6中数教学案例赏析

第六章中数教学案例赏析

观察、学习优秀教师的课堂教学，既是一种美的享受，也是一种探索。通过案例学习、案例再评析，可以进一步感受数学教学设计时的思考及数学教学设计的多样性。

案例一：活动教学 ---在活动中“想”数学和“说”数学

——“折纸中的图形性质”教学案例研究

一、问题提出

追求“动手实践，自主探究与合作交流”为特征的学习方式已成为数学课堂改革的一大亮点，这为改变“边讲边问”、“精讲多练”的接受式教学方式提供了一条途径。我们观摩了许多公开课，可谓活动内容丰富，形式多样，学生热情高涨，课堂气氛活跃，充分展示了教师的创造性与学生的主体性。然而，表面上的“热闹”是否真正能体现数学学习的丰富内涵与精髓？有研究者指出不恰当地将娱乐活动形式引入数学课有可能

造成对数学概念的误解[1]、更为担忧“只看到师生之间的互动,但很难发现数学”[2]的教学在中国出现。如何在强调学生学习的主体性和积极参与的同时，保持对数学本质问题的高认知水平的探究，已引起许多学者的重视[3]。

基于上述思考，我们选择了“如何在实验操作中让学生体验数学发现过程，感悟数学思想方法和本质”作为我们“行动教育”[4]研究的一个主题。我们认为情境问题创设应该与学生的生活经验密切相关，同时包含丰富的数学内涵（内容和思想）和适当的探究空间。通过反复比较和思考,我们确定通过《折纸中的图形性质》来探究这一主题。我们选择这个课题是基于以下思考：

（1）数学活动应该是现实的、有趣的、富有挑战性的、与学生的生活经验相联系的。折纸活动是学生熟悉的生活情境，通过折纸来研究数学问题，发现数学性质，能引起学生探究问题、发现问题的求知欲望。

（2）数学活动应该有助于培养学生实验，观察，猜想和思维的能力。在几何学习中，用“操作”、“观察”、“猜想”、“分析”的手段去感悟几何图形的性质是学习几何的重要方法。折纸活动是一种有效的操作活动，学生可以通过自己动手操作来感悟图形的几何性质，运用图形运动去发现问题、分析问题。

（3）数学活动应该关注真实的活动。平时的教学中较多的还是把注意点集中在“观察”：观察几何图形，从中学习几何图形的性质，较少让学生处于一种真实的情境中进行操作，发现几何图形的性质。因此，让学生在真实的情境中操作，通过自身的努力，来体验知识的发生过程，对培养学生的数学素养极其重要。

二、课题实施

（一）教学目标：

知识：通过折纸活动从不同视角对已有知识（轴对称，直角三角形，直角三角形斜边上中线的性质等）进行解释，发现新知识（如中位线性质等）.

能力：

1、经历“操作——观察——猜想——说明”的学习过程，体验科学的思维方式，同时提高几何的图形语言、符号语言和文字语言的表达能力；

2、通过折纸活动感悟图形性质，获得数学猜想，并对猜想进行说理。

情感：通过动手操作，合作和交流学生获得属于他们自己的“命题”，体验数学发

现的成功，以及同伴交流和互助的喜悦。

（二）教学过程

1、用纸片折几何图形

教师通过提问“同学们，你们从小就会折纸，折纸与图形有什么关系？”来引入“折纸中的图形性质”，然后，组织了两个“热身”的折纸活动：

活动1：我们在日常生活中接触最多的纸张是长方形的，把一张纸折起一个角，就得到一个直角三角形（教师演示），那么，怎样用长方形纸片折出等腰三角形呢？请同学们折一下．

活动2：你能不能把一张直角三角形纸片也折成一个长方形呢？要求重叠部分只能有二层纸。

活动都是以小组形式进行的。当学生完成了折纸任务，教师要求学生将他们的各种折法用实物投影公开展示，并要求演示纸过程和说明理由。

完成了活动2，教师展开纸片，画出折痕，标上字母(如图1)，并提问“观察这个图形有什么特点？你有什么发现？”。

学生通过小组讨论后，在班上交流了他们的发现：

（板书）： （1）EF=GC=BG=21BC ，EG=FC=AF=21

AC ．

即，长方形的长是直角边AC 的一半，宽是直角边BC 的一半。

（2）连结EC ，折痕将△ABC （3）EC=21

AB

，∠A+∠B=90°。……

接着，教师指出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和直角三角形两锐角互余，这两条性质我们已经学习过，今天我们通过折纸得到进一步的验证。

