[警示] 对数的真数与底数都有范围限制，不可顾此失彼． X 学科核心素养
ue ke he xin su yang
再谈等价转化
指数式与对数式可以相互转化，利用这种转化关系可以求解指对方程与不等式及指数对数运算．将等式两端取同底的对数，是指数对数转化的另一种表现形式．
典例5 若log 12 x ＝m ，log 14
y ＝m ＋2，求x 2
y 的值.
[思路分析] 14＝(1
2)2，两个对数式可以通过指数对数互化化为指数式，于是可以运用幂
的运算法则求x 2
y
.
[解析] ∵log 12
x ＝m ，∴(12)m ＝x ，x 2＝(1
2)2m .
∵log 14 y ＝m ＋2，∴(14)m ＋2＝y ，y ＝(12)2m ＋4.∴x 2
y ＝(1
2)2m (12
)2m ＋4
＝(12)2m －(2m ＋4)＝(12)－
4＝16.
K 课堂达标验收e tang da biao yan shou
1．下列说法： ①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成为对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
[解析] ①正确；②当底数小于0的指数式不可以化成对数式；③④叫法正确，故选C.
2．若b ＝a 3(a >0且a ≠1)，则有( B ) A ．log a 3＝b B ．log a b ＝3 C ．log b 3＝a
D ．log b a ＝3
[解析] ∵b ＝a 3，∴log a b ＝3，故选B.
3．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( B ) A ．100＝1与lg1＝0 B ．27
－
13
＝13与log 271
3
＝－3 C ．log 39＝2与32＝9 D ．log 55＝1与51＝5 [解析] 对B 选项27
－
1
3
＝13化为对数式为log 2713＝－13
. 4．若对数log (x －1)(4x －5)有意义，则x 的取值范围是__(5
4，2)∪(2，＋∞)__.
[解析] 要使对数log (x －1)(4x －5)有意义，应满足????
?
4x －5>0x －1>0
x －1≠1，
∴x >5
4
且x ≠2.
5．将下列指数式与对数式互化： (1)log 216＝4； (2)log 13
27＝－3；
(3)log 3x ＝6；
(4)43＝64； (5)3－
2＝19
；
(6)(14
)－
2＝16. [解析] (1)∵log 216＝4，∴24＝16. (2)∵log 13 27＝－3，∴(13)－
3＝27.
(3)∵log
3x ＝6，∴(
3)6＝x .
(4)∵43＝64，∴log 464＝3. (5)∵3－
2＝19，∴log 319＝－2.
(6)∵(14)－
2＝16，∴log 14
16＝－2.
A 级 基础巩固
一、选择题
1．(2015·盘锦高一检测)下列指数式与对数式互化不正确的一组是( B ) A ．e 0＝1与ln1＝0 B ．log 39＝2与91
2
＝3
C ．8
－
13
＝12与log 812＝－13
D ．log 77＝1与71＝7
[解析] log 39＝2化为指数式为32＝9，故选B. 2．把对数式x ＝lg2化成指数式为( A ) A ．10x ＝2 B ．x 10＝2 C ．x 2＝10
D ．2x ＝10
[解析] 由指数、对数的互化可得x ＝lg2?10x ＝2，故选A. 3．log x 3
y ＝4，则x 、y 之间的关系正确的是( A ) A ．x 4＝3y B ．y ＝64x C ．y ＝3x 4
D ．x ＝3
y 2
[解析] 将对数式log x 3
y ＝4化为指数式为x 4＝3
y ，故选A. 4．(1
2)－1＋log 0.54的值为( C )
A ．6
B ．72
C ．8
D ．37
[解析] (12)－1＋log 0.54＝(12)·(12)log 0.54＝(12)－1·(12)log 1
2 4＝2×4＝8.
5．方程2log 3x ＝1
4的解是( A )
A ．x ＝1
9
B ．x ＝
33
C ．x ＝3
D ．x ＝9
[解析] ∵2log 3x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－
2＝19.
6．已知f (e x )＝x ，则f (3)＝( B ) A ．log 3e B ．ln3 C ．e 3
D ．3e
[解析] 令e x ＝3，∴x ＝ln3，∴f (3)＝ln3，故选B. 二、填空题
7．若log π[log 3(ln x )]＝0，则x ＝__e 3__. [解析] 由题意，得log 3(ln x )＝1， ∴ln x ＝3，∴x ＝e 3. 8．log
2－1(
2＋1)＋ln1－lg
1
100
＝__1__. [解析] 设log 2－1(
2＋1)＝x ，则(2－1)x ＝2＋1＝
12－1
＝(2－1)－
1，∴x ＝－1；设lg 1100＝y ，则10y ＝1100
＝10－
2，∴y ＝－2；
又ln1＝0，
∴原式＝－1＋0－(－2)＝1. 三、解答题
9．求下列各式的值：
(1)log 464； (2)log 31； (3)log 927； (4)2log 2π. [解析] (1)设log 464＝x ，则4x ＝64， ∵64＝43，∴x ＝3，∴log 464＝3. (2)设log 31＝x ，则3x ＝1， ∵1＝30，∴x ＝0，∴log 31＝0. (3)设log 927＝x ，则9x ＝27即32x ＝33， ∴2x ＝3即x ＝32，∴log 927＝32.
(4)设2log 2π＝x ，则log 2π＝log 2x ＝u ， ∴π＝2u ，x ＝2u ，∴x ＝π，即2log 2π＝π.
B 级 素养提升
一、选择题
1．在b ＝log (3a －1)(3－2a )中，实数a 的取值范围是( B ) A ．a ＞32或a ＜1
3
B.13＜a ＜23或23＜a ＜3
2 C.13＜a ＜3
2
D.23＜a ＜32
[解析] 要使式子b ＝log (3a －1)(3－2a )有意义，则 ????
?
3a －1＞0，3a －1≠1，3－2a ＞0
即13＜a ＜23或23＜a ＜3
2
，故选B. 2．log 5[log 3(log 2x )]＝0，则x －
1
2
等于( C )
A.66 B ．
39
C.24
D ．23
[解析] ∵log 5[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴x ＝23＝8， ∴x
－
12
＝8
－
12
＝
18＝122＝24
，故选C. 3．若log a 3＝2log 230
，则a 的值为( B ) A ．2 B ．3 C ．8
D ．9
[解析] ∵log a 3＝2log 230
＝20＝1，∴a ＝3，故选B. 4．已知lg a ＝2.31，lg b ＝1.31，则b
a 等于( B )
A.1100 B ．1
10
C ．10
D ．100
[解析] ∵lg a ＝2.31，lg b ＝1.31， ∴a ＝102.31，b ＝101.31， ∴b a ＝101.31102.31＝10－
1＝110. 二、填空题
5．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋
n ＝__12__. [解析] ∵log a 2＝m ，∴a m ＝2，∴a 2m ＝4， 又∵log a 3＝n ，∴a n ＝3，
∴a 2m ＋
n ＝a 2m ·a n ＝4×3＝12.
