2020-2021学年北京市朝阳区中考二模数学试题及答案解析

北京市朝阳区九年级综合练习（二）

数 学 试 卷

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

1．2014北京车展约850 000的客流量再度刷新历史纪录，将850 000用科学记数法表示应为

A ．85×106

B ．8.5×106

C ．85×104

D ．8.5×105

2．23

-的倒数是（ ）

A ．32-

B ．23-

C ．

32 D ．23

3．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9 4．数据1，3，3，1，7，3 的平均数和方差分别为 A ．2和4

B ．2和16

C ．3和4

D ．3和24

5．若关于x 的一元二次方程mx 2

+3x+m 2

-2m=0有一个根为0，则m 的值等于

A ．1

B ．2

C ．0或2

D ．0

6．如图，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外取一点C ，连结AC 、

BC ，在AC 上取点E ，使AE=3EC ，作EF ∥AB 交BC 于点F ，量得EF=6 m ，则AB 的长为 A ．30 m B ．24m C ．18m D ．12m

7．在一个不透明的口袋中，装有3个相同的球，它们分别写有数字1,2,3，从中随机摸出一个球，若摸出的球上的数字为2的概率记为P 1，摸出的球上的数字小于4的概率记为P 2；摸出的球上的数字为5的概率记为P 3．则P 1、P 2、P 3的大小关系是

A ．P 1＜P 2＜P 3

B ．P 3＜P 2＜P 1

C ．P 2＜P 1 ＜P 3

D ．P 3＜P 1＜P 2

8．如图，在三角形纸片ABC 中，∠ABC=90°，AB=5，BC=13，过点A 作直线l ∥BC ，折叠三角形纸片ABC ，使点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随着移动，并限定M 、N 分别在AB 、BC 边上（包括端点）移

动，若设AP 的长为x ，MN 的长为y ，则下列选项，能表示y 与x 之间的函数关系的大致图象是

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若分式

4

1

-+x x 值为0，则x 的值为________． 10．请写出一个多边形，使它满足“绕着某一个点旋转180°，旋转后的图形与原来的图形重合”

这一条件，这个多边形可以是 ．

M B

A B C D

11．如图，菱形ABCD 的周长为16，∠C=120°，E 、F 分别为AB 、AD 的中点．则EF 的长为 ． 12．把长与宽之比为2的矩形纸片称为标准纸．如果将一张标准纸ABCD 进行如下操作：即将

纸片对折并沿折痕剪开，则每一次所得到的两个矩形纸片都是标准纸（每一次的折痕如下图中的虚线所示）．若宽AB=1，则第2次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是_________；第3次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是_________；第30次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是_________．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．已知：如图，点E 、F 在AC 上，且AE=CF ，AD ∥BC ，AD=CB ．

求证： DF=BE ．

14．计算：?+-+--30tan 220145310．

第一次

第二次

第三次

…

15．解分式方程：

x

x x -=

+--23

123 ．

16．已知50x y -=，求222232x y x y

x xy y x y

-+?-++的值．

17．列方程或方程组解应用题：

母亲节来临之际，小红去花店为自己的母亲选购鲜花，在花店中同一种鲜花每支的价格相同．小红如果选择由三支康乃馨和两支百合组成的一束花，则需要花34元；如果选择由两支康乃馨和三支百合组成的一束花，则需要花36元．一支康乃馨和一支百合花的价格分别是多少？

18．已知关于x 的一元二次方程3x 2

-6x+1-k=0 有实数根，k 为负整数． （1）求k 的值；

（2）若此方程有两个整数根，求此方程的根．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图，在四边形ABCD 中，AB=34，∠DAB=90°，∠B=60°，AC ⊥BC ．

（1）求AC的长．

（2）若AD=2，求CD的长．

20．某校对部分初三学生的体育训练成绩进行了随机抽测，并绘制了如下的统计图：女生篮球障碍运球成绩折线统计图男生引体向上成绩条形统计图

根据以上统计图解答下列问题：

（1）所抽测的女生篮球障碍运球成绩的众数是多少？极差是多少？

（2）该校所在城市规定“初中毕业升学体育现场考试”中，男生做引体向上满13次，可以获得满分10分；满12次，可以获9.5分；满11次，可以获得9分；满10次，可以获得8.5分；

满9次，可以获得8分．

①所抽测的男生引体向上得．分．的平均数是多少？

②如果该校今年有120名男生在初中毕业升学体育现场考试中报名做引体向上，请你根据本

次抽测的数据估计在报名的这些学生中得分不少于9分的学生有多少人？

21．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若2

cos

C ，AC=6，求BF的长．

3

22．类似于平面直角坐标系，如图1，在平面内，如果原点重合的两条数轴不垂直，那么我们称这样的坐标系为斜坐标系．若P是斜坐标系xOy中的任意一点，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，如果M、N在x轴、y轴上分别对应的实数是a、b，这时点P的坐标为（a，b）．

