8.2.2不等式的简单变形(一)
8.2.2不等式的简单变形（一）
一．[学习目标]
1.理解不等式的性质,掌握不等式的解法
2.培养学生的数感，渗透数形结合的思想.
二． [自学指导]
阅读课本43页——44页，
1，通过对不等式的解的情况的探索发现一元一次不等式的就有多少个？
2，什么叫不等式的解集？
3，什么叫不等式的解？
4，在数轴上表示不等式的解集。
三．学生自学 6分钟
四．自学效果检查
（一）学生总结，教师概括：1.一元一次不等式的解集有无数个，一般是在某个范围内的所有数。
2.一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集。
3.求不等式解集的过程，叫做解不等式。
4.不等式的解集可以在数轴上表示。大于方向向右，小于方向向左；大于和小于空心，大于或等于和小于或等于实心。
五.
（二）课本44页练习。
五当堂训练
（一）必做题
1．下列哪些是不等式x＋3 > 6的解？哪些不是？
－4，－2. 5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12
2.把下列解集在数轴上表示出来。
（1）x＞-2 （2）x＜2 （3）x≤3
（4）x≥4 （5）-2＜x＜4 （5）-2≤x≤4
（二）选做题
不等式的解集x＜3和 x≤3有什么不同？在数轴上表示它们是怎样区别的？分别在数轴上把这两个解集表示出来。
证明不等式的几种方法
证明不等式的几种方法 淮安市吴承恩中学 严永飞 223200 摘要：不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特. 关键词：不等式，公式法，构建模型法 前言 证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象，难懂，证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式 这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换，通过化简后使不等式变得简单，更好更快的解决证明问题. 例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证：)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥2 3 分析 如果先通分再去分母，则不等式将变得很复杂. 令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC . 欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+B A C +2≥23（*） 事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ), 而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-. （*）式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1). 令λ=21时,C B A +2+A C B +2+ B A C +2 ≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.) 例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数，且n n x x +1+n n y y +1+n n z z +1=1 求证：n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12-
基本不等式知识点归纳.
基本不等式知识点归纳 1．基本不等式2 b a a b +≤ (1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2 ab b a b a =+?= ②仅当b a =时， ab b a ≥+2取等号，即.2 b a ab b a =?=+ 2．几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3．算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +，几何平均数为a b ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)． (2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4 2 p (简记：和定积最大)． [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，x x y 1 +=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.2 5min = y [自测·牛刀小试] 1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81 D ．243 解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18.
不等式的简单变形教案
