吉林大学2003级离散数学II试卷A

一．综合题(45分)

1.试举出分别满足以下各条件的群的例子：

1）G是无限群，除去单位元外，每个元素的周期都为0；整数加法群

2）G是无限群，G中每个元素的周期都有限；

3）G是无限群，G中除单位元外，既有周期有限的元素，也有周期为0的元素。非0复数构成的加法群

2.任意的群G中，方程 x2 = x 有几个解？

3.指数是2的子群是否一定是正规子群？是

4.试求四次对称群S4关于Klein四元群 H = {(1), (1 2) (3 4), (1 3)(2 4),

(1 4)(2 3)} 的指数，并写出包含(1 3)的H的左陪集和包含(1 2)的H的

右陪集。

5.具有如下定义的代数系统(G,*), c 不是群。

A.G={1,10}，*是模11的乘法；

B.G={1,3,4,5,9}，*是模11的乘法；

C.G=Q，*是普通的乘法；

D.G=Q，*是普通的加法。

6. 任何一个具有多个等幂元的半群，它 a 。

A. 不能构成群；

B. 不一定构成群；

C. 必能构成群；

D. 能构成交换群。

7.设G={1,5,7,11}，(G,*)为群，其中*为模12的乘法，则7的周期为多少？

(G,*)有几个真子群？2，4

8.确定n元置换

σ＝ 1 2 … n - 1 n

n n - 1 … 2 1 的奇偶性。

9.写出I/18I的所有理想。

10.R11中4/5等于多少？

11.循环群是否一定是交换群？G1是3元群，G1是否一定是交换群？G2是6元群，

G2是否一定是交换群？是，不一定，不一定

12.无零因子的有限环是否一定是体？

13.设a,b是群G的元素，a的周期为2，b的周期为3，且ab=ba，问ab的周

期是多少？

14.写出第72个分圆多项式。

15.写出GF(64)的全部子域。

16.设B是8元布尔代数，B有多少个子代数？ 5

17.给出所有的5元格（画出Hasse 图即可），并说明哪些是模格，哪些是分配

格，哪些是有余格。

18.在R5中用综合除法计算多项式x+2除3x5-2x4+4x3-5x+1的商式和余式。

19.写出布尔代数的Huntington公理。

二．(7分)令M是除去0，1以外的全体实数作成的集合，G为M的以下六个变换作成的集合：

σ1(x) = x , σ2(x) = 1/x , σ3(x) = 1－x , σ4(x) = 1/(1－x) , σ5(x) = (x －1)/x, σ6(x) = x/(x－1).

G在变换的乘法下是否作成群？如果不是，请给出原因，若是，给出以上每个元素

的逆元。

三．(5分)环R中，若乘法满足等幂律，证明：若|R| > 2，则R不是整区。四．(8分)设(R*, ×)是一切非零实数在数的乘法下作成的群，(R, +)是实数加法群，证明二者不可能同构。

五．(10分)已知在消去环R中，不为0的元素在加法下的周期相同，证明其周期或为0或为质数。

六．(10分)证明f(x) = x5+3x2+5在有理域R0上不可约.

七．(15分)构造一个8元域并写出运算表。