自动化仪表及过程控制

第二章过程建模

⏹本章提要

1.过程建模的基本概念

2.单容过程的数学模型的建立

3.多容过程的数学模型的建立

4.用响应曲线法辨识过程的数学模型

5.用相关统计法辨识过程的数学模型

6.用最小二乘参数估计方法的系统辨识

⏹授课内容

第一节基本概念

在过程控制系统的分析和设计中,过程的数学模型是极其重要的基础资料;所以,建立过程的数学模型对于实现生产过程自动化有着十分重要的意义;

一个过程控制系统的优劣,主要取决于对生产工艺过程的了解和建立过程的数学模型;

1.基本概念

✧被控过程-----指指正在运行中的多种多样的工艺生产设备;P11

✧被控过程的数学模型-----指过程在各输入量包括控制量和扰动量作用下,其

相应输出量被控量变化函数关系的数学表达式;P11

➢过程模型的两种描述形式：

●非参量形式：即用曲线或数据表格来表示形象、直观,但对进行系统的

设计和综合不方便;

●参量形式：即用数学方程来表示方便,描述形式有：微分方程、传递函

数、差分方程、脉冲响应函数、状态方程和观察方程等;

➢过程控制系统方框图：

✧内部扰动基本扰动-----通常是一个可控性良好的输入量,选作为控制作用,

即调节器的输山量ut作为控制作用;基本扰动作用于闭合回路内,所以对系

统的性能起决定作用;

✧外部扰动------其他的输入量则称为扰动作用f1t～f n t;外部扰动对过程控制

也有很大影响;

✧输入量-----u1t、u2t、、、u n t,f1t、f2t、、、f n t

✧输出量-----y1t、y2t、、、y n t

✧通道-----被控过程输入量与输出量之间的信号联系;

✧控制通道-----控制作用与被控变量之间的信号联系;

✧扰动通道-----扰动作用与被控变量之间的信号联系;

注：xt为系统的设定值给定值、比较值

✧单输入单输出系统------

✧多输入单输出系统------

✧多输入多输出系统------需要解耦控制

➢过程的阶跃响应曲线：

注：大多数被控过程特性的特点是被控量的变化往往是不振荡的、单调的、有时延的和惯性的;

上图表示在输入扰动x其实应该是u或f作用下,输出y被控量的具有时延的响应;

✧自衡过程-----过程对扰动的响应有时延,被控量变化最后达到新的平衡,即

过程具有自平衡能力;如图2—2a所示；

✧无自衡过程-----被控量不断交化最后不再平衡下来,过程无自平衡能力;如

图2—2b所示;

2.建立过程数学模型的目的

●设计过程控制系统和整定调节器参数;

过程控制系统设计时选择控制通道、确定控制方案、分析质量指标、探索最优工况以及调节器参数的最佳整定都是以被控过程的数学模型为重要依据的;

●指导生产工艺设备的设计;

确定有关因素对整个被控过程特性的影响,从而提出对生产设备的结构设计的合理要求和建议;

●进行仿真试验研究;

不需要建造小的物理模型,只要根据过程的数学模型通过计算机进行仿真试验研究;

3.被控过程数学模型的应用与要求

➢被控过程数学模型的部分应用与要求可见表2—l所示;

✧自适应控制-----能适应被控过程参数或环境条件的变化,自动修正控制器参

数控制算法以补偿被控过程特性变化的一种控制;第九章P299

✧调节器参数整定-----系统整定的实质,就是通过改变控制参数使调节器特性

和被控过程特性配合好,来改善系统的动态和静态特性,求得最佳的控制效

果;

✧最优控制-----目的在于使一个机组、一台设备、或一个生产过程实现局部

最优;最优控制问题核心是选择控制函数uf,使得某一性能指标达到最小或

最大值;

4.求取被控过程数学模型的方法三种

●根据过程的内在机理,通过静态与动态物料平衡和能量平衡等关系用数学

推导的方法求取过程的数学模型;