（1）如图2，在斜坐标系xOy中，画出点A(-2，3)；

（2）如图3，在斜坐标系xOy中，已知点B（5，0）、C（0，4），且P（x，y）是线段CB上

的任意一点，则y 与 x 之间的等量关系式为 ；

（3）若（2）中的点P 在线段CB 的延长线上，其它条件都不变，试判断（2）中的结论是

否仍然成立，并说明理由．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．在平面直角坐标系xOy 中，点P(m ，0)为x 轴正半轴上的一点，过点P 做x 轴的垂线，分别

交抛物线y=-x 2

+2x 和y=-x 2

+3x 于点M ，N ． （1）当2

1=

m 时， _____MN PM =；

（2）如果点P 不在这两条抛物线中的任何一条上．当四条

线段OP ，PM ，．PN ，MN 中恰好有三条线段相等时， 求m 的值．

(图

1)

24. 已知∠ABC=90°，D 是直线AB 上的点，AD=BC ．

（1）如图1，过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF=BD ，连接DC 、DF 、CF ，判断△CDF 的形状并证明；

（2）如图2，E 是直线BC 上的一点，直线AE 、CD 相交于点P ，且∠APD=45°，求证BD=CE ．

图2

图1

25．如图，在平面直角坐标系中xOy，二次函数y=ax2-2ax+3的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，AB=4，动点P从B点出发，沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线BC，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（t ＞0），△BPQ与△ABC 重叠部分的面积为S．

（1）求这个二次函数的关系式；

（2）求S与t的函数关系式；

（3）将△BPQ绕点P逆时针旋转90°，当旋转后的△BPQ与二次函数的图象有公共点时，求t的取值范围（直接写出结果）．

北京市朝阳区九年级综合练习（二）

数学试卷参考答案及评分标准

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．B 7．D 8．C

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．－1 10．答案不唯一，如平行四边形11．23

12．1+2，22

2

+

，

14

12

2

+

（第1、2每个空各1分，第3个空2分）

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13. 证明：∵ AE=CF，

∴ AE+EF=CF+EF．

即AF=CE．…………………… 1分

∵ AD ∥BC ，

∴ ∠A=∠C ．…………………… 2分 又∵AD=BC ，…………………… 3分 ∴ △ADF ≌△CBE ．…………… 4分 ∴ DF=BE ．……………………… 5分

14. 解：原式15132=--

+? ………………………………………… 4分 =

11

2

. …………………………………………………………………… 5分 15. 解：将方程整理，得

33

1022

x x x -++=--． 去分母，得 x －3+3+x －2 = 0． ……………………………………………2分

解得 x = 1． ……………………………………………3分

经检验 x = 1是原分式方程的解． ………………………………………………4 分

∴原分式方程的解为x = 1． …………………………………………………………5 分 16. 解：原式=

2()()3()x y x y x y

x y x y

+-+?

-+ ……………………………………………2 分 =

3x y

x y

+-． …………………………………………………………3 分 ∵ x －5y=0，

∴ x=5y ． …………………………………………………………………4分

∴ 原式=

5325y y

y y

+=-．…………………………………………………………5分

17. 解：设一支康乃馨的价格是x 元，一支百合的价格是y 元． …………………1分

根据题意，得

3234,

2336.

x y

x y

ì+=

?

í

+=

??

……………………………………………3分

解得

6,

8.

x

y

ì=

?

í

=

??

……………………………………………………4分

答：一支康乃馨的价格是6元，一支百合的价格是8元．……………………5分

18. 解：（1）根据题意，得

Δ≥0．………………………………………………………………………1分

即2

6-）

（－4×3（1－k）≥0．

解得k≥－2 ．………………………………………………………………2分

∵k为负整数，

∴k =－1，－2．………………………………………………………………3分（2）当k=－1时，不符合题意，舍去；…………………………………………4分当k=－2时，符合题意，此时方程的根为x1=x2=1．……………………5分

四、解答题（本题共20分，题每小题5分）

19．解：（1）在Rt△ABC中，

∵AB=3

4，∠B=60°，

∴AC=AB·sin60°=6．…………………………2分

（2）作DE⊥AC于点E，

∵∠DAB=90°，∠BAC =30°，

∴∠DAE=60°，

∵AD=2，

∴DE=3．…………………………3分 AE=1． ∵AC=6，

∴CE=5. ……………………………4分 ∴在Rt △DEC 中，22CE DE CD +=

．

∴72=CD ．………………………5分

20.解：（1）14.5， 3.4；………………………………………………………………2分 （2）①

818.52949.56107

12467

?+?+?+?+?++++=9.4（分）；………………………4分

② 120×

467

10220

++=（人） …………….…………………………………5分 估计在报名的学生中有102人得分不少于9分．

21. （1）证明:如图①，连接AD ．

∵ E 是?BD

的中点， ∴??DE

BE =． ∴ ∠DAE=∠EAB ． ∵ ∠C =2∠EAB ， ∴∠C =∠BAD ． ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ADB=∠ADC=90°． ∴ ∠C+∠CAD=90°．

