厦门大学线性代数期末考试试卷A (含答案)

一、填空题（每小题4分，共24分）

1．设四阶方阵234234(,,,), (,,,)A r r r B r r r αβ==，其中234,,,,r r r αβ均为四维列向量，且

||4, ||1A B ==-，则|2|A B +=

2．n 阶方阵A 满足2330A A E -+=，则1(4)A E -+=

3．向量组 1(1,3,5,1)T α=-，2(2,1,3,4)T α=--，3(5,1,1,7)T α=-和4(7,7,9,1)T α=的一个极大

无关组是 。

4．已知四元线性方程组Ax b =的三个解为123,,ξξξ，且1(1,2,3,4)T ξ=，23(3,5,7,9)T ξξ+=，

()3R A =，则方程组的通解是 。

5．设x z A y x z y ????

? ?

= ? ? ? ?????

，则A = 。

6．设二次型2222f x xy yz z =+-+，则其对应的矩阵A 的正特征值有 个。 二、单项选择题（每小题4分，共24分）

1．若行列式

100

12010001

x x x x

x x =，则x =( )。

A ．1；

B ．–1;

C ．1±;

D ．2±

2．设矩阵1112

12122212

n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ?? ? ?= ? ???，其中0,0, ,1,2,,i j a b i j n ≠≠=，则()R A 为（ ） A. 1； B ．2； C ．n ； D ．无法确定。

厦门大学《 线性代数 》课程试卷

＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业

主考教师：线性代数教学组 试卷类型：（A 卷）

3．向量组1234,,,αααα线性无关，则线性无关的是（ ）。

A ．12233441, , , αααααααα++++；

B ．12233441, , , αααααααα----；

C ．12233441, , , αααααααα+++-；

D ．12233441, , , αααααααα++--。

4. 设A 是n 阶方阵，且方程组0Ax =有无穷多组解，则方程组0T AA x =（ ）。 A ．有无穷多组解； B ．仅有零解；

C ．有有限组解；

D ．无解。

5．设A 是n 阶方阵，B 是A 经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则有（ ）。

A ．||||A

B =；

B ．||||A B ≠；

C ．若||0A =，则一定有||0B =；

D ．若||0A >，则一定有||0B >。

6．设1

1114

00011110000, 111100001

1110

000A B ????

?

?

? ?

==

?

?

?

?

????

，则A 与B （ ）

A ．合同且相似；

B ．合同但不相似；

C ．不合同但相似；

D ．不合同且不相似。

三、计算题（每小题10分，共40分）

1．已知矩阵A PQ =，其中()121T

P =，(2,1,2)Q =-，求矩阵A ，A 2，A 100。

2．设四元线性方程组（I ）：1224

0x x x x +=??-=?，又已知齐次方程组（II ）的通解为

12(0,1,1,0)(1,2,2,1)T T k k +-，

（1）求方程组（I ）的基础解系；

（2）问（I ）与（II ）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解。若没有，则说明理由。

3．设矩阵110010001A ?? ?

= ? ?-??

，矩阵B 满足*29A BA BA E =-，求矩阵B 。

4．设二次型22

212312

313(,,)222 (0)T f x x x X AX ax x x bx x b ==+-+>，其中二次型矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为12-。

（1）求a , b 的值；

（2）利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。

四、证明题（每小题6分，共12分）

1. 二维向量α在基1211,01αα????== ? ?????下的坐标为23??

???，求α，并证明α在基146β??= ???，213β-??= ?

-??下的坐标与其在12,αα下的坐标相同。

2. 已知A 、B 均为n 阶矩阵，且2A AB E -=，证明：()R AB BA A n -+=。

厦门大学《线代参考答案》课程试卷

主考教师：线性代数教学组 试卷类型：（A 卷）

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一、填空题

1．54；

2.

1

(7)31

E A -; 3. 124,,ααα;

4. (1,2,3,4)(1,1,1,1)T T k +；

5．001100010?? ?

? ???

；

6. 2.

二、单项选择题：

1．C; 2. A; 3. C;

4. A;

5. C;

6. A

三、计算题：

1．解：12122(2 1 2)4241212A PQ -???? ? ?==-=- ? ? ? ?-????，1(2 1 2)221QP ?? ?