8.2.2 不等式的简单变形 教学目标： 1.知识与能力： 1．理解并掌握不等式的三条基本性质； 2．使学生会用不等式的基本性质将不等式变形. 2.过程与方法： 通过学生的探究讨论，培养学生的观察力和归纳的能力； 3.情感态度与价值观： 激发学生的表现欲和数学兴趣，培养学生的团队合作意识、荣誉意识。 教学重点: 掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3； 教学难点: 正确应用不等式的三条基本性质进行不等式的变形. 教学过程： 通过复习等式的基本性质，引入不等式的基本性质会是什么呢？ 问题探究一： 1 用不等号填空： （1）6 ___ 4 ；6 + 2 ___ 4 + 2 ； 6 – 2 ___ 4 - 2 （2）3 ___ 4 ；3 + 1 ___ 4 + 1 ； 3 - 3 ___ 4 - 3 2. 水果店的小王从水果批发市场购进100kg梨和84kg苹果. 在卖出a kg梨和a kg苹果后，又分别各购进了b kg的梨和苹果.请用“>”或“<”填空： 100 -a 84 -a 100 –a+b 84 –a+b 3. 自己任意写一个不等式，在它的两边同时加上或减去同一个数，看看不等关系有没有变化. 与同桌互相交流，你们发现了什么规律？ 不等式两边同加或减去相同的数或式子，不等式关系不变 结论：一般地，不等式具有以下性质： 不等式基本性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式），不等号的方向不变. 即，如果a>b，那么 a + c > b + c,且 a-c>b-c 例1 用“>”或“<”填空： （1）已知 a>b，则a+3 b+3 （2）已知 a
专题：基本不等式常见题型归纳(学生版)
专题：基本不等式 基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 三个不等式关系： （1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2 ，当且仅当a ＝b 时取等号． 上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系 【典例1】已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则 1 12 -+b a 的最小值为 . 练习：1．若实数满足，且，则的最小值为 ． 2.若实数,x y 满足1 33(0)2xy x x +=<< ，则313 x y +-的最小值为 ． 3.已知0,0,2a b c >>>，且2a b += ，则 2ac c c b ab +-+ 的最小值为 . 【典例2】已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y x ＋y 的最大值为 ． 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 变式：1.若,a b R +∈,且满足22 a b a b +=+,则a b +的最大值为_________. 2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 3.设R y x ∈,，142 2 =++xy y x ，则y x +2的最大值为_________ 4.已知正数a ，b 满足 19 5a b +=，则ab 的最小值为 ,x y 0x y >>22log log 1x y +=22 x y x y +-
基本不等式的变形及应用
基本不等式ab b a 22 2≥+的变式及应用 不等式ab b a 222≥+是课本中的一个定理，它是重要的基本不等式之一，对于它及它各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的几种常见的变式及应用 1、十种变式 ①222b a ab +≤； ②2 )2(b a ab +≤； ③2 )2(222b a b a +≤+ ； ④)(222b a b a +≤+ ⑤若0>b ，则b a b a -≥22 ； ⑥ ,,+∈R b a 则b a b a +≥+411 ⑦若ab b a R b a 4 )11(,,2≥ +∈+ ⑧若 ≠ab ，则 2 2 2)11(2111b a b a +≥+ 上述不等式中等号成立的充要条件均为： b a = ⑨若R b a R n m ∈∈+ ,,,，则n m b a n b m a ++≥+2 22)(（当且仅当bm an =时 等号成立） ⑩)(3)(2222c b a c b a ++≤++（当且仅当c b a ==时等号成立） 2、应用 例1、若+∈R c b a ,,，且2=++c b a ，求证：4111<+++++c b a 证法一：由变式①得21 111++≤ +? a a 即12 1+≤+a a
同理：121+≤ +b b ，12 1+≤+c c 因此 12111+≤+++++a c b a 41212≤++++c b 由于三个不等式中的等号不能同时成立，故 4111<+++++c b a 评论：本解法应用“2 2 2b a ab +≤ ”观察其左右两端可以 发现，对于某一字母左边是一次式，而右边是二次式，显然，这个变式具有升幂与降幂功能，本解法应用的是升幂功能。 证法二：由变式④得)11(211+++≤+++b a b a 同理： )11(211++≤++c c ∴≤ ++++++1111c b a )4(2)2(2)2(2+++≤++++c b a c b a 512<= 故结论成立 评论：本解法应用“)(222b a b a +≤+” ，这个变式的功能是将“根式合并”，将“离散型”要根式转化为统一根式，显然，对问题的求解起到了十分重要的作用。 证法三：由变式⑩得 1(3)111(2+≤+++++a c b a 15)11=++++c b 故4111<+++++c b a 即得结论
不等式的简单变形(定理公式课)
课题：8.3不等式的简单变形 课型：定理公式课主编: 王琳审核：编号： 课前反馈： 学习目标：1．通过实验探索发现并掌握不等式的三条基本性质； 2．能熟练的应用不等式的基本性质进行不等式的变形。 学习过程： 一．提出问题：猜想命题 探索１： (一）自主学习阶段 1、用“＞”，“＜”或“＝”填空： （1）7__4 （2）7+4__4+4 （3）7+（-3）__4+（-3） （4）7-9__4-9 （5）7+a__4+a (6)7-b__4-b 2、你发现了什么？请把你发现的规律用语言叙述出来。 （二）合作探究阶段 从中你能发现不等式的基本性质1_____________________________ __________________________________________________________ 探索2： 问题：如果不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数, 不等号的方向是否也不变呢？ (一）自主学习阶段 1 将不等式7＞4两边都乘以同一个数，比较所得数的大小，用“＞”，“＜”或“＝”填空： （1）7×3 ______4×3，（4）7×（－1）______4×（－1）， （2）7×2 ______4×2 ， (5)7×（－5）______4×（－5）， （3）7×4______ 4×4 (6)7×（－3）______4×（－3）， 2 你发现了什么？请把你发现的规律用语言叙述出来。 （二）合作探究阶段 从中你能发现不等式的基本性质2____________________________ _________________________________________________________ 不等式的基本性质3_____________________________________ _______________________________________________________ 二．认知理解： 不等式的两边都乘以（或同除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 与解方程类似，解不等式的过程，就是利用不等式的基本性质，将不等式进行适当的变形，得到x＞a 或x＜a 的形式。
不等式的基本性质--习题精选(一)(可编辑修改word版)
不等式的基本性质 习题精选（一） ★不等式的基本性质 1.不等式的基本性质1：如果a>b,那么a+c b+C' a —c __________ b — 不等式的基本性质2：如果a>b.井且CA O,那么ac_bc ? 不等式的基本性质3：如果a>b,并且c<0,那么ac be. 2?设avb,用y 或Q'填空. (1) a-1 b-h (2) a+1 __________ b+1； (3) 2a 2b ： (4) -2a ____ -2b ： a 5) -2 3?根据不等式的基本性质，用填空. (1)若 a-l>b-L 则 a b ： (2)若 a+3>b+3,则 a b ： (3〉若 2a>2b.则 a b ： (4)若一2a>-2b,则 a b. 4.若a>b, m<0, n>0.肘h 或填空. (1) a+m ___ b+ni ： (2) a+n b+n ： (3) m —a ni —b ： (4) an_______ bn ： a b a (5) m m - (6) n 下列说法不正确的是（） 若3>1),则 ac2 >bc- (cHO) B.若 a>b,则 b
A. 3b
不等式的简单变形教案
不等式的简单变形 教学目标： 1.知识与能力： 1．理解并掌握不等式的三条基本性质； 2．使学生会用不等式的基本性质将不等式变形. 2.过程与方法： 通过学生的探究讨论，培养学生的观察力和归纳的能力； 3.情感态度与价值观： 激发学生的表现欲和数学兴趣，培养学生的团队合作意识、荣誉意识。 ) 教学重点: 掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3； 教学难点: 正确应用不等式的三条基本性质进行不等式的变形. 教学过程： 通过复习等式的基本性质，引入不等式的基本性质会是什么呢 问题探究一： 1 用不等号填空： （1）6 ___ 4 ；6 + 2 ___ 4 + 2 ； 6 – 2 ___ 4 - 2 （2）3 ___ 4 ；3 + 1 ___ 4 + 1 ； 3 - 3 ___ 4 - 3 2. 水果店的小王从水果批发市场购进100kg梨和84kg苹果. 在卖出a kg梨和a kg苹果后，又分别各购进了b kg的梨和苹果.请用“>”或“<”填空： 、 100 -a 84 -a 100 –a+b 84 –a+b 3. 自己任意写一个不等式，在它的两边同时加上或减去同一个数，看看不等关系有没有变化. 与同桌互相交流，你们发现了什么规律 不等式两边同加或减去相同的数或式子，不等式关系不变 结论：一般地，不等式具有以下性质： 不等式基本性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式），不等号的方向不变. 即，如果a>b，那么 a + c > b + c,且a-c>b-c 例1 用“>”或“<”填空： （1）已知a>b，则a+3 b+3 — （2）已知a
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2)2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则 22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则22222 ()()()a b c d a c b d ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知 c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：2 2 2 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证：
《基本不等式及其变形》导学案
第9课时基本不等式及其变形 1.熟悉基本不等式的变形;并会用基本不等式及其变形来解题. 2了解基本不等式的推广,并会应用. 上一课时我们共同学习了基本不等式的基本概念以及利用基本不等式求最值,并了解了一正二定三相等四最值这些过程.基本不等式是一种重要的数学工具,是集合、函数、不等式、三角函数、数列等知识的综合交汇点,地位重要,这一讲我们将共同探究基本不等式及其变形的应用. 问题1:常见的基本不等式的变形 (1)x+≥2(x>0),x+≤-2(x<0); (2)+≥2(a,b同号),+≤-2(a,b异号); (3)a+b≥2,()2ab; (4)ab≤,()2≤,当且仅当a=b时取等号. 问题2:基本不等式的推广 已知a,b是正数,则有 (调和平均数)≤(几何平均数)≤(算术平均数)≤(平方平均数),当且仅当a=b时取等号. 问题3:基本不等式的推广的推导 ∵a,b是正数,∴≤=, 而≤,又a2+b2≥2ab, ∴2(a2+b2)≥(a+b)2,∴≤. 故≤≤≤.