2、折纸出猜想

教师进一步提问：在一般三角形中是否也有与上述结果（1）和（2）类似的发现？让我们通过折纸再来探究一下。教师让学生拿出一张一般三角形的纸片，问学生能否折成一个长方形？要求重叠部分只能有二层纸

学生通过折纸活动和小组交流发现了不同的折法,然后,教师要求他们在实物投影上演示折纸过程，并说明理由。

接着教师打开纸片、展平，画出所有折痕，并标上字母(如图2)，并提问：在这个图形中的线段之间，它们的位置关系、数量关系，你有什么发现？

（板书）：

（1）AE=EB=ED ，AF=FC=FD ，BG=GD ，DH=HC ，（2）EF ∥BC ，EG ∥AD ∥FH ；

（3）GH=BG+HC ，EG=21AD ，FH=21AD ，EF=21

BC 半”关系，教师追问“在什么条件下才能得到一条线段是另一条线段的一半？”。学生

发现有三种情况：（1）线段的中点；（2）直角三角形斜边上的中线；（3）三角形两

边的中点连线。

然后，教师将话锋一转：前两个性质我们已经学过，今天，我们通过折纸进一步证实了它们。我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线（扳书），那么，你们认为三角形的中位线有什么性质？

学生通过交流获得了一个共识（猜想）：三角形的中位线平行于第三边并且等于它图1 图2

的一半。

3、对猜想加以说明

教师接着说，“同学们，你们自己从折纸中发现了三角形中位线的性质这一猜想，很好。那么，怎样从折纸的过程来说明这个性质是正确的，关键是要说明什么问题？”有学生回答要说明“四边形EFHG 是长方形”，接着便展开的寻找证据，说明理由的讨论。最后，不仅说明了“四边形EFHG 是长方形”而且水到渠成地获得了“EF ∥BC ，并

