2019-2020年度上海市黄浦区初三数学一模(试卷+参考答案)

图1

黄浦区2019学年度第一学期九年级期终调研测试

数 学 试 卷 2020年1月

（满分150分，考试时间100分钟）

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共25题；

2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤.

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】

1．已知线段2a =，4b =，如果线段b 是线段a 和c 的比例中项，那么线段c 的长度是（ ▲ ）． （A ）8；

（B ）6；

（C ）22

（D ） 2．

2．在Rt △ABC 中，90C ∠=o ，如果∠A =α，AB m =，那么线段AC 的长可表示为（ ▲ ）． （A ）sin m α?；

（B ）cos m α?；

（C ）tan m α?；

（D ）cot m α?．

3．已知一个单位向量e v ，设a v 、b v

是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ▲ ）．

（A ）1a e a

=r r

r ；

（B ）e a a =r r r ； （C ）b e b =r r r

；

（D ）11a b a b

=r r r r ．

4．已知二次函数2

x y =，如果将它的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图像的

表达式是（ ▲ ）． （A ）2(1)2y x =++； （B ）2(1)2y x =+-； （C ）2(1)2y x =-+；

（D ）2(1)2y x =--．

5．在△ABC 与△DEF 中，60A D ∠=∠=o ，AB AC DF

DE

=

，如果∠B =50°，

那么∠E 的度数是（ ▲ ）． （A ）50°； （B ）60°； （C ）70°；

（D ）80°．

6．如图1，点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（ ▲ ）．

（A ）AD DE

AB BC

=； （B ）

AD AE

AC AB

=； （C ）AD AB DE BC ?=?；

（D ）AD AC AB AE ?=?．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．计算：

2(32)(2)b a a b -+-v v v v

= ▲ ． 8．如图2，在△ABC 中，点D 、E 分别在△ABC 的两边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，如果5AE =，3EC =，

4DE =，那么线段BC 的长是 ▲ ．

B

B

图2 图3 图4 图5 9．如图3，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．如果2

3

AB BC =，DF =15，那么线段DE 的长是 ▲ ．

10．如果点P 是线段AB 的黄金分割点（AP >BP ），那么

BP

AP

的值是 ▲ ． 11．写出一个对称轴是直线1x =，且经过原点的抛物线的表达式 ▲ ．

12．如图4，在Rt △ABC 中，90ABC ∠=o ，BD ⊥AC ，垂足为点D ，如果4BC =，2

sin 3

DBC ∠=

，那么线段AB 的长是 ▲ ．

13．如果等腰△ABC 中，3AB AC ==，1cos 3

B ∠=，那么cos A ∠= ▲ ．

14．如图5，在△ABC 中，BC =12，BC 上的高AH =8，矩形DEFG 的边EF 在边BC 上，顶点D 、G 分

别在边AB 、AC 上．设DE x =，矩形DEFG 的面积为y ，那么y 关于x 的函数关系式是 ▲ ． （不需写出x 的取值范围）．

15．如图6，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC =6厘米，长CD =16厘米

的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 ▲ 厘米．

16．在△ABC 中， AB =12，AC =9，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且△ADE 与△ABC 与相似，如果

AE =6，那么线段AD 的长是 ▲ ．

17．如图7，在△ABC 中，中线BF 、CE 交于点G ，且CE ⊥BF ，如果5AG =，6BF =，那么线段CE

的长是 ▲ ．

桌面

图6

B

图7

图9

图10

18．如图8，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 在边BC 上，∠DAE =∠B =30°，且

32

AD AE

=

，那么

DE BC

的

值是 ▲ ．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）

计算：cos 30tan 60sin 60

cot 45--o o o

o

20．（本题满分10分）

已知，如图9，点E 在平行四边形ABCD 的边CD 上，且12

DE CE

=

，设AB a =uu r r ，AD b =uur r

．

（1）用a r 、b r 表示AE uu r

；（直接写出答案）

（2）设AE c =uu u r r ，在答题卷中所给的图上画出3a c -r r

的结果．

21．（本题满分10分）

某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图10，两台测角仪分别放在A 、B 位置，且离地面高均为1米（即1AD BE ==米），两台测角仪相距50米（即AB =50米）．在某一时刻无人机位于点C (点C 与点A 、B 在同一平面内），A 处测得其仰角为30?，B 处测得其仰角为45?．（参考数据：

1.41 1.73，sin400.64≈o ，cos400.77≈o ，tan400.84≈o ）

（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）

（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F （点F 与点A 、B 、C 在同一平面内），此时于A 处测