问题4:若a,b,c∈R+,则≥,当且仅当a=b=c时等号成立,则关于n个正数a1,a2,a3,…,a n的基本不等式为:≥,当且仅当a1=a2=a3=…=a n时等号成立,其中叫作这n个数的,叫作这n个数的. 1.四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列,则(). A.> B.< C.= D.≤ 2.已知a>1,b>1,且lg a+lg b=6,则lg a·lg b的最大值为(). A.6 B.9 C.12 D.18 3.已知a,b为正实数,如果ab=36,那么a+b的最小值为;如果a+b=18,那么ab的最大值为. 4.已知a,b,c为两两不相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca. 利用基本不等式判断不等关系 若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是(写出所有正确命题的编号). ①ab≤1;②+≤;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤+≥2. 基本不等式在证明题中的应用 已知a,b,c都是正数,求证:++≥a+b+c.
基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点归纳 1基本不等式.ab空 2 (1) 基本不等式成立的条件： a . 0,b .0. (2) 等号成立的条件：当且仅当a =b时取等号. ［探究］1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当a = b时，乞_卫_ ab取等号，即a = b= 皂卫hJ ab. 2 2 ②仅当a二b时，-—丄」ab取等号，即 -—=.-；：ab = a =b. 2 2 2?几个重要的不等式 2 2 b a a b 丄2ab(a,b R); 2(ab 0). a b 2 2 a + b 2 a +b 2 a +b ab 臥)(a,b R);( ) (a,b R) 2 2 2 3?算术平均数与几何平均数 设a 0,b 0,则a,b的算术平均数为』~卫，几何平均数为,ab，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术 2 平均数不小于它的几何平均数. 4?利用基本不等式求最值问题 已知x 0, y - 0,则 (1) 如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x y有最小值是2「p.(简记：积定和最小). 2 (2) 如果和x y是定值p,,那么当且仅当x = y时，xy有最大值是—.(简记：和定积最大). ［探究］2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 1 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解?例如，y=x 在x_2时的最小值，利用单调 x 5 性，易知X = 2时丫皿山二. 2 ［自测?牛刀小试］ 1.已知m?0, n ? 0,且mn =81，则m ? n的最小值为() A. 18 B. 36 C. 81 D . 243 解析：选 A 因为n>0, n>0,所以m+ n>2 mn= 2 81 = 18.
