 则
1
()()()dt R r R t R t dr r '''== 211
()(())(())[()()]d d R r R r R t R t R t dr dr r r '''''''===-
原欧拉方程（5.1.15）化成 20()()R t n R t ''-= 从而
()nt nt n n n n n n R t A e B e A r B r --=+=+ （5.1.17） 综合式（5.1.16）和（5.1.17）得欧拉方程（5.1.15）通解
()00ln 01
n n n
n n A B r
n R r A r B r
n -+=?=?+≥? （5.1.18）
将()n ?Φ和()n R r 代入（5.1.4）得
()()(),n n n u r R r ??=Φ （5.1.19）
由于给定方程（5.1.3a ）是线性齐次方程，满足叠加原理，故定解问题的解
可表示为
()()0
(,)(,)n n n n n u r u r R r ???∞
∞
====Φ∑∑
()()()''''
001ln 1cos sin n n n n n n n A B r A r B r C n D n ??∞
-==+?+++∑
()()()001
ln cos sin n n n n n n n n n A B r A r B r n C r D r n ??∞
--==+++++∑ （5.1.20）
其中，待定系数0A ,0B ,n A ，n B ，n C ，n D 由边界条件确定。
由0r =处的有界性条件知 0n B = ()0,1,2,n = （5.1.21） 0n D = ()1,2,n = （5.1.22）
再由r a =处的边界条件知
()01
1
cos sin n
n n n n n A A a n C a n g ???∞
∞
==++=∑∑ （5.1.23）
上式可看成是()g ?关于完备正交函数系(){}n ?Φ()0,1,2,n =的广义傅立叶展
开式从而
()20012A g d π
??π=?
()201cos n n A g n d a π
???π=?
()20
1sin n n C g n d a π
???π=?
对于温度场分布的狄里克莱外问题
()2,0u r ??=
,02)a r ?π<<+∞≤≤（ （5.1.24a ） ()(),r a u r g ??== ()02?π≤≤ (5.1.24b) 其求解过程与狄里克莱内问题类似。首先补充自然边界条件 1）同期性条件
()(),2,u r u r ?π?+= (5.1.25a) ()(),2,u r u r ???π?+= (5.1.25b)
2） 有界性条件，对于外问题，除r a =边界外，另一边界是r =+∞。一般应根据具体物理问题，对物理量u 在r =+∞处提出适当的边界条件，对于恒定温度分布问题。由于温度不可能无限升高，故可提有界性条件如下，
()lim ,r u r ?→∞
<+∞ （5.1.26）
其次求解特征值问题
()()()()()()''022???λ???π??π?Φ+Φ=?
Φ=Φ+??
Φ=Φ+? （5.1.27）
得特征值和特征函数
2n n λ= ()0,1,2,
n =
()cos sin n n n C n D n ???Φ=+ ()0,1,2,n =
再次，求解欧拉方程
()()()22'''0r R r rR r n R r +-= （5.1.28） 得
()00ln 01,2,
n n n
n n A B r
n R r A r B r
n -+=?=?+=
?
然后，利用线性叠加原理得到定解问题的级数形式解 ()()0(,)n n n u r R r ??∞
==Φ∑
()()001
1
ln cos sin n
n
n
n n n n
n n n A B r A r B r
n C r
D r n ??∞
∞
--===+++++∑∑
最后，利用边界条件确定待定系数0A ,0B ,n A ，n B ，n C ，n D 。由r =+∞处的边界条件（5.1.26）知 00B =
0n A = ()1,2,n = 0n C = ()1,2,n =
由r a =处的边界条件知
()200
1
2A g d π
??π=
?
()20
cos n
n a B g n d π
???π
=
?
()0,1,2,n = ()20
sin n
n a D g n d π
???π
=
?
()0,1,2,
n =
对于狄里克莱问题，不论是内问题还是外问题，在有界性条件，即
()0,u ?<+∞或(),u ?∞<+∞限制下，定解问题的解总是存在的，且是唯一的。但对于牛曼问题，解不一定存在，即使存在也不唯一。下面不加证明地给出牛曼问题的存在唯一性定理 定理5.1.1 对于牛曼问题，设 ()r a
u g n
?=?=?
则有
1）解存在的充分必要条件是 ()200g d π
??=?
2）解在相差一个任意常数条件下可认为是唯一的。
对于稳态温度场问题，解存在的充分必要条件表示：只有当从边界r a =流入的净热量为零时，所研究的区域内才能存在稳定的温度场。这个条件是显然的，试想如果有热量不断从边界流入或流出，则所研究的区域内的温度场不可能是恒定的。此外，当从边界r a =流入的净热量为零时，温度场演化终了的温度还与演化初始条件有关，因而温度场可以相差一个任意常熟。
5.2 柱坐标系下的亥姆霍斯方程
在圆柱坐标系下
22
2
22
211d d r r r dr r d dz
??????=++ ???? (5.2.1) 从而亥姆霍斯方程
()()2,,,,0u r z u r z ?λ??+= (5.2.2) 可表示成
22222
110du d u u
r u r r dr r d dz λ?????+
++= ???? (5.2.3) 下面讨论亥姆霍斯方程的求解，为此，设
()()()(),,u r z R r r Z z ?=Φ (5.2.4) 代入（5.2.3）得
222
22110d dR d d Z
r Z RZ R R Z r dr dr r d dz
λ?Φ??Φ++Φ+Φ= ??? (5.2.5) 由于所求解为非平凡解，故可在方程两边同除以R Z Φ得
22222
1110d dR d d Z
r rR dr dr r d Z dz
λ?Φ??+++= ?Φ?? (5.2..6) 等式左边第1项和第2项为关于r 和? 的函数，第3项为关于z 的函数，它们之和要等于常数，第三项必为常数。因此，可设
22
1d Z
Z dz μ=- (5.2.7) 即
()()''0Z z Z z μ+= (5.2.8) 将（5.2.7）代入（5.2.6）得
222
11()0d dR d r rR dr dr r d λμ?Φ
??+
+-= ?Φ?? （5.2.9） 两边同乘以2r 得
222
1()0r d dR d r r R dr dr d λμ?