6．已知函数f (x )＝????
?
3x ，x ≤1，－x ，x ＞1，若f (x )＝2，则x ＝__log 32__.
[解析] 由?????
x ≤1，
3x ＝2?x ＝log 32，
或?
????
x ＞1
－x ＝2?x ＝－2无解． 三、解答题
7．求下列各式中的x ： (1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－2
3；
(3)log x (3＋22)＝－2； (4)log 5(log 2x )＝0； (5)x ＝log 271
9；
(6)x ＝log 12
16.
[解析] (1)由log x 27＝32，得x 3
2 ＝27， ∴x ＝2723
＝9.
(2)由log 2x ＝－23，得x ＝2－
2
3 ＝3
22
.
(3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －
2， ∴x ＝(3＋22)
－
12
＝2－1.
(4)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1， ∴x ＝21＝2.
(5)由log 2719＝x ，得27x ＝19，33x ＝3－
2，∴3x ＝－2，∴x ＝－23.
(6)由log 12 16＝x ，得(12)x ＝16，即2－
x ＝24，
∴x ＝－4.
C 级 能力拔高
1．求下列各式中x 的值： (1)x ＝log 224；(2)x ＝log 93； (3)log x 8＝－3；(4)log 12
x ＝4.
[解析] (1)由已知得(
22
)x
＝4， ∴2－x 2＝22，－x
2＝2，x ＝－4.
(2)由已知得9x ＝3，即32x ＝312.
∴2x ＝12，x ＝14.
(3)由已知得x －
3＝8， 即(1x )3＝23，1x ＝2，x ＝12. (4)由已知得x ＝(12)4＝116.
2．设x ＝log 23，求23x －2－
3x
2x －2－x
的值.
[解析] 由x ＝log 23，得2－
x ＝13
，2x ＝3，
∴23x －2－
3x 2x －2－x ＝(2x )3－(2－
x )32x －2－
x
＝(2x )2＋1＋(2－x )2＝32＋1＋(13)2＝919. 第二课时 对数的运算性质
Q 情景引入
ing jing yin ru
已知对数log 864，log 264，log 28，log 464，log 48.
对数log 864的值与对数log 264和log 28的值有什么关系？ 对数log 864的值与对数log 464和log 48的值有什么关系？ 由上面的问题你能得出什么结论？ X 新知导学in zhi dao xue
1．对数的运算性质
[知识点拨]a a M )(log a N )，log a (M ＋N )≠log a M ＋log a N ，log a M N ≠log a M log a N
.
2．换底公式
log a b ＝__log c b
log c a __(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．
[知识拓展] (1)可用换底公式证明以下结论：
①log a b ＝1log b a ；②log a b ·log b c ·log c a ＝1；③log an b n ＝log a b ；④log an b m ＝m n log a b ；⑤log 1
a b
＝－log a b .
(2)对换底公式的理解：
换底公式真神奇，换成新底可任意， 原底加底变分母，真数加底变分子． Y 预习自测
u xi zi ce
1．若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数是( A ) ①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )； ③log a x
y ＝log a x ÷log a y ；
④log a (xy )＝log a x ·log a y . A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
[解析] 由对数运算法则知，均不正确．故选A. 2．lg20＋lg50的值为( C ) A ．70 B ．1 000 C ．3
D ．52
[解析] lg20＋lg50＝lg1 000＝3.故选C. 3．log 62＋log 63等于( A ) A ．1 B ．2 C ．5
D ．6 [解析] log 62＋log 63＝log 62×3＝log 66＝1. 4．log 23·log 34＝__2__.
[解析] log 23·log 34＝lg3lg2·lg4lg3＝lg3lg2·2lg2
lg3＝2.
5．计算下列各式的值： (1)2lg5＋lg4＋e ln2＋log
22
2；
(2)(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)．
[解析] (1)原式＝2lg5＋2lg2＋2＋3＝2(lg5＋lg2)＋5＝7. (2)原式＝(log 23＋
log 29log 28)(log 322＋log 38log 39＋log 32)＝(log 23＋23log 23)(2log 32＋3
2
log 32＋log 32)＝(53log 23)(92log 32)＝15
2
.
H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi
典例1 用log a x ，log a y ，log a z 表示：
(1)log a
(xy 2)；(2)log
a (x y )；(3)log a
3
x yz 2
. [解析] (1)log a (xy 2)＝log a x ＋log a y 2＝log a x ＋2log a y . (2)log a (x y )＝log a x ＋log a y ＝log a x ＋1
2log a y .
(3)log a
3
x yz 2
＝13log a x yz 2＝13(log a x －log a (yz 2))＝1
3
(log a x －log a y －2log a z )． 『规律方法』 对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．
〔跟踪练习1〕
用log a x 、log a y 、log a z 表示下列各式： (1)log a (x 3y 5)； (2)log a
x
yz
. [解析] (1)log a (x 3y 5)＝log a x 3＋log a y 5 ＝3log a x ＋5log a y . (2)log a
x
yz
＝log a x －log a (yz ) ＝log a x 12
－(log a y ＋log a z )
＝1
2
log a x －log a y －log a z . 命题方向2 ?运用对数的运算性质化简求值
典例2 计算下列各式的值：
(1)lg 27＋lg8－3lg 10lg1.2
；
(2)log 535－2log 57
3＋log 57－log 51.8；
(3)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1. [思路分析] 利用对数的运算性质计算．
[解析] (1)原式＝
lg (33)12 ＋lg23－3lg1012
lg 3×22
10
＝3
2(lg3＋2lg2－1)lg3＋2lg2－1
＝32.
(2)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 59
5
＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55 ＝2log 55＝2.
(3)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2 ＝lg 2(lg2＋lg5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2 ＝1.
『规律方法』 灵活运用对数运算法则进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案进行对数运算．
〔跟踪练习2〕 求下列各式的值： (1)log 318－log 36； (2)log 112
3＋2log 112
2；
(3)lg 28＋43＋log 28－43； (4)lg3＋2lg2－1
lg1.2
.
[解析] (1)原式＝log 318
6＝log 33＝1.
(2)原式＝log 112
3＋log 112
4＝log 112
12＝－1.
(3)原式＝log 2[8＋438－43]
＝log 282－(43)2＝log 264－48)＝log 24＝2. (4)原式＝lg3＋lg4－1lg1.2＝lg1.2
lg1.2＝1.
命题方向3 ?换底公式的应用
典例3 (1)计算log 2125·log 318·log 519
；
(2)若log 34·log 48·log 8m ＝log 42，求m 的值.
[思路分析] (1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？
(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m 的值．
[解析] (1)原式＝lg 125lg2·lg 18lg3·lg 19
lg5
＝
(－2lg5)·(－3lg2)·(－2lg3)
lg2·lg3·lg5
＝－12.
(2)由题意，得lg4lg3·lg8lg4·lg m lg8＝lg m lg3＝12，∴lg m ＝12
lg3，即lg m ＝lg31
2 ， ∴m ＝ 3.