2017考研数学证明题常见题型及解法一览表
证明题常见题型及解法一览表 一、定积分等式的证明（常用方法有：换元法，分部积分法，构造函数法，泰勒公式法等） Ⅰ 换元法—适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件的命题 思路提示：(1)依据定积分与积分变量无关的性质，改写等式一端的积分变量为u ； (2)作变量代换．(i)若等式一端的被积函数或其主要部分为f(x)，而另一端为 f[φ(u)]，则作代换：x=φ(u)； (ii)若等式一端为f(x)，另一端为f(u)，则所作代换依据等式 两端的积分限； (3)利用所作代换，由等式一端推导出另一端。 Ⅱ 分部积分法—适用于被积函数中含有f’(x)或变上限积分的命题 Ⅲ 构造辅助函数法—适用于证明在积分限中至少存在一点ξ或x 0，使等式成立的命题 思路提示：(1)将ξ或x 0改成x ， 移项使等式一端为零，则另一端即为所作的辅助函数F(x)或F’(x)； (2)验证F(x)满足介值定理或微分中值定理的条件； (3)由介值或微分中值定理，即可证得命题． Ⅳ 泰勒公式法—适用于被积函数f(x)具有二阶或二阶以上连续导数的命题 思路提示：(1)作辅助函数； x a F(x)=f(t)dt ∫（2）将F(x)在所需点处进行泰勒展开（一般是根据右边表达式确定展开点） ； （3）对泰勒余项作适用处理（一般是利用介值定理）。 二、定积分不等式的证明 下面根据被积函数的连续性、可导性、二阶和二阶以上可导性，分别给出证题的思路 Ⅰ 仅告知被积函数连续的命题的证法 思路提示：(1)作辅助函数F(x)； (2)求F(x)的导数F’(x)，并判别F(x)的单调性； (3)求F(x)在积分区间[a ，b]的端点值F(a)，F(b)，其中必有一个为“0”， 由第2条思路可推出F(b)>F(a)(或F(b) 应用基本不等式的八种变形技巧 基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种： 技巧一 加上一个数或减去一个数使和或积为定值 函数f (x )＝4 x －3 ＋x (x <3)的最大值是( ) A ．－4 B ．1 C ．5 D ．－1 【解析】 因为x <3，所以3－x >0，所以f (x )＝－??? ?4 3－x ＋（3－x ）＋3≤－ 2 43－x ·（3－x ）＋3＝－1.当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时等号成立，所以f (x )的最大值是－1. 【答案】 D 技巧二 平方后再使用基本不等式 一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值． 若x >0，y >0，且 2x 2＋ y 2 3 ＝8，求x 6＋2y 2的最大值． [思路点拨] 由于已知条件式中有关x ，y 的式子均为平方式，而所求式中x 是一次的，且根号下y 是二次的，因此考虑平方后求其最值． 【解】 (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 2????1＋y 2 3≤3·? ?? ??2x 2＋1＋y 2 322＝3×????922.当且仅当 2x 2＝1＋ y 23，即x ＝32，y ＝422时，等号成立．故x 6＋2y 2的最大值为9 2 3. 技巧三 展开后求最值 对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值． 已知a >0，b >0且a ＋b ＝2，求????1a ＋1????1b ＋1的最小值． [思路点拨] 由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值． 【解】 由题得????1a ＋1????1b ＋1＝1ab ＋1a ＋1b ＋1＝1ab ＋a ＋b ab ＋1＝3 ab ＋1， 因为a >0，b >0，a ＋b ＝2，所以2≥2ab ，所以ab ≤1，所以1 ab ≥1.所以????1a ＋1????1＋1b ≥4(当 第8章一元一次不等式 8.1 认识不等式 教学重、难点及教学突破 重点:不等式的概念和不等式的解的概念。 难点:对文字表述的数量关系能列出不等式。 教学突破:由于学生在以前已经对数量的大小关系和含数字的不等式有所了解，但还没有接触过含未知数的不等式，在学生分析问题的时候注意引入现实中大量存在的数量间的不等关系，研究它们的变化规律，使学生知道用不等式解决实际问题的方便之处。在本节的教学中能够在组织学生讨论的过程中适当地渗透变量的知识，让学生感受其中的函数思想，并引导学生发现不等式的解与方程的解之间的区别。