专题训练——全等三角形与角平分线

板块 考试要求 A 级要求

B 级要求

C 级要求

全等三角形 会识别全等三角形

掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题

会运用全等三角

形的性质和判定解决有关问题

全等三角形的认识与性质

全等图形：

能够完全重合的两个图形就是全等图形．

全等多边形：

能够完全重合的多边形就是全等多边形．

相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等．

如下图，两个全等的五边形，记作：五边形

ABCDE

≌五边形'

'

'

''

A

B C

D E ． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”

．

A'

B'

C'

D'

E'

E

D

C

B

A

全等三角形：

能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；

反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．

全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．

全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为

“≌”

． 全等三角形的判定方法：

(

1)

边角边定理

(

SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．

(2

)

角边角定理(ASA

)

：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

(3

)

边边边定理

(SSS

)：三边对应相等的两个三角形全等． 知识点睛

中考要求

第一讲

全等三角形与角平分线

(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．

(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．

要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．

全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．

奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 与角平分线相关的问题 角平分线的两个性质：

⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

它们具有互逆性．

角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，

2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍，

A

B O

P

P

O

B A

A B

O

P

重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的

基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL 的判定是整个直角三角形的重点

难点：

本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，

要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表

示，即书写格式，都要在讲练中反复强化

重、难点

板块一、全等三角形的认识与性质

【例1】 ① 判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；

⑹ ．

全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别 ． ② 两个三角形具备下列( )条件，则它们一定全等． A ．两边和其中一边的对角对应相等 B ．三个角对应相等且面积相等 C ．两角和一组对应边相等 D ．两边及面积对应相等 ③ 下列命题错误的是( )

A ．面积相同的两个三角形必然是一对全等三角形

B ．某一三角形经过任意平移所产生的三角形与原三角形全等

C ．两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等

D ．有两角和一条边对应相等的两个三角形全等 【解析】 ①⑴定义，⑵SAS ，⑶ASA ，⑷AAS ，⑸SSS ，⑹HL ；相等．②B ；③A ．

【巩固】 ⑴ 考查下列命题：①有两边及一角对应相等的两个三角形全等；②两边和其中一边上的中线

(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有_________个．

⑵已知ABC ?中，AB BC AC =≠，作与ABC ?只有一条公共边，且与ABC ?全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个．

⑶如图，在Rt ABC ?中，AB AC AD BC =⊥，，垂足为D ．E F 、分别是CD AD 、上的点，且CE AF =．如果62AED ∠=?，那么DBF ∠=__________．

⑷如图，已知ABC ?中，90ABC AB BC ∠=?=，，三角形的顶点在相互平行的三条直线

123l l l ，，上，且12l l ，之间的距离为2，23l l ，之间的距离为3，则AC 的长是______．

F

B

A

C

B

A

l 3l 2

l 1 【解析】 ⑴ 2，注：正确的是②③；⑵ 7；⑶ 28?；⑷ 217

【例2】 如图，已知AC FE =，BC DE =，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，要使△ABC ≌△FDE ，

还需添加一个．．

条件，这个条件可以是（ ）并且写出证明过程。 【解析】 C E ∠=∠,AD BF =AB DF =都可以，证明过程略

F E

D

C

B

A

【巩固】 如图，已知点E C ，在线段BF 上，BE CF =，请在下列四个等式中，

①AB DE =，②ACB F ∠=∠，③A D ∠=∠，④AC DF =．选出两个作为条件，推出

ABC DEF ??≌．并予以证明．

（写出一种即可） 已知：

， ． 求证：ABC DEF ??≌． 例题精讲

F

E D

C

B A

【解析】 已知：①④（或②③、或②④）

【解析】 若选①④∵BE CF =∴BE EC CF EC BC EF +=+=，即．

在ABC △和DEF △中AB DE BC EF AC DF ＝，＝，＝．． ∴ABC DEF ??≌．

（选择②③、或②④评分标准类似，证明略）

【巩固】 如图，在ABC ?和DCB ?中，AB DC AC DB ==，，AC 与DB 交于点M ．

⑴ 求证：ABC BCD △≌△； ⑵ 求证：MB MC =

M

D

C

B

A

【解析】 ⑴ 由,,AB DC AC DB BC CB ===可以证明ABC BCD △≌△(边边边)

⑵ 由⑴可知ABC BCD △≌△，从而A=D ∠∠,又由,AB DC AMB DMC ==∠∠ 故

AMB DMC △≌△,从而有MB MC =。

全等三角形的判定方法：

(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．

(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．

奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．

判定三角形全等的基本思路：

SAS HL SSS →??