『规律方法』 关于换底公式的用途和本质：
(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．
(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．
(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b ＝1
log b a ；
log a a n ＝n ，log am b n ＝n
m
log a b ；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果．
〔跟踪练习3〕 计算下列各式的值： (1)log 89·log 2732； (2)log 927； (3)log 2
1125·log 3132·log 513
. [解析] (1)log 89·log 2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109.
(2)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝3
2.
(3)log 2
1125·log 3132·log 513
＝log 25－
3·log 32－
5·log 53－
1
＝－3log 25·(－5log 32)·(－log 53)＝－15·lg5lg2·lg2lg3·lg3lg5
＝－15.
Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi
因忽视对数的真数大于零而致误
典例4 解方程lg(x ＋1)＋lg x ＝lg6.
[错解] ∵lg(x ＋1)＋lg x ＝lg[x (x ＋1)]＝lg(x 2＋x )， ∴lg(x 2＋x )＝lg6，
∴x 2＋x ＝6，解得x ＝2或x ＝－3.
[错因分析] 错解中，去掉对数符号后方程x 2＋x ＝6与原方程不等价，产生了增根，其
原因是在x 2＋x ＝6中x ∈R ，而在原方程中，应有?
???
?
x ＋1>0，x >0.求解之后再验根即可．
[正解] ∵lg(x ＋1)＋lg x ＝lg[x (x ＋1)]＝lg6，
∴x (x ＋1)＝6，解得x ＝2或x ＝－3，经检验x ＝－3不符合题意，∴x ＝2. X 学科核心素养
ue ke he xin su yang
转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力
典例5 (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1
y
的值；
(2)已知log 23＝a,3b ＝7，求log 1256.
[思路分析] (1)欲求2x ＋1
y 的值，已知3x ＝36,4y ＝36，由此两式怎样得到x ，y ，容易想
到对数的定义——故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决；
(2)已知条件中有指数式，也有对数式，而待计算式为对数式，因此可将指数式3b ＝7化为对数式解决．观察所给数字特征、条件式中为2、3、7，又12＝3×22,56＝7×23，故还可以利用换底公式的推论log an b m ＝m
n
log a b ，将条件中的对数式log 23＝a 化为指数式解答．
[解析] (1)由已知分别求出x 和y ， ∵3x ＝36,4y ＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436，
由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1
log 364
，
∴1x ＝log 363，1y ＝log 364，∴2x ＋1
y ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝log 3636＝1. (2)解法一：因为log 23＝a ，所以2a ＝3.又3b ＝7，故7＝(2a )b ＝2ab ，故56＝23
＋ab
，又12
＝3×4＝2a ×4＝2a ＋
2，
从而log 1256＝log 2a ＋223
＋ab
＝
3＋ab
a ＋2
. 解法二：因为log 23＝a ，所以log 32＝1
a .又3
b ＝7，所以log 37＝b .从而
log 1256＝log 356log 312＝log 37＋log 38log 33＋log 34＝log 37＋3log 32
1＋2log 32
＝b ＋3·
1a 1＋2·
1a ＝ab ＋3a ＋2.
『规律方法』 1.应用换底公式应注意的事项 (1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．
2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行
转化．
3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：
思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数． 思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值． K 课堂达标验收e tang da biao yan shou
1．若lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12
lg15等于( D )
A.2a ＋b 1＋a ＋b B ．2a ＋2b 1＋a ＋b
C.2a ＋b 2－a ＋b D ．
2a ＋b
1－a ＋b
[解析]
lg12lg15＝lg3＋2lg2lg3＋(1－lg2)＝2a ＋b 1－a ＋b
. 2．计算log 89·log 932的结果为( B ) A ．4 B ．53
C.14
D ．35
[解析] log 89·log 932＝lg9lg8·lg32lg9＝5lg23lg2＝5
3，故选B.
3．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( A ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2
D ．3a －a 2－1
[解析] log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33) ＝3log 32－2(log 32＋1) ＝3a －2(a ＋1)＝a －2.故选A. 4.12log 612－log 62＝__12__. [解析] 原式＝12log 612－1
2log 62
＝12log 6122＝12log 66＝1
2
. 5．计算：(1)lg14－2lg 7
3＋lg7－lg18；
(2)2lg2＋lg32＋lg0.36＋2lg2； (3)lg 25＋lg2·lg50.
[解析] (1)解法一：原式＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)
＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2 ＝0.
解法二：原式＝lg14－lg(7
3)2＋lg7－lg18＝lg 14×7(73)2
×18＝lg1＝0.
(2)原式＝
2lg2＋lg32＋lg36－2＋2lg2＝2lg2＋lg34lg2＋2lg3＝1
2
.
(3)原式＝lg 25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg 25＋1－lg 25＝1.
A 级 基础巩固
一、选择题
1．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( B ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c
2．如果lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x 等于( C ) A ．a ＋2b －3c B ．a ＋b 2－c 3 C.ab 2c
3 D ．2ab 3c
[解析] lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ＝lg ab 2
c 3，
∴x ＝ab 2
c
3，故选C.
3．已知2x ＝3，log 48
3＝y ，则x ＋2y 的值为( A )
A ．3
B ．8
C ．4
D ．log 48 [解析] x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 49＋log 4(8
3)2
＝log 4(9×64
9
)＝log 464＝3，故选A.
4．若log 34·log 8m ＝log 416，则m 等于( D ) A ．3 B ．9 C ．18
D ．27
[解析] 原式可化为：log 8m ＝2log 34，∴1
3
log 2m ＝2log 43，
∴m 13
＝3，m ＝27，故选D.
5．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －
12
等于( C )
A.13 B ．123
C.122
D ．
133
[解析] log 7[log 3(log 2x )]＝0，则log 3(log 2x )＝1，log 2x ＝3，x ＝8，因此x －
12
＝
122
.故选
C.
6．已知2a ＝5b ＝M ，且2a ＋1
b ＝2，则M 的值是( B )
A ．20
B ．25
C ．±25
D ．400
[解析] ∵2a ＝5b ＝M ，∴a ＝log 2M ＝lg M
lg2，
b ＝log 5M ＝lg M
lg5，
∴1a ＝lg2lg M
， 1b ＝lg5lg M ，∴2a ＋1b ＝2lg2lg M ＋lg5lg M ＝lg4＋lg5lg M ＝lg20lg M ＝2， ∴2lg M ＝lg20，∴lg M 2＝lg20， ∴M 2＝20， ∵M >0，∴M ＝2 5. 二、填空题
7．2log 525＋3log 264－8ln1＝__22__.
[解析] 原式＝2×2＋3log 226－8·ln1＝4＋3×6－0＝22. 8．化简log 2(2＋3)＋log 2(2－3)＝__0__. [解析] log 2(2＋3)＋log 2(2－3) ＝log 2(2＋3)·(2－3)＝log 21＝0. 三、解答题
9．计算：(1)(log 331
2 )2＋log 0.251
4
＋9log 5
5－log 31；
(2)lg25＋2
3lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.