●根据过程输入、输出的实验数据,即通过过程辨识与参数估计的方法建立被

控过程的数学模型;

●上两种方法的结合,即先通过机理分析确定模型的结构形式,再通过实验数

据来确定模型中各系数的大小;

✧静态物料或能量平衡关系-----单位时间内进入被控过程的物料或能量等于

单位时间内从被控过程流出的物料或能量;

✧动态物料或能量平衡关系-----单位时间内进入被控过程的物料或能量减去

单位时间内从被控过程流出的物料或能量等于被控过程内物料或能量贮存

量的变化率;

5.机理推导的几类数学模型

➢机理推导的几类数学模型可见表2—2;

✧集中参数过程-----单个控制参数的过程控制

✧分布参数过程-----多个控制参数的过程控制

✧多级过程------控制过程有多个控制步,相当与离散系统

➢例：单输入—单输出的过程模型数学模型

●线性时间连续模型可用微分方程或传递函数表示

●线性时间离散模型可用差分方程或脉冲传递函数表示

第二节建立单容过程的数学模型

✧单容过程------只有一个贮蓄容量的过程;单容过程可分为有自平衡能力和

无自平衡能力两类;

1.自衡过程的建模

✧自衡过程-----指过程在扰动作用下,其平衡状态被破坏后不需要操作人员或

仪表等干预,依靠其自身重新恢复平衡的过程;

✧容量或容量系数-----被控过程都具行—定贮存物料或能量的能力,其贮存能

力的大小;其物理意义是：引起单位被控量变化时被控过程贮存量变化的大

小;

➢例：液位过程

Q1-----流入量,控制过程的输入变量

Q2-----流出量,中间变量

h-----液位,控制过程的输出变量

动态物料平衡关系：dt dh A Q Q =-21,其增量形式：dt

h d A Q Q ∆=∆-∆21; 物理原理：2

222Q h

R R h Q ∆∆=∆=

∆或;

消去中间变量Q 2,及拉氏变换后,得传递函数：

1

1)()

()(002210+=+==s T K Cs R R s Q s H s W 被控过程都具行—定贮存物料或能量的能力,其贮存能力的大小,称为容量或容量系数;其物理意义是：引起单位被控量变化时被控过程贮存量变化的大小;

➢ 例：温度过程

➢ 例：具有纯时延的液位过程

具有纯时延单容过程的微分方程和传递函数为：

2. 无自衡过程的建模

✧ 无自衡过程-----指过程在扰动作用下,其平衡状态被破坏后不需要操作人员

或仪表等干预,依靠其自身不能重新恢复平衡的过程; ➢ 例：无自衡液位控制过程

1Q dt

h

d C

∆=∆；s T s W a 1)(0=

；s a o e s T s W 01)(τ-=

第三节 建立多容过程的数学模型 ✧

多容过程------被控过程往往是由多个容积和阻力构成;可分为有自平衡能力和无自平衡能力两类;

1. 具自衡能力的双容过程的建模

其被控量是第二只水箱的液位h 2,输入量为Q 1;根据物料平衡关系可以列出下列

方程：

双容过程的数学模型为：

➢ 多容过程

多容过程的传递函数：

)1)...(1)(1()(2100+++=

s T s T s T K s W n 或n

s T K s W )1()(10

0+=

过程具有纯时延,则传递函数：

s

n

e s T K s W 0)

1()(100τ-+=

2. 无自衡能力的双容过程的建模

无自平衡能力双容过程的传递函数：

1

11)(0+•=

Ts s T s W a 无自平衡能力双容过程的传递函数：

n a Ts s T s W )

1(11)(0+•=

过程具有纯时延,则传递函数：

s n a e s T K s T s W 0)

1(1)(100τ-+•=

第四节 用响应曲线法辨识过程的数学模型

有些复杂过程的根据机理建立数学模型较难,即使用解析法得到过程的数学模型,仍然希望采用实验方法加以检验,尤其当推导不出过程数学模型时,更需要通过实验方法即辨识方法来求得：