Φ
??++-= ?Φ?? （5.2.10） 上式第一项与第三项之和为关于r 的函数，第二项为关于?的函数，它们之和为常数，第二项必为常数。从而可设
222
1d m d ?
Φ
=-Φ （5.2.11） 即
''2()()0m ??Φ+Φ= （5.2.12）
将（5.2.11）代入（5.2.10）得
222()0r d dR r k r m R dr dr ??+-= ???
2
()k λμ=- 即
22
()0d dR m r k r R dr dr r
??+-
= ??? 2()k λμ=- （5.2.13） 综合上述分离变量的结果得到三个分别关于z ，?和r 的常微分方程
''()()0Z z Z z μ+= （5.2.14a ）
''2()()0m ??Φ+Φ= （5.2.14b ）
22
()0d dR m r k r R dr dr r
??+-
= ??? （5.2.14c ） （5.2.14a ）和（5.2.14b ）是我们比较熟悉的亥姆霍斯方程。方程（5.2.14c ）称为m 阶贝塞尔（Bessel ）方程，它是一个二阶变系数常微分方程。作变量代换
x kr = （5.2.15a ）
()()()x
y x R r R k == （5.2.15b ）
则贝塞尔方程可改写成如下几种常用形式
2
()0d dy m x x y dx dx x
??+-
= ??? （5.2.16a ） 2
''
'
()()()()0m xy x y x x y x x
++-= （5.2.16b ）
2
''
'21()()(1)()0m y x y x y x x x
++-= （5.2.16c ）
2'''22()()()()0x y x xy x x m y x ++-= （5.2.16d ）
类似上述关于亥姆霍斯方程的变量分离过程，我们可以对拉普拉斯方程
2(,,)0u r z ??= （5.2.17）
进行变量分离，即设(,,)()()()u r z R r Z z ??=Φ，分离变量后得到
''()()0Z z Z z μ+= （5.2.18a ）
''2()()0m ??Φ+Φ= （5.2.18b ）
221()0d dR m r u R r dr dr r
??+--= ??? （5.2.18c ） 注意到在本题中（5.2.14c ）中的2k λμμ=-=-（因为对于拉普拉斯方程0λ=）。称（5.2.18c ）为虚变量的贝塞尔方程。作变量代换
x ikr = （5.2.19a ）
()()()x
y x R r R i k ==- （5.2.19b ）
则虚变量的贝塞尔方程可改写成
2
''
'21()()(1)()0m y x y x y x x x
++--= （5.2.20）
5.3贝塞尔方程的求解 考虑如下形式的贝塞尔方程
2
''
'21()()(1)()0v y x y x y x x x
++-= （5.3.1）
方程（5.3.1）是变系数的二阶常微分方程，一般应考虑用级数解法。由于0
x =分别是1
()p x x
=的一阶极点，是22()1v q x x =-的二阶极点。故解()y x 在0x =的邻
域内应为关于x 的罗朗级数，即
00
()(0)k k k
k
k k y x x
c x c x
c ρ
ρ
∞∞
+====≠∑∑ （5.3.2）
将（5.3.2）代入（5.3.1）得
2
2
1
2
20
()(1)()()0k k k k k k k k k x
c k k x
x c k x
x v c x ρρρρρρ∞
∞
∞
+-+-+===++-+++-=∑∑∑
化简后得
2220
()0k
k k
k k k c
k v x
c x ρρρ∞
∞
+++==??+-+=??∑∑ （5.3.3）
比较上式两边对应项的系数 1）0k =，x ρ的系数为
220()0c v ρ-=
因为00c ≠，故只能
22()0v ρ-= （5.3.4）
从而可解的
1,2v ρ=± （5.3.5） 称（5.3.4）为指标方程。一般地，由（5.3.2）可得到两个线性无关解
110()k k k y x c x ρ∞
+==∑
和
220
()k k k y x c x ρ∞
+==∑
从而得方程的通解
1122()()()y x c y x c y x =+ （5.3.6）
一般地，对2阶变系数微分方程，若从指标方程可得2个解，就称奇点0x =是方程的正则奇点。对于贝塞尔方程，显见0x =是正则奇点。 2) 1k =，1x ρ+的系数为
22
1(1)0c v ρ??+-=?? （5.3.7）
因为22(1)0v ρ+-≠，所以，只能
10c =
3）2k ≥，k x ρ+的系数为
22
2()0k k c k v c ρ-??+-+=??
由此，可得系数k c 的递推关系式
222
1
()k k c c k v ρ--=
??+-??
（5.3.8） 当k 为奇数时，由于10c =，可得0
(1,3,5)k c k ==
当k 为偶数时，所有的k c 都依赖于0c 。为使k c 的表达式尽量简单，通常取
01
2(1)
v c v =
Γ+ （5.3.9）
当ρ分别取1v ρ=和2v ρ=-时，得到方程的两个解
110()()k k v k y x c x J x ρ∞
+===∑
2020
(1)
(1)2(1)(1)
v k
k k
k v x
c x k k v ∞
=Γ+=-Γ+Γ++∑ ()20
1(1)0(1)(1)2k v
k k x v k k v +∞
=??