且EF=21

BC ”。

教师兴奋地小结道：好．这样我们就学到了一条新的几何图形的性质，叫做三角形中位线性质，并对它进行了说明，以后我们还将对它作进一步的学习。

4、学生说收获

最后五分钟，先是学生谈收获、体会和困惑，然后，教师概括：通过动手操作发现图形性质，形成猜想并加以说明，这样可以获取新的知识。

5、布置作业： 课外延伸——对正方形折纸中发现的问题进行探究（提供如下作业单）

折正方形纸片 （1）正方形ABCD 的边AB 、AD 折至对角线AC ，折痕

AE 、AF ，连结EF ，观察并思考。

①图中有哪几个角是锐角？求出它们的度数分别是多

少？ ②图中线段之间存在哪些等量关系？

（2）AB 、AD 折至正方形内任意位置相合，折痕AE 、AF ，连结EF ，那么

①在刚才求得其度数的这些锐角中，有没有大小保持

不变的角？把它写出下来。

②刚才求得的线段之间仍保持等量关系的有没有？把

它写下来。

（3）请说明你发现的结论。 三、课例感悟

在《折纸中的图形性质》的教学设计与实施中，有许

多事件或片段给我们留下深刻印象，引起我们的反思：

1、情境化与数学化

数学学习应该建立在学生的数学“现实”之上，“与其说学数学，不如说学习数学化”[5]。学生的生活经验和已有的数学知识构成了学生的数学现实，成为新知识的生长点。折纸是学生喜闻乐见的生活情境和活动，如何在“折纸”活动中让学生亲历数学化过程：“操作——观察——猜想——说明”，这不仅改变数学学习的方式，改变学生对数学的观念，更为重要的是体验了许多数学思维方法：特殊到一般；变化中寻找不变性，以及科学发现的思维方式。在本节课中，从“把一个直角三角形纸片折成一个长方形”到“把一般三角形的纸片折成一个长方形”，学生发现了许多性质，并进一步引导学生从诸多关系中，提炼出“好”的关系（如，线段之间的倍半关系），并且找出这些“倍半”关系的条件，从而让学生感悟数学的分类思想：第一种情况条件是线段的中点；第二种情况条件是直角三角形斜边的中点；第三种情况条件是三角形两边的中点连线。前二种情况是学生已学过的数学知识，而第三种情况是学生将探究的数学猜想。引出了这个新的学习对象“中位线”，并且发现了它的性质（猜想），而且对这个新对象特点进行不同视角的描述和解释：图形、数学语言和自然语言，并进一步去寻找猜想的“证

据”（说理）。这种将“做”中学的知识“说”出来，是将默会知识显性化，是一种更

高形式的学习[6]，展示了数学化的过程。在布置课外作业时，设计了一个正方形的折纸活动，对课内折纸中发现的问题延伸到课外。

2、问题情境既是“脚手架”又是“催化剂”

数学情境或活动应该促进学生在自主探索的过程中真正理解和掌握数学知识技能、数学思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验。传统教学中的许多问题情境，仅仅作为引入新知识的“脚手架”或“拐杖”，而没有在新知识的发生、发展过程中发挥实质性的作用。我们在设计活动时，考虑到活动之间的层次性，使这些活动贯通在一起，在整个探究过程中发挥作用。本案例设计了这三个环节：

第一环节：把直角三角形折成长方形，有什么发现？

第二环节：一般三角形的纸片折成一个长方形，又有什么发现？

第三环节：对猜想进行说明。

从特殊的直角三角形折长方形到一般三角形折长方形，折纸的方法本质上是一致的，第一环节是为第二环节准备的。通过这两个活动，学生从“特殊”到“一般”来观察、发现三角形中的折痕与原来边之间的一些数学关系（数量与位置）。而第三环节，要求学生将“做”出来的发现（猜想），“说”明白，这有意识地将学生的思维水平从“实验几何”向“论证几何”过渡（有条理的说明），追求“动手做”、“动脑想”和“动嘴说”并重。可以说，这些活动是整个学习过程的“催化剂”。

3、课堂教学资源的开发

一个富有趣味和挑战性的问题情境，既能激发学生学习的动机，也能为学生自主、合作学习提供平台。在活动的展开过程中，学生在课堂中发表的观点（既使是错误的）也应该得到尊重，成为进一步学习的资源。如在本节课中，当学生从一般三角形折长方形时，出现了这样一个情况：

师：哪一位同学向全班同学说明如何折长方形？

生1：“（边演示边说明）将三角形一个顶点向下翻折使它落在对边上，折痕与第三边保持平行，然后把另外两个三角形的顶点翻折，使三角形的三个顶点重合，得到长方形。

师：对他的折法其他同学有没有疑问？

生2：顶点到什么位置才能保持折痕与对边平行？

师：很好，这个点如何确定呢？你是怎样折的？

生2：先折一条边上的高，然后沿着高对折，使三角形的顶点与垂足重合，然后把另外两个三角形的顶点翻折，使三角形的三个顶点重合，得到长方形。

在上述的片段中，学生通过质疑和析疑，进行生生对话，获得了问题的解决。因此，教师在课堂上倾听学生的声音，根据学生的问题或思路进行“借题发挥”，能够有效地鼓励学生相互启发。

4、自主评价，反思性学习。

学生自主评价是数学教学过程中极为重要的环节，我们应给为学生创造更多的机会来进行反思和发表他们自己的观点。在课的最后几分钟，教师要求学生交流本节课中的思考、收获和疑惑。学生发表了如下一些看法：