→??→? 找角已知

找直角

找另一 C

E B

F D

A

ASA AAS SAS AAS ??

??

??

??

??

??

边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASA AAS →??→?

找角的已知角 找任意一

全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：

⑴ 平移全等型

⑵ 对称全等型

⑶ 旋转全等型

由全等可得到的相关定理：

⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． ⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．

⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)． ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．

⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)．

⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等． ⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

【例3】 如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分ACE ∠，CE 平分BCD ∠，CD CE =．

⑴ 求证：ACD BCE △≌△； ⑵ 若50D ∠=?，求B ∠的度数．

3

21

E

D

C

A

【解析】 ⑴由C 是线段AB 的中点，CD 平分ACE ∠，CE 平分BCD ∠，可知： 12360AC CB ====∠∠∠，,CD CE =，即证ACD BCE △≌△（边角边） ⑵由上问知：ACD BCE △≌△故50D E ==∠∠从而180170B D =--=∠∠∠

【巩固】 如图，分别过点C B ，作ABC ?的BC 边上的中线AD 及其延长线的垂线，垂足分

别为E F ，．求证：BF CE =．

F E

D

C

B

A

【解析】 观察图形，注意到D 为BC 的中点，考虑证明BDF CDE △≌△，∵ CE ⊥AD 于E ，BF ⊥AD

于F ，∴∠CED =∠BFD =90°． 又∵AD 是BC 边上的中线，∴BD CD =．又∵BDF CDE ∠=∠，∴BDF CDE △≌△，故BF CE =．

【巩固】 如图所示，已知AD AE =，DF EF =．求证：AB AC =．

A B

C D

E

F

【解析】 连接AF ，根据SSS 易得ADF ?≌AEF ?，进而得C B ∠=∠

根据AAS 易得ABE ACD ??≌，进而得AB AC =．

【巩固】 如图，ABC △和ADE △中，点E 在BC 边上，.BAC DAE B D AB AD ∠=∠∠=∠=，，

⑴ 求证：ABC ADE △≌△；

⑵ 如果75AEC ∠=?，将ADE △绕着点A 旋转一个锐角后与ABC △重合，求这个旋转角的大

小.

E

D

C

B

A

【解析】 ⑴ ∵.BAC DAE B D AB AD ∠=∠∠=∠=，，，∴ABC ADE △≌△

⑵ ∵ABC ADE △≌△，∴AC 与AE 是一组对应边，∴CAE ∠为旋转角， ∵75AE AC AEC =∠=?，，∴75ACE AEC ∠=∠=?∴30CAE ∠=

【巩固】 在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB ED 、．

⑴ 求证：BEC DEC △≌△；

⑵ 延长BE 交AD 于F ，当120BED ∠=时，求EFD ∠的度数．

F

E

D

C

B A

【解析】 ⑴ ∵四边形ABCD 是正方形∴45BC CD ECB ECD ∠∠＝，＝＝

又EC EC ＝，∴ABE ADE △≌△。

⑵ ∵ABE ADE ??≌，∴1

2

BEC DEC BED ∠∠∠＝＝

∵120BED ∠＝，∴60BEC AEF ∠?∠== ∴6045105EFD ∠?+??==

【例4】 ⑴ 已知：如图1，Rt ABC ?中，90ACB AC BC ∠=?=，，点D E 、在斜边AB 上，且

45DCE ∠=?．求证：线段DE AD EB 、、总能构成一个直角三角形；

⑵ 已知：如图2，等边三角形ABC 中，点D E 、在边AB 上，且30DCE ∠=?，请你找出一个条件，使线段DE AD EB 、、能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数； ⑶ 在⑴的条件下，如果10AB =，求BD AE ?的值．

