高考选择题做法

高考数学二轮复习

专题十：选择题的解题方法与技巧

【重点知识回顾】

高考数学选择题占总分值的5

2

．

其解答特点是“四选一”，快速、准确、无误地选择好这个“一”是十分重要的．

选择题和其它题型相比，解题思路和方法有着一定的区别，产生这种现象的原因在于选择题有着与其它题型明显不同的特点：①立意新颖、构思精巧、迷惑性强、题材内容相关相近，真假难分；②技巧性高、灵活性大、概念性强、题材内容储蓄多变、解法奇特；③知识面广、跨度较大、切入点多、综合性强． 正因为这些特点，使得选择题还具有区别与其它题型的考查功能：①能在较大的知识范围内，实现对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查；②能比较确切地考查考生对概念、原理、性质、法则、定理和公式的掌握和理解情况；③在一定程度上，能有效地考查逻辑思维能力，运算能力、空间想象能力及灵活和综合地运用数学知识解决问题的能力．

【典型例题】 （一）直接法

直接从题目条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择、涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．

例1、关于函数2

1

)32(sin )(||2+-=x x x f ，看下面四个结论：

①)(x f 是奇函数；②当2007>x 时，2

1

)(>x f 恒成立；③)(x f 的最大

值是23；④)(x f 的最小值是2

1

-．其中正确结论的个数为：

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【解析】||||||2)3

2

(2cos 21121)32(22cos 121)32(sin )(x x x x x x x f --=+--=+-=，

∴)(x f 为偶函数，结论①错；对于结论②，当π1000=x 时，

01000sin ,20072=>πx ，

∴2

1)32(21)1000(1000<-=

ππf ，结论②错． 又∵12cos 1≤≤-x ，∴232cos 21121≤-≤x ，从而2

3

)32(2cos 211||<--x x ，

结论③错．

21)32(s i n )(||2

+-=x x x f 中，1)32(,0sin ||2-≥-≥x x ，∴2

1)(≥x f ，

等号当且仅当x=0时成立，可知结论④正确．

【题后反思】

直接法是解答选择题最常用的基本方法，低档选择题可用此法迅速求解，直接法运用的范围很广，只要运算正确必能得到正确的答案，提高直接法解选择题的能力，准确地把握中档题的“个性”，用简便方法巧解选择题，是建在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错． （二）排除法

排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论．

例2、直线0=+-b y ax 与圆02222=+-+by ax y x 的图象可能是：

【解析】由圆的方程知圆必过原点，∴排除A 、C 选项，圆心（a ，-b ）, 由B 、D 两图知0,0>->b a ．直线方程可化为b ax y +=，可知应选B ． 【题后反思】

用排除法解选择题的一般规律是：

（1）对于干扰支易于淘汰的选择题，可采用筛选法，能剔除几个就先剔除几个；

（2）允许使用题干中的部分条件淘汰选择支；

（3）如果选择支中存在等效命题，那么根据规定---答案唯一，等效命题应

该同时排除；

（4）如果选择支存在两个相反的，或互不相容的判断，那么其中至少有一个是假的；

（5）如果选择支之间存在包含关系，必须根据题意才能判定． （三）特例法

特例法也称特值法、特形法．

就是运用满足题设条件的某些特殊值、特殊关系或特殊图形对选项进行检验或推理，从而得到正确选项的方法，常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．

例3、设函数?????>≤-=-0

,0

,12)(21x x x x f x

，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围为：

A ．（-1，1）

B ．（+∞-,1）

C ．),0()2,(+∞--∞

D ．),1()1,(+∞--∞

【解析】∵122)21(<=

f ，∴2

1

不符合题意，∴排除选项A 、B 、C ，故应选D ．

例4、已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图像如图所示，则b 的取值范围是：

A ．)0,(-∞

B ．)1,0(

C ．（1，2）

D ．),2(+∞

【解析】设函数x x x x x x x f 23)2)(1()(23+-=--=

此时0,2,3,1==-==d c b a ． 【题后反思】

这类题目若是脚踏实地地求解，不仅运算量大，而且极易出错，而通过选择特殊点进行运算，既快又准，但要特别注意，所选的特殊值必须满足已知条件． （四）验证法

又叫代入法，就是将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断，即将各个选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案．