生1：通过折纸可以折出一些几何图形，发现一些数学结论，也可以验证性质，并且熟悉一些几何图形的性质。

生2：折纸是一种纸上的操作，是否可以作为几何的论证方法？

生3：折纸可以验证一些学过的性质，为证明性质可以提供思路。

在课后的学生访谈中，学生还谈到：“一说起数学，我总是不由自主地将它和‘抽象’、‘枯燥’联系起来，我挺害怕几何，看到几何图形便会条件反射似的头痛。可是，经过这节折纸课，原来学习几何可以这么有趣，在折纸过程中，发现一些性质，小时候的‘折飞机’也派上了大用场！想不到生活中处处都有几何。”

通过学生的自主评价，可以使学生学会归纳和反思，同时也能使学生的情感体验得以强化，改变了对数学的看法，增强学习数学的信心，特别难能可贵的是学生虽然喜欢这种“折”出来的图形性质，但是对“操作”性说理是否可靠（算不算证明）提出质疑，这为进一步的演绎证明作了铺垫。

四、讨论

在这一案例开发与实施过程中，我们面临许多挑战，对下列问题有待于进一步讨论：数学证明与直观说明

初中几何教学经历实验几何和论证几何这两个阶段。如何实现这两个水平的平滑过渡是提高初中几何教学质量的关键所在。本案例通过折纸来说明猜想的正确性，以替代传统的逻辑证明，真如学生担心那样：操作得出来的“证明”，算不算“几何证明”？西方文献指出“证明的作用远比传统意义上的严格和逻辑的证明要丰富的多，它应该包括确认、解释和理解等等”，论证至少可分为两类：一种是数学证明，是指使用几何性质或定理，代数运算等来演绎和逻辑地证明定理的正确性。另一类是验证或确认，是指使用某些证据（如解决拼图游戏或演示特殊例子）来验证定理的正确性。比较香港和上海两地的数学课堂，发现：“香港教师重视直观确认。而上海教师都成功地介绍至少一种数学证明，四分之三多的教师介绍了两种以上的数学证明”[7]。上述研究提供了一种对证明重新审视的角度，我们的课程和课堂中应该如何处理证明“严密性”的度是值得认真思考的问题。

2、教学形式的开放性与数学本质的不变性

提倡数学课堂教学方法、教学手段、教学评价等方面的开放性与保持教学中对数学思想及本质问题的追求是一对很有挑战性的矛盾。这一方面要求教师要有对学科知识的深刻理解，另一个方面又要求教师对教学法知识的熟练掌握。这对我们教师的专业发展提出了更高的要求。这需要教师不断地学习，不断地反思，在“能力极限边缘工作”[8]，追求卓越。

案例二、生成式的数学概念教学

---“众数、中位数”探究教学课例

一、研究的背景

1．中美数学教学的一些基本特征

20世纪80年代以来，中国的数学教学基本上以“接受式”为主，后来“启发式”有所发展，近来人们认识到“活动式”教学的重要性。而美国的数学教学一贯重视让学生自主探索和自主发现，对学习过程的体验[1]。下面，我们以“众数、中位数”教学为例说明中美两种不同理念下的教学设计。

2．“众数、中位数”的两种教学设计

中国的一种“众数、中位数”[2]设计过程为：（1）创设情景、提出问题；（2）合作讨论、探索新知；（3）理性概括、纳入系统；（4）指导应用、鼓励创新：（5）归纳小结、反思提高。而美国的一种“众数、中位数”[3]设计为：（1）提供开放性活动的任务工作单；（2）探讨“发现”的方法与规律；（3）组织探究过程；（4）实施探究任务。比较上述两种设计，我们发现他们之间的一些差异（如表一所示）。

表一中美对“众数、中位数”的两种教学设计之比较

3．教学内容的考虑

教学目标

（1）从生活故事中产生问题，在遭遇问题过程中自主发现疑问，产生渴望建立新概念的要求，借此培养学生发现问题的探索习惯与质疑事件的敏锐性；

（2）引导学生建立新概念，在交流讨论中领悟概念的内涵与外延，通过合作探究来建构概念，培养学生的交流表达能力；

（3）回归生活实践，解决实际问题，把知识内化为一种能力。

（4）营造数学课堂教学中平等对话、和谐互动的氛围。渗透建构主义理念和归纳猜想的数学思想方法。帮助学生树立全面发展、学科相互借鉴和相互促进的意识，养成科学思维的习惯。