图2图1E C

B

A E

C

A

21F

A

B

C

D E

图1

1

2A B

C

D E

图2

【解析】 ⑴ 如图1，∵90ACB AC BC ∠=?=，，∴45A B ∠=∠=?．

以CE 为一边作ECF ECB ∠=∠，在CF 上截取CF CB =， 则CF CB AC ==，

连接DF EF 、，则CFE CBE ??≌， ∴145FE BE B =∠=∠=?，．

∵45DCE ECF DCF ∠=∠+∠=?，∴45DCA ECB ∠+∠=?， ∴DCF DCA ∠=∠，∴DCF DCA ??≌，

∴245A DF AD ∠=∠=?=，，∴2190DFE ∠=∠+∠=?， ∴DFE ?是直角三角形． 又AD DF =，EB EF =，

∴线段DE AD EB 、、总能构成一个直角三角形．

⑵ 当AD BE =时，线段DE AD EB 、、能构成一个等腰三角形．

如图2，与⑴类似，以CE 为一边，作ECF ECB ∠=∠，

在CF 上截取CF CB =，可得CFE CBE DCF DCA ????，≌≌． ∴AD DF EF BE ==，，∴12120DFE A B ∠=∠+∠=∠+∠=?． 若使DFE ?为等腰三角形，只需DF EF =，即AD BE =． ∴当AD BE =时，线段DE AD EB 、、能构成一个等腰三角形， 且顶角DFE ∠为120?．

⑶ 如图1，∵ACE ACD DCE CDB ACD A ∠=∠+∠∠=∠+∠，，

又45DCE A ∠=∠=?，∴ACE CDB ∠=∠．

又A B ∠=∠，∴ACE BDC ??∽，∴AE AC

BC BD

=

，∴BD AE AC BC ?=?， ∵Rt ACB ?中，由222210AC BC AB +==，得2250AC BC ==， ∴250BD AE AC BC AC ?=?==．

板块二、与角平分线相关的问题

角平分线的两个性质：

⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．

角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，

2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，

A

B O

P

P

O

B A A B O

P

【例5】 在ABC △中，60B =∠AD CE ，分别平分BAC BCA ∠∠，,且相交于F ，

（1）求证：F 点在ABC ∠的平分线上，

（2）写出FE 与FD 之间的数量关系，并证明 F

E

D

C

B A

【解析】 ⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；故点F 到AB 的距离等于到AC 的距离，而F 到

AC 的距离等于到BC 的距离，从而F 到AB 的距离等于到BC 的距离。故BF 为角平分线

⑵过F 分别作,AG AH 垂直于,AB AC ,60B =∠，所以120BAC ACB +=∠∠,从而 120AFC =∠,60DFC B ==∠∠,因此

FEB FDC =∠∠,180180FDB FDC FEB EFA =-=-=∠∠∠∠，可证全等。

【例6】 如图，在ABC ?中，90BAC ∠=?，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，AE BC ⊥于E 交BD 于G ，

FG AC ∥交BC 于F ，连接DF ．求证：DF BC ⊥

G

F

E

D

C

B

A

【解析】 先证AGB FGB ??≌，再证FDB ADB ??≌

【例7】 如图 在三角形ABC 中 2C B ∠=∠ ,AD 是ABC △的角平分线,B EDB =∠∠; 求证：AB AC CD =+

B

E

D

C

A

【解析】 由B EDB =∠∠得2AED B C ==∠∠∠,又AD 是ABC △的角平分线，AD AD =，故

ADC ADE △≌△,从而得AB AE EB AC ED AC CD =+=+=+

【例8】 如图，在ABC △中，45ACB =∠，90A ∠=?，BD 是CBA ∠的平分线，CH BD ⊥交BD 的延

长线于点H 。求证：2BD CH =。

H

D

C

B

【解析】 延长,CH BA 交于点E ,那么由角平分线的性质可知有CHE EHB △≌△,所以2CE CH =，而由

45ACB =∠，可知CA CB =，可以证明EAC DAB △≌△，即得2BD CE CH ==.

【例9】 如图，在ABC ?中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，

交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为BAC ∠的角平分线．

F G

E D

C

B

A

H

A

F G

B

E D

C

【解析】 延长FE 到点H ，使HE FE =，连结BH ．

在CEF ?和BEH ?中 CE BE

CEF BEH FE HE =??

∠=∠??=?