=-≥ ?
Γ+Γ++??∑ （5.3.10）
220
()()k k v k y x c x J x ρ∞
+-===∑
()20
1(1)0(1)(1)2k v
k k x v k k v -∞
=??
=-≥ ?
Γ+Γ+-??∑ （5.3.11）
称()v J x 为v 阶第一类贝塞尔函数；()v J x -为v -阶的第一类贝塞尔函数。 当v n ≠（整数）时，()v J x 和()v J x -是线性无关的。因为如果()v J x 和()v J x -线性相关，则对任一点x ，它们应该有相似的渐进性质，但当0x +→时，从级数的第一项看
1()
0(1)2v
v x J x v ??
→ ?Γ+??
1()
(1)2v
v x J x v --??
→∞ ?Γ-??
因此，()v J x 和()v J x -不是线性相关的。 当v n =（整数）时，
20
1()(1)(1)(1)2k n
k n k x J x k k n +∞
=??
=- ?
Γ+Γ++??∑ （5.3.12）
20
1()(1)(1)(1)2k n
k
n k x J x k k n -∞
-=??
=- ?
Γ+Γ+-??∑
''
'2'''01(1)()(1)(1)2k n
k n
k x k k n k n k +∞
+=??
=-=- ?
Γ++Γ+??
∑
()1()n
n J x =- （5.3.13）
可见()n J x 和()n J x -是线性相关的。上式令'k k n =-是考虑到，当10k n +-≤时，
1
0(1)
k n =Γ+- （5.3.14）
由于当v n ≠（整数）时，()v J x 和()v J x -是线性无关的，所以贝塞尔方程的通解可一般表示为
12()()()v v y x c J x c J x -=+ （5.3.15）
但当v n =（整数）时，由于()n J x 和()n J x -是线性相关的，我们还必须寻找一个与()n J x 线性无关的特解。可以证明，按如下形式定义的函数
cos()()()()()sin()()cos()()()()lim ()sin()v v v
v v v n
v n v J x J x Y x v n v Y x v J x J x Y x v n v ππππ--→-?
=≠??
=?
-?==??
（5.3.16） 不论v 是否为整数，都是与()v J x 线性无关的，且是满足贝塞尔方程的特解。通常称这个特解为第二类贝塞尔函数，或称牛曼函数。利用第二类贝塞尔函数可以将贝塞方程的通解表示为
()()()12v v y x c J x c Y x -=+ ()0v ≥ (5.3.17)
这里v 可以是整数，也可以不是整数。
如果将第Ⅰ类和第Ⅱ类贝塞尔函数按下列进行组合，即
()()()()1
v v v H x J x iY x =+ (5.3.18a)
()()()()2v v v H x J x iY x =- (5.3.18b) 则可得贝塞方程的复数形式特解，通常称为第Ⅲ类贝塞尔函数。又称汉克尔（Hamkel ）函数。由于汉克尔函数和第Ⅰ类以及第Ⅱ类贝塞尔函数都是线性无关的，()()1v H x 和()()2v H x 也是线性无关的，所以贝塞方程的通解可以写成
()()()()1
12v v y x c J x c H x =+ (5.3.19a)
或
()()()()212v v y x c J x c H x =+ (5.3.19b) ()()()()()1212v v y x c H x c H x =+ (5.3.19c) 第Ⅲ类贝塞尔函数具有明确的物理意义，这可以从远场渐进表达式进行分析 ()
(
)31242n i x n
H x O x ππ
??
--- ?????=
+ ??? (5.3.20a) ()
(
)32242n i x n
H x O x ππ??
---- ?????=
+ ???
(5.3.20b) 两边同乘以时间简谐因子i t e ω-得，
()
(
)()
124n i i x t i t
n
H x e
e ππωω??
-+
?
--?
?≈ (5.3.21a)
()24n i i kr t e
ππω??
-+ ?-??= ()
(
)()224n i i x t i t
n
H x e
e ππωω??
+ ?-+-??≈
()24n i i kr t e
ππω??+ ?-+??= (5.3.21b) 可见()()1n H kr 表示由线源向外以速度w
c k
=扩散传播的行波；而()()2n H kr 表示以速度w
c k =
向中心会聚的行波。向外传播的行波振幅以
i t e ω-组合后表示具有固定“波节”的驻波。
对于圆柱坐标系下的贝塞方程
220d dR v r k r R dr dr r ????+-= ? ????? (5.3.22) 考虑到(5.3.1) 是通过变量代换x kr =由(5.2.14c)得到的，因而(5.3.22)的通解可以表示为
()()()12v v R r c J kr c Y kr =+ (5.3.23) 对于虚变量的贝塞方程
()()()22110v y x y x y x x x ??
'''++--= ??? (5.3.24)
可作类似讨论并可得两个实数解
()()()()2011
2112v k
v v v k x x I x J ix i k k v ΓΓ∞
=??
??
== ?
?+++????
∑ (5.3.25) ()()()()20
11
2112v k
v v v
k x x I x J ix i k k v ΓΓ-∞
---=??
??
=
= ?
?++-????∑ (5.3.26) 通常称为±v 阶的第Ⅰ类虚变量贝塞尔函数。虚变量的贝塞尔函数与贝塞尔函数
具有类似的性质，即当v n =（整数）时，
()()n n I x I x -= (5.3.27)
所以二者是线性相关的，为此需要一个与()n I x 线性无关的特解。可以证明，按如下形式定义的函数
()()()()()
()()()()
22v v v v v v n I x I x v n sin v k x lim I x I x v n sin v ππππ--→?
-≠?
?????
=?