[解析]
(1)(log 331
2 )2＋log 0.251
4
＋9log 5
5－log 31＝(
12)2＋1＋9×12－0＝14＋1＋92＝234
.
(2)原式＝lg25＋lg823
＋lg
10
2
·lg(10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝lg(25×4)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.
B 级 素养提升
一、选择题
1．若x log 34＝1，则4x ＋4－
x 的值为( B ) A.83 B ．103
C ．2
D ．1
[解析] 由x log 34＝1得x ＝log 43，所以4x ＋4－
x ＝3＋13＝103，故选B.
2．lg8＋3lg5的值为( D ) A ．－3 B ．－1 C ．1
D ．3
[解析] lg8＋3lg5＝3lg2＋3lg5＝3(lg2＋lg5)＝3lg10＝3，故选D. 3．已知lg a ＝1.63，lg b ＝1.15，lg c ＝4.11，则a 2
bc 的值为( D )
A ．－2
B ．2
C ．100
D ．
1100
[解析] ∵lg a 2
bc ＝2lg a －lg b －lg c
＝2×1.63－1.15－4.11＝－2. ∴a 2bc ＝10－
2， ∴a 2bc ＝1
100.故选D. 4.
log 2716
log 34
＝( D ) A ．2 B ．32
C ．1
D ．23
[解析] 由公式log a n b m ＝m
n log a b ，得
原式＝log 3342
log 34＝2
3log 34log 34＝2
3
.
二、填空题
对数与对数函数
对数与对数函数 【考纲要求】 1. 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用 2.理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点．会画底数为2，10， 1 2 的对数函数的图象 3.体会对数函数是一类重要的函数模型； 4.了解指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数(0,1a a >≠)． 【基础再现】 1．对数的定义 如果______________，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，____叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a >0且a ≠1) ①a log a N ＝____； ②log a 1＝____； ③log a a N ＝____； ④log a a ＝____. (2)对数的重要公式 ①换底公式：log a N ＝________________(a ，c 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝________. (3)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝__________________； ②log a M N ＝____________； 3对数函数的定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数 4对数函数的图像及性质
5 指、对函数的关系 ③log a M n＝__________(n ∈R)； ④log am M n＝ n m log a M. 【例题选讲】 例1 ⑴27 log 9 ，⑵81 log 43 ，⑶()()3 2 log 3 2 - + ，⑷625 log 34 5 例2 ⑴ = ⑵2 5 log()a -= ⑶ 3 log1= = ⑷2 (lg5)lg2lg50 +?＝. ⑸()2 151515 log5log45log3 ?+ 例4 ⑴已知 3 log2a =，35 b=用a b ，表示log
公开课教案《对数函数及其性质》
对数函数及其性质 尤溪五中 开课班级：高一（3）开课时间：2019.10.24 一、教材分析 本节教材的地位和作用：基本初等函数是函数的核心内容，而对数函数又是重要的基本初等函数之一。在此之前，学生已经学习了指数函数及对数运算，为本节的学习起着铺垫作用，同时对数函数作为常用数学模型是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供必要的基础知识。因此本节课具有承前启后的作用。 二、三维目标 1．知识与技能： （1）理解对数函数的概念； （2）掌握对数函数的图像和性质，并在探索过程中学会运用数形结合的方法研究问题； 2．过程与方法： （1）经历对数函数概念的形成过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，由具体到一般，提高学生归纳概括能力； （2）学生通过自己动手作图，分组讨论对数函数的性质，提高动手能力、合作学习能力以及分析解决问题的能力； （3）通过类比指数函数性质研究对数函数，培养学生运用类比的思想研究数学问题的素养； 3．情感、态度与价值观： 在知识形成的过程中，体会成功的乐趣，感受数学图形的美，激发学生学习数学的热情与爱国主义热情，培养学生勇于探索敢于创新的精神。 三．教学重难点 重点：本节课是新授课，,因此我把本节课重点定为对数函数的概念、图象，和性质。 难点：学生在探究对数函数性质时可能会遇到障碍，因此我把探究对数函数性质作为本节课的难点。 四、教学过程：
然后由学生讨论完成下表：（空白表，由学生填） 函数 log a y x = 的图象 特征函数 log a y x = 的性质 图象都位于y轴的右方
2019-2020学年高中数学 1.3对数函数及其性质学案2 新人教A版必修1.doc
2019-2020学年高中数学 1.3对数函数及其性质学案2 新人教A 版必修 1 1. 能利用对数函数的图像和性质解决问题。 2. 能判断对数函数的单调性及求解单调区间。会利用对数函数的单调性来解不等式及求未 知字母的取值范围。 3. 解决与对数函数相关的综合性问题； 1、 已知函数)1(log )(>=a x x f a ，判断它与下列函数图像之间的关系： (1) )2 (log )(-=x x f a (2) 1log )(+=x x f a (3) x x f a 1log )(= (4) ||log )(x x f a = (5) |log |)(x x f a = 2、函数3 222 )(++-=x x x f 的增区间是____________,减区间是_____________. 3、 ?>>)1()()(a a a x g x f ?<<>)10()() (a a a x g x f 4、若函数x a x f =)(对于任意的),0(,21+∞∈x x ，试比较：2 ) ()()2(2121x f x f x x f ++与 考点一：对数型函数的图像与应用 1. 已知函数()log (21)(0,1)x a f x b a a =+->≠且的图像如下图所示，则a b ， 满足 的关系是( ) A.1 01a b -<<< B. 101b a -<<< C. 1 01b a -<<< D. 1101a b --<<< 2．函数f (x )＝log a ()(0,1)x b c a a ++>≠且的图像恒过定点(3,2)，则实数b,c 的值 分别为____________ 3. 函数0.5()2log 1x f x x =-的对应的方程解的个数为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若不等式2 log 0a x x -<在1 (0,)2 内恒成立，则a 的取值范围是__________ 考点二：对数型复合函数的单调性问题 1.若函数 x x f lg )(=对于任意的),0(,21+∞∈x x ，试比较： 2) ()()2( 2121x f x f x x f ++与 2.求函数2 ()lg(23)f x x x =-++的单调区间. 变式：已知函数212()log (23)f x x ax =-+在∞(-,1]上是增函数，求实数a 的取值范围. 复 习 引 入 交 流 探 究
对数函数及其性质学案
§2.2.2对数函数及其性质学案 一．学习目标 1．知识技能 ①了解对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律. ②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题. 2．过程与方法 通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质. 3．情感、态度与价值观 ①培养数形结合的思想以及分析推理的能力； ②培养严谨的科学态度. 二．学习重点、难点 1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质. 2、难点：底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 三．学法指导 1．复习指数式与对数式的转化各个字母的取值范围和对数运算法则. 2．动手画图并观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质； 3．做题时要注意数形结合的思想方法的应用. 四．复习回顾 1.指数式a b =N 中各个字母名称及其取值范围是： a 叫 取值范围是： , b 叫 取值范围是 , N 叫 取值范围是 将指数式a b =N 改写成对数式为 ,其中各个字母名称及其取值范围是： a 叫 取值范围是： , b 叫 取值范围是 , N 叫 取值范围是 2.log 1a = l o g a a = l o g n a M = 2(1)log 1= 12 (7)log 1= 2(2)log 2= 12 (8)log 2= 2(3)log 4= 12(9)log 4= 2(4)log 8= 12(10)log 8= 2(5)log 16= 12(11)log 16= 2(6)log 0.5= 12(12)l o g 0. 5=