∴CEF BEH ??≌

∴EFC EHB ∠=∠，CF BH BG == ∴EHB BGE ∠=∠，而BGE AGF ∠=∠ ∴AFG AGF ∠=∠ 又∵EF AD ∥

∴AFG CAD ∠=∠，AGF BAD ∠=∠ ∴CAD BAD ∠=∠

∴AD 为BAC ∠的角平分线．

【例10】 如图，在AOB ∠的两边OA OB ，上分别取OM ON OD OE ==，,DN 和EM 相交于点C 。

求证：点C 在AOB ∠的平分线上。

C

D

N

M

B

A O

【解析】 由,OM ON OD OE ==，且共AOB ∠可知，MOE NDO △≌△,故ODN MEO =∠∠,

又,NCE MCD MD OD OM OE ON NE ==-=-=∠∠,所以MCD NCE △≌△,从而，有

MC CN =,且OM ON =,共边OC ，所以MCO NCO △≌△即有AOC BOC =∠∠,从而得证OC

平分AOB ∠，即点C 在AOB ∠的平分线上。

【例11】 如图，在ABC ?中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．

D C B A

E

D C B

A

A

B

C

D

E

【解析】 方法一：在AC 上取一点E ，使得AB AE =

连结DE ．

在ABD ?和AED ?中

AB AE =，BAD EAD ∠=∠ AD AD =

∴ABD AED ??≌

∴BD ED =，B AED ∠=∠

又∵2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠

EDC C ∠=∠，ED EC =∴AB BD AC +=．

方法二：在AB 的延长线上取一点E 使得AC AE =，连结DE ． 在AED ?和ACD ?中，AE AC =

EAD CAD ∠=∠，AD AD =

∴AED ACD ??≌，∴C E ∠=∠

又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠ ∴E BDE ∠=∠∴BE BD =，∴AB BD AC +=． 方法三：延长DB 到点E

使得AB BE =，连结MCE M ∠=∠ 则有EAB E ∠=∠

2ABC E EAB E ∠=∠+∠=∠ 又∵2ABC C ∠=∠，∴AE AC =

又∵EAD EAB BAD E DAC ∠=∠+∠=∠+∠ C DAC ADE =∠+∠=∠

∴DF EF =，∴AB BD EB BD ED AE AC +=+===

A

B

C

D

E

E

D

C

B A F

M

方法四：如图，作BF 平分ABC ∠交AD 、AC 于E 、F 点 延长BF 到M ，使FM FA =，连结AM ∴ABF FBC ∠=∠

∵2ABC C ∠=∠，∴FBC C ∠=∠．∴FB FC = ∵AF FM =，∴M FAM ∠=∠

∵AFE FBC C ∠=∠+∠，又AFE M FAM ∠=∠+∠ 即22AFE M C ∠=∠=∠．∴C M ∠=∠ ∴M ABM DBF C ∠=∠=∠=∠．∴AB AM = ∵ADB C DAC ∠=∠+∠ 且DEB EBA BAE ∠=∠+∠

∵BAD DAC ∠=∠，∴ADB DEB ∠=∠．∴BD BE = 同理MA ME =

∵AF FM =，FB FC =，∴AC BM =．∴AC AB BD =+

【例12】 如图，180A D ∠+∠=?，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．

① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．

E

D

C

B A

F

E

A

B

C

D

【解析】 ① AB CD BC +=；② BE CE ⊥

在线段BC 上取点F ，使FB AB =，连结EF ． 在ABE ?和FBE ?中 AB FB

ABE FBE BE BE =??

∠=∠??=?

∴ABE FBE ??≌

∴AEB FEB ∠=∠，BAE BFE ∠=∠ ∵180A D ∠+∠=? 而180BFE CFE ∠+∠=? ∴CDE CFE ∠=∠ 在CDE ?和CFE ?中 CDE CFE DCE FCE CE CE ∠=∠??

∠=∠??=?

∴CDE CFE ??≌

∴DEC FEC ∠=∠，CD CF =

∴AB CD BC +=，90BEC BEF CEF ∠=∠+∠=?

【例13】 在ABC ?， 5.25BAC ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，过A 作DA 的垂线交直线BC 于点M ．若

BM AB AC =+，试求ABC ∠和ACB ∠的度数．

C 1

M DC B A

C 1

M

DC B A

【解析】 由于点M 在直线BC 上，因而应分两种情况讨论计算：

⑴如图所示，过A 作AD 的垂线交BC 的延长线于点M ，延长BA 到1C ，使1AMC AMC ∠=∠．

由题设AD 平分BAC ∠知1CAM C AM ∠=∠，

注意到AM 公用，则由角边角公理得1ACM AC M ??≌，于是有1AC AC =． 又由BM AB AC =+知1BC BM =， 从而11AC M BMC ∠=∠． 在1BC M ?中，