教学内容地位分析与重难点解读

众数、中位数与平均数都是描述一组数据的集中趋势的统计特征量。面对描述某个对象或某件事情的一组数据，可以利用这几个基本概念帮助学生学会用数据说话。平均数的概念在学生头脑中已有较深的印象和基本认识，不再讲解，本节课的重点在于众数与中位数的求法与应用；众数与中位数概念的形成与定义既是重点又是难点。如果教师开门见山给出定义，既不利于学生主动探索知识能力的培养，也不利于学生理解数学与生活的关系，误解成数学概念是天上掉下的馅饼。中学生学习数学重要的是能够理解“数学源于生活，又反作用于生活”，学生建构概念时能够用他们自己的语言表述科学概念的含义，不求遣词的生动，只求表达的准确和易于理解。因此，(1)根据学生的认知特点，笔者将概念解读为以下两个说法：

1°众数是代表大多数的数，即重复次数最多的数据；2°按大小排列后的一组数据居正中的一个数据或两个数据的平均数来表示中位数。

二、教学设计

我们追求一种有意义的活动式学习，主动建构，进行必要地变式训练，重过程亦重获得。我们主张课堂教学应“以学生为本”，以促进学生的自主发现、自主研究、自主发展作为出发点而实施探究活动；以“教师组织教学是为了有利于学生有意义的活动式学习、主动积极建构”而实施合作学习；以有效提高学习质量为归宿点而进行变式训练。我们以如下的想法作为我们的设计支柱。

1、创设问题情景，揭示数学概念来源

教师为了激起学生的内驱力，最有效的方法就是“重视教学与现实生活的联系”（顾泠沅《面向21世纪上海市中小学数学学科教育改革行动纲领》），即创设问题情景，

使学生引起认知冲突，直面数学困惑，置身于渴望解决问题的情境之中。为此我们设计了“广告策划员的工资该定为多少”的问题情景，问题的解决转化数学问题的争论：学生用已有的知识直接解决问题存在争议，用创造性的知识解决问题又存在疑问，这激起

为保护和鼓励学生的个人能动性并提高课堂效率，我们要求学生自主或小组合作学习，利用工作表推导出“众数、中位数”意义。从而在某种程度上利用以前的学习，对新信息进行精制，并与其他信息关联起来，以便在保持简单信息的同时，理解复杂信息；学生清晰地认识到了自己的工作目标，就可以形成与获得所希望的成果相应的预期—从一组数集猜想，利用别的数集验证或纠正猜想，使合作学习取得成功。由此让学生熟悉归纳猜想的数学思想方法，体验克服困难的兴奋与团结协作的价值。我们提供的工作单如下：

3

为确保授课的完整性，我们在鼓励学生从情境中发现数学概念，经过探究明白了数学概念的本质之后，再回到问题情境之中，解决问题。为了巩固学习成果和检验迁移水平，我们将情境改造，形成“貌似神非”和“貌非神是”的新问题，加强变式训练。训

“二期课改”强调中学各学科要有机整合。我们用录像片断呈现故事情景，结尾部分通过两首诗帮助学生理解两个概念，在用数学语言学习的同时，又以诗的语言加深印象。师生合作小结，既有利于学生巩固建构成果，又有利于学生精炼建构经验。下面是我们归纳的两首诗：

通过自主评价，促使学生反思他们的体验和获得的知识等，提高反思性学习的能力。

三、课堂活动的分析

（一）课堂教学行为的变化

在课堂教学实施过程中，策略型学习的建构主义思想得到了充分的体现：讨论的开放度，平等对话、和谐互动的课堂教学氛围，学生长时间保持较高的思维水平都给我们留下了深刻的印象。下面我们分两个环节来说明。