响应曲线法主要用于测取过程的阶跃响应曲线和矩形脉冲响应曲线;

1. 阶跃响应曲线的测定

➢ 测定阶跃响应曲线的原理：在过程的输入量作阶跃变化时测定其输出量随时间

而变化的曲线;

➢ 阶跃响应曲线能形象、直观、完全描述被控过程的动态特性; ➢ 实验测试注意事项：

● 合理选择阶跃信号值;一般取阶跃信号值为正常输入信号的5～15％左右; ● 在输入阶跃信号前,被控过程必须处于相对稳定的工作状态; ● 相同的测试条件下重复做几次,减少干扰的影响; ● 由于过程的非线性,应在阶跃信号作正、反方向变化时分别测取其响应曲线,

以求取过程的真实特性;

2. 矩形脉冲响应曲线的测定

➢ 用矩形脉冲响应曲线的原因：当过程长时间处于较大扰动信号作用下时,被控量

的变化幅度可能超出实际生产所允许的范围,这时可用矩形脉冲信号作为过程的输入信号,测出过程的矩形脉冲响应曲线阶跃响应曲线由于测试时间较长而不合适;

➢ 响应曲线变换原因：由于试验所得的阶跃响应曲线的参数估计较方便; ➢ 变换方法：

)()()()()(1121a t u t u t u t u t u --=+=

)()()(11a t y t y t y --=

或 )()()(11a t y t y t y -+=

图2—13是自衡过程的矩形脉冲响应曲线及其求取阶跃响应曲线的方法,由无自衡过程的矩形脉冲响应曲线画出阶跃响应曲线的方法与上相同;

3. 由过程阶跃响应曲线确定其数学模型

➢为了研究、分析和设计过程控制系统,需要根据实验取得的阶跃响应曲线来求出过程的微分方程或传递函数;

➢由阶跃响应曲线确定过程的数学模型,首先选定模型的结构;

➢模型的结构：近似地以一阶、二阶、一阶加时延、二阶加时延特性之一来描述;

●自平衡过程：

●无自平衡过程：

注：关键由阶跃响应曲线求得放大系数K 0、时间常数T 0、纯时延时间0τ; ➢ 几种常用的确定K 0、时间常数T 0、纯时延时间0τ参数的方法：

● 由阶跃响应曲线确定一阶环节的特性参数需确定K 0、时间常数T 0

0)

0()(x y y K -∞=

,T 0由直接作图法或半对数图解法求的,但不准确见书

P22～23,见下图;

T 0半对数图解法更准确：见式2-40、式2-41

● 由阶跃响应曲线确定一阶时延滞后环节的特性参数需确定K 0、时间常数T 0、

纯时延时间τ

0)

0()(x y y K -∞=

,T 0、0τ由直接作图法或转换法求得,但不准确见书P24～

25;

见式2-47,2-48,2-49的较准确的方法;

注意：如果T 1与T 2值、1τ与2τ值相差太大,则不能用这种方法,应选用二阶时廷环节来近似;

● 由阶跃响应曲线确定二阶或n 阶环节的特性参数需确定K 0、时间常数T 1、

时间常数T 2

0)

0()(x y y K -∞=

,

上式的t 1、t 2在不同比值时可以确定不同的数学模型;见书P26 n 阶环节时：需确定K 0、时间常数T 0、阶次n 见书P27

注：求取过程时间常数T 1、T 2同样亦可用半对数作图法;见书P27～30,略 ● 由阶跃响应曲线确定二阶时延滞后环节的特性参数需确定K 0、时间常数T 1、

时间常数T 2、纯时延时间τ

0)