五、课前预习 1.定义： 叫对数函数 (1)对数函数的自变量是 ； (2)对数函数的定义域是 ； (3)对数函数的值域是 ； (4)对数函数的定义中应注意什么？ 2.用描点法画出2y log x =和12 y log x =的图象 两图象间的关系 3. 同一个坐标系中画出4log y x =，3log y x =，13 log y x =和14 log y x =的图象
对数函数 优秀教案
《对数函数》教学设计 一、教材分析 本小节选自《中等职业教育课程改革国家规划新教材-数学（基础模块上册）》第四章，主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。 二、学生学习情况分析 刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。 三、设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。 四、教学目标 1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。 五、教学重点与难点 重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响． 六、教学过程设计 教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结 （一）熟悉背景、引入课题 1．让学生看材料： 如图1材料（多媒体）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……，
人教新课标版数学高一必修1学案 对数函数及其性质(二)
2.2.2 对数函数及其性质(二) 自主学习 1．理解对数函数的性质． 2．掌握对数函数的单调性及其应用． 基础自测 1．函数y ＝log 2x 在[1,2]上的值域是( ) A ．R B ．[0，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[0,1] 2．函数y ＝log 2x －2的定义域是( ) A ．(3，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．[4，＋∞) 3．下列不等式成立的是( ) A ．log 321，求a 的取值范围； (2)已知log 0.72x 对数函数最值问题 【例2】 已知集合A ＝{x |2≤x ≤π}，定义在集合A 上的函数y ＝log a x 的最大值比最小值大1，求a 的值． 规律方法 利用函数单调性求最值时，关键看底数a 是否大于1，当底数未明确范围时，应进行讨论． 变式迁移2 函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为 ( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 利用图象求参数范围 【例3】 若不等式2x －log a x <0，当x ∈??? ?0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．
对数函数及其性质教案完整版
对数函数及其性质教案完整版
对数函数及其性质 一、教材分析 《对数函数》出现在高中数学必修一第二章第二节第二课时。对数函数是高中数学在指数函数之后的重要初等函数之一，无论从知识角度还是思想方法的角度对数函数与指数函数都有类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活、能力要求也更高。而且学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，指出对数函数和指数函数互为反函数,反映了两个变量的相互关系，蕴含了函数与方程的数学思想与数学方法，是以后数学学习中不可缺少的部分，也是高考的必考内容。也为解决函数总和问题及其在实际中的应用奠定良好的基础。 二、学情分析 函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本初等函数之一．学生在高中有一定的形象思维和抽象思维能力，已经学习了三种基本函数：一次函数、二次函数、反比例函数，已经具有一定的函数基础知识，并且
在对数函数之前学习了指数函数，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用；具备通过类比指数函数学习来认识对数函数的性质。因此本节对数函数既是对以前函数知识的拓展和延伸，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．本节课的学习使学生的知识体系更加完整、系统，为学生今后学习提供了必要的基础知识． 三、教学目标和重点难点 依据对教材和学情的分析，遵循《普通高中数学课程标准》对本节的教学要求，将对数函数及其性质此节课的教学目标、重点和难点设置为： （一）教学目标： 1.知识与技能：进一步理解对数函数的定义，掌 握对数函数的图像和性质； 初步利用对数函数的图像与性质来解决简单问题（会求对数函数的定义域；会用对数函数的定义比较两个对数的大小）。 2.过程与方法目标：经过探究对数函数的图像 和性质的过程，培养学生观察问题、分析问
对数与对数函数学案
教学过程 一、知识讲解 考点/易错点1 对数与对数运算 （1）指数与对数互化式：log x a a N x N =?=； （2）对数恒等式：log a N a N =. （3）基本性质：01log =a ，1log =a a . （4）运算性质：当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ①()N M MN a a a log log log +=； ②N M N M a a a log log log -=?? ? ??； ③M n M a n a log log =； ④log log n m a a m b b n = （5）换底公式：a b b c c a log log log = ()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a . 推论：a b a log 1 log = ()1,0,1,0≠>≠>b b a a ；log log log a b a b c c ?=
考点/易错点2 对数函数：()1,0log ≠>=a a x y a 的图像与性质 注意：延箭头方向底数越大 ＞1 ＜ ＜1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 恒过点(1,0)
注意：（1）a y =与x y a log =的图象关系是关于y=x 对称； （2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为 同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。 考点/易错点3 与对数函数有关的复合函数问题 1、与对数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法： ①函数log [()]a y f x =的定义域为()0f x >的x 的取值； ②先确定()f x 的值域，再根据对数函数的单调性可确定log [()]a y f x =的值域； 2、与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤： ①求复合函数的定义域； ②按复合函数的单调区间求法求解（用“同增异减”原则） 二、例题精析 【例题1】 【题干】（1）2 (lg 2)lg 2lg 50lg 25+?+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+； （3）1 .0lg 2 1 036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+? 【答案】见解析 【解析】（1）原式2 2 (lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=； （2）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3( )()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+?+=+?+ 3lg 25lg 352lg 36lg 24 =?=；
对数函数教学设计