图①

∴ ∠BAD+∠CAD=90°． 即 BA ⊥AC ．

∴ AC 是⊙O 的切线．………………………2分

（2）解：如图②，过点F 做FH ⊥AB 于点H ．

∵ AD ⊥BD ，∠DAE=∠EAB ，

∴ FH=FD ，且FH ∥AC ． 在Rt △ADC 中， ∵ 2

cos 3

C =

，AC=6， ∴ CD=4．…………………………………………………3分 同理，在Rt △BAC 中，可求得BC=9． ∴ BD=5．

设 DF=x ，则FH=x ，BF=5－x ． ∵ FH ∥AC ， ∴ ∠BFH=∠C ． ∴ 2

cos 3

FH BFH BF ∠=

=． 即

2

53

x x =-．………………………………………………4分 解得x=2．

∴ BF=3． …………………………………………………5分

C

图②

22. 解： （1）如图

………………………………………………

……1分

（2）

4

45

y x =-+；…………………………………………………………………………………………

…………3分

（3）当点P 在线段CB 的延长线上时，（2）中结论仍然成立.

理由如下：

过点P 分别作两坐标轴的平行线，与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ， 则四边形ONPM 为平行四边形,且PN=x ，PM=－y

∴ OM=x ，BM=5－x ． ∵PM ∥OC ，

∴ △PMB ∽△COB ．…………4分

∴

PM BM

OC OB

=

， 即

5

45

y x --=

. ∴4

45

y x =-+.……………………………………………………………………5分

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23. 解：（1）1；………………………………………………………………………………1分（2）∵ OP=m，

MN=(－m2+3m)－(－m2+2m) =m，

∴ OP=MN．…………………………………………………………………………2分

①当0＜m ＜2时，

∵PM=－m2+2m , PN=－m2+3m ．

∴若PM= OP=MN，有－m2+2m=m，解得m=0，m=1（舍）．……………3分

若PN= OP=MN，有－m2+3m=m，解得m=0（舍），m=2（舍）．……………4分

②当2＜m ＜3时，不存在符合条件的m值．……………………………………5分

③当m ＞3时，

∵PM=m2－2m , PN=m2－3m ．

∴若PM= OP=MN，有m2－2m=m，解得m=0（舍），m=3（舍）．……………6分

若PN= OP=MN，有m2－3m=m，解得m=0（舍），m=4．…………………7分

综上，当m=1或m=4，这四条线段中恰有三条线段相等．

24. 解：（1）△CDF是等腰直角三角形．………………1分

证明：∵∠ABC=90°，AF⊥AB，

∴∠FAD=∠DBC ．

∵AD=BC，AF=BD，Array∴△FAD≌△DBC ．

∴FD=DC ．…………………………………………2分

∠1=∠2．

∵∠1+∠3=90°，

∴∠2+∠3=90°．

即∠CDF=90°．……………………………………3分

∴△CDF是等腰直角三角形．

（2）过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DF、CF．…………………………4分

∵∠ABC=90°，AF⊥AB，

∴∠FAD=∠DBC ．

∴△FAD≌△DBC ．

∴FD=DC ，∠1=∠2．

∵∠1+∠3=90°，

∴∠2+∠3=90°．

即∠CDF=90°．

∴△CDF是等腰直角三角形．………………………………………………………5分

∴∠FCD=∠APD=45°．

∴FC∥AE．

∵∠ABC =90°，AF⊥AB，

∴AF∥CE．

∴四边形AFCE是平行四边形．…………………………………………………6分

∴AF=CE．

∴BD=CE．……………………………………………………………………………7分

25. 解：（1）由y=ax 2

－2ax+3可得抛物线的对称轴为x=1．…………………1分

∵AB=4，

∴A （－1，0），B （3，0）． ∴a=－1．

∴y=－x 2

+2x+3． ………………………………………………………2分

（2）由题意可知，BP=t ，

∵B （3，0），C （0，3）， ∴OB=OC ．∴∠PBQ=45°． ∵PQ ⊥BC ，

∴

PQ=QB=

2

． ① 当0＜t ≤4时，S=PBQ S ?=14

t 2

．……………………………………………3分 ② 当4＜t ＜6时，

设PQ 与AC 交于点D ，作DE ⊥AB 于点E ，则DE=PE ．

∵tan ∠DAE=

DE OC

AE OA

=

=3． ∴DE=PE =3AE=3

2

PA ．

∵PA=t －4，

∴DE=34)2

t -(．

∴23

612.4

PAD S t t =-+△ ………………4分 ∵PBQ PAD S S S =-△△，

∴216122

S t t =-+-． …………………………………………………5分 ③ 当t ≥6时，S=ABC S ?=6 ． ……………………………………………6分

综上所述，

2?

2? 1(0441612(4626(6t t S t t t t ???

?=-+-???≥??

＜≤）＜＜）　）

（3）

22

9

≤t ≤4．…………………………………………………………………8分

说明：各解答题其它正确解法请参照给分．