?-=??????
(5.3.28)
与()v I x 线性无关，并且满足虚变量的贝塞尔方程，从而虚变量贝塞尔方程的通解（实数解）可以表示为
()()()12v v y x c J x c K x -=+ ()0v ≥ (5.3.29) 对于圆柱坐标系下的虚变量贝塞方程
2222210d R dR v k R dr r dr r ??
++--= ??? (5.3.30) 其通解（实数解）可以表示为
()()()12v v R r c I kr c K kr =+ (5.3.31)
5.4贝塞尔函数的性质
在上节关于贝塞尔函数的级数表达式中出现了Γ函数，这里对Γ函数作一个简单的介绍。伽玛函数定义为
10()Re()0t z z e t dt
z ∞
--Γ=>?
考虑到
(1)t z z e t dt ∞
-Γ+=?
100t z
t z e t z e t dt ∞
∞
---??=-+???
10
0t z z e t dt ∞
--=+?
()z z =Γ
所以伽玛函数满足递推关系式
(1)()z z z Γ+=Γ
令1z =得
0(1)1t e dt ∞
-Γ==?
令()z n =整数得
(1)()n n n Γ+=Γ
(1)(1)n n n =-Γ-
(1)
321(1)n n =-???Γ
!n =
此外，伽玛函数与三角函数之间存在下列关系式
()(1)sin z z z
π
πΓΓ-= 或者
(1)(1)sin z
z z z
ππΓ+Γ-= 令12z =
得 1
()2
Γ= 从贝塞尔函数的级数表达式不难得到
()()1()n
n n J x J x -=- ()()1()n
n n J x J x -=-
这说明偶数阶的贝塞尔函数是偶函数；奇数阶的贝塞尔函数是奇函数。贝塞尔函数的许多性质都可以从它的级数表达式推出，但由于贝塞尔函数不是初等函数，许多性质的推导过程是非常繁琐的。这里我们重点在于总结贝塞尔函数各方面的性质，大多数情况下略去证明过程。 5.4.1贝塞尔函数的零点
贝塞尔函数在()0,+∞上的变化如图5.4.1和5.4.2所示。
图5.4.1
图5.4.2
使()0v J x =的x 值称为()v J x 的零点。从图5.4.1和图5.4.2可见，
()v J x 在()0,+∞内有无数个零点。不妨记()v J x 的第i 个零点为()(1,2,3)v i i μ=。关于()v J x 的零点及其分布的以下结论：
1) 对任意给定的实数v ，()v J x 有无穷多个零点；且当1v >-时，()v J x 的零点都是实数。
2) 当0v >时，(0)0v J =；当0v =时，(0)1v J =。
3) 除0x =外，()v J x 的零点都是1阶零点；当0v >时，0x =是()v J x 的v 阶零点。
4) 若()0v J α=，则()0v J α-=；即零点是以0x =点为中心关于y 轴对称分布的。
5) 在()v J x 的两个正零点之间，分别有且只有1个1()v J x -和1()v J x +的零点；即
()v J x 的零点与1()v J x -或1()v J x +的零点是相互间插的。
6) 对各阶贝塞尔函数的第1零点，存在关系式：
(0)(1)(2)
()(1)
000000n n μμμμμ+<<<<
<<<
至于贝塞尔函数零点的具体数值可查有关特殊函数的函数表。但当0x 时，可
利用渐进公式求出零点()v i μ的近似值。
())24
v v J x x ππ
≈
-- 当0x 时
故零点由下式决定
cos()024
v x ππ
-
-= 即
242
v x k πππ
π-
-=+ （k 为整数） 从而
()3(1)24
v i v i ππ
μπ=-+
+
， 且有
()()1v v i i μμπ+-≈。 5.4.2贝塞尔函数的渐进性质
()v J x 的渐进性质：
1) 在0x +→点处的渐进性质
1()0(0)2(1)
v v v
J x x v v =
→>Γ+
0()1J x =
2) 在x →∞处的渐进性质
32())()24
v v J x x o x ππ
-=--+
上式表明，当x →∞时，()v J x
速度衰减的近似周期振荡函数。 ()v Y x 的渐进性质
1) 在0x +→点处的渐进性质
02
()ln
(0)2
x
Y x x π
+≈
→-∞→
1()(0)sin (1)2v
v x Y x v v v π-??
≈-→-∞
> ?Γ-??
(1)!()2n
n n x Y x π--??
≈-→-∞ ???
2) 在x →+∞时的渐进性质
32())24v v Y x x o x ππ
-??=--+ ???
可见函数()v Y x 在x →+∞时，也是衰减振荡函数。
(1)()v H x 和(2)()v H x 的渐进性质
1) 在0x +→的渐进性质
(1)
2
()ln 2x H x i π≈；(1)
(1)!()2n
n n x H x i π--??≈- ???
(2)02
()ln 2x H x i π≈-；(2)
(1)!()2n
n n x H x i π--??≈ ???
2) 在x →+∞时的渐进性质
3(1)242
()v i x v H x o x ππ
??
--- ?????≈+ ???
3(2)
242()v i x v
H
x o x ππ??---- ???
??≈+ ???