0()(x y y K -∞=

；

时间常数T 1、时间常数T 2确定：x x

A

c

x x T T -+=1)1(；21T T x =；c T T T =+21

纯时延时间τ：c τττ＋＝0

见书P30～31

● 由阶跃响应曲线确定无自衡过程的特性参数积分时间常数T a 、纯时延时间

τ

tga

x T a 0

=

二阶或二阶加时延见书P32

第五节 用相关统计法辨识过程的数学模型

➢ 响应曲线法辨识过程数学模型优点：方法简便,并可获得一定精度的模型;缺点：

但要进行专门的试验,其生产装置要由正常运行状态转入试验状态,因此会影响生产过程的正常进行;

➢ 相关统计法辨识过程数学模型优点：可以在生产过程正常运行状态下进行,可直

接利用正常运行所记录的数据进行统计分析,由此获得过程的数学模型;缺点：但要较长时间的记录数据,进行较繁琐的计算,同时正常运行时的记录数据,参数被动不大,所以统计分折的精度不太高;随机过程理论为基础的统计学方法在此已获得了广泛地应用,可以缩短测试时间和提高精度;

➢ 相关统计法辨识过程数学模型步骤：先将M 序列伪随机信号输入被控过程,然后

计算其输出信号与输入信号的互相关函数,这样就求得过程的脉冲响应函数,从而获得其数学模型;

1. 随机信号的统计描述

✧ 随机信号-----信号是随时间随机地变化的;

✧ 随机过程-----客观世界中的许多随机现象表示着事物随机变化的过

程．随机现象不能仅用—个随机变量来描述,需要用一族随机变量来描述;随机过程可以用总体平均值、总体均方值来描述;

总体平均值：)(1)(111T x k T x k

i i ∑==

总体均方值：)(1)(11

2

12

T x k T x k i i ∑==

✧ 平稳随机过程-----一个随机过程它的统计特性在各个时刻都不变;

平稳随机过程在不同时刻T 1、T 2、…的总体平均值和总体均方值都是相等的;即：

....)()()(321===T x T x T x ....)()()(322212===T x T x T x

✧ 随机过程的一个实现-----研究随机过程所得到的一条实验曲线x 1t,x 2t..

等;

✧ 各态历经的平稳随机过程-----x 1t,x 2t..的统计性质是彼此相同的;此时

其总体的统计特性就可用一条记录曲线的统计特性来表示总体平均值、时间均方值;

有些生产过程如有些化工生产过程的统计特性变化是非常缓慢的,在足够长的时间内可以近似认为是一个平稳随机过程,而且具有各态历经性,所以可以用一条时间足够长的记录曲线来进行统计分析;

2. 相关函数、谱密度函数和白噪声的基本概念

➢ 相关函数

包括自相关函数和互相关函数;

✧ 自相关函数-----一个信号的未来值与现在值之间的相关程度)(τxx R ,它

为)(t x 与)(τ+t x 乘积的时间平均值即:

dt t x t x T

R T

T

T xx ⎰

-∞→+=)()(21

)(lim

ττ；当0=τ时,2)0(σ=xx R

✧ 互相关函数-----两信号间有相互影响)(τxy R ,为)(t x 与)(τ+t y 乘积的

时间平均值即:

dt t y t x T

R T

T

T xy ⎰

-∞→+=)()(21

)(lim

ττ

➢ 谱密度函数

时间域描述------频率域描述用傅氏变换

✧ 谱密度函数功率密谱)(ωxx S -----信号xt 的自相关函数)(τxx R 的傅氏变

换;

τωττττωωτ

d R d e

R S xx j xx xx cos )()()(⎰⎰

∞

∞

--∞

∞

=－＝

➢ 白噪声

✧ 白噪声-----信号xt 是一个平稳随机过程,且在所有频率下,其功率密度谱

都具有恒定的幅值;

白噪声特点：变化速度极快,它的值前后互不相关,即其自相关函数可用一个单位脉冲函数来描述)()(τστK R xx =;

白噪声只是理论上的抽象,实际上是不存在的;但是若一随机信号在所考虑的频率范围内其功率密度谱)(ωxx S 是恒定的,则可认为是一个白噪声;