在处理本节难点时指导学生练习有理数和代数式的知识，准确“译出”不等式。 教学过程： 一. 研究问题： 世纪公园的票价是:每人5元,一次购票满30张可少收1元.某班有27名少先队员去世公园进行活动.当领队王小华准备好了零钱到售票处买了27张票时,爱动脑的李敏同纪学喊住了王小华,提议买30张票.但有的同学不明白.明明只有27个人,买30张票,岂不浪费吗? 那么,究竟李敏的提议对不对呢?是不是真的浪费呢 二. 新课探究： 分析上面的问题:设有x人要进世纪公园,①若x≥30，应该如何买票? ②若x＜30, 则又该如何买票呢？ 结论：至少要有多少人进公园时，买30张票才合算? 概括：1、不等式的定义：表示不等关系的式子,叫做不等式.不等式用符号＞,＜,≥,≤. 2、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解. 3、不等式的分类：⑴恒不等式：-7<-5,3+4>1+4,a+2>a+1. ⑵条件不等式：x+3>6,a+2>3,y-3>-5. 三、基础训练。 例1、用不等式表示：⑴ a是正数；⑵ b不是负数；⑶ c是非负数；⑷ x 的平方是非负数；⑸ x的一半小于-1；⑹ y与4的和不小于３. 注：⑴不等式表示代数式之间的不相等关系，与方程表示相等关系相对应； ⑵研究不等关系列不等式的重点是抓关键词，弄清不等关系。 例2、用不等式表示：⑴ a与1的和是正数；⑵ x的2倍与y的3倍的差是非负数； ⑶ x的2倍与1的和大于—1；⑷a的一半与4的差的绝对值不小于a. 例3、当x=2时，不等式x-1＜2成立吗？当x=3呢？当x=4呢？ 注：⑴检验字母的值能否使不等式成立，只要代入不等式的左右两边，如果符合不等号所表示的关系，就成立，否则就不成立。⑵代入法是检验不等式的解的重要方法。 学生练习：课本P42练习1、2、3。 四、能力拓展 学校组织学生观看电影，某电影院票价每张12元，50人以上（含50人）的团体票可享受8折优惠，现有45名学生一起到电影院看电影，为享受8折优惠，必须按50人购团体票。 ⑴请问他们购买团体票是否比不打折而按45人购票便宜； ⑵若学生到该电影院人数不足50人，应至少有多少人买团体票比不打折而按实际人数购票便宜。 解：⑴按实际45人购票需付钱_________ 元，如果按50人购买团体票则需付钱50×12×８０％＝４８０元，所以购买团体票便宜。 ⑵设有x人到电影院观看电影，当x_____时，按实际人数买票______张，需付款_______元，而按团体票购票需付款________元，如果买团体票合算，那么应有不等式________________， 基本不等式a 2 b 2 2ab 的变式及应用 不等式a 2 b 2 2ab 是课本中的一个定理，它是重要的基本不等式之一，对于它及它 各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的几种 常见的变式及应用 1十种变式 2、应用 由于三个不等式中的等号不能同时成立，故 ■ a 1 .b 1 . c 1 4 a 2 b 2 评论：本解法应用“ ab ”观察其左右两端可以发现，对于某一字母左边是 2 一次式，而右边是二次式，显然，这个变式具有升幕与降幕功能，本解法应用的是升幕功 ①ab a 2 b 2 _ a b 2 ② ab ( )； 2 a b 、2 2 a b 2 ③（ ） ; 2 2 ⑤若b 0， 2 则a 2a b ; b 1 ⑦若a,b R ,( 1)2 4 a b ab 上述不等式中 等号成立的允要条件均为 ⑥a,b R ,则 1 1 4 a b a b ⑧若ab 0 ,则 1 2 a 1 b 2 a b b 2 (a b) (当且仅当an m n ⑩(a b c)2 3(a 2 b 2 c 2 （当且仅当a b c 时等号成立） 例 1、若 a,b,c R c 2，求证：.a 1 . b 1 c 1 4 证法一：由变式①得 即..a 1 HI 二 理 同b- 2 V C- 2 a- 2 4 C- 2 b- 2 2 ④ a b . 2(a 2 b 2) a 2 ⑨若 m, n R ,a,b R ，则 bm 时等号成立） 1 匕 止 因 证法二：由变式④得a 1 b 1 2(a 1 b 1) 同理：..c 1 1 . 2(c_1一1) .a 1 .b 1 、c 1 1 2(a b 2) . 2(c 2) .. 2(a b c 4) .12 5 故结论成立 评论：本解法应用“ a b J2(a2b2) ”这个变式的功能是将“根式合并”，将“离散型”要根式转化为统一根式，显然，对问题的求解起到了十分重要的作用。 