1．基于问题情境，学生从不同的角度提供不同的解决方案，多观点交锋

在学生各小组仔细琢磨了录像情境中的问题后，教师鼓励学生大胆设想自己的解决方案，并对学生的回答作评价或总结。请看片断：

①师：小张的工资该定为多少呢？下面我们一起来听听大家的意见。

②生1：我们认为经理应该给小张开2500元的月薪。因为2500元代表员工工资平均水平，也就是全体员工的一般水平。

（有学生反驳：如果比尔.盖茨来我们班级，我们平均就有几十亿美元了，这几十亿美金是我们班级的一般水平吗？）（全班学生大笑）

③师（笑）：反驳的有道理，举例也很生动。看样子，一般水平并非就是平均水平……

④生2：我们认为小张的月薪可以定为2000元。因为公司中业务员最多，有12个人，他们的工资都是2000元，少数服从多数。所以2000元合理。

（大家部分赞成，部分反对，有学生低声说设计员也有10人呢，不算少数）

⑤师：很有道理，第二小组给出了一个数学概念—众数，很了不起的，极富创造力。下面我们再一起来听听其他意见。

⑥生3：我们认为总经理工资太高，不该把他的工资算进月平均工资，应该扣除。再去掉一个最低工资，平均工资应该是（75000-7000-1000）÷（30-2）≈2393（元）这个工资代表一般水平，更合理些。

（许多同学笑：不对。你以为是跳水比赛，要去掉最高分，去掉最低分?）

⑦师：很好，同学们，第三小组能够把运动员评分规则用到这里，说明我们的同学学习很灵活，肯动脑筋，我们都要学习这种精神……数学上习惯称这种平均数为截尾平均数,但2393代表工资的一般水平是不是最合理，好像还有不同的意见。

⑧生4：我们认为一般水平就是中等水平。我们把30个员工的工资从高到低排列后，中间有两个值：第15人为2500元，第16人为2000元。取哪一个都不好，我们就取它们的平均值：2250元。这种做法是我们讨价还价的结果，合不合理请大家批评指正。

（很多学生很佩服发言人的创新精神与设计能力，频频点头；也有同学说哪有这么复杂）

⑨师：这种理解有独到之处，逻辑合理，不简单！他们算出的这个2250就是这30个工资数的中位数。（老师将它写在黑板中央）我们已经有四种意见了，让我们再听听别的意见。

⑩生5：小张是不是名牌大学毕业的，工作能力强不强？找工作最讲这个！我表哥复旦大学毕业的，做广告，月薪就是5000。我认为广告策划工作工资可以拿到5000元一个月，当然要看他是那个大学毕业的，是否工作能力强……