对数函数的图像和性质 一、教学内容分析： 1、对数是学生在高一刚刚接触到的新概念，不易理解，计算的形式具有一定的复杂性. 2、以对数作为基础的对数函数是高中函数学生最不易掌握的函数类型。 3、函数是高中十分重要的概念. 其中关于定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等函数的性质应有一个整体的认识，这在学习、解决函数问题的过程中显得十分重要，应在适当的时机对学生这种函数的整体观念加以培养，这节课的学习过程是一个可以把握的机会。 二、学生分析： 1、学生从初中到高一年级接触到了一些函数和研究函数的一些方法。 2、学生对于信息技术的使用有一定的熟练程度（主要指作函数图象）。 3、学生在学习了反函数之后，有了研究新函数的一种新方法，因此，选择这节课让学生自主研究对数函数的性质。 学生可以选择描点作图的方法来研究对数函数的图像与性质，也可以选择使用教学软件来研究函数的图像与性质，还可以通过研究指数函数反函数的方法来研究对数函数的图像和性质等。 三、教学目标： 1、会画对数函数的图像，理解对数函数的性质。 2、对于函数的性质与函数图像的形态之间的关系有一个初步的整体的理解，体会研究函数性质的过程中数形结合、分类讨论归纳的数学思想方法在研究问题过程中的体现。 3、培养学生对问题进行质疑的意识，培养学生在学习的过程中交流的习惯。 四、教学重点： 1、了解对数函数的定义； 2、理解研究函数图像和性质的方法； 3、能准确画对数函数的图像，理解对数函数的性质。 4、利用对数函数的性质初步解决一些有关求函数定义域、比较两个数的大小等。 五、教学难点： 1、对数函数图像的准确作图； 2、准确得到对数函数的性质，并利用对数函数的性质解决一些简单的问题。 六、教学活动：
对数函数导学案
学习内容 2.2 对数函数及其性质 【学习目标】 ①理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型. ②掌握对数函数的图像和性质. 二、学习重、难点 1、重点：对数函数及其基本性质； 2、难点：.对数函数图像及其应用【课前预习案】-------自主学习 1．一般地，我们把函数 _________ __________ （1 0≠ >a a且）称为对数函 数. 2.1 > a时，函数x y a log =的定义域为 _________ __________ ，值域为 _________ __________ ，单调 _________ __________ 区间 _________ __________ ， )1,0( ∈ x时，y _________ __________ 0， ) ,1(+∞ ∈ x时，y _________ __________ 0. 3.1 0< 2.2.2对数函数及其性质教案
2.2.2对数函数及其性质（一） 隆湖中学教师 李江华 教学目标 （一） 教学知识点 1． 对数函数的概念； 2． 对数函数的图象与性质． （二） 能力训练要求 1． 理解对数函数的概念； 2． 掌握对数函数的图象、性质； 3． 培养学生数形结合的意识． （三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题； 3．了解对数函数在生产生活中的简单应用． 教学重点 对数函数的图象、性质． 教学难点 对数函数的图象与指数函数的关系． 教学过程 一、复习引入： 1、指对数互化关系： b N N a a b =?=log 2、 )10(≠>=a a a y x 且的图象和性质． 3、 我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个 数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =x 2表示．
现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是y x 2log =. 如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log =. 引出新课--对数函数． 二、新授内容： 1．对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞． 学生思考问题：为什么对数函数概念中规定?1,0≠>a a 例1． 求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； 分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）求解． 解：（1）由2 x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0|≠x x ； （2）由04>-x 得40得x>1， ∴函数 的定义域是()+∞,1． 2．对数函数的图象： 通过列表、描点、连线作x y 2log =与x y 2 1log =的图象： 思考：x y 2log =与x y 2 1log =的图象有什么关系？ 3，（1）根据对称性（关于x 轴对称）已知y =3log x 的图像，你能画出y =x 3 1log 的图像吗？ 1 1log )3(7 -=x y 11 log 7-=x y
高中数学优质课 对数函数及性质教学设计方案
》教案设计《对数函数及其性质1 本节是学习指.一、教案分析1、教案内容教案内容为对数函数的概念、图象及性质数、指数函数和对数的后继内容，根据描点法，作出对数函数的图象以及得到相应的对数对数函数既是指数函数的反函数，也是高中乃至以后的数学学习中应用极为广泛.函数性质有利于进一步加深对函数.的重要初等函数之一，其研究方法以及研究的问题具有普遍意义、学生学习情.2思想方法的 理解，为进后面一步探究函数的综合应用起到承上启下的作用况分析对数函数是高中引进的第二个初等函数，学生在学习过程中，仍保留着初中生许多由于函数概.学习特点，能力发展正处于 形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教案要求较低，学生运算能力较弱，教师必须认识到这一点，教案中要有控制的拔高，. 这双重问题增加了对数函数教案的难度但是只要让学生类比指数函数的研究方法，通过课件演示，通过数形结合，.关注学习过程a1)a?a?0且?ylogx (取不同值时反映出不同函数图象，并让学 生观中，让其感受a察、发现、归纳出图象的特征、函数图象的规律.3、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教案首先要挖掘其与指数的联系，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，改变学生的学习方式.4、教案目标4.1知识技能 （1）掌握对数函数的概念、图像及性质.（2）应用对数函数性质，掌握求简单对数型函数定 义域的方法；（3）掌握三种简单的分别比较对数、真数和底数大小的方法.4.2过程与方法利用指数函数以及性质导出对数函数概念和相应的函数，在学习和应用对数函数性质的过程中，着重数学思想方法的培养.（1）类比的思想.指数函数和对数函数概念和性质的类比.（2）对称的思想.底数互为倒数的两个对数函数关于横轴对称. （3）数形结合思想.通过函数图像研究函数的代数性质，以及通过函数表达式探究函数的几何性质，学习和领会图形语言与符号语言之间的相互转化，并能运用这些语言表达有关函数的性质.（4）分类讨论的思想.根据对数函数的底数大于1或小于1的不同情况进行讨论，初步了解分类的原则，体会分类讨论的思想.4.3情感、态度和价值观通过指数函数类比引入对数函数的概念，揭示数学类比和对称的思想，使学生感受到数学中的对称美.同时使学生了解对数函数的概念来 自于实践，激发学生学习的兴趣，增强应用数学的意识. 二、教案方法与策略根据本节课的教材特点以及学生的实际情况，尝试运用“问题探究式” 教案法.采取“设问引入—类比构建—探究反馈”的方式，力图通过创设问题情境、分析问题和 解决问题的一系列过程，组织学生主动参与、主动探究有关问题，形成以学生为中心的各种形式的探索性学习活动.引导学生步步深入地参与到课堂教案活动中来，尝试探求将问题“一般化” 的方法.三、教案手段 多媒体辅助教案.利用计算机绘图的快速显示等特点对某些对数函数几何性质进行再现，运用直 观认识、操作确认、思辨论证等方法，充分提高课堂效率.四、学习指导1、学情分析 本节内容是在学习了指数、指数函数图象及其性质和对数的基础上，进一步学习对数函数图象及其性质.因此，在学生的认知结构中已有指数和指数函数及其性质和对数的知识结构，通过类比、探究等学习活动，学习对数函数图象及其性质.2、学习方式与策略2.1 设置一系列的教案活动，让学生在探究过程中，培养学生自主学习、独立思考的.自主学习． 能力.充分发挥学生学习的主动性、自觉性，在问题的解决过程中，学习分析问题、解决问题的 方法，形成良好的学习习惯和思维方式，提高学生的自学和迁移能力. 五、教案过程
对数函数和性质学案资料全
《对数函数及其性质》 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： 1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型； 2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较； 3.了解反函数的概念，知道指数函数x =与对数函数log a y a =互为反函数 y x () >≠． 0,1 a a 学习策略：在理解对数函数定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质，在学习过程中，要处处与指数函数相对照． 知识回顾——复习 指数函数图象及性质： 要点一：对数函数的概念