1180218021802( 5.25)180B AC M ACM B ∠=?-∠=?-∠=?-∠+?=?-210.5B ∠-?，

因此56.5ABC ∠=?，180 5.2556.5118.25ACB ∠=?-?-?=?．

⑵如图所示，过A 作AD 的垂线交CB 的延长线于点M ，延长BA 到1C ，使1AMC AMC ∠=∠． 由题设AD 平分BAC ∠知1CAM C AM ∠=，

注意到AM 公用，则1ACM AC M ??≌，即有1ACM AC M ∠=∠且1AC AC =． 又由BM AB AC =+知1BC BM =， 从而11AC M BMC ∠=∠．

于是在1MCC ?中，1323180ACM ACC ACM BAC ∠+∠=∠+∠=?，

即有1

(180)58.253

ACM BAC ∠=?-∠=?，

即58.25ACB ∠=?，18058.25 5.25116.5ABC ∠=?--?=?．

1． （2008年北京）OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．

P

D

B

O

C

A

【解析】 ∵OP 是AOC ∠和BOD ∠的角平分线

∴AOP COP ∠=∠，BOP DOP ∠=∠

∴AOB COD ∠=∠ 在AOB ?和COD ?中 OA OC AOB COD OB OD =??

∠=∠??=?

∴AOB COD ??≌(SAS)，∴AB CD =．

2． 如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．

E D

C B A

4

32

1

【解析】 ∵12∠=∠，34∠=∠，AC AC =

∴ACD ACB ??≌

∴AB AD = 家庭作业

∴12∠=∠，AE AE = ∴AED AEB ??≌ ∴ED EB =

3． 在ABC △中，3AB AC =，BAC ∠的平分线交BC 于D ，过B 作BE AD ⊥，E 为垂足，求证：

AD DE =．

C E D

B A

C F

E G

D B A

【解析】 延长AC 交BE 的延长线于F ，过E 作EG BC ∥交CF 于G ，容易证得3AF AB AC ==，且E

为BF 之中点，故易得AC CG GF ==．

4． 已知等腰ABC ?，100A ∠=?，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．

B

A

F E

D

C

3

2

1

【解析】 解法一：如图，在BC 上截取BE BD =，连接DE ，

过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，于是32∠=∠，ADF ECD ∠=∠． 又∵12∠=∠，

∴13∠=∠，故DF BF =．显然FBCD 是等腰梯形．

∴BF DC =，DF DC =．

∵()111

218010020222

ABC ∠=∠=??-?=?，

()1

1802802

BED BDE ∠=∠=?-∠=?，

∴180100DEC BED ∠=?-∠=?，∴100FAD DEC ∠=∠=?，∴AFD EDC ??≌，AD EC =． 又∵BE BD =，∴BC BD EC BD AD =+=+．

解法二：如图，延长BD 到E ，使DE AD =，在BC 上截取BF BA =． ∵12∠=∠，BD 为公共边，∴BAD BFD ?≌，AD FD =，ADB FDB ∠=∠．