（学生都笑：这个问题又不是数学问题，他吹牛不打草稿……）

在上述活动中，学生根据自己熟悉的知识以及课堂以外见过的其他类型的知识，提供解决问题的方案并能够阐述理由，学生②④⑥⑧⑩分别提供了5个方面的内容，开放度较大。

2．平等对话，促进了学生元认知的发展；自主探究，始终使学生处于高认知水平的活动中。

通过师生、生生对话，对多种问题解决策略进行分析和比较，探索合理的问题解决策略或方案。从如下教学片断可见一斑。

（1）师：好！我们一起来听听大家对众数的理解，希望举例说明。

（2）生6：众数就是一组数据中出现次数最多的数，如B组、C组……

（3）师：有不同观点的请发表意见。

（4）学生7：众数是一组数据中出现次数最多且至少达两次的数，只出现一次的不是众数，如A组、D组……

（5）师：讲得很好……(板书“众数”概念)我们再看一看关于众数大家还能够发现什么有趣的特点？

（6）生8：一组数据的众数可能有多个，如G组，我还可以举个例子：2，2，3，3，4，4的众数是2、3、4。

（7）学生9：几组数据的众数可能一样，如B组、E组与F组。

（8）学生10：一组数据中的各数据交换位置后众数不变，如E组与F组。

（9）学生11：同一个数据组成的一组数据中众数就是这个数，如H组。

（10）教师：大家讲得都很对。……接下来我们谈谈对中位数的理解……

（11）学生12：中位数就是一组数据中最中间的一个数或中间两个数的平均数……

（12）学生13：不对，要先排列……(老师示意他讲)要将一组数据从小到大排列后，再找最中间的一个数或中间两个数的平均数……

（13）教师（点头）：能否说得更准确些？（看到大部分同学开始沉默，老师作提示）我的意思是说，何时取最中间一个数，何时取最中间两个数的平均数？

（14）学生14：奇数个时取最中间一个数，偶数个时取最中间两个数的平均数。

（15）教师：对了，再请问能不能按从大到小排列？（学生15立即回答：能。其他同学也同意。）谁来归纳一下中位数的含义？（片刻）

（16）学生15：所谓中位数，就是按大小顺序排列后的一组数据，若有奇数个数据，最中间一个数就是中位数，若有偶数个数据，最中间两个数的平均数就是中位数。

（17）教师（板书）：很好。简单的说，将一组数据按大小顺序依次排列后，最中间一个数（奇数个）或最中间两个数的平均数（偶数个），就是这组数据的中位数。请问：从小到大排列后的9个数，中位数是哪一个？

（18）学生（齐答）：第5个。

（19）教师：从小到大排列后的16个数，中位数是哪一个？

（有学生说是第8个，有学生说是第9个，有学生说是第8第9两个数的平均数）（20）教师（提示）：16是奇数还是偶数？（学生：偶数）中位数该是多少？（学生：第8第9两个数的平均数）注意：偶数个数据时，中位数是按大小排列后的正中间两个数的平均数（在概念处划线）。再问：从小到大排列后的n个数，中位数是哪一个？想好了请举手回答。（约两分钟后）

（21）学生16：从小到大排列后的n个数，当n为奇数时，中位数是第n+1

2

个数；

当n为偶数时，中位数是第n

2

与第

n

2

+1个数的平均数。

（22）教师：很好。（并将学生17的回答板书在黑板上）大家再看一看关于中位数还能够发现什么有趣的特点？并举例来支持你的说法。

（23）学生17：一组数据的中位数是唯一的，只有一个值。（其他学生齐答：同意）（24）学生18：一组数据的中位数与众数可能相同，如H组。（其他学生齐答：同意）

（25）教师：我也有几个讲法，大家看对不对？（1）两组数据的中位数相同，则两组数据相同（生答：不对）（2）中位数就是一组数据最中间的一个数或最中间的两个数的平均数。（生答：不对，要先按大小排列）好的，大家对众数与中位数有了概念性的认识。接下来我们总结一下（板书）：（1）平均数、中位数、众数都是反映一组数据的集中趋势的统计量。（2）平均数反映的是平均水平，中位数反映的是中等水平（或一般水平），众数反映的是最大频率数（或最大权重数）。因此应该根据不同的场

合选用不同的数据指标。接下来我们看一看上课初提到的问题，相信大家会作出合理的决策。好，现在再看工作表一，小张的工资按总经理的意思应该怎么给？

（26）学生：（片刻，基本上是齐答）给中位数：2250元。

（27）教师：好的。我们用掌声祝贺第四小组的英明决策。同时感谢其他几个小组给我们带来的好主意，如果不按总经理的讲法，其他几组的意见也是可行的。

使问题处于学生思维水平的最近发展区，强调意义与推理—学生从某个例子出发进行自主猜想、再选择另外的例子进行主动验证。通过师生合作学习，学生从多角度理解了众数与中位数的意义。

四、教学反思

我们把这种通过创设情境，问题提出及探究来揭示概念的发生和发展过程的教学称之为“发生式的数学概念”教学。通过上述分析，我们体会到通过这种教学模式，学生积极主动参与数学教学之中。经过从情景中发现数学概念，自主探索概念，适当变式训练，同学们经历了合作学习、反思修正、积极建构的过程，展现了“数学从生活中来，又还原于生活”的朴实真理，是实施二期课改精神的一种积极探索。这种教学策略在体现新课程理念时具有如下特点。