相关统计法辩识被控过程的脉冲响应函数所采用的随机信号源应该是白噪声;

3. 用相关统计法来辨识过程的数学模型

➢ 用白噪声辩识过程的数学模型

一个线性过程的数学模型可用它的脉冲响应函数来表示;

若其输入xt 是一个平稳的随机过程,则其输出yt 也是一个平稳随机过程;若过程的输入为自相关函数)(τxx R ,则其输出为互相关函数)(τxy R ;

辨识即是求脉冲响应函数gu; 辨识方法：

取输入信号为白噪声,有)()()()(u K u R K R xx xx -=-=τσττστ或 且由Wiener-Hopf 方有du u K u g R xy )()()(-⋅=

⎰

∞

∞

-τστ

因为0)(≠=ττxy R u 时才有,则：)(1

)()()(ττττxy xy R K

g Kg R =

=或 即在过程输入端施加白噪声,求取)(τxy R ,就可求得了过程的数学模型)(τg ;但实际上常用伪随机信号作为辨识被控过程的输入信号; ➢ 用伪随机信号辨识过程的数学模型

✧ 伪随机信号-----它并非真正的随机信号,是人为产生的一种具有某些随

机信号的统计特性的随机信号;是一种周期为T 的信号序列,有多种形式,其中最简单、最常用的是二位式序列简称M 序列;

● M 序列：循环周期T 为t N ∆,t ∆就是时钟脉冲周期;工程上容易实现;

当t ∆很小,N 很大时,趋近于一个理想的σ函数; ● 辨识原理：)(1

)()()(ττττxy xy R K

g Kg R =

=或,输入伪随机信号后,由式2-79可获得)(τxy R ,则)(τg 可求; ● 辨识步骤：

估计过程的过渡过程时间T s ----选择M 序列参数周期T>T s 且128

s

T t <

∆----产生M 序列伪随机信号----实验测试得)(τxy R ----利用公式求得)(τg ; ● 应用举例：见书P38～P40略;

第六节 用最小二乘参数估计方法的系统辨识

➢ 过程建模有基于机理和基于输入输出实验数据两种;机理建模亦称过程动态学

方法已在本章前面第1、2节作了介绍;根据输入输出实验数据建模则称为系统辨识第3、6节介绍;在模型结构已定,根据输入输出数据来确定模型参数的工作称为参数估计;

➢ 确定模型的结构与参数有两种方法;第一种：根据响应曲线来确定模型的结构和

参数第3、5节介绍；第二种：根据输入输出实验数据进行推算,最小二乘参数估汁方法就是其中之一第6节介绍;

1. 参数估计的最小二乘法

一个单输入—单输出的线性n 阶定常系统可用如下差分方程表示：

令：T n n

b b a a N ]......

[)(11=θ

求的θ即得到差分方程的参数,即做到参数估计; ➢ 参数估计的最小二乘法原理：

从上式所示的一类模型中找出这样一个模型,在这个模型中,得到的过程参数向量θ的估计值θ

,应使模型误差的均方值或其他指标为最小;

最小二乘法估计值Y X X X T

T 1)(-＝θ

2. 参数估计的递推最小二乘法

参数估计的最小二乘法和递推最小二乘法区别： 最小二乘估计法：在测取一批数据后再进行计算的,即利用全部采样点的数据直接完成估计;当获得新的数据后,要将新的数据附加到老的数据之上,重复重新计算;

递推最小二乘法：为避免计算工作最大,采用递推算法,亦称为在线辨识,即采用新的数据来改进原来的参数估计,使估计值不断刷新得到新的估计值;

3. 模型阶次的确定

在辨识过程中,模型的阶次是否合适是必须进行检验的;常用拟合度检验法;它是通过比较不同阶次的模型输出与观察输出的拟合好坏来决定模型阶次的;

4. 纯时延时间的确定

纯时延一般取采样时间间隔的整数倍,其一般可以事先知道;