例5、在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意)(,2121x x x x ≠，

|||)()(|2121x x x f x f -<-恒成立”的只有：

A ．x

x f 1

)(=

B ．||)(x x f =

C ．x x f 2)(=

D ．2)(x x f =

【解析】当x

x f 1

)(=

时， 1|

|1

|||)()(|212112<=--x x x x x f x f ，所以

|||)()(|2121x x x f x f -<-恒成立， 故选A ．

例6、若圆)0(222>=+r r y x 上恰有相异两点到直线02534=+-y x 的距离等于1，则r 的取值范围是：

A ．[4，6]

B ．)6,4[

C ．]6,4(

D ．)6,4( 【解析】圆心到直线02534=+-y x 的距离为5，则当4=r 时，圆上只有一个点到直线的距离为1，当6=r 时，圆上有三个点到直线的距离等于1，故应选

D ．

【题后反思】

代入验证法适用于题设复杂、结论简单的选择题，这里选择把选项代入验证，若第一个恰好满足题意就没有必要继续验证了，大大提高了解题速度． （五）数形结合法

“数缺形时少直观，形少数时难入微”，对于一些具体几何背景的数学题，如能构造出与之相应的图形进行分析，则能在数形结合，以形助数中获得形象直观的解法．

例7、若函数))((R x x f y ∈=满足)()2(x f x f =+，且]1,1[-∈x 时，||)(x x f =，则函数))((R x x f y ∈=的图像与函数||log 3x y =的图像的交点个数为： A ．2 B ．3 C ．4 D ．无数个 【解析】由已知条件可做出函数)(x f 及||log 3x y = 的图像，如下图，由图像可得其交点的个数为4

故应选C ．

||x

例8、设函数?????>≤-=-0

,0,12)(21x x x x x f x ，若1)(0>x f 若1)(0>x f ，则0x 的取值

范围为：

A ．（-1，1）

B ．),0()2,(+∞--∞

C ．（+∞-,1）

D ．),1()1,(+∞--∞ 【解析】在同一直角坐标系中，做出函数)(x f 和直线x=1的图像，它们相交于（-1，1）和

（1，1）两点，则1)(0>x f ，得1100>-

严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，而是一种数形结合的解题策略，但它在解有关选择题时非常简便有效，不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则错误的图像反会导致错误的选择． （六）逻辑分析法

分析法就是根据结论的要求，通过对题干和选择支的关系进行观察分析、寻求充分条件，发现规律，从而做出正确判断的一种方法，分析法可分为定性分析法和定量分析法．

例9、若定义在区间（-1，0）内的函数)1(log )(2+=x x f a 满足0)(>x f ，则a 的取值范围是：

A ．)21,0(

B ．]21,0(

C ．),2

1

(+∞ D ．),0(+∞

【解析】要使0)(>x f 成立，只要2a 和x+1同时大于1或同时小于1成立，当)0,1(-∈x 时，)1,0(1∈+x ，则)1,0(2∈a ，故选A ．

例10、用n 个不同的实数n a a a a ,,,321 可得!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的矩阵，对第

i

行in i i i a a a a ,,,321

，记

in n

i i i i a a a a b )1(32321-++-+-= ， （n i ,,3,2,1 =）例如用1、2、3排数阵如图所示，由于此数阵中每一列各 数之和都是12，所以2412312212621-=?-?+-=+++b b b ，那么用1， 1 2 3