1．函数 叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为 ； （2）底数为 的常数； （3）对数的真数仅有 ． 要点诠释： （1）只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求 ，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意 ． 要点二：对数函数的图象与性质 a ＞1 0＜a ＜1 图象 性质 定义域： 值域： 过定点 ，即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数 在（0，+∞）上是减函数 当0＜x ＜1时， ＜0， 当x ≥1时， ≥0 当0＜x ＜1时， ＞0， 当x ≥1时， ≤0 关于对数式log N 的符号问题，既受a 的制约又受N 的制约，两种因素交织在一起，
人教版高中数学必修1《对数函数及其性质》教案
2.2.2对数函数及其性质（第一课时）教案 一、教学目标 知识目标：使学生理解对数函数的定义并了解其图象的特点.能力目标：培养学生动手操作的能力以及自主探究数学问题的素养.情感目标：培养学生勇于探索和创新的精神以及优化他们的个性品质.二、教学重点、难点与关键 重点：掌握对数函数的概念及其图象，使学生能初步自觉地、有意识地利用图象 研究对数函数的性质.难点：理解和掌握对数函数的概念，图象特征，区分01a <<和1a >不同条件下的性质. 关键：认识底数a 与对数函数图象之间的关系. 三、教学过程 （一）创设情境，导入新课 由§2.2.1的例题6（即考古学家是如何估算出土文物或古遗址的年代）引入，让学生利用计算器计算并填写下表. 学生填写完毕后，引导他们观察上表，让他们体会“对每一个碳14的含量P 的取值,通过对应关系，生物死亡年数t 都有唯一的值与它对应，并且对不同的P 值，也都有不同的t 值与它对应，从而t 是P 的函数”. （二）对数函数的概念 1、对数函数的定义函数x log y a =(0>a 且1≠a )称为对数函数.定义域：),0(+∞.2.例题1：求下列函数的定义域。 （1）() 2x log y a = （2）()x log y a -=4 （三）分组讨论，得出对数函数图象及其性质 1、学生分成几个小组并分发第一张表格（印有直角坐标系）；然后引导学生通过常规方法（即列表、描点、连线成图）画出四个具体的对数函数x log y 2=、x y 21log =、x y 3log =以及 x y 3 1log =的图象. 生物的死亡年数t 0.001 0.01 0.1 0.3 0.5 碳14的含量P
湖南省株洲市南方中学高一数学《2.2.2对数函数及其性质(1)》学案
学习目标 1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 2. 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3. 通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P 70~ P 72，找出疑惑之处） 复习1：画出2x y =、1 ()2 x y =的图象，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质. 复习2：生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.（列式） 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：对数函数的概念 碳14的含量P 0.5 0.3 0. 1 0.01 0.001 生物死亡年数 t 讨论：t 与P 的关系？ （对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系5730 12 log t P =，生物死亡年数t 都有唯一的 值与之对应，从而t 是P 的函数） 新知：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数log a y x =叫做对数函数(logar ithmic function)，自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞）. 反思： 对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：22log y x =，5log (5)y x = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 (0a >，且1)a ≠． 探究任务二：对数函数的图象和性质
《对数函数的应用》导学案.doc
《对数函数的应用》导学案 教学目标：①掌握对数函数的性质。②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复合函数的定义域、值域及单调性。 ③ 注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透,提高解题能力。 教学重点与难点：对数函数的性质的应用。 教学过程设计： ⒈复习提问：对数函数的概念及性质。 ⒉开始正课 1 比较数的大小 例 1 比较下列各组数的大小。 ⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1) ⑵log0.50.6 ,logл0.5 ,lnл 师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征？ 生：这两个对数底相等。 师：那么对于两个底相等的对数如何比大小？ 生：可构造一个以a为底的对数函数，用对数函数的单调性比大小。 师：对，请叙述一下这道题的解题过程。 生：对数函数的单调性取决于底的大小：当0y=logax单 调递减，所以loga5.1>loga5.9 ；当a>1时，函数 y=logax单调递 增，所以loga5.11时，函数y=logax在（0，+∞）上是增函数，∵5.1<5.9 ∴loga5.10，lnл>0，logл0.51， log0.50.6<1，所以logл0.5< log0.50.6< lnл。 板书：略。 师：比较对数值的大小常用方法：①构造对数函数，直接利用对数函 数的单调性比大小，②借用“中间量”间接比大小，③利用对数 函数图象的位置关系来比大小。 2 函数的定义域, 值域及单调性。 例2 ⑴求函数y=的定义域。
《对数函数及其性质》教案及设计说明
对数函数及其性质教学设计 三亚市第四中学邓影 课题：对数函数及其性质 使用教材：人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学（必修1）》 第二章第2.2.2节第一课时 一、教材分析 1．本节教材的地位和作用 基本初等函数是函数的核心内容，而对数函数又是重要的基本初等函数之一。在此之前，学生已经学习了指数函数及对数运算，为本节的学习起着铺垫作用，同时对数函数作为常用数学模型是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供必要的基础知识。因此本节课具有承前启后的作用。 2．教学重难点 重点：本节课是新授课，,因此我把本节课重点定为对数函数的概念、图象，和性质。 难点：学生在探究对数函数性质时可能会遇到障碍，因此我把探究对数函数性质作为本节课的难点。 二、教学目标 根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生实际情况及其认知结构心理特征制定教学目标如下： 1．知识与技能： （1）理解对数函数的概念； （2）掌握对数函数的图像和性质，并在探索过程中学会运用数形结合的方法研究问题； 2．过程与方法： （1）经历对数函数概念的形成过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，由具体到一般，提高学生归纳概括能力； （2）学生通过自己动手作图，分组讨论对数函数的性质，提高动手能力、合作学习能力以及分析解决问题的能力； （3）通过类比指数函数性质研究对数函数，培养学生运用类比的思想研究数学问题的素养；
3．情感、态度与价值观： 在知识形成的过程中，体会成功的乐趣，感受数学图形的美，激发学生学习数学的热情与爱国主义热情，培养学生勇于探索敢于创新的精神。 三、教法学法 1.教学方法 建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。 高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟. 在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究式 ．．．”教学方法。将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。其理论依据为建构主义学习理论。它很好地体现了“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”的“四为主”的教学思想。 2. 学法指导 新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。因此本节课学生将在教师的启发诱导下对教师提供的素材经历创设情境→获得新知→作图察质→问题探究→归纳性质→学以致用→趁热打铁→画龙点睛→自我提升的过程，这一过程将激发学生积极参与到教学活动中来。 3. 教学手段 本节课我选择计算机辅助教学。增大课堂容量，提高课堂效率；激发学生的学习兴趣，展示运动变化过程，使信息技术真正为教学服务． 4.教学流程