得无人机的仰角为40?，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数） A

图8

图11

O

x

y

在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2

124

y x x =-

-+，其顶点为A ． （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况；

（2）直线BC 平行于x 轴，交这条抛物线于B 、C 两点（点B 在点C 左侧），且cot 2ABC ∠=，求点

B 坐标．

23．（本题满分12分）

已知：如图11，在平行四边形ABCD 中，过点C 分别作AD 、AB 的垂线，交边AD 、AB 延长线于点E 、F ．

（1）求证：AD DE AB BF ?=?；

（2）联结AC ，如果CF AC

DE CD

=，求证：22

AC AF BC BF =．

在平面直角坐标系xOy 中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y 轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．

（1）已知原抛物线表达式是225y x x =-+，求它的“影子抛物线”的表达式；

（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是25y x =-+，求原抛物线的表

达式；

（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y 轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，

那么这两条抛物线的顶点一定关于y 轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．

x

O

y

如图12，△ABC 是边长为2的等边三角形，点D 与点B 分别位于直线AC 的两侧，且AD =AC , 联结BD 、CD ，BD 交直线AC 于点E . （1）当∠CAD =90°时，求线段AE 的长.

（2）过点A 作AH ⊥CD ，垂足为点H ，直线AH 交BD 于点F ，

①当∠CAD <120°时，设AE x =，BCE

AEF

S y S =

V V （其中BCE S V 表示△BCE 的面积，AEF S V 表示△AEF 的面积），求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ②当

7BCE

AEF

S S =V V 时，请直接写出线段AE 的长.

B

D

B

图12

备用图

黄浦区2019学年度第一学期九年级期终调研测试数学评分标准

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1． A ； 2． B ； 3．B ； 4． B ； 5．C ； 6． D ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7． 34a b -+v v

； 8．

32

5； 9． 6； 10．

1

2

； 11．答案不唯一（如22y x x =-）； 12

． 13．79

； 14．23

122y x x =-+； 15．9.6； 16． 8或92； 17． 9

2

； 18．

118-． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）

解：原式

1- …………………………………………………… (2+2+2+2分)

=0． ………………………………………………………………………… (2分) 20．（本题满分10分

（1）13

a b +r v

；……………… ………………………………………………………… (5分)

（2）图略．……………………………………………………………（画图4分，结论1分） 21．（本题满分10分） 解：（1）如图，过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ．…………………………………… (1分) ∵45CBA ∠=?，

∴BH CH =．…………………………………………………………………………… (1分) 设CH x =，则BH x =．

∵在Rt △ACH 中，30CAB ∠=?，

∴AH =

=． …………………………………………………………… (1分)

∴50x =． …………………………………………………………………… (1分)

解得：18x =

≈…………………… (1分) ∴ 18119+=．

答：计算得到的无人机的高约为19m ．……………………………………………………(1分) （2）过点F 作FG AB ⊥，垂足为点G ． ………………………………………………(1分)

在Rt △AGF 中，tan FG

FAG AG

∠= ．………………………………………………………(1分)

∴tan 4018

21.40.84

FG AG =≈≈o

．……………………………………………………(1分)

又31.14AH =≈．

∴

31.1421.452-≈，或31.1421.4

262

+≈

答：计算得到的无人机的平均速度约为5米/秒或26米/秒．…………………………… (1分)

22．（本题满分10分） （1）抛物线2

124

y x x =-

-+的开口方向向下，……………………………………… (1分) 顶点A 的坐标是(2,3)-，………………………………………………………………… (2分) 抛物线的变化情况是：在对称轴直线2x =-左侧部分是上升的，右侧部分是下降的．(2分) （2）设直线BC 与对称轴交于点D ，则AD ⊥ BD ．

设线段AD 的长为m ，则cot 2BD ABC AD m =∠?=．……………………………… (1分) ∴点B 的坐标可表示为(22,3)m m ---．……………………………………………… (2分) 代入2

124y x x =-

-+，得 21

3(22)(22)24

m m m -=------+．

解得10m =（舍），21m =．……………………………………………………………… (1分) ∴点B 的坐标为(4,2)-．………………………………………………………………… (1分) 23．（本题满分12分）

（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ∥AB ，AD ∥BC ，

∴∠CDE =∠DAB ，∠CBF =∠DAB ．

∴∠CDE =∠CBF ．……………………………………………………………………（2分） ∵CE ⊥AE ，CF ⊥AF ， ∴∠CED =∠CFB =90°．………………………………………………………………（1分） ∴△CDE ∽△CBF ．…………………………………………………………………（1分）