=-= ? ???

。

2()22A PQ PQ P QP Q PQ A =?===.

1009999100212()()

()22424212A PQ PQ

PQ P QP QP QP Q A -??

?

=?===- ? ?-??

个PQ

。

2．解：（1）求（I ）的基础解系

（I ）的系数矩阵为 1100100101010101A ????

=→ ? ?--????

故（I ）的基础解系为：12(0,0,1,0),(1,1,0,1)T T ηη==-. （2）求（I ）与（II ）的非零公共解。 方法1 由（I ），（II ）的通解表达式相等，得

1234(0,1,1,0)(1,2,2,1)(0,0,1,0)(1,1,0,1)T T T T k k k k +-=+-。

即 123401010120101210001010k k k k -??????

? ? ?- ?

? ?= ? ? ?- ? ? ?-?????? 因 010110

1120101011210001101010000r -????

? ?-- ? ?

??→ ? ?-- ? ?-????

， 故上述方程组的解为(1,1,1,1)T k -，于是（I ），（II ）的所有非零公共解为(1,1,1,1),0k k -≠为任意常数。

方法2 把（II ）的通解代入方程组（I ），则有

21212220

20

k k k k k k -++=??

+-=?，得解12k k =-， 于是向量12222(0,1,1,0)(1,2,2,1)(0,1,1,0)(1,2,2,1)(1,1,1,1)T T k k k k k +-=-+-=-是方程组（I ）、（II ）的公共解，令2k k =，则上述方程组的所有非零公共解为(1,1,1,1)k -，其中k 为任意非零常数。

3．解：由于||10A =-≠，所以A 为可逆矩阵。又*||AA A E E ==-.把等式*29A BA BA E =-两边同时左乘A ，右乘1A -，得29B AB E -=-，即（2A +E ）B ＝9E 。

由于320

|2|03090001

A E +==-≠-，所以1(2)A E -+存在，故19(2)

B A E -=+。由

12100

039

32010010300100100

0300100100100

1r ?

?- ??? ? ? ???→ ? ? ?- ???- ?

???

得 1120391

(2)0

03001A E -??- ?

?

?+= ?

?- ?

???

，故320030009B -?? ?

= ? ?-??。

4．解：（1）二次型f 的矩阵为 002002a b A b ?? ?

= ? ?-??，设A 的特征值为(1,2,3)i i λ=，由题设，有

1232

1232(2)1,||4212,

a A a

b λλλλλλ++=++-=???==--=-?? 解得1,2(0)a b b ==>已知。

（2）由矩阵A 的特征多项式 21

0202

(2)(3)2

2

E A λλλλλλ---=

-=-+-+得A 的特征

值1232, 3.λλλ===-

对于122λλ==，由(2)0E A X -=,即

102102000000204000r --???? ? ???→ ? ?

? ?-????

，得基础解系12(2,0,1),(0,1,0).T T

ξξ== 对于33λ=-，由(3)0E A X --=，即

1104022050010201000r ?

? ?

--?? ? ?-??→ ? ?

? ?--?? ?

??得基础解系3(1,0,2)T

ξ=-. 由于123,,ξξξ已是正交向量组，所以只需单位化，由此得

(

)123,0,1,0,T T

T

ηηη===.

令矩阵 (

)1230

,,010

0P ηηη???

==

? ?，则P 为正交矩阵。

在正交变换X PY =下，二次型f 的标准形为222123223f y y y =+-。

四、证明题

1．证：（1）1221125(,)30133ααα????????

=== ? ??? ?????????。

（2）设α在基12,ββ下的坐标为12x x ??

???

，所以

()111222541,363x x x x αββ-??????

??=== ? ? ? ?-???

????? 1

124153152163364336x x ---????????????==-= ? ? ? ??? ?--?

??????????? 于是α在基12,ββ下的坐标与其在基12,αα下的坐标相同。 2．证：由题设A 2-AB=E ，即A(A-B) = E 于是A 与A-B 互为逆矩阵

故有(A-B)A = E 即A2 - BA=E

于是AB = BA

所以R(AB-BA+A) = n