1 3 2

2 1 3

2 3 1

3 2 1

3 1 2

2，3，4，5形成的数阵中，=+++12021b b b

A ．-3600

B ．1800

C ．-1080

D ．-720

【解析】3=n 时，6!3=，每一列之和为12!2!3=?，

24)321(12621-=-+-?=+++b b b ，

5=n 时，6!5=，每一列之和为360!4!5=?，

1080)54321(36012021-=-+-+-?=+++b b b ，故选C ．

【题后反思】

分析法实际是一种综合法，它要求在解题的过程中必须保持和平的心态、仔细、认真的去分析、学习、掌握、验证学习的结果，再运用所学的知识解题，对考察学生的学习能力要求较高． （七）极端值法

从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变，应用极端值法解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，隆低难度，优化解题过程．

例11、对任意)2

,0(π

θ∈都有：

A ．)cos(cos cos )sin(sin θθθ<<

B ．)cos(cos cos )sin(sin θθθ>>

C ．θθθcos )cos(sin )sin(cos <<

D ．)cos(sin cos )sin(cos θθθ<< 【解析】当0→θ时，0)sin(sin →θ，1cos )cos(cos ,1cos →→θθ，故排除A 、B ， 当2

π

θ→

时，1cos )cos(sin →θ，0cos →θ，故排除C ，因此选D ．

例12、设ββααcos sin ,cos sin +=+=b a ，且4

0π

βα<

<<，则

A ．222222b a b b a a +<<+<

B ．222222b a b a b a +<

+<< C ．b b a b a a <+<+<222222 D ．2

22

222b a b a b a +<

<<+ 【解析】∵40πβα<<<，∵令4

,0π

βα→→，则23

2,2,122→+→→b a b a ， 易知：5.125.11<<<，故应选A ． 【题后反思】

有一类比较大小的问题，使用常规方法难以奏效（或过于繁杂），又无特殊值可取，在这种情况下，取极限往往会收到意想不到的效果． （八）估值法

由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程，因此可通过猜测、合情推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，避免“小题大做”．

例13、如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，

EF//AB ，23

=EF ，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为： A ．29 B ．5 C ．6 D ．2

15 【解析】由已知条件可知，EF//面ABCD ，则F 到平面ABCD

的距离为2，∴6233

12

=??=-ABCD F V ，而该多面体的体积必大于6，故选D ．

例14、已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是：

A ．916π

B ．38π

C ．π4

D ．9

64π

【解析】设球的半径为R ，ABC ?的外接圆半径3

3

2=

r ，则ππππ53

16

4422>=

≥=r R S 球，故选D ． 【题后反思】

有些问题，由于受条件限制，无法（有时也没有必要）进行精确的运算和判断，而又能依赖于估算，估算实质上是一种数字意义，它以正确的算理为基础，通过合理的观察、比较、判断、推理，从而做出正确的判断、估算、省去了很多推导过程和比较复杂的计算，节省了时间，从而显得快捷．其应用广泛，它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法． （九）割补法

“级割善补”是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题时间．

例15、一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一 球面上，则此球的表面积为：

A ．π3

B ．π4

C ．π33

D ．π6

【解析】如图，将正四面体ABCD 补成正方体，则正四面体、正方体的中心与其外接球的球心共一面，因为正四面体棱长为2，所以正方体棱长为1，从

A B

C D E F

A

B

C

D

而外接球半径2

3

=R ，故π3=球S ，选A ． 【题后反思】

“割”即化整为零，各个击破，将不易求解的问题，转化为易于求解的问题；“补”即代分散不集中，着眼整体，补成一个“规则图形”来解决问题，当我们遇到不规则的几何图形或几何体时，自然要想到“割补法”．