∴

BC CD

BF DE

=

．…………………………………………………………………………（1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC =AD ，CD =AB ．∴

AD AB

BF DE

=

． ∴AD DE AB BF ?=?．…………………………………………………………（1分） （2）∵

CF AC

DE CD

=

，∠CED =∠CFB =90°， ∴ △ACF ∽△CDE ．………………………………………………………（2分） 又 ∵ △CDE ∽△CBF ，

∴ △ACF ∽△CBF ．………………………………………………………（1分）

∴2

2

ACF CBF S AC S BC =V V ．………………………………………………………………………（1分）

∵△ACF 与△CBF 等高， ∴

ACF CBF S AF

S BF

=V V ．………………………………………………………………………（1分） ∴22

AC AF

BC BF

=．………………………………………………………………………（1分） 24．（本题满分12分）

（1）由题意，可知原抛物线顶点是(1,4)．………………………………………………（1分）

设影子抛物线表达式是2y x n =+，………………………………………………（1分） 将(1,4)代入2y x n =+，解得3n =．………………………………………………（1分） 所以“影子抛物线”的表达式是23y x =+．………………………………………（1分）

（2）设原抛物线表达式是2

()y x m k =-++，

则原抛物线顶点是(,)m k -．

将(,)m k -代入2

5y x =-+，得2()5m k --+=① ………………………………（1分） 将（1，0）代入2()y x m k =-++，2

0(1)m k =-++②…………………………（1分）

由①、②解得 1114m k =??

=?，22

2

1m k =-??=?． 所以，原抛物线表达式是2

(1)4y x =-++或2

(2)1y x =--+．…………………（2分）

（3）结论成立．……………………………………………………………………（1分） 设影子抛物线表达式是2y ax n =+．原抛物线于y 轴交点坐标为(0,)c

则两条原抛物线可表示为211y ax b x c =++与抛物线2

22y ax b x c =++（其中a 、1b 、2b 、c 是常

数，且0a ≠，12b b ≠）

由题意，可知两个抛物线的顶点分别是21114(,)24b ac b P a a --

、2

22

24(,)24b ac b P a a

-- 将1P 、2P 分别代入2

y ax n =+，

得2

2112

222

4()244()24b ac b a n a a b ac b a n a a ?--+=???-?-+=??

…………………………………………………………（1分） 消去n 得22

12b b =．………………………………………………………………………（1分）

∵12b b ≠，∴12b b =-

∴22214(

,)24b ac b P a a -，2

22

24(,)24b ac b P a a

--， ………………………………………（1分） ∴1P 、2P 关于y 轴对称．

25．（本题满分14分）

（1）∵△ABC 是等边三角形，

∴AB =BC -AC =2，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°. ∵AD =AC , ∴ AD =AB . ∴∠ABD =∠ADB . ∵∠ABD +∠ADB +∠BAC +∠CAD =180°，∠CAD =90°， ∠ABD =15°. ∴ ∠EBC = 45°. ……………………………………………………………（1分）

设AE x =，则2EC x =-. 在Rt △CGE 中，∠ACB =60°，

∴sin )A EG EC B x C =?∠=-，1

cos 12

C EC x ACB G ∠-==?.…………………（1分） ∴1212

BG EG x =-=+

. 在Rt △BGE 中，∠EBC =45°， ∴

11)2x x +

-. ………………………………………………………………（1分）

解得4x =-.

所以线段AE

的长是4-………………………………………………………………（1分） （2）①设ABD α∠=，则BDA α∠=，1202DAC BAD BAC α∠=∠-∠=-o

∵AD =AC , AH ⊥CD ，

∴1602

CAF DAC α∠=∠=-o .…………………………………………………………（1分）

又∵60AEF α∠=+o ，∴60AFE ∠=o .…………………………………………………（1分） ∴AFE ACB ∠=∠.

又∵AEF BEC ∠=∠，∴△AEF ∽△BEC . ………………………………………………（1分）

∴2

2

BCE AEF S BE S AE =V V .……………………………………………………………………………（1分） 由（1）得在Rt △CGE 中，1

12

BG x =+

，)EG x =- ∴222224BE BG EG x x =+=-+.

∴ 22

24

x x y x -+= (02x <<) ………………………………………………………（2分）

② 当∠CAD <120°时，2

3

AE =；…………………………………………………………（2分）

当120°<∠CAD <180°时，1AE =.……………………………………………………（2分）