对虚变量的贝塞尔函数有 1) 当0x →时的渐进性质
0(0)1I =
分离变量法
<<电磁场与电磁波>>读书报告 姓 名： 学 院： 学 号： 专 业： 题 目:分离变量法在求静态场的解的应用 成 绩： 二〇一四年四月 Xxx 工程学院 电子工程类
一．引言 分离变量法是在数学物理方法中应用最广泛的一种方法。在求解电磁场与电磁波的分布型问题和边值型问题有很重要的应用。分布型问题是指已知场源（电荷分布、电流分布）直接计算空间各点和位函数。而边值型问题是指已知空间某给定区域的场源分布和该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布。求解这两类问题可以归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。这类问题的解法，例如镜像法，分离变量法，复变函数法，格林函数法和有限差分法，都是很常用的解法。这里仅对在直角坐标系情况下的分离变量法作简单介绍。 二．内容 1.分离变量法的特点： 分离变量法是指把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法，属于解析法的一种。它要求要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合.在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。我们仅讨论直角坐标系中的分离变量法. 2.推导过程: 直角坐标系中的拉普拉斯方程： 222 222 0 x y z ??? ??? ++=??? 我们假设是三个函数的乘积,即
(,,)()()()x y z X x Y y Z z ?= 其中X 只是x 的函数,同时Y 是y 的函数Z 是z 的函数，将上式带入拉普拉斯方程，得 然后上式同时除以XYZ ，得 0X Y Z X Y Z '''''' ++= 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程： 即 α,β,γ为分离常数，都是待定常数，与边值有关但不能全为实数或全为虚数 。 由上式得2220αβγ++=，下面以X ”/X =α2式为例，说明X 的形式与α的关系 当α2=0时，则 当α2 <0时，令α=jk x (k x 为正实数)，则 或 当α2 >0时，令α=k x ，则 或 a ，b ，c ，d 为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似。 3解题步骤 1,2λα =±00 ()X x a x b =+12()x x jk x jk x X x b e b e -=+12()sin cos x x X x a k x a k x =+12()x x k x k x X x d e d e -=+12() s x x X x c hk x c chk x =+
第三章行波法与积分变换法教学提纲
第三章行波法与积分变换法 」 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 J 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 」 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 作如下代换; X at, X at 利用复合函数求导法则可得 同理可得 2 a 2(￡ 代入(1)可得 =0o u(x,t) F( ) G( ) F(X at) G(X at) 这里F,G 为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 F(X ) G(X ) (X ), aF (X ) aG (X ) (X ). X 2 u -2 )(」 2 2」 2 u ~2 先对求积分，再对 求积分，可得u(X,t)d 的一般形式 § 3.1 一维波动方程的达朗贝尔 (D 'alembert )公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题: 2 u 下 u 2 2 u a 2 ， X (X), u 0, (1) (X ),- (2) 2 ■4), (3)
由(3)第二式积分可得 1 X F(x) G(x) - 0 (t)dt C , a 0 利用(3)第一式可得 所以，我们有 1 1 x at u(x,t) [ (x at) (x at)] (t)dt 2 2a x at 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、 特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 AU xx 2BU xy CU yy DU x EU y Fu 0 称下常微分方程为其特征方程 A(dy)2 2Bdxdy C(dx)2 0。 由前面讨论知道，直线x at 常数为波动方程对应特征方程的积分曲线， 称为特征线。已知，左行波F(x at)在特征线x at G 上取值为常数值F(CJ ， 右行波G(x at)在特征线x at C 2上取值为常数值G(C 2)，且这两个值随着特 征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换( 2)为特征 变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、 公式的物理意义 由 U(x,t) F (x at) G(x at) 其中F(x at)表示一个沿x 轴负方向传播的行波，G(x at)表示一个沿x 轴正方 向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。 四、 依赖区间、决定区域、影响区域 F(x) 1 2(X ) 2a (t)dt G(x) (x) 1 x 2a o (t)dt (4)
圆柱坐标系下的分离变量法
5．圆柱坐标系下的分离变量法 5．1极坐标系下的拉普拉斯方程 考虑半径为a 的一个薄圆盘，已知圆盘内部无热源，边界温度给定，且温度分布(,)u x t 随时间演化已趋于稳定，试求此时的温度分布(,)u x y 。上述定解问题可表述为 20 u x y x y D ?=∈(,)(,) （5.1.1a ） 222 x y a u x y g x y x y +==∈∑(,) (,) (,) (5.1.1b) 其中，∑表示圆盘的边界，即222x y a +=，D 表示∑围成的内域。 对于二维平面场问题，即物理量的空间分布与z 无关，当物体边界为矩形时，采用直角坐标系比较方便。因为边界方程可方便地用直角坐标表示出来，如 0x =，x a =，0y =，y b = 但当物体边界为圆形时采用极坐标系可大为简化边界方程，从而给问题的求解带来方便。而在极坐标系下，拉普拉斯方程表示为 2 2 22 11()r r x x r ? ????=+??? （5.1.2） 从而（5.1.1）定解问题可改写成 222 110u u r r D r x x r ?? ???+=∈???()(,) (5.1.3a) r a u r g r ???==∈∑(,) () (,) (5.1.3b) 注意到定解问题（5.1.3）中的边界条件属于第Ⅰ类，通常称之为狄里克莱 ()Dirichlet 问题，也称第I 边值问题。若（5.1.3）中的边界条件是第Ⅱ类的，则 称相应的定解问题为牛曼()Newman 问题，也称第Ⅱ边值条件。若（5.1.3）中的边界条件是第Ⅲ类的，则称相应的定解问题为罗宾()Robin 问题。此外，本题研究内域
北邮数理方程课件第三章的分离变量法
第三章 分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析 例1 解下列定解问题： ???? ?????=??-==??=><
其中A ，B 为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得 00 A B Ae +=???-+=?? （8） 由（8）得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故不可能有0λ<。 (2) 当0λ=时，（6）式中方程的通解是 ()X x Ax B =+ 由边界条件得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故也不可能有0λ=。 （3）当 02 >=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为 x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件（6）中边界条件，得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ，故 0cos =l β，即 ),2,1,0(212Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程（3）的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是，所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得 0=n D
第二章 分离变量法(§2.1)
第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><