1．促进探究活动

任务驱动与探究活动改善了学生被动学习的局面，给学生提供了一个体验知识发生发展过程的机会。知识是自己用心血换来的劳动成果，因此学生在探究过程中获得的任何经验，即使极其细微也都渴望被肯定、被尊重，老师适时的鼓励与赞许给予了他们极大的强化。学生经历了探究的艰辛，同时品尝到了挑战成功的愉悦感与成就感。这种心理体验将大大促进以后的探究活动，甚至对学生探究习惯的养成都有极其重要的影响。在这方面，“发生式的数学概念探究课”展示的情景生动，学生从生活故事中产生问题，在遭遇问题过程中自主发现疑问，产生渴望建立新概念的要求，老师恰当的点评促进了探究活动的进行。

2．优化知识建构

学生在小组交流讨论中要树立权威就需要不断优化自己的意见，韦纳指出：“自己应该在学习中发挥积极的作用”是学会学习的强烈动机与情感。这将有利于他们领悟概念的内涵与外延，通过合作探究来建构概念，共享探究成果。另一方面教师适时引入数学思想方法无疑有助于优化知识构建。“情境发现法的数学概念探究课”采用工作单，让学生相互合作竞争，对“众数”与“中位数”的意义进行推敲，采用归纳猜想的数学思想方法，多角度、多层次地加以斟酌，效果很好，学生体会很深。师生之间的直接对话加大了交流的深度。

3．提高认知水平

由于“发生式的数学概念探究课”中探究活动与小组讨论需要学生对所学数学知识要有理性认识，能用自己的语言进行叙述与解释，在某些环节甚至要求学生对所学数学知识要有实质性认识并能与已有数学知识建立起联系，并在新的情景中灵活应用。讨论与交流的需要保持了学生思维的紧张度，拉动学生积极思维，在客观上提高了学生的认知水平。

然而，在设计与实施过程中，我们也感觉到有些问题需要进一步讲论。首先，教师在学生的探究活动中应该扮演一个什么样的角色，应当对学生施加多大力度的干预，其分寸较难把握，教师始终惦记着教学任务是否能够及时完成，操练是否还有足够的时间。其次，这种课的普遍实用性在主要以考试分数衡量教学质量的传统观念下，还有不少老师对这种上课形式持保留意见。如何将“接受式”与“活动式”有机结合，彰显各自的优点方面我们做得还不够成熟。另外，探究活动对情景与材料的典型性与全面性要求较高，课前准备需要花更多精力。

[专家评点]

寻找东、西方数学教育理念的“中间地带”，已成为国际数学教育改革的一个基本趋势和共识。本课例以“众数、中位数”的教学为载体，在吸取西方教学理念中的合理成份基本上，改进我国传统教学设计的不足，进行了大胆的探索，是十分有意义的。一般而言，西方数学教学重视对知识发生过程的体验、探究和理解，但忽视对知识和技能的系统掌握及练习，相反，我国数学教学缺乏对知识发生过程的体验和探究的重视，过于强调对知识结果的掌握和练习，导致学生的自主探究能力和创新能力得不到应有的发展。虽然，近几年来，数学探究得到一定程度的重视，但是，许多所谓探究只是作为导入新知的“拐杖”，一当新知导出，便进行常规的操练，仍然没有对知识发生过程及理解的真正重视。本课例，首先通过一个“广告公司应聘”情境引出了对“众数、中位数”的学习需要和直观意义，然后，通过学生对“工作单”的操作和交流来明晰这两个概念的意义，接着，通过一首“打油诗”来活化概念的意义，最后，在变式问题的应用中使概念得到进一步巩固。应当说这种教学设计，一方面避免了美国设计中“不少学生的探究处于盲目的状态，难以增进对建立与检测猜想过程的理解”，也改进了我国教学中视“情境探究”为引入的“铺垫”，而把“情境探究”贯穿在整个学习过程中：引起认知冲突，促进概念理解和提供概念应用的平台等。我们觉得本课例是追求学习过程和结果平衡的一次有益尝试。