∵()111

118010020222ABC ∠=∠=??-?=?，

∴()()18011801002060ADB A ∠=?-∠+∠=?-?+?=?． ∴60FDB ∠=?，故60FDC ∠=?，60EDC ∠=?．

∵DF DE =，∴DFC DEC ??≌．∴E DFC ∠=∠，34∠=∠． ∵2206080DFC FDB ∠=∠+∠=?+?=?， ∴80E ∠=?．

∵440∠=?，∴340∠=?，故3480ECB ∠=∠+∠=?． ∴ECB E ∠=∠，故BC BE =． ∵BE BD DE =+，∴BC BD AD =+．

解法三：如图，延长BD 到E ，使BE BC =．延长BA 到F ，使BF BC =．连接CE 、EF 、DF ．

B

A

D

C

2

1F

E

4

3

∵12∠=∠，BD 公共， ∴BDC BDF ??≌．

∴BDC BDF ∠=∠，BCD BFD ∠=∠．

又∵120100120BDC BAC ∠=∠+∠=?+?=?，40BCD ∠=?， ∴40BFD ∠=?． ∵BE BF =，120∠=?． ∴80BEF BFE ∠=∠=?， ∴804040DFE ∠=?-?=?．

而180********FAD BAD ∠=?-∠=?-?=?． ∴FAD DEF ∠=∠．

又FD 公共，∴FAD FED ??≌．∴ED AD =． ∴BC BE BD AD ==+

5． 如图，已知在ABC ?中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．

21E

C

B

A 543M

A B C

E

12

【解析】 延长BE 交AC 于M ．

∵AE BE ⊥，12∠=∠

∴34∠=∠，AB AM =，BE EM = ∴AC AB AC AM MC -=-=，2BM BE = 又∵345C ∠=∠=∠+∠，353ABC C ∠=∠+∠=∠

∴553C C ∠+∠+∠=∠ ∴5C ∠=∠ ∴MB MC = ∴2AC AB BE -=．

6． 在直角三角形ABC 中，90C ∠=?，A ∠的平分线交BC 于D ．自C 作CG AB ⊥交AD 于E ，

交AB 于G ．自D 作DF AB ⊥于F ，求证：CF DE ⊥．

G

A

B

C D

E

F

1

2

2

1

F

E D

C

B

A

G Q

G

A

B

C D E

F

1

2

【解析】 解法一：如图．90ACD AFD ∠=∠=?∵，∴CDE CED ∠=∠4点共圆，ACF ADF ∠=∠∴．

又12∠=∠∵，290ADF ∠+∠=?，190ACF ∠+∠=?∴，故CF DE ⊥．

解法二：如图，连接EF

AD ∵是BAC ∠的平分线，DC AC ⊥，DF AB ⊥， CD DF =∴，ADC ADF ∠=∠． CG AB ⊥∵，DF AB ⊥，

CE DF ∴∥，CED FDE ∠=∠，CDE CED ∠=∠， CD CE DF ==∴，四边形CEFD 是菱形．

B

A

D

C

2

1F

E

CF DE ⊥∴．

解法三：如图．

12∠=∠∵，90ACD AFD ∠=∠=?，AD 公共， ACD AFD ∴△≌△．AC AF =∴，CD DF =．

AD ∴是CF 的中垂线，故CF DE ⊥．

解法四：如图，延长FD AC 、交于Q ，连接BQ ．

12∠=∠∵，DC AC ⊥，DF AB ⊥， CD FD =∴．

显然Rt Rt DCQ DFB △≌△，CQ BF =∴．

又90QFB BCQ ∠=∠=?∵，C F B Q 、、、∴4点共圆， CFBQ ∴为等腰梯形，ABQ △为等腰三角形．

12∠=∠∵，AD BQ ⊥∴．

而CF BQ ∥，AD CF ⊥∴．

7． 如图1，在正方形ABCD 中，M 是BC 边（不含端点,B C ）上任意一点,P 是BC 延长线上一

点，N 是DCP ∠的平分线上一点．若90AMN =∠， ⑴ 求证：AM AN =．

图1

P

N

M

E

D

C

B

A P

N

M E

C

D

B

A

⑵ 若将⑴中的“正方形ABCD ”改为“正三角形ABC ”（如图2），N 是ACP ∠的平分线上一

点，则当60AMN ∠=?时，结论AM MN =是否还成立？请说明理由．

P

N

M C

B

A

图2

⑶ 若将⑴中的“正方形ABCD ”改为“正n 边形....ABCD X ”，请你作出猜想：当

AMN ∠= 时，结论AM MN =仍然成立．

（直接写出答案，不需要证明） 【解析】 ⑴在边AB 上截取AE MC =，连接ME

∵AE =MC,∴BE =BM,∴45,BEM EMB ∠=∠=? ∴135AEM ∠=?,

∵CN 平分DCP ∠，∴∠45PCN =?，∴135AEM MCN ∠=∠=?.

在AEM △和MCN △中∵AEM MCN AE MC EAM CMN ∠=∠??

=??∠=∠?∴AEM MCN △≌△，∴AM MN =

⑵仍然成立． 在边AB 上截取AE MC =，连接ME

∵ABC △是等边三角形，∴AB BC =，60B ACB ==∠∠，∴120ACP =∠． ∵AE MC =，∴BE EM =∴60BEM EMB ==∠∠ ∴120AEM =∠．

∵CN 平分ACP ∠，∴60PCN =∠∴120AEM MCN ==∠∠

∵180180

CMN AMN AMB B AMB BAM ∠=?-∠-∠=?-∠-∠=∠

∴AEM MCN

△≌△，∴AM MN

=，已知：ABC

?是任意三角形．

⑶()2180 n

n

-?