2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc
2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc
第二章 分离变量法 分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换 法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2．1.1 矩阵特征值问题 在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程： ,n Ax x x R λ=∈， （1.1） 的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（1.1）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得 1T AT D -=， （1.2） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（1.2）可写为如下形式 1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =， 或 , 1.i i i A T T i n λ=≤≤ （1.3） 上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出. 定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题 ,n Ax x x R λ=∈， 则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为n R 的一组基（完备性completeness ）. 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之. 为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤. 例1.1 设n b R ∈，求解线性方程组 Ax b =. 解 由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关，故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此
第二章 分离变量法(§2.2,§2.3)
§2.2 有限杆上的热传导 定解问题：一均匀细杆，长为l ，两端坐标为l x x == ,0。杆的侧面绝热，且在端点0=x 处温度为零，而在l x = 处杆的热量自由发散到周围温度为0的介质中。初始温度为)(x ?，求杆上的温度变化情况，即考虑下定解问题： .0 ),(u 0, ,0hu ,0u 0, l,0 ,0002 2 2l x x t x u t x x u a t u t l x x ≤≤=>=+??=><<=??-??===? 仍用分离变量法求解。此定解问题的边界条件为第三类边界条件。类似§2.1中步骤，设)()(),(t T x X t x u =，代入上面的方程可得 ?????=+=+?-==. 0)()(,0)()() ()()()( 2 ' '22'2 2'''x X x X t T a t T x T a x T x X x X βββ 从而可得通解 x B x A x X ββsin cos )(+= 由边界条件知 .0)()(,0)0('=+=l hX l X X 从而 ?? ???-=?=+=.tan 0sin cos , 0h l l h l A βββββ 令 αγ γαβγ=?- ==tan 1 ,hl l 上方程的解可以看作曲线γtan 1=y ，αγ=2y 交点的横坐标，显然他们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。用下符号表示其无穷多个正根 ,,21n γγγ 于是得到特征值问题的无穷个特征值
1,2,3...) (n ,2 2 2== l n n γβ 及相应的特征函数 x B x X n n n βsin )(= 再由方程0)()(22'=+t T a t T β， 可得 t a n n n e A t T 2 2)(β-=， 从而我们得到满足边界条件的一组特解 x e C t x u n t a n n n ββsin ),(2 2-= 由于方程和边界条件是齐次的，所以 ∑∞ =-=1 sin ),(2 2n n t a n x e C t x u n ββ 仍满足此方程和边界条件。 下面研究一下其是否满足初始条件。 )(sin 1 x x C n n n ?β=∑∞ = 可以证明}{sin x n β在区域[0,l]上具有正交性，即 ?≠=l m n xdx x 0 n m ,0sin sin ββ 证明： ) )((sin cos cos sin ))((2)sin()()sin()( ) (2)sin()(2)sin( ))cos()(cos(2 1sin sin 00=+--- =+-+---+=++- --=--+- =??m n m n m n n m n m m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n l m n m n l m n l l l l l l l l dx x x xdx x ββββββββββββββββββββββββββββββββββββ 完成。 令 ?=l n n n xdx x L 0 ,sin sin ββ 于是， ?= l n n n xdx x L C 0 sin )(1β ?
高中数学解题方法之分离变量法(含标准答案)
分离变量法 分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知. 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围： 定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立?[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式 ()()f x g a ≤恒成立?[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）. 定理2 不等式()()f x g a ≥存在解?[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式 ()()f x g a ≤存在解?[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）. 定理3 方程()()f x g a =有解?()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 再现性题组： 1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。 2、若f(x)=2 33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。 3、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2 ()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。 4、若方程42210x x a -+=有解，请求a 的取值范围 5、已知32 11132 y x ax x = -++是(0,)+∞上的单调递增函数，则a 的取值范围是（ ） .0A a <.22B a -≤≤.2C a <.2D a ≤ 6、求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 再现性题组答案： 1、解：原不等式4sin cos 25x x a ?+<-+当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max a+5>(4sinx+cos2x)?-，设f(x)=4sinx+cos2x 则 22f(x)= 4sinx+cos2x=2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 --- ∴a+5>3a<2-∴
第三章-行波法与积分变换法Word版
第三章 行波法与积分变换法 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2 2222222ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知
). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x += -?0)(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得 .2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx 称下常微分方程为其特征方程 0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。 由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、公式的物理意义 由 )()(),(at x G at x F t x u -++= 其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波， )(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。