【模拟演练】

（1）已知βα,是锐角，且32π

βα=

+，则βα22cos cos +的取值范围是： A ．]2321[， B ．)2321[， C ．]4

3

21[， D ．)4321[，

（2）（2007，安徽高考）若},822|{2Z x x A x ∈<≤=-，},1|log ||{2R x x x B ∈>=，则A 交B 补中元素的个数为：

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

（3）（2007，山东高考）已知集合}1,1{-=M ，},4221

|{1Z x x N x ∈<<=+，

则=N M

A ．}1,1{-

B ．}1{-

C ．}0{

D ．}0,1{-

（4）过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是：

A ．x y 3=

B ．x y 3-=

C ．x y 33=

D ．x y 3

3

-= （5）如果n 是正偶数，则=+++n n n n

C C C 20 A ．n 2 B ．12-n C ．12+n

D ．12)1(-?-n n

（6）函数)0)(sin()(>+=ω?ωx M x f ，则区间[a ，b]上是增函数，且

M b f M a f =-=)(,)(，则函数)cos()(?ω+=x M x g 在[a ，b]上是：

A ．增函数

B ．减函数

C ．有最大值M

D ．有最小值

—M

（7）函数x x x f 2sin )23

sin(

)(+-=π

的最小正周期是：

A ．

2

π

B ．π

C ．2π

D ．4π （8）过点A （1，-1），B （-1，1）且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是： A ．4)1()3(22=++-y x B ．4)1()3(22=-++y x

C ．4)1()1(22=-+-y x

D ．4)1()1(22=+++y x

（9）定义在),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数)(x f ，在),0(+∞上为增函数，当0

>x 时，)(x f 的图像如下图所示，则不等式0)]()([<--x f x f x

A ．)3,0()0,3( -

B ．),3()3,(+∞--∞

C ．),3(]3,(+∞--∞

D ．),3()0,3(+∞-

（10）函数1|1|2+-=x y 的图像与函数x y 2=的图像交点的个数为： A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

（11）如下图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ??,均为正三角形，EF//AB ，EF=2，则该多面体的体积为： A ．32 B ．33 C ．34 D ．2

3

（12）如下图，直三棱柱ABC —A1B1C1的体积为V ，P 、 Q 分别为侧棱AA1、和CC1上的点，且AP=C1Q ，则四棱 锥B —A1PQC 的体积为： A ．

32V B ．3

V

C ．73V

D ．72V （13）如右图所示，在正方体AC1中，

E 为AD 的中点，O 为侧面AA1B1B 的中心，

F 为CC1上任意一点，则 异面直线OF 与BE 所成的角是：

A ．6π

B ．4π

C ．3π

D ．2

π

（14）要得到函数x y 2sin 2=的图像，只需把函数)6

cos()6

sin(4π

π

+

+=x x y 的

图像：

A

B

C

D E

F

A

B

C

C 1 B 1

A 1

P Q A

B

C

D

A 1

C 1 B 1

D 1 G H

F

O E

A ．向右平移

3π个单位 B ．向左平移3π

个单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向左平移6

π

个单位

（15）函数|log |2

1x y =的定义域为[a ，b]，值域为[0，2]，则区间[a ，b]的长度

b-a 的最小值是： A ．2 B ．23 C ．3 D ．4

3

（16）已知函数x x f x 2log )3

1

()(-=，正实数a ，b ，c 满足)()(0)(b f a f c f <<<，

若实数d 是函数)(x f 的一个零点，那么下列四个判断：①db ；③dc ，其中可能成立的个数为：

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

（17）设函数???≥--<+=1,141

,)1()(2x x x x x f ，则使得1)1()1(=-+-m f f 成立的m 的

取值为：

A ．10

B ．0，-1

C ．0，-2，10

D ．1，-1，11

（18）已知点P 是椭圆14

82

2=+y x 上的动点，F 1，F 2分别为椭圆的左右焦点，O 为坐标原点，则

|

|||

||||21OP PF PF -的取值范围是：

A ．]22,

0[ B ．]2,0[ C ．]2

2,21( D ．]2,0[ 答案：（1）D （2）C （3）B （4）C （5）B （6）C （7）B （8）C （9）A

（10）C （11）A （12）B （13）D （14）C （15）D （16）B （17）D （18）D