证法三：由变式⑩得 ( a 1 . b 1 、c 1)23(a 1 b 1 c 1) 15 故.a 1 .. b 1 ... c 1 4 即得结论 评论：由基本不等式a b 2ab易产生2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca，两边 同时加上a2 b2 c2即得3(a2 b2 c2) (a b c)2，于是便有了变式⑩，本变式的功能可以将平方进行“分拆”与“合并”。本解法是将平方进行分拆，即由整体平方转化为个 整平方，从而有效的去掉了根号。 例2、设a,b,c R ，求证: a b .b . c Ja Vb Jc a 证明：由变式⑤得〒 v'b 2 . a , b，b =2勺b J c，厂2\i c Q a c a 三式相加即得：— Vb b c c a a、b 、、c 评论: 本解法来至于“若b a 2 0，则 b 2a b”这个变式将基本不等式转化成更为 灵活的形式，当分式的分子与分母出现平方与一次的关系时，立即可以使用，方便快捷。 2 2 例3、实数a,b满足(a 4) (b 3) 2，求a b的最大值与最小值 基本不等式知识点总结 向量不等式: 【注意】：ab 同向或有0 〔a b| |a| |b| > \\i\ ibii 〔a b ； ab 反向或有 0 \a b\ \a\ \b\> \\a\ \b\\ \a b\; lb 不共线 \\a\ \b\\ \a b\ \a\ \^\.(这些和实数集中类似) 代数不等式： a,b 同号或有 0 \a b\ \a\ \b\> |\a\ \b\ \a b\ ； a,b 异号或有 0 \a b\ \a\ \b\> |\a\ \b\ \a b\. 绝对值不等式： 同a 2 a^ w |aj |a 2| |a 3| 双向不等式：|a | b l w |a b w |a | |b (左边当ab w 0(> 0)时取得等号，右边当ab > 0(w 0)时取得等号.) 放缩不等式: ① a b 0, 1111 2 n n 1 n b 函数 f (x) ax 一(a 、b x 【说 明】: b 0,m 糖水的浓度问题） 【拓展】: 0, m 0, n 0,则 ② a,b,c b a d c ana b n b n 1 2Un ,n ⑤ In x w 1 x (x 0), e x > x 1 (x R). 1 y \ / （一 2 肩 \a H /I ■ 2 码 a ,n 1 , 0）图象及性质 ⑴函数f (x) ax a、b 0图象如图: ⑵函数f (x) ax - a. b 0性质: x ①值域: ,2 ,ab] [2.ab,)； ②单调递增区间：（:]，[ ,[ ）;单调递减区间：（0,,0). 重要不等式 基本不等式知识点总结 1、和积不等式：a,b a2b2> 2ab (当且仅当a b时取到“ ”）. 【变形】：①ab w『2&宀a2b2 2 （当a = b时，（芋） 2 , 2 a b 、ab) 2 【注意】: Jab w -------- (a,b R ) , ab w ( 2 a b 2 2) (a,b R) 2、均值不等式： 两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系, 即“平方平均*.若x 0,则x 》算术平均》几何平均》调和平均" 1 2（当且仅当x1时取 “=”； 0,则x 当且仅当x1时取“=”0,则 若ab o,则a 2 （当且仅当a -2 （当且仅当a b时取“=” b时取 “二”） b -2 （当且仅当a b时取“=” a 澜沧拉祜族自治县第一中学教案 课题：1.1.2基本不等式 一、教材分析：本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体. 二、教学目标： 1、知识与技能： （12 a b +≤ ,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义； （3）能够利用基本不等式求简单的最值。 2、过程与方法： （1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程； （2）体验数形结合思想。 3、情感、态度与价值观： （1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物； （2）体会多角度探索、解决问题。 三、教学重点： 应用数形结合的思想理解不等式ab b a 222≥+，并从不同角度探索不等式 2 a b +≤ 的证明过程； 通过简单的变形发现基本不等式在最值问题上的作用，并能够进行使用条件辨析及其简单运用。 