第24讲分离变量法第4章介质中的电动力学4§4拉普拉斯方程分离变量法
第24讲 分离变量法 第4章 介质中的电动力学（4） §4.4 拉普拉斯方程 分离变量法 以上两节给出静电问题的一般公式，并说明静电学的基本问题式求解满足给定边界条件的泊松方程的解。只有在界面形状是比较简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视具体情况不同而有不同的解法。 在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的。例如电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的；又如电子光学系统的静电透镜内部，电场是由于分布于电极上的自由电荷决定的。这些问题的特点是自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其它自由电荷分布。因此，如果我们选择这些导体表面作为区域V 的边界，则在V 内部自由电荷密度 ρ = 0 ，因而泊松方程化为比较简单的拉普拉斯（Laplace ）方程 20??= （4.4---1） 产生这电场的电荷都分布于区域V 的边界上，它们的作用通过边界条件反映出来。因此，这类问题的解法是求拉普拉斯方程的满足边界条件的解。 （4.4---1）式的通解可以用分离变量法求出。先根据界面形状选择适当的坐标系，然后在该坐标系中由分离变量法解拉普拉斯方程。最常用的坐标系有球坐标系和柱坐标系。这里我们写出用球坐标系得出的通解形式（见附录Ⅱ）。球坐标用（R ，θ，φ）表示，R 为半径，θ为极角，φ为方位角。拉氏方程在球坐标系中的通解为 1 .(,,)()(cos )cos n m nm nm n n n m b R a R P m R ?θφθφ+=+ ∑ 1 ,()(cos )sin n m nm nm n n n m d c R P m R θφ+++ ∑ （4.4---2） 式中 a n m ,b n m ,c n m 和 d n m 为任意常数，在具体问题中有边界条件定出。 P m n （cos θ） 为缔和勒让德（Legendre ）函数。若该问题中具有对称轴，取此轴为
第2章 定解问题
第2章定解问题 1、何谓数理方程？按其描绘的物理过程，它可分为哪几类？ 2、何谓定解问题？它分为哪几类？试写出一维波动方程的Cauchy问题的数学表示。 3、何谓定解条件？它包括哪些内容？ 4、何谓边界条件？它分为哪几类？一个边界需用几个边界条件来描述？ 5、用数理方程来研究物理问题需要经历哪几个步骤？ 6、在静电场问题中，由介电常数分别为和的两种介质组成的系统的交界面S 处的 衔接条件有几个？应如何表示？ 7、如何导出物理模型的数理方程？在推导弦的横振动方程时采用了哪些近似？由小角度近似我们得到什么结论？ 8、热传导方程的扩散方程有何共同和不同之处？ 9、在杆的纵振动问题中，若端自由，这个边界条件如何写？你能从Hooke定律出发证明吗？ 10、在杆的导热问题中，若端绝热，这个边界条件该如何写？你能从一物理定律出 发证明吗？ 11、在热传导问题中，若热源密度不随时间而变化，则热传导方程会 发生怎样的变化？ 12、在弦的横振动问题中，若弦受到了一与速度成正比的阻力，该阻力对于弦的振动问题
是否起到了源的作用？若受到了一与位移成正比的回复力呢？ 第3章行波法 1、行波法的解题要领是什么？它适合用来求解哪一类定解问题？为什么？ 2、一维波动方程的通解为什么含有两个任意函数？他们各个有怎样的形式和怎样的物理意义？靠什么确定他们的具体函数形式？ 3、公式是用行波法求解弦的横振动问题时推得的，能否用公式求解如下定解问题？请说明原因？ 4、能否用公式求解如下定解问题？ 5、能否用行波法求解如下定解问题？ 6、你能否根据直角坐标系中的
导出球坐标中球对称情况下的的表达式 请记住这个结论： 7、何谓平均值法？你能通过引入球面的平均值，将三维的波动方程 化为关于平均值的一维方程吗？ 8、在Poisson 公式中，?若已知 9、对于定解问题 除了可用Poisson 公式求解外？你能否有其他的求解法？ 10、在弦的横振动方程单位质量的弦所受的外 力，若将则怎样的物理含意？它的量纲是什么？ 11、冲量原理的精神是什么？ 12、你能否用纯强迫振动的解来求解定解问题
高中数学解题方法之分离变量法(含答案)
七、分离变量法 分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知. 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围： 定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立?[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立?[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）. 定理2 不等式()()f x g a ≥存在解?[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a ≤存在解?[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）. 定理3 方程()()f x g a =有解?()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 再现性题组： 1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。 2、若f(x)=2 33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。 3、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2 ()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。 4、若方程42210x x a -+= 有解，请求a 的取值范围 5、已知32 11132 y x ax x = -++是(0,)+∞上的单调递增函数，则a 的取值范围是（ ） .0A a < .22B a -≤≤ .2C a < .2D a ≤ 6、求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 再现性题组答案： 1、解：原不等式4sin cos 25x x a ?+<-+当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max a+5>(4sinx+cos2x)?-，设f(x)=4sinx+cos2x 则 22f(x)= 4sinx+cos2x=2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 --- ∴a+5>3a<2-∴
(整理)数学物理方程第二章分离变量法word版
第五讲补充常微分方程求解相关知识。
第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 （第六讲） §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><
第14讲 图形与坐标
第五章拓展与提高 第15讲图形与坐标 一、学习目标 1.在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系. 2.在直角坐标系中，能将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化. 3.在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴（或以原点为对称中心），能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系. 4.在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一个边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的. 二、基础知识·轻松学 1．用坐标表示平移 在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）或（x-a，y）；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位，?可以得到对应点（x，?y+b）或（x，y-b）． 【精讲】点沿着x轴正方向或y轴正方向平移，相应的坐标增加；而点沿着负方向平移，则相应的坐标就减少． 2.由坐标的变化规律判断图形平移方向与平移距离 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向左（或向右）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，?相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．【精讲】图形是由无数个点组成的，所以图形的变化实质是由点和点的坐标变化引起的，我们知道：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，也可看出这个图形进行了怎样的平移。故着重理解：从点的坐标变化来分析点的平移方向和平移距离．关键是看相应对应点的坐标是增加还是减少，如果横
北邮数理方程课件 第三章 分离变量法
第三章 分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析 例1 解下列定解问题： ???? ?????=??-==??=><=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为
x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件（6）中边界条件，得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ，故 0cos =l β，即 ),2,1,0(21 2Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程（3）的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是，所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得 0=n D 3 32 02)12(322)12(sin )2(2ππ+- =+-=?n l xdx l n lx x l C l n 故所求的解为 x l n t l a n n l t x u n 2)12(sin 2)12(cos )12(132),(0 3 3 2 π ππ++?+- =∑∞ = 例2 演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手任其自由振动。设弦 长为l ，被拨开的点在弦长的0 1 n (0n 为正整数)处，拨开距离为h ，试求解弦的振动，即求解定解问题
工程力学第14讲答案详解
习题14-2图 习题14-3图 第14章 压杆的平衡稳定性分析与压杆设计 14－1 关于钢制细长压杆受力达到分叉载荷之后，还能不能继续承载，有如下四种答 案，试判断哪一种是正确的。 （A ）不能，因为载荷达到临界值时，屈曲位移将无限制地增加； （B ）能，压杆一直到折断时为止都有承载能力； （C ）能，只要横截面上的最大应力不超过一定限度； （D ）不能，因为超过分叉载荷后变形不再是弹性的。 正确答案是 C 。 14－2 图示a 、b 、c 、d 四桁架的几何尺寸、杆的横截面直径、材料、加力点及加力方向均相同。关于四桁架所能承受的最大外力F Pmax 有如下四种结论，试判断哪一种是正确的。 （A ）)d ()b ()c ()a (max P max P max P max P F F F F =<=； （B ）)d ()b ()c ()a (max P max P max P max P F F F F ===； （C ）)c ()b ()d ()a (max P max P max P max P F F F F =<=； （D ）)d ()c ()()a (max P max P max P max P F F b F F =<=。 正确答案是 A 。 14－3 图示四压杆均为圆截面直杆，杆长相同，且均为轴向加载。关于四者分叉载荷大小有四种解答，试判断哪一种是正确的（其中弹簧的刚度较大）。 （A ）)d ()c ()b ()a (Pcr Pcr Pcr Pcr F F F F <<<； （B ）)d ()c ()b ()a (Pcr Pcr Pcr Pcr F F F F >>>； （C ）)a ()d ()c ()b (Pcr Pcr Pcr Pcr F F F F >>>； （D ）)d ()c ()a ()b (Pcr Pcr Pcr Pcr F F F F >>>。 正确答案是 D 。 解：图（b ）上端有弹性支承，故其临界力比图(a)大； 图(c)下端不如图(a)刚性好，故图(c)临界力比图(a)小； 图(d)下端弹簧不如图(c)下端刚性好，故图(d)临界力比图(c)小。 14－4 一端固定、另一端弹簧侧向支承的压杆。若可采用欧拉公式2 2Pcr )/(πl EI F μ=，试确定其中长度系数的取值范围为
数学物理方程第三章行波法与积分变换法
第三章 行波法与积分变换法 (第十三讲 ) 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ?? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 222222 22))((,ηηξξ ηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2222222 2ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对求积分，再对求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 ). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x +=-?0 )(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得
.2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 例 求解柯西问题： ?????+∞≤≤-∞==+∞≤≤-∞>=-+==.,0,3,,0,03202 x u x u x y u u u y y y yy xy xx 解：其特征方程为 0)(32)(22=--dx dxdy dy 由此可得特征线方程为 d y x c y x =+=-3 因此作变换 ?? ?+=-=y x y x μξ, 3 从而可得 η ξ???u 2＝0 从而有 )()3(),(y x G y x F y x u ++-= 由初始条件可得 )()3(3)()3(' ' 2=+-=+x G x F x x G x F 所以有 C x G x F =-)(3)3(， 从而可得 C x x G C x x F +=-=4 3)(4 9)3(2 2
第二章 分离变量法
第二章 分离变量法 §2.1 有界弦的自由振动 为了了解什么是分离变量法以及使用分离变量法应该具备什么条件，我们选取两端固定的弦的自由振动问题为例，通过具体地求解逐步回答这些问题。 讨论两端固定的弦的自由振动，归结求解下列定解问题： 22222000,0,0 (2.1)0,0,0 (2.2)(),(),0 (2.3)x x l t t u u a x l t t x u u t u u x x x l t ?ψ====???=<<>?????==>????==≤≤??? 这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题，可以运用叠加原理。我们知道，在求解常系数线性齐次常微分方程的初值问题时，是先求出足够多个特解（它们能构成通解），再利用叠加原理作这些特解的线性组合，使满足初始条件。这就启发我们，要解问题（2.1～2.3），先寻求齐次方程（2.1）的满足齐次边界条件（2.2）的足够多个具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们作线性组合使满足初始条件（2.3）。 这种思想方法，还可以从物理模型得到启示。从物理学知道乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每种单音，振动时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间t ，即每个单音可以表示成
(,)()sin u x t A t x ω= 的形式，这种形式的特点是：u (x ,t )中的变量x 与t 被分离出来。 根据上面的分析，现在我们就试求方程（2.1）的分离变量形式 (,)()()u x t X x T t = 的非零解，并要求它满足齐次边界条件（2.2），式中X (x )，T （t ）分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的待定函数。 由(,)()()u x t X x T t =得 2222()(),()()u u X x T t X x T t x t ??''''==?? 代入方程（2.1）得 2()()()()X x T t a X x T t ''''= 或 2()()()() X x T t X x a T t ''''= 这个式子左端仅是x 的函数，右端仅是t 的函数，只有它们均为常数时才能相等。令此常数为-λ，则有 2()()()() X x T t X x a T t λ''''==- 这样我们得到两个常微分方程： 2()()0T t a T t λ''+= （2.4） ()()0X x X x λ''+= （2.5） 再利用边界条件（2.2），由于u (x ,t )＝X (x ) T （t ），故有 (0)()0,()()0X T t X l T t == 但T （t ）不恒等于零，因为如果T （t ）≡0，则u (x ,t )＝0，这种解称