2.2.2对数函数及其性质导学案
《2.2.1 对数与对数的运算(3)》达标检测 1. )0(5 2 )(log ≠-a a a 化简得结果是（ ）.A ．a - B ．2a C ．a D ． a 2. 已知16log log 8log 4log 4843=??m ，则m = . 3. 计算.（1）2log 21 log 2 12 +； （2）3log 125.04-； （3）4912log 3log 2log ?- 4. 已知，a =9log 18， 518=b 用b a ，表示.45log 15 : 《2.2.2对数函数及其性质(1)》预习学案 【学习目标】理解对数函数的概念；掌握对数函数的图象. 【预习目标】知道对数函数的概念；了解对数函数的图象. 【预习指导】 复习：画出2x y =、1 ()2 x y =的图象，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质. - 探究： 有一种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，··· 1个这样的细胞分裂x 次会得到y 个细胞则y 与x 函数关系为： x y 2= 那么如果知道了细胞的个数y 如何确定分裂的次数x 由对数式与指数式的互化可知： y x 2log = 上式可以看作以y 自变量的函数表达，但习惯上仍用x 表示自变量，y 表示它的函数：即x y 2log = [ 新知： 1．对数函数的概念. 一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数 叫做对数函数，自变量是x ；函数的定义域是（0，+∞）. 2．对数函数的图象． 用描点法做出x y 2log =和x y 2 1log =的图像，总结)10(log ≠>=a a x y a 且的图像． ! 反思： 1.对数函数有哪些特征怎样判断一个函数是对数函数 2.为什么定义域为（0，+∞）为什么规定底数a ＞0且a ≠1 3.函数的值域是 ．
对数函数教学导学案(供参考)
对数函数 对于表达式y a x log = 如果以y 为自变量x 为函数值，是否可以构成一个函数？ 对数函数的概念: 一般地，形如)1,0(log ≠>=a a y x a 且的函数叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为),0(+∞∈x 常用对数函数：x y lg = 自然对数函数：x y ln = 例1、指出下列函数那些是对数函数： （1）x y 1log = （2）x y 21log 3= （3）)1(19log +=x y （4）x y 32log = 练：函数x a a a y log )33(2+-=是对数函数，则有（ ） A.21==a a 或 B.1=a C.2=a D.10≠>a a 且 例2、已知对数函数)1,0(log )(≠>=a a x f x a 且的图像经过点)2,4(，求)8(),1(f f 的值 例3、若对数函数f (x )的图像经过点(16，－2)，那么f (x )的解析式为__________ 从画出的图象（2log x y =、3log x y =和5log x y =）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？ 从画出的图象中你能发现函数2log x y =的图象和函数12 log x y =的图象有什么关系？可否利用2log x y =的图象画出12log x y =的图象？
函数)1,0(log ≠>=a a y x a 且的底数变化对图像位置有何影响？ 例4、求下列函数的定义域 ①24log x y = ②)3(log )1(x y x -=- ③)82ln(2--=x x y ④2log 2-=x y 例5、比较大小 ①3.5log 4.3log 22与 ②)10(7log 12log ≠>a a a a 且与 ③6log 6log 2 131与 ④11log 12log 1211与 例6、求下列函数的单调区间： ①y )23( 2 2log +-=x x y 例7、画出下列函数的图像，并说明它们是由函数2()log x f x =的图像经过怎样的变换得到的？ （1） (1)2()log x f x += （2） 2()log 1x f x =+ （3）2()log x f x =
对数函数图象的与性质教学设计
课题：对数函数的图像和性质（第一课时） 一、教材内容解析 1、“对数函数的图像与性质”是普通高中课程标准实验教科书必修1（北师大版）第三章“指数函数和对数函数”一章中的重点内容。此前，学生已对函数、定义域、值域等相关概念及函数的单调性、奇偶性、对称性等函数性质有了很深刻的了解和掌握。同时本节课又是在刚刚学习了对数函数的概念和对数函数与指数函数互为反函数的关系后，对对数函数的进一步深入学习。也是让学生进一步体会研究函数的方法，即“概念---图像---性质--应用”的过程。同时，为后面函数的学习做好铺垫。 2、“对数函数”是基本初等函数之一，对数函数的知识在其他章节和其他学科中有着广泛应用。同时，对数函数作为常用的数学模型在解决社会生活问题（统计、规划）中也有着广泛的应用。本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供了必要的数学基本技能。同时，本节课对对数函数的性质研究不仅反映出对数函数与指数函数的关系，同时也蕴含了函数、数形结合等数学思想，也是高考的重点内容之一。 二、学生学情分析 1、心理生理上：高一年级的学生已入校两个月，现处于相对稳定的时期，所以在学习情绪和学习态度上也相对稳定。加之，新入高一不久，学生渴望知识和学习的情绪也都空前高涨，主动积极，不畏艰难。 2、知识上：从初中到现在学生已学习了一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数等初等函数，已对函数的相关概念、研究函数的方法有了一定的了解和掌握，加之对数函数与指数函数的关系学生已明白，可以通过类比的方法研究学习。 三、教学目标设置 （一）教学目标 1、知识与技能：掌握对数函数的图像与性质，并且在掌握性质的基础上能进行必要的应用。同时培养学生数形结合的思想及观察、分析、归纳的思维过程。
2019-2020学年高中数学 2.2.2课题 对数函数及其性质(第二课时)学案 新人教A版.doc
2019-2020学年高中数学 2.2.2课题对数函数及其性质（第二课 时）学案新人教A版 【学习目标】 1.知识与技能：（1）.能够准确描绘出对数函数的图像，并可以利用图像来解决相关问题； （2）．能够利用对数函数的相关性质解决相关问题。 2.过程与方法：通过探究对数函数的图像，感受数形结合思想，培养学生分析问题的意识。 3.情感态度价值观：通过学生的相互交流来加深理解对数函数图像的理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾听，接受别人建议的优良品质。 课前预习案 【使用说明及学法指导】 1.用15分钟的时间阅读探究课本上的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力. 2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题. 3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到“我的疑惑”处。 一、相关知识 1. 对数函数的图象有什么特点？ 2. 对数函数有哪些性质？ 学习建议：请同学们回忆上述问题并作出回答。 二、教材助读 1. 对数函数的图象是怎样的？与底数有何联系?
2. 反函数是如何定义的？ 3. 函数的图象与、图象之间有什么关系? 三、预习自测 1．函数log (1)(01)a y x a a =->≠且恒过的定点坐标是（ ） A. (2,0) B. (1,0) C. (0,1) D. (1,1) 2．比较两个对数的大小. （1）10log 7与10log 12 ； （2）0.5log 0.7与0.5log 0.8 3．求函数的定义域. (1) y =y =y =四、【我的疑问和收获】 ___________________________________________________________________________ 课堂探究案 一．基础知识探究 探究点：反函数 问题：如何由2x y =求出x ？ 反思：函数2log x y =由2x y =解出，是把指数函数2x y =中的自变量与因变量对调位置而 得出的. 习惯上我们通常用x 表示自变量，y 表示函数，即写为2log y x =. 新知：当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而 把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ） 例如：指数函数2x y =与对数函数2log y x =互为反函数. 试试：在同一平面直角坐标系中，画出指数函数2x y =及其反函数2log y x =图象，发现什 么性质？ 反思： （1）如果000(,)P x y 在函数2x y =的图象上，那么P 0关于直线y x =的对称点在函数 2log y x =的图象上吗？为什么？