四、教学难点：2 a b +≤使用限制条件 2 a b +≤等号成立条件 基本不等式在最值问题中的运用 五、教学准备 1、课时安排： 2课时 解一元一次不等式——不等式的变形（一） 一、教学目标：使学生通过自主探究，理解和掌握不等式的基本性质1、2、3，并会用不等式基本性质 将不等式变形 二、重点：运用不等式基本性质对不等式进行变形。 难点：不等式基本性质的应用。 三、预习内容：课本第58~60页，以及目标手册第62~64页的“当堂课内练习”。完成下列填空： 1、 不等式性质1：如果a ＞b ，那么____________,____________。即不等式的两边都加上（或减去）_________或__________，不等号的方向______。 2、 完成课本第59页的“试一试”，并填空： 不等式性质2：如果a ＞b ，并且c>0，那么ac____bc. 即：不等式两边都乘以（或除以）同一个_______，不等号方向______。 不等式性质3：如果a ＞b ，并且c<0，那么ac____bc. 即：不等式两边都乘以（或除以）同一个_______，不等号方向_______。 3、 解不等式的过程，就是将不等式变形成__________或_______的形式.并与解方程相比较： 4、 仿照课本第59页例1，第60页例2，完成第60页练习。 5、 完成目标手册第64页的“当堂课内练习”。 四、尝试练习一： 1、 方程2x=8的解有___个，不等式2x<8的解有___个. 2、 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，试用“＞”、“=”、“＜”填空。 （1） 3a____3b , 3b___3c. （2） a+b____a+c , a-b____c-b. a-b____a-c. （3） b a _____b c 3、 当a>0,b_____0时, ab>0 ; 当a<0 ,b___0时,ab<0 。 4、 在数-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4中选出适合下列不等式的数填空： （1）-5 专题函数常见题型归纳 三个不等式关系： （1）a ，b ∈R ，a 2 ＋b 2 ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ， a 2＋ b 2 2 ≤( a ＋b 2 )2 ，当且仅当a ＝b 时取等号． 上述三个不等关系揭示了a 2 ＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab (或ab ≤( a ＋b 2 )2 )，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系 【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知1＞＞b a 且 7log 3log 2=+a b b a ，则 1 12 -+b a 的最小值为 . 【解析】∵1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ∴32log 7log a a b b + =，解得1 log 2 a b =或 log 3a b =，∵1＞＞b a ∴1log 2a b = ，即2a b =．211 1111 a a b a +=-++-- 13≥=． 练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数满足，且，则的最小值为 ． 解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么==（x －y ）+≥2=4，当且仅当（x －y ）=，即x=+1，y=－1时等号成立，故的最小值为4． 2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数,x y 满足 1 33(0)2 xy x x +=<<，则313x y + -的最小值为 ． 3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则2021版新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习阅读与欣赏(一) 应用基本不等式的八种变形技巧
(完整版)一元一次不等式教案经典
基本不等式的变形及应用
基本不等式知识点归纳
1.1.2基本不等式 教案(优秀经典公开课比赛教案)
不等式的变形(一)
专题：基本